云南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期数学期末市统测模拟试卷一

云南师大附中2027届高二下学期数学期末市统测模拟试卷一 一、单选题 1．命题“，”的否定为（ ） A．， B．， C．， D．， 2．设，复平面内表示复数的点在直线上，则（ ） A． B． C． D． 3．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如右频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 4．已知，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知函数的一条对称轴为，且在区间上值域为，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，边长为，是边上的一点，，以为圆心，为半径画弧交于点，是弧上（包括边界点）任一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．设是双曲线的右焦点，双曲线两渐近线分别为，，过点作直线的垂线，分别交，于，两点，若，两点均在轴上方且，，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．三棱锥的所有棱长均为，是的中心，在三棱锥内放置一个以直线为轴的圆柱，则圆柱的体积不能超过（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（ ） A．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C．样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越接近时，成对样本数据的线性相关程度越弱 D．用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 10．如图，某池塘里的浮萍面积（单位：）与时间（单位：月）的关系式为（，且；，且），则下列说法正确的是（ ） A．浮萍每月增加的面积都相等 B．第个月时，浮萍的面积会超过 C．浮萍面积从蔓延到只需经过个月 D．若浮萍面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则 11．数字，，，，，按如图形式随机排列，设第一行的数为，第二、三行中的最大数分别为，，第二、三行中的最小数分别为，，则（ ） A．排列总数为个 B．的概率为 C．满足的排列有个 D．的概率为 三、填空题 12．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为____________． 13．已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则____________． 14．在四棱锥中，，且，，，若该四棱锥存在半径为的内切球，则____________． 四、解答题 15．随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目．自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可．各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升．小张同学对某品牌新能源汽车近8年出售的数量及广告费投入情况进行了统计，具体数据见下表： 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 年销售量/十万辆 3 4 5 6 7 9 10 12 广告费投入/亿元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1 （1）求广告费投入（亿元）与年销售量（十万辆）之间的线性回归方程（精确到0.01）； （2）若某人随机在甲、乙两家汽车店购买一辆汽车，如果在甲汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.6；如果在乙汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.8，求这个人购买的是新能源汽车的概率． 参考数据：，．附：回归直线中，，． 16．已知的内角，，所对的边分别为，，，角为钝角，，． （1）若，求的值； （2）求面积的最小值． 17．如图，已知圆台，，，均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，． （1）证明：； （2）求异面直线与所成角； （3）已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 18．设函数，其中． （1）若，讨论的单调性； （2）若， （ⅰ）证明恰有两个零点； （ⅱ）设为的极值点，为的零点，且，证明． 19．已知，分别是椭圆的左，右顶点，动点满足，过作于，线段交椭圆于点，过作，交椭圆于点． （1）设直线，的斜率分别为，，求的值； （2）求证：直线过定点； （3）设线段的垂直平分线交椭圆于、两点，若，求的斜率． 学科网（北京）股份有限公司 $云南师大附中2027届高二下学期数学期末市统测模拟试卷一 一、 单选题 题号 1 2 3 6 7 8 答案 C B D C A 二、 多选题 题号 9 10 11 答案 BD BCD ABD 三、填空题 题号 12 13 14 答案 60 2 3√6+4V5 四、解答题 15.解：1) 6儿动 ∑xy-8w 379.5-8×7×6_43.5 ≈0.64 -到 24-8F 460-8×72- 68 a=-i=6-43.5 ×7≈1.52 68 故广告费投入'关于年销售量x的回归方程为y=0.64x+1.52 (2)设A=“在甲汽车店购买汽车”，B=“在乙汽车店购买汽车”，A,=“购买的是新能源汽车”， P(4)=P(B)=0.5P(41A)=0.6P(A1B)=0.8 由全概率公式得，P(4)=P(4)P(4,4)+P(B)P(4B)=0.5x0.6+0.5×0.8=0.7 an4=tan[z-(B+C)]=-tan(B+C)=- tanB+tanC 9 16.解：(1)由 1-tanBtanC 17. 17tanB+17tanC=9-9tanBtanC,ytanB =1-4tanC, 所以l7(1-4tanC)+17tanC=9-9tanC(1-4tanC)】 化简整理得18tan2C+21tanC-4=0,解得 anC=1 tanC=-4 6或 3, 1 1 tanC= tanB=* 又A为钝角，故B,C为锐角，所以6，则 3 sin2B+cos2B=1 sinB 1 cosB 3 sinB=v10 由 ,解 10 4 4 ∴.C= =4V10 sinB√10 10 (2)因为sin4=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC b C 16 bc= 又sinB sinC,则bsinC=csinB=4,所以sinBsinC, 故 △ABC的 面 积 S=I bcsind= 8sinA 8(sinBcosC+cosBsinC) =8 cosC cosB =8 1+1 inBsinC sinBsinC sinC sinB tanc tanB 又B,C为锐角，所以tanC>0,tanB>0,tanB+4tanC=l, 1 1 (tanB+4tanC)=5+tanB 4tanC tanB 4tanC ≥5+2 =9 tanC tanB tanc tanB tanC tanB Vtanc tanB 当且仅当tanB=2tanC,即 6时，取等号，所以△ABC的面积的最小值为72， 17.解：(1)证明：在圆台OO,中，由BA,FE为该圆台的母线，得BA,FE延长线交于一点， 而平面ADE∥平面BCF,平面AEFB∩平面ADE=AE,平面AEFB∩平面BCF=BF, 所以AEIBF: (2)连接OE,O,F,由直线O0为圆台O0的轴，得FE,O,0延长线交于一点， 由(1)同理得OE/0,F 由OE=0A=1,AE=V2,得OE+O4=2=AE2, 则OE1AD,而ADIlBC, 因此O,F⊥BC 直线0，F,0,C,0,0两两垂直， 以O为坐标原点，直线O,F,0,C,O,0分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， t设00，=t,则4(0，-1)，B(0,-2,0).F(20,0),C(0,2,0).D(01,),E(10,).0(0,0,) FE=(-1,0,）.BC=(0,4,0) 则FE·BC=0,即FE⊥BC, 所以异面直线EF与BC所成角为2： (3)由2)得BF=(2,2,0),CF=(2,-2,0),F匝=(-1,0，). 设平面BEF与平面CEF的法向量分别为m=(ab,c),n=(c,y2), m·BF=2a+2b=0 则m:F正=-a+ic=0,取c=1,得a=t,b=-1, 故平面BEF的一个法向量为m=(化，-4,1)， [n.CF=2x-2y=0 n-FE=-x+亿=0，取z=1,得x=y=t, 故平面CEF的一个法向量为”=(G4,1), 1 cos(m,n= m.n 1 由二面角B-EF-C的余弦值为3，得 V22+1V22+13 解得1=1，所以圆台的高O0的长为1. 18.1)解： f(s)--lae+a(s-I)e1-I-avc x,x∈(0，+)， 当a≤0时，f'()>0,片函数f()在x∈(0，+切)上单调递增， I(x)=1-ar'e' (2)证明：(i)由(I)可知： x,x∈(0，+∞） 令8()=1-are0<a< ,可知8()在x∈(0，+o)上单调递减， 0=1e0,ng-1-ge0 86-0作-h 即函数f()在(0，)上单调递增，在(，+切）单调递减。 ∴是函数f()的唯一极值点， 令h()=r-x+1,>0.(x)-1 0<x<1时，()>0，h()单调递增，x>1时，()<0，h()单调递减， 可得h()≤h(0=0,∴x>1时，lnx<x-1, )()-(w)o :/(G)》>0=0,片函数()在（(，+o)上存在唯一零点。 当x=1时，f0=0,函数f()在(0，)上存在唯一零点1， 因此函数f()恰有两个零点： (i)由愚意可得：f'()=0,f(G)=0,且>x,即ae=l,h=a(G-)e, Inrlnt 即 七-1 x>l时lnr<x-1,又>>l e5-n<6(s-- 故 x-1女1-1 取对数可得：-<21。<2(-)，化为：3x。->2 19.解：(1)因为TA⊥TB,则 71==2 故点T的轨迹方程为+y=4(0y≠0)， 设点M(2cos8,sin0),则T(2cos8,2sin0)(0≠km,keZ), 易知点1(-2,0)，B(2,0) 因为TA⊥TB,AW⊥AT,所以kkr=-1, 所 以 k=ki=1 1 1 4l+cos0)01-cos0）_41-cos'0）_4sin20-2 飞2 kBM kaTkBM 、飞ATk BM 2sin0 sin 2sin20 2sin20 2sin20 2cos0+2 2cos0-2 k=kw-k虹-TH=2 所以k2 kBMkBM MH (2)证明：设M(,H),N(x,乃），直线MN:x=m+n 设直线BM:y=k(x-2),则片=k(G-2),直线AW:y=2k(x+2),则=2k(:+2), 易知k≠0，则2y(:+2)=(化-2) +g=1巧=-s+25-2到 由4 ,得 4 可得84=-(6-2)(3-2），即(8+m)X+m(-2+)+m-2y=0,0 +y=1 将x=my+n代入4 专442网+r-4=0,则+为=.4-于 2mn m2+4. 代入0式：得8+mr-4)-2m(u-2)m+n-2y(mr2+4)=0 解得m=2舍去)，刀3.即直线w龙克)0 (3)易知MN、P巴的斜率均存在，设MN中点为R(c,),设MW:y=i(x-c)+d,设Pe: y=t(x-c)+d 将MW与椭圆方程联立，得1+4)r+(84d-8cx+(4c2-8cd+42-4)=0 u+xy=8id-8tic wx,-4c-84c1+42-4 则 1+4」 1+4 M-rw小e--e之 则 同理 r0-0 PO为MN的中垂线，且M L MO,记POOMN=R, 在Rt△POM中，MR2=PR·OR,MR·NR=PR·QR :四边形MPN0四点共圆，且c2+4d2-4≠0， 1+_1+号 则1+41+4，化简得=号， 又5=-1，于是=1，即MN的斜率为士1.