单元复习讲义：专题08 圆（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学六年级上册（苏教版·新教材）

该小学数学“圆”专题复习讲义通过考点梳理系统构建知识体系，将圆的概念、要素、周长面积计算及组合图形等15个考点以框架图形式呈现，突出圆心半径关系、周长面积公式推导及方中圆等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“考点-例题-提升”三阶练习设计，如通过井盖圆形特性题培养应用意识，组合图形割补法强化空间观念，扇形周长面积计算提升运算能力。例题含“举一反三”变式，帮助不同层次学生掌握，教师可据此实施精准复习教学。

专题08 圆 内容导航 考点梳理 1 考点 1：圆的概念及特点 2 考点 2：画圆 2 考点 3：弧、圆心角、扇形的认识 2 考点 4：与圆相关的轴对称图形 3 考点 5：圆的周长 3 考点 6：半圆的周长 4 考点 7：圆的周长的应用 4 考点 8：含圆的组合图形的周长 4 考点 9：圆的面积 5 考点 10：圆的面积的应用 5 考点 11：求最大面积 5 考点 12：圆环的面积 5 考点 13：含圆的组合图形的面积 6 考点 14：方中圆和圆中方的面积问题 6 考点 15：扇形的周长和面积 7 例题讲解 8 题型一、圆的概念及特点 8 题型二、画圆 10 题型三、弧、圆心角、扇形的认识 11 题型四、与圆相关的轴对称图形 14 题型五、圆的周长 16 题型六、半圆的周长 17 题型七、圆的周长的应用 19 题型八、含圆的组合图形的周长 20 题型九、圆的面积 23 题型十、圆的面积的应用 24 题型十一、求最大面积 27 题型十二、圆环的面积 30 题型十三、含圆的组合图形的面积 32 题型十四、方中圆和圆中方的面积问题 35 题型十五、扇形的周长和面积 37 提升练习 41 考点梳理 考点 1：圆的概念及特点 1. 定义：圆是平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。 2. 核心要素： (1) 圆心（O）：确定圆的位置。 (2) 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段。决定圆的大小。在同一个圆内，有无数条半径，长度都相等。 (3) 直径（d）：通过圆心并且两端都在圆上的线段。在同一个圆内，有无数条直径，长度都相等。 3. 数量关系：在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，半径是直径的一半。即 或 。 4. 对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 5. 特性：圆是平面图形中曲线围成的封闭图形；车轮做成圆形是因为圆心到地面的距离（半径）始终相等，行驶平稳。 考点 2：画圆 1. 工具使用：主要使用圆规。 2. 操作步骤： (1) 定针：将圆规带有针尖的一脚固定在一点（圆心）。 (2) 定距：调整两脚之间的距离为所需的半径长度。 (3) 旋转：握住圆规顶端，将装有铅笔芯的一脚绕圆心旋转一周。 3. 注意事项： (1) 针尖必须固定不动，不能滑动。 (2) 两脚间距离保持不变，确保半径恒定。 (3) 旋转时重心偏向针尖一侧，保持线条流畅闭合。 考点 3：弧、圆心角、扇形的认识 1. 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。读作“弧AB”。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角的两条边是圆的半径。 3. 扇形：由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 4. 关系： (1) 在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关。圆心角越大，扇形面积越大。 (2) 半圆也是一个特殊的扇形，其圆心角为180°。 (3) 四分之一圆的圆心角为90°。 考点 4：与圆相关的轴对称图形 1. 基本判断： (1) 圆本身有无数条对称轴。 (2) 半圆有1条对称轴（垂直于直径且过圆心的直线）。 (3) 扇形有1条对称轴（圆心角的角平分线所在的直线）。 2. 组合图形对称轴判定方法： (1) 寻找能使图形左右或上下完全重合的折痕。 (2) 常见组合： 1　 “圆+正方形”（外切或内接）：通常有4条对称轴。 2　 “圆+长方形”：通常有2条对称轴。 3　 “圆+等边三角形”：通常有3条对称轴。 (3) 注意：对称轴是直线，不是线段，画图时应超出图形边界。 考点 5：圆的周长 1. 定义：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。 2. 圆周率（ ）： (1) 定义：圆的周长与直径的比值。 (2) 性质： 是一个无限不循环小数。 (3) 取值：计算时通常取近似值 。 (4) 历史：我国南北朝数学家祖冲之将圆周率精确到小数点后第七位。 3. 计算公式： (1) 已知直径： (2) 已知半径： 考点 6：半圆的周长 1. 概念辨析：半圆的周长 圆周长的一半。 2. 构成：半圆的周长 = 圆周长的一半 + 一条直径。 3. 计算公式： (1) (2) (3) 4. 易错点：很多学生容易漏加直径，务必强调“封闭图形”的边界概念。 考点 7：圆的周长的应用 1. 滚动问题： (1) 车轮滚动一周前进的距离 = 车轮的周长。 (2) 滚动 周的距离 = 。 2. 捆扎问题：计算捆绑圆柱体所需绳子长度时，需分析直线部分（通常等于直径或圆心距）和曲线部分（通常拼成一个完整的圆周长）。 3. 时钟问题： (1) 分针尖端走过的路程 = 以分针长为半径的圆周长。 (2) 时针尖端走过的路程 = 以时针长为半径的圆周长（注意时间比例，如1小时走1/12圈）。 考点 8：含圆的组合图形的周长 1. 解题策略：“化曲为直”与“平移法”。 2. 常见类型： (1) 外接型：几个圆相切或相交，周长通常为各段弧长之和加上必要的线段长。 (2) 阴影部分周长：仔细描出阴影部分的边界，区分哪些是圆弧，哪些是直线段。 (3) 跑道型：两个半圆 + 两条直道。周长 = 一个整圆周长 + 2 直道长。 3. 核心原则：周长是围成图形所有外围线段的长度总和，内部线条不计入周长。 考点 9：圆的面积 1. 推导过程： (1) 将圆分成若干等份（偶数份），剪开后拼成一个近似的长方形。 (2) 长方形的长 圆周长的一半（ ）。 (3) 长方形的宽 圆的半径（ ）。 (4) 因为 长方形面积 = 长 宽，所以 圆面积 = 。 2. 计算公式： (1) (2) 若已知直径： (3) 若已知周长：先求 ，再求面积。 3. 面积变化规律：半径扩大 倍，直径扩大 倍，周长扩大 倍，但面积扩大 倍。 考点 10：圆的面积的应用 1. 已知条件转化： (1) 题目常给出周长求面积，必须先求半径。 (2) 题目常给出直径求面积，必须先除以2求半径。 2. 实际场景： (1) 计算圆形花坛、草坪、桌面的面积。 (2) 计算自动旋转喷灌装置的喷洒面积（射程即为半径）。 3. 单位换算：注意长度单位（m, cm）与面积单位（ , ）的区别，计算前统一单位。 考点 11：求最大面积 1. 基本原理：在周长相等的平面图形中，圆的面积最大。 2. 常见题型： (1) 正方形内剪最大的圆：圆的直径 = 正方形的边长 ( )。 (2) 长方形内剪最大的圆：圆的直径 = 长方形的宽 ( , 假设 )。 (3) 用固定长度的绳子围图形：围成圆形时面积最大。 3. 计算关键：准确找到限制圆大小的那个“最短边”或“固定长度”，将其转化为直径或半径。 考点 12：圆环的面积 1. 定义：两个同心圆之间的部分叫做圆环。 2. 要素：外圆半径 ，内圆半径 ，环宽 。 3. 计算公式： (1) (2) (3) （推荐此公式，利用乘法分配律简化计算） 4. 变形应用： (1) 已知环宽和外圆半径，求内圆半径： 。 (2) 已知环宽和内圆半径，求外圆半径： 。 考点 13：含圆的组合图形的面积 1. 解题方法： (1) 割补法：将不规则图形分割成规则图形（圆、半圆、三角形、正方形等）分别计算后相加或相减。 (2) 容斥原理：两个图形重叠部分的面积处理。 (3) 平移/旋转法：通过移动图形部分位置，将其转化为标准几何图形。 2. 常见模型： (1) 叶形/花瓣形：通常是两个四分之一圆重叠部分，或者正方形减去两个半圆等。 (2) 弓形：扇形面积减去三角形面积。 3. 步骤规范： (1) 观察图形结构。 (2) 确定组成部分。 (3) 列出算式（建议分步列式，避免混淆）。 (4) 代入数据计算。 考点 14：方中圆和圆中方的面积问题 1. 方中圆（正方形内接圆）： (1) 关系：正方形边长 = 圆直径 = 。 (2) 面积比： 1　 2　 3　 (3) 阴影面积（正方形减圆）： 。 2. 圆中方（圆内接正方形）： (1) 关系：正方形对角线 = 圆直径 = 。 (2) 正方形面积计算技巧：利用对角线计算， 。 (3) 面积比： 1　 2　 3　 (4) 阴影面积（圆减正方形）： 。 3. 记忆口诀： (1) 方中圆，剩0.86（系数乘以半径平方）。 (2) 圆中方，剩1.14（系数乘以半径平方）。 考点 15：扇形的周长和面积 1. 扇形面积： (1) 公式推导：扇形面积是圆面积的一部分，占比取决于圆心角。 (2) 计算公式： 1　 （ 为圆心角度数） 2　 特殊角： 90°扇形（四分之一圆）： 180°扇形（半圆）： 2. 扇形周长： (1) 构成：弧长 + 2条半径。 (2) 计算公式： 1　 2　 (3) 易错提醒：千万不要只算弧长，一定要加上两条半径！ 例题讲解 题型一、圆的概念及特点 【典例例题】同学们，你们知道吗？井盖平面轮廓采用圆形的一个原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这是应用了圆特征中的（    ）的知识。 A．圆心确定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．同一圆内所有的直径都相等 D．圆有无数条对称轴 【答案】C 【分析】圆的最重要特点是圆周上的点到圆心的距离相等，即同一个圆中所有的半径都相等，所有的直径同样都相等。 【详解】A.圆心决定圆的位置，说明圆心的作用，与井盖不会掉落无关，所以不符合要求； B.半径决定圆的大小，是表明圆大小的决定因素，解释不了“为什么井盖无论怎样放置都不会掉井里”这一现象，所以不符合要求； C.同一圆内直径都相等，因为井盖直径要比井口直径稍大些，而直径长度相等（不变），所以无论井盖怎样旋转都不会掉井里，且能刚好盖住井口。符合要求。 D.圆内有无数条对称轴，是圆的特点之一，说明圆是对称图形，这与井盖不会掉井里无关，也不符合要求。 即这是应用了圆特征中的同一圆内所有的直径都相等的知识。 举一反三 【变式训练1】因为，所以同一个圆中（    ）都可以组成一条直径。 A．任意两条半径 B．互相垂直的两条半径 C．相交的两条半径 D．相交成平角的两条半径 【答案】D 【分析】通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，说明同一条直线上的两条半径形成一条直径。 【详解】A．任意两条半径：任意两条半径不一定在同一条直线上，可能形成任意角度，不一定能组成一条直径，此选项错误。 B．互相垂直的两条半径：互相垂直意味着夹角为 90°，不在同一条直线上，不能组成一条直径，此选项错误。 C．相交的两条半径：所有的半径都相交于圆心，但相交并未规定角度，不一定在同一条直线上，不一定能组成一条直径，此选项错误。 D．相交成平角的两条半径：平角是 180°，说明两条半径在同一条直线上，可以组成一条直径，此选项正确。 【变式训练2】用圆规在一个长8cm，宽5cm的长方形纸上画一个尽可能大的圆，圆规两脚间的距离应是（    ）。 A．8cm B．4cm C．5cm D．2.5cm 【答案】D 【分析】长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽；圆规两脚之间的距离等于圆的半径，据此解答。 【详解】5÷2＝2.5（cm） 圆规两脚间的距离应是2.5cm。 【变式训练3】战国时期《墨经》一书中记载：“圆，一中同长也。”这表示圆上任意一点到( )的距离相等， 也就是同一个圆的( )都相等。 【答案】 圆心 半径 【分析】本题考查圆的特征及数学文化常识。“一中”指圆的中心点，“同长”指从中心到圆上任意一点的距离相等。 【详解】“一中”表示圆有一个中心点，在数学中该点称为圆心。 “同长”表示从圆心到圆上任意一点的线段长度相等。 连接圆心和圆上任意一点的线段定义为半径。 因此，这句话表示圆上任意一点到圆心的距离相等，也就是同一个圆的半径都相等。 题型二、画圆 【典例例题】画一个直径为4厘米的圆，并标出圆心、半径和直径。 【答案】 （以实际测量为准） 【分析】画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 【详解】直径4厘米的圆，半径为厘米，先以任意一点为圆心，用圆规有针尖的一脚固定在圆心，然后以圆规两脚之间的距离为厘米进行旋转一周，得到的图形就是我们要画的圆，最后标注圆心，画出半径和直径。 举一反三 【变式训练1】用圆规画圆时，如果圆规两脚间的距离保持3厘米不变，但将针尖从点A移动到了点B，那么画出的两个圆（    ）。 A．大小相同，位置相同 B．大小不同，位置相同 C．大小不同，位置不同 D．大小相同，位置不同 【答案】D 【分析】画圆时，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 【详解】题目中，针尖从点A移动到了点B，圆心移动了，圆的位置就移动了；圆规两脚间的距离保持3厘米不变，两个圆的半径长度相等，圆的大小相同。所以，画出的两个圆大小相同，位置不同。 【变式训练2】画一个半径是2cm的圆，并画出它的一组互相垂直的对称轴。 【答案】见详解 【分析】先确定圆规两脚间的距离为2cm，再确定圆心位置，用圆规画圆。先通过圆心画一条直线作为第一条对称轴，再借助直角工具，过圆心画与第一条直线垂直的直线作为第二条对称轴。 【详解】如图： 【变式训练3】画圆。在正方形内部画一个最大的圆；在正方形外部画一个圆，使正方形的四个顶点都在圆上。 【答案】 【分析】找圆心：连接正方形的两条对角线，对角线的交点就是两个圆共同的圆心。画正方形内部最大的圆：以对角线交点为圆心，正方形边长的一半为半径画圆，得到的就是正方形内部最大的圆；在正方形外部画一个圆：还是以对角线交点为圆心，正方形对角线长度的一半为半径画圆，此时正方形四个顶点都刚好在这个圆上，满足要求。 题型三、弧、圆心角、扇形的认识 【典例例题】下面图形中，阴影部分属于扇形的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，据此判断即可。 【详解】A．阴影部分的顶点不是圆心，因此不符合扇形定义。 B．阴影部分的顶点在圆心，两边是圆的半径，底边是一段弧，符合扇形的定义。 C．阴影部分的顶点在圆周上，不是圆心，因此不符合扇形定义。 D．阴影部分的顶点不是圆心，因此不符合扇形定义。 所以，只有选项 B 的阴影部分属于扇形。 故答案为：B 举一反三 【变式训练1】如图，图中的角表示的是圆心角。( ) 【答案】× 【分析】根据圆心角的定义，顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角，据此判断图中的角是否符合圆心角的特征。 【详解】图中角的顶点O不在圆心上，角的两边OA和OB都不是圆的半径，不符合圆心角的定义。 故答案为：× 【变式训练2】下面涂色扇形的圆心角各是多少度？涂色扇形各占圆的几分之几？ 圆心角（    ）°，涂色扇形占圆的。     圆心角（    ）°，涂色扇形占圆的。     圆心角（    ）°，涂色扇形占圆的。 【答案】180°；；90°；；72°； 【分析】圆周角是360°；圆心角等于圆周角÷平均分的份数，求出圆心角；根据分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份或几份的数，叫做分数，把圆看作单位“1”，用1除以平均分的份数，即可解答。 【详解】 360°÷2＝180° 1÷2＝ 360°÷4＝90° 1÷4＝ 360°÷5＝72° 1÷5＝ 【变式训练3】请在下边空白处画一个半径是2厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是90度的扇形，并用阴影部分表示。 【答案】见详解 【分析】根据画圆的方法：先把圆规的两脚分开，定好距离2厘米，也就是半径的长度，把有针尖的一点固定在一点上，也就是圆心，带有铅笔的那只脚绕圆心旋转一周，就画成了一个圆； 画出一条射线，用量角器的中心点和射线的端点重合，0刻度线与射线重合；在量角器上找出所要画的角90°，点上点；以射线的端点过刚画出的点，画出射线即可，据此用阴影填充扇形区域。 【详解】根据分析，画图如下： 题型四、与圆相关的轴对称图形 【典例例题】判断下列图形有几条对称轴。 ( )条   ( )条   ( )条   ( )条 【答案】 2 3 2 4 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【详解】 举一反三 【变式训练1】下面的四个图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义，分别找出四个选项中图形的对称轴条数，再进行比较。如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这条直线就是它的对称轴。 【详解】 A．有3条对称轴； B．同心圆有无数条对称轴； C．有3条对称轴； D．有4条对称轴。 【变式训练2】圆是平面上的一种轴对称图形，对称轴有( )条，将一张圆形纸片至少对折( )次可以得到这个圆的圆心。 【答案】 无数 2 【分析】根据轴对称图形的定义，圆沿任意一条过圆心的直线对折后两边都能完全重合，而过圆心的直线有无数条，所以圆的对称轴有无数条； 把圆对折1次得到一条对称轴，圆心在这条直径上，换方向再对折1次得到另一条对称轴，两条对称轴的交点就是圆心，因此至少对折2次就能找到圆心。 【详解】根据分析：圆是平面上的一种轴对称图形，对称轴有无数条，将一张圆形纸片至少对折2次可以得到这个圆的圆心。 【变式训练3】画出下面各图形的所有对称轴。 【答案】见详解 【分析】对称轴定义：沿一条直线对折图形，折叠后两侧能完全重合，这条直线就是该图形的对称轴，两个图形的对称轴情况如下： 左图（1个大圆＋左右两个相等小圆） 一共有条对称轴： ① 经过三个圆的圆心的水平直线； ② 过中间大圆的圆心、垂直于上述水平连线的竖直直线。 右图（圆内接正方形） 一共有条对称轴： 分别是正方形对边中点连线所在的水平直线、竖直直线（都过圆心），以及正方形的两条对角线所在直线，共4条。 【详解】 题型五、圆的周长 【典例例题】计算下面图形的周长。 【答案】12.56cm 【分析】圆的周长公式有两种表达形式：C＝2πr（其中r是圆的半径）或C＝πd（其中d是圆的直径）。 已知该圆的半径r＝2cm，选择公式C＝2πr进行计算：将r＝2cm代入公式，可得周长C＝2×π×2。 【详解】2×π×2 ＝4π ≈12.56（cm） 图形的周长是12.56cm。 举一反三 【变式训练1】用圆规画一个直径是36厘米的圆，圆规两脚之间的距离应是( )厘米；画周长是18.84分米的圆，圆规两脚之间的距离应是( )分米。 【答案】 18 3 【分析】①圆规两脚间的距离就是圆的半径，根据直径与半径的关系：半径＝直径÷2，求出半径； ②根据圆的周长公式：周长＝2πr，可推出半径：半径＝周长÷（2π），π取3.14，求出半径。 【详解】①36÷2＝18（厘米） 所以，圆规两脚之间的距离应是18厘米。 ②18.84÷（2×3.14） ＝18.84÷6.28 ＝3（分米） 所以，圆规两脚之间的距离应是3分米。 【变式训练2】小红家的菜板是圆形的，直径是40厘米。菜板的半径是( )厘米，周长是( )厘米。 【答案】 20 125.6 【分析】用圆的直径除以2算出圆的半径，圆的周长C＝πd，把数据代入公式中求出圆的周长。 【详解】40÷2＝20（厘米） 3.14×40＝125.6（厘米） 所以，菜板面的半径是20厘米，周长是125.6厘米。 【变式训练3】求下面圆的周长。 【答案】25.12cm 【分析】已知圆的直径是8cm，根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求出它的周长。 【详解】3.14×8＝25.12（cm） 圆的周长是25.12cm。 题型六、半圆的周长 【典例例题】计算如图半圆的周长。 【答案】20.56cm 【分析】根据半圆周长的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上一条直径的长度。已知直径是8cm，根据圆的周长公式C＝πd（π取3.14，d为直径），把数据代入公式可得该半圆对应圆的周长，把圆的周长除以2再加上直径即可。 【详解】3.14×8÷2＋8 ＝25.12÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 这个半圆的周长是20.56cm。 举一反三 【变式训练1】在一个长为8厘米，宽为3厘米的长方形内画一个半圆，这个半圆的周长是( )厘米。 【答案】 【分析】根据题干分析可得，这个长方形内最大的半圆的直径是厘米，由此利用半圆的周长整圆的周长的一半直径，由此代入数据即可解答。 【详解】 （厘米） 这个半圆的周长是厘米。 【变式训练2】一个半圆半径是6dm，它的周长是( )dm。 【答案】30.84 【分析】根据圆的周长公式：C＝πd，半圆的周长是圆周长的一半，再加个直径，把数代入求出圆的周长后，除以2，再加上直径即可。 【详解】6×2＝12（dm） 3.14×12÷2＋12 ＝18.84＋12 ＝30.84（dm） 它的周长是30.84dm。 【变式训练3】计算下图的周长。 【答案】25.7cm 【分析】半圆的周长＝直径是10cm的圆的周长一半＋直径，根据圆的周长＝π×直径，据此解答。 【详解】3.14×10÷2＋10 ＝31.4÷2＋10 ＝15.7＋10 ＝25.7（cm） 题型七、圆的周长的应用 【典例例题】保龄球又称“地滚球”，是一种在木板轨道上用球滚击木瓶的室内体育运动。保龄球的半径大约是1分米，在某次比赛中，保龄球从球道的一端滚到另一端，滚了34圈，球道的长度是多少分米？ 【答案】213.52分米 【分析】保龄球滚动一圈，前进距离就是半径为1分米的圆的周长。根据圆的周长公式 ，求出保龄球滚动一周的长度，再用滚动一周的长度乘滚动的圈数计算球道的长度。 【详解】2×3.14×1×34 ＝6.28×1×34 ＝6.28×34 ＝213.52（分米） 答：球道的长度是 213.52 分米。 举一反三 【变式训练1】客家春节有“踩高跷、耍单车”的民俗表演，一只小猴子骑着独轮车在客家围龙屋前的表演绳上表演，表演绳全长31.4米，独轮车车轮的直径是1米，猴子骑完全程时，车轮一共要转多少周？ 【答案】 10周 【分析】根据圆的周长公式C＝πd求出车轮的周长，这个周长就是车轮每转一周前进的距离；然后用表演绳的总长度除以车轮的周长，即可得到车轮转动的周数。 【详解】3.14×1＝3.14（米） 31.4÷3.14＝10（周） 答：车轮一共要转10周。 【变式训练2】为了防止冻害、暴晒和虫害，我们通常会在树干上缠绕草绳，对树干起到保护的作用。一棵树上缠了5圈（不重合），正好用去78.5分米草绳，这棵树的树干横截面的直径是多少分米？ 【答案】5分米 【分析】先用草绳的全长除以圈数求出一圈的长度，即求出圆的周长，再利用求出圆的直径。 【详解】 （分米） 答：这棵树的树干横截面的直径是5分米。 【变式训练3】李老师从家到学校有3000米，李老师的自行车轮胎的外直径约为0.7米，如果车轮每秒转2圈，李老师从家出发10分钟能到学校吗？ 【答案】 不能 【分析】首先进行时间单位换算，将10分钟转化为秒；其次根据圆的周长公式计算车轮周长；接着用周长乘每秒转的圈数求出每秒行驶的路程；然后用每秒行驶的路程乘总时间求出10分钟行驶的总路程；最后比较行驶总路程与3000m的大小得出结论。计算中取值3.14。 【详解】10分钟＝600秒 （米） 答：李老师从家出发10分钟不能到学校。 题型八、含圆的组合图形的周长 【典例例题】如图，实验小学的体育场跑道两端是半圆形，中间是长方形，这个体育场跑道的周长是多少米？ 【答案】398米 【分析】观察图形可知，跑道的周长等于直径为73米的圆的周长与两条长方形的长之和。圆的周长C＝πd。 【详解】84.39×2＋3.14×73 ＝168.78＋229.22 ＝398（米） 答：这个体育场跑道的周长是398米。 举一反三 【变式训练1】计算下面图形涂色部分的周长。    【答案】22.84厘米 【分析】观察图形可知：大圆直径是8厘米，小圆直径等于大圆半径。 涂色部分的周长＝大圆周长的一半＋小圆周长的一半＋大圆半径，圆的周长＝πd； 【详解】（厘米） （厘米） 【变式训练2】看图计算。（单位：cm）求涂色部分的周长。 【答案】 【分析】涂色部分的周长由个半圆弧组成，这个半圆的直径均为，合起来正好是个完整圆的周长。根据圆周长公式来计算涂色部分的周长。 【详解】直径： 半径： 【变式训练3】如下图，幸福小学操场的跑道由长方形的两条对边和两个半圆组成，笑笑在操场上跑了4圈，一共跑了多少米？ 【答案】1268米 【分析】分析题目，跑道的周长等于一个直径是50米的圆的周长加上2条80米的线段的长度，据此结合圆的周长＝πd求出跑道的周长，最后乘跑的圈数即可解答。 【详解】（3.14×50＋80×2）×4 ＝（157＋160）×4 ＝317×4 ＝1268（米） 答：一共跑了1268米。 题型九、圆的面积 【典例例题】计算下面图形的面积。 【答案】50.24cm2 【分析】先算出圆的半径，再根据圆的面积S＝πr2解决。 【详解】8÷2＝4（cm） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 举一反三 【变式训练1】如图，将一个圆平均分成若干个扇形，再拼成一个近似的长方形。已知长方形的周长比圆周长增加了10厘米，原来圆的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 5 78.5 【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆剪拼成一个近似的长方形，拼成的长方形的长等于圆周长的一半，长方形的宽等于圆的半径，拼成的长方形的周长比圆的周长增加了两条半径的长度。所以用10除以2算出半径的长度。圆的面积S＝πr2，代入计算即可。 【详解】10÷2＝5（厘米） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 所以，原来圆的半径是5厘米，面积是78.5平方厘米。 【变式训练2】已知一个圆的半径是2dm，这个圆的周长是( )dm，面积是( )。 【答案】 12.56 12.56 【分析】根据圆的周长＝2πr，圆的面积＝πr2，把数据代入计算即可。 【详解】圆的周长：2×3.14×2 ＝6.28×2 ＝12.56（dm） 圆的面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（dm2） 【变式训练3】求下列各图形的面积。 【答案】（1）113.04cm2 （2）12.56m2 【分析】根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，分别求出两个圆的面积。 【详解】（1）3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（cm2） 圆的面积是113.04cm2。 （2）3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（m2） 圆的面积是12.56m2。 题型十、圆的面积的应用 【典例例题】爷爷要给水缸做一个盖子，为了确保密封性且防止盖子掉入水缸内，盖子的直径比水缸的直径大5厘米，爷爷用绳子量了量缸口周长是23.55分米，做一个这样的盖子至少需要多少平方分米的木板？ 【答案】50.24平方分米 【分析】根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π求出水缸的直径，再根据1分米＝10厘米进行单位换算，用水缸的直径加盖子的直径比水缸的直径大的长度，求出盖子的直径，再用盖子的直径除以2，求出盖子的半径，最后根据圆的面积公式S＝πr2，代入数求出做一个这样的盖子需要的木板面积。 【详解】23.55÷3.14＝7.5（分米） 5厘米＝0.5分米 7.5＋0.5＝8（分米） 8÷2＝4（分米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 答：做一个这样的盖子至少需要50.24平方分米的木板。 举一反三 【变式训练1】如图所示，一个小闹钟的秒针长4厘米。经过30秒，秒针所扫过的面积是多少平方厘米？ 【答案】25.12平方厘米 【分析】秒针转完整一圈是60秒，经过30秒，秒针刚好转半圈，秒针的长度就是扫过图形的半径，即半径r＝4厘米，扫过的面积是半圆的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方厘米） 答：秒针所扫过的面积是25.12平方厘米。 【变式训练2】用一根长为8米的绳子缠绕一棵大树的树干，缠绕了4圈后还剩46.4厘米，这棵树此处的横截面积有多大？ 【答案】2826平方厘米 【分析】首先根据1米＝100厘米将绳子长度的单位统一为厘米，用8米减去46.4厘米再除以4即可得到树干的周长。 根据圆的周长＝2πr，即可计算出树干横截面的半径，再根据圆的面积＝πr2，所以代入半径即可求出树干此处的横截面积。 【详解】8×100＝800（厘米） （800－46.4）÷4 ＝753.6÷4 ＝188.4（厘米） 188.4÷3.14÷2＝30（厘米） 3.14×302＝3.14×900＝2826（平方厘米） 答：这棵树此处的横截面积有2826平方厘米。 【变式训练3】数学迷拿了张披萨券到披萨店去换一个直径8寸（1寸≈2.5厘米）的披萨，可是老板却说8寸的披萨已经卖完了，给他换两个4寸的。你认为这样换公平吗？请用你喜欢的方式来说明。 【答案】不公平；因为两个4寸披萨的面积比一个8寸披萨的面积小 【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式求出一个8寸披萨的面积与两个4寸披萨的面积，进行比较即可。 【详解】8×2.5＝20（厘米） 4×2.5＝10（厘米） ＝3.14× ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） ＝3.14××2 ＝3.14×25×2 ＝78.5×2 ＝157（平方厘米） 157＜314 两个4寸披萨的面积比一个8寸披萨的面积小。 答：这样换不公平。 题型十一、求最大面积 【典例例题】在下面这张长方形纸上画一个最大的圆，再计算如果把这个圆剪下来，剩余纸的面积是多少平方厘米？ 【答案】20.375平方厘米 【分析】从长方形中剪最大的圆，圆的直径就是长方形的宽。同一圆内，直径是半径的2倍，据此算出半径。剩余部分的面积＝长方形面积－圆的面积，长方形面积＝长×宽，圆的面积S＝πr2，据此列式解答。 【详解】5÷2＝2.5（厘米） 8×5－3.14×2.52 ＝40－3.14×6.25 ＝40－19.625 ＝20.375（平方厘米） 答：剩余纸的面积是20.375平方厘米。 举一反三 【变式训练1】第七小学有个劳动实践基地，五（1）班同学准备用同一种长度的篱笆围一个小花圃。下面说法正确的是（    ）。 A．围成长方形的面积大 B．围成正方形的面积大 C．围成圆形的面积大 D．围成不规则图形的面积大 【答案】C 【分析】当周长固定时，圆的面积最大，不规则图形：通常面积小于规则图形，且无法超越圆形的最大面积特征。 【详解】准备用同一种长度的篱笆围一个小花圃。即周长一定，记为。 借助长方形和圆的面积公式推导: （1）设长方形的长为，宽为，周长，面积。 当时，即为正方形时，面积最大为 （2）设圆的半径为，周长，面积。 12.56＜16 所以圆的面积更大。 故答案为：C 【变式训练2】把一只牛拴在一块边长为8米的正方形草坪上，拴牛的绳子长4米。拴在哪牛能吃到的草的面积最大？拴在哪牛能吃到的草的面积最小？请用圆规画图，把牛能吃到草的最大面积和最小面积表示出来。 【答案】见详解 【分析】牛能吃到草的最大面积：将绳子系在正方形草坪的正中心处。由于绳长4米，正方形半边长也是4米，所以绳子在正中心拴住时，牛可以转动半径为4米的整圆，面积为 16π （平方米）。 牛能吃到草的最小面积：将绳子系在正方形草坪的某个角上。绳长4米时，只能在角落里形成一个 圆，面积为 4π （平方米）。 【详解】• 最大面积：在正方形中心画半径为4米的整圆。 • 最小面积：在正方形角上画半径为4米的圆弧，只保留落在正方形内的圆。 【变式训练3】公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？ 【答案】7850平方米 【分析】根据圆的半径＝周长÷π÷2，圆的面积＝πr2，列式解答即可。 【详解】314÷3.14÷2＝50（米） （平方米） 答：这个摄像头的监控范围有7850平方米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。 题型十二、圆环的面积 【典例例题】一块直径为12米的圆形草坪，周围有一条宽2米的人行道，这条人行道的面积是多少平方米？ 【答案】87.92平方米 【分析】人行道的面积相当于求圆环面积，用外圆面积减去内圆面积。内圆（草坪）直径是12米，根据圆环面积公式：S＝π（R2－r2）计算解答。 【详解】12÷2＝6（米） 6＋2＝8（米） 3.14×（82－62） ＝3.14×（64－36） ＝3.14×28 ＝87.92（平方米） ​答：这条人行道的面积是87.92平方米。 举一反三 【变式训练1】计算如图中阴影部分的面积。 【答案】100.48平方厘米 【分析】圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：S＝πππ（），代入公式计算即可。 【详解】3.14×（12÷2）2－3.14×（4÷2）2 ＝3.14×62－3.14×22 ＝3.14×36－3.14×4 ＝3.14×（36－4） ＝3.14×32 ＝100.48（平方厘米） 答：阴影部分的面积是100.48平方厘米。 【变式训练2】如图，绿地公园广场有一个圆形花坛，半径是3米，在它的周围有一条宽1米的环形小路（阴影部分），求小路的面积。 【答案】21.98平方米 【分析】先用花坛半径加上小路宽度，求出外圆的半径，再根据圆环面积公式S＝π（R2－r2），代入数值，即可求出小路的面积。 【详解】3＋1＝4（米） 3.14×（42－32） ＝3.14×（16－9） ＝3.14×7 ＝21.98（平方米） 答：小路的面积是21.98平方米。 【变式训练3】小夏想知道一卷空心卷筒纸展开的总长度，设计了一个实验方案（步骤如下），请你根据实验方案计算出卷筒纸展开后的总长度。 实验步骤 ①测量卷筒纸横截面的外圆直径为14厘米，内圆直径为6厘米。 ②测量每层纸的厚度为0.02厘米。 ③计算卷筒纸的总长度。 【答案】6280厘米 【分析】卷筒纸的横截面面积（圆环面积）＝纸的长度×纸的厚度。分别用外圆和内圆的直径除以2算出外圆和内圆的半径，根据圆环的面积公式S＝π（R2－r2）算出卷筒纸的横截面面积；然后用卷筒纸的横截面面积除以纸的厚度即可算出卷筒纸的长度。 【详解】14÷2＝7（厘米） 6÷2＝3（厘米） 3.14×（72－32） ＝3.14×（49－9） ＝3.14×40 ＝125.6（平方厘米） 125.6÷0.02＝6280（厘米） 答：卷筒纸展开后的总长度是6280厘米。 题型十三、含圆的组合图形的面积 【典例例题】求出如图中阴影部分的面积。 【答案】 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝梯形的面积－圆的面积的，根据梯形的面积公式S＝（a＋b）×h÷2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出阴影部分的面积。 【详解】 举一反三 【变式训练1】计算下图中涂色部分的面积。 【答案】7.74cm2 【分析】观察图形可知，涂色部分的面积是一个边长为6cm的正方形的面积减去一个直径为6cm的圆的面积。根据正方形的面积公式＝边长×边长，圆的面积公式＝πr2，代入数据计算即可。 【详解】6×6－3.14×（6÷2）2 ＝36－3.14×32 ＝36－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74（cm2） 【变式训练2】求涂色部分的面积。 【答案】25.74平方厘米 【分析】图中是一个圆与梯形的组合图形。阴影部分面积＝梯形面积－圆，梯形的高就是圆的半径。根据扇形的面积＝，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2计算。 【详解】（6＋12）×6÷2－×62 ＝18×3－×3.14×6×6 ＝54－3.14×36÷4 ＝54－3.14×9 ＝54－28.26 ＝25.74（平方厘米） 【变式训练3】求阴影部分的周长。 【答案】92.8厘米 【分析】分析阴影部分周长的组成：阴影部分的周长由半圆的弧长、圆心角为30°的扇形的弧长以及一条线段组成。计算半圆的弧长：圆的周长公式为C＝πd（其中C为周长，d为直径），半圆的弧长是圆周长的一半，所以半圆的弧长为πd，已知直径是30厘米，可以据此计算。计算扇形的弧长：因为整个圆的圆心角是360°，扇形的圆心角是30°，所以扇形的弧长是整个圆周长的，圆的周长公式是C＝2πr（r为半径），这里半径是30厘米，可以算出扇形弧长。计算线段长度：线段长度为30厘米。计算阴影部分周长：把上述三部分长度相加。 【详解】半圆的弧长： 3.14×30× ＝94.2× ＝47.1（厘米） 扇形的弧长： 2×3.14×30× ＝6.28×30× ＝188.4× ＝15.7（厘米） 阴影部分周长： 47.1＋15.7＋30 ＝62.8＋30 ＝92.8（厘米） 答：阴影部分的周长为92.8厘米。 【点睛】解决此类组合图形周长问题，要先分析周长的组成部分，再分别运用圆的周长公式计算各部分长度，最后求和。 题型十四、方中圆和圆中方的面积问题 【典例例题】“福”字指福气、福运，春节贴“福”字，是中国民间由来已久的风俗，寄托了人们对幸福生活的向往，也是对美好未来的祝愿。下面这幅圆形“福”字窗花中，圆的直径是20厘米，“福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是多少平方厘米？ 【答案】114平方厘米 【分析】圆的直径20厘米，半径就是10厘米，先根据圆的面积公式计算圆的面积。 正方形的对角线等于圆的直径20厘米，把正方形看成2个完全相同的三角形，每个三角形的底是20厘米，高是10厘米，用“×2”算出正方形面积。 最后用“用圆的面积－正方形的面积”据此可解答。 【详解】r＝20÷2＝10（厘米） （平方厘米） 20×10÷2×2 ＝200÷2×2 ＝100×2 ＝200（平方厘米） 314－200＝114（平方厘米） 答：“福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是114平方厘米。 举一反三 【变式训练1】“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中最常见的设计。如下图，是一种“外方内圆”的建筑图案，外面正方形的边长是12分米，则内圆的面积是( )平方分米。 【答案】113.04 【分析】外面正方形的边长是12分米，说明内圆的直径是12分米，圆的面积＝，据此代入数据计算即可。 【详解】 ＝113.04（平方分米） 外面正方形的边长是12分米，则内圆的面积是113.04平方分米。 【变式训练2】如图中圆的直径是5厘米，空白部分是圆内最大的正方形，涂色部分的面积是( )平方厘米。 【答案】7.125 【分析】涂色部分的面积＝圆的面积－正方形的面积，根据求出圆的面积，正方形的面积等于两个三角形的面积，三角形的面积＝圆的直径×半径÷2，据此解答。 【详解】5÷2＝2.5（厘米） ＝3.14×2.52 ＝3.14×6.25 ＝19.625（平方厘米） 5×2.5÷2×2 ＝12.5÷2×2 ＝6.25×2 ＝12.5（平方厘米） 19.625－12.5＝7.125（平方厘米） 【变式训练3】在元旦庆祝活动中，乐乐用一张边长12厘米的正方形彩纸剪一个“外方内圆”窗花，请你求出正方形和圆之间部分的面积。 【答案】30.96平方厘米 【分析】根据题意可知，内圆的直径等于正方形的边长，所以内圆的半径＝直径÷2，据此求出内圆的半径；再根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2，代入数据，分别求出内圆和正方形的面积，再作差，即可求出正方形和圆之间部分的面积。 【详解】12×12＝144（平方厘米） π×（12÷2）2 ＝π×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 144－113.04＝30.96（平方厘米） 答：正方形和圆之间的部分的面积是30.96平方厘米。 题型十五、扇形的周长和面积 【典例例题】求阴影部分的面积。 【答案】12.56cm2；6.28cm2 【分析】（1）两个扇形圆心角的和＝180°－90°＝90°，且两个扇形的半径都是4cm，所以阴影部分的面积等于半径是4cm的圆面积的，再根据圆的面积计算公式进行计算即可； （2）阴影部分面积等于直径是4cm的圆的面积的一半，圆的面积＝πr，据此计算即可。 【详解】（1）3.14×4× ＝3.14×16× ＝12.56（cm2） （2）3.14×（4÷2）÷2 ＝3.14×2÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（cm2） 举一反三 【变式训练1】下图是汽车挡风玻璃上的雨刷装置。若雨刷左右摇摆最大角度是150°，雨刷长30厘米，那么雨刷摇摆一次刷到挡风玻璃的面积是多少？ 【答案】1962.5平方厘米 【分析】由图可知，雨刷每次扫过的面积是圆环面积（圆环的面积，表示外圆半径即雨刷长度，表示内圆半径即图中空白扇形的半径）的一部分。根据扇形面积公式“（为半径）”可知雨刷摇摆一次刷到挡风玻璃的面积是：。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1962.5（平方厘米） 答：雨刷摇摆一次刷到挡风玻璃的面积是1962.5平方厘米。 【变式训练2】有一个花瓣状门洞（如图），它的边是由四个直径都为2米的半圆组成的。这个门洞的面积是多少平方米？ 【答案】10.28平方米 【分析】由图可知，这个门洞面积是由一个边长为2米的正方形的面积加上2个半径为（2÷2＝1）米的圆的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝即可计算。 【详解】2×2＋3.14×（2÷2）2×2 ＝4＋3.14×12×2 ＝4＋3.14×1×2 ＝4＋6.28 ＝10.28（平方米） 答：这个门洞的面积是10.28平方米。 【变式训练3】李大伯家的鸡圈依墙而建（如图），半径是6米。若要扩建这个鸡圈，半径增加2米，则这个鸡圈的面积增加多少平方米？ 【答案】65.94平方米 【分析】扩建后的鸡圈的半径是6＋2＝8米，由图可知，鸡圈增加的面积等于半径是8米的圆面积的减去半径是6米的圆面积的，根据圆的面积＝×，代入数据计算即可解答。 【详解】×3.14×－×3.14× ＝×3.14×（－） ＝×3.14×（64－36） ＝×28×3.14 ＝21×3.14 ＝65.94（平方米） 答：这个鸡圈的面积增加65.94平方米。 提升练习 1．下列关于圆的描述中，错误的是（    ）。 A．圆是轴对称图形 B．圆有无数条对称轴 C．圆无论怎样对折都能重合 D．只有圆形的车轮才能滚动 【答案】D 【分析】根据圆的几何特征，圆是轴对称图形，有无数条对称轴；圆沿任意直径对折都能重合；而车轮滚动利用了圆的特性，但并非只有圆形才能滚动。需逐项判断描述的正确性。 【详解】A．圆是轴对称图形。根据轴对称图形的定义，圆沿着直径所在的直线对折，两侧图形能完全重合，所以圆是轴对称图形，此选项正确； B．圆有无数条对称轴。因为圆有无数条直径，每条直径所在的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴，此选项正确； C．圆无论怎样对折都能重合。在圆的认识中，通过折纸活动可知，圆沿任意一条直径对折，两侧都能完全重合，此选项正确； D．只有圆形的车轮才能滚动。实际上，其他形状如椭圆形、正方形等在一定条件下也能滚动，只是圆形车轮滚动最平稳，所以“只有”的说法太绝对，此选项错误。 2．乐乐按照下图步骤画圆。这个圆的面积是（    ）平方厘米。 A．6.28 B．12.56 C．25.12 D．50.24 【答案】D 【分析】观察可知圆规两脚间的距离为4厘米，圆规两脚间的距离为所画圆的半径，据此代入圆的面积S＝πr2中计算即可。 【详解】3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 3．图形（    ）有无数条对称轴。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐个分析每个选项。 【详解】A．两圆大小不同，只有1条对称轴，连接两个圆心的直线，不符合题意； B．两圆大小不同，只有1条对称轴，连接两个圆心的直线，不符合题意； C．只有1条对称轴，连接两个圆心的直线，不符合题意； D．两个同心圆（圆心重合），经过公共圆心的所有直线都是对称轴，有无数条对称轴，符合题意。 4．下列图形中，对称轴最多的是（    ）。 A．等边三角形 B．半圆形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫轴对称图形，这条直线就是其对称轴。据此解答即可。 【详解】 A．等边三角形有3条对称轴；如图 B．半圆有1条对称轴；如图 C．正方形有4条对称轴；如图 D．平行四边形没有对称轴。 所以对称轴最多的是正方形。 5．一个半圆的直径是，那么它的周长是（    ）cm。 A．12.56 B．16.56 C．6.28 D．10.28 【答案】D 【分析】半圆的周长是由圆周长的一半和一条直径组成的，根据半圆周长＝πd÷2＋d，据此解答。 【详解】3.14×4÷2＋4 ＝12.56÷2＋4 ＝6.28＋4 ＝10.28（cm） 它的周长是10.28cm。 6．把一条长5cm的线绳一端固定旋转一周，得到一个( )，它的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。（π取3.14） 【答案】 圆 31.4 78.5 【分析】线绳一端固定，另一端旋转一周，轨迹是圆，即得到一个圆。线绳的长度等于圆的半径，圆的周长C＝，圆的面积S＝ 【详解】旋转一周，得到一个圆。 3.14×2×5 ＝6.28×5 ＝31.4（厘米） 3.14× ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 7．如图，把圆平均分成若干等份，剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的周长是24.84cm，这个圆的半径是( )cm，周长是( )cm。 【答案】 3 18.84 【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆剪拼成一个近似长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，长方形的宽等于半径，拼成的长方形的周长比圆的周长增加了两条半径的长度，据此可以求出半径，再根据圆的周长公式：C＝2πr进行解答即可。 【详解】设圆的半径是r。 2×3.14×r＋2r＝24.84 6.28r＋2r＝24.84 8.28r＝24.84 r＝24.84÷8.28 r＝3 2×3.14×3 ＝3.14×6 ＝18.84（厘米） 8．一个闹钟的分针长5cm，时针长3cm，分针的尖端转一圈的长度是( )cm，时针转一圈扫过的面积是( )。 【答案】 31.4 28.26 【分析】分针的尖端转一圈的长度就是以分针长度为半径的圆的周长，时针转一圈扫过的面积就是以时针长度为半径的圆的面积。根据圆的周长公式为C＝2πr，圆的面积公式为S＝πr2代入计算即可。 【详解】分针的尖端转一圈的长度： 2×3.14×5 ＝6.28×5 ＝31.4（cm） 时针转一圈扫过的面积： 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（） 9．共享单车的使用频率越来越高，一种常见的共享单车车轮直径大约是0.6米，这种车轮的周长是( )米；李叔叔在骑行过程中，车轮平均每分钟能转80圈，李叔叔5分钟骑了( )米。 【答案】 1.884 753.6 【分析】由题意可知，根据圆的周长公式，即可求出车轮的周长； 车轮平均每分钟能转80圈，那么5分钟就骑了5个80圈，用1圈的周长乘80即可求出一共骑了多少米。 【详解】由分析可知，3.14×0.6＝1.884（米），所以车轮的周长是1.884米。 1.884×（5×80） ＝1.884×400 ＝753.6（米） 所以，李叔叔5分钟骑了753.6米。 10．在一个长10cm、宽8cm的长方形金属板上，明明爸爸准备加工出一个最大的圆形孔洞。这个最大的圆的周长是( )cm，它的面积是( )cm2。 【答案】 25.12 50.24 【分析】要在长方形金属板上加工出一个最大的圆形孔洞，这个圆的直径必须等于长方形的宽。根据圆的周长公式和圆的面积公式进行计算。 【详解】3.14×8＝25.12（cm） 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 11．如图，一张长方形纸的长是20厘米，小丽在纸上刚好画出了两个圆和一个半圆。这张长方形纸的周长是( )厘米，甲圆的面积是( )平方厘米。 【答案】 56 50.24 【分析】从图中可知，长方形的长由2个完整的圆直径和1个半圆的半径组成，也就是5个圆的半径之和，所以用20÷5先算出圆的半径，再将半径乘2求长方形的宽，最后根据长方形的周长公式算长方形的周长和圆的面积公式计算出甲圆的面积。 【详解】r＝20÷5＝4（厘米） d＝4×2＝8（厘米） （20＋8）×2 ＝28×2 ＝56（厘米） （平方厘米） 12．下图是由5个完全相同的半圆组合而成，半圆的半径是( )厘米。 【答案】16 【分析】根据图示，3条直径的长度加上（8＋8）等于2条直径的长度加上（18＋12＋18）。把直径设为厘米，列方程求解，再除以2算出半径。 【详解】解：设半圆直径的长度是厘米。 半径：32÷2＝16（厘米） 半圆的半径是16厘米。 13．王大爷用一根长60分米的铁丝在一根圆柱形柱子上绕了6圈（如图），这时铁丝正好还剩下3.48分米，这根柱子横截面的直径是( )分米。 【答案】3 【分析】先用铁丝总长减去剩余长度，求出绕圆柱形柱子6圈实际用的铁丝长度。再用绕柱的铁丝长度除以圈数，得到一圈的长度（即圆的周长）。最后根据圆的周长公式C＝πd，π取3.14，用周长除以π求出直径。 【详解】（60－3.48）÷6 ＝56.52÷6 ＝9.42（分米） 9.42÷3.14＝3（分米） 14．“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的朴素道理。如果图（1）中外面正方形的面积是36dm2，则内圆的面积是( )dm2，如果图（2）中外圆的面积是25.12dm2，则圆内大正方形的面积是( )dm2。 【答案】 28.26 16 【分析】正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2＝π（d÷2）2，三角形的面积＝底×高÷2； （1）外面正方形的边长等于内圆的直径，根据36＝6×6可知外面正方形的边长是6dm，则内圆的面积等于直径是6dm的圆的面积； （2）圆内正方形的对角线等于外圆的直径，对角线可以把正方形分成2个底等于外圆的直径（2r），高等于外圆的半径（r）的三角形，则正方形的面积＝2r×r÷2×2＝2r2，先用外圆的面积除以π求出r2，再把r2代入2r2中计算即可。 【详解】36＝6×6 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（dm2） 25.12÷3.14＝8 2×8＝16（dm2） 如果图（1）中外面正方形的面积是36dm2，则内圆的面积是28.26dm2，如果图（2）中外圆的面积是25.12dm2，则圆内大正方形的面积是16dm2。 15．求出下面图形的周长。   【答案】17.99分米 【分析】半圆的周长＝÷2＋r×2（取3.14，r是半径）。 【详解】2×3.14×3.5÷2＋3.5×2 ＝6.28×3.5÷2＋7 ＝21.98÷2＋7 ＝10.99＋7 ＝17.99（分米） 16．求如图形的周长和面积。 【答案】周长：31.4cm；面积：39.25cm2 【分析】图形的周长＝半径是5cm圆的一半＋直径是5cm圆的周长，根据圆的周长2πr，据此解答。 如图：，图形的面积＝半径是5cm的圆的面积的一半，根据圆的面积＝πr2，据此解答。 【详解】3.14×5×2÷2＋3.14×5 ＝15.7×2÷2＋15.7 ＝31.4÷2＋15.7 ＝15.7＋15.7 ＝31.4（cm） 如图： 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（cm2） 17．求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】4.935平方厘米；19.25平方厘米 【分析】（1）先根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出梯形面积；再根据圆的面积公式S＝πr2（π取3.14），求出整体圆面积后再除以4，求出圆面积，最后用梯形面积减去圆面积求出阴影部分的面积。 （2）先根据圆的面积公式S＝πr2，求出整体圆面积后再除以2，求出半圆面积；再根据三角形面积＝底×高÷2，求出三角形面积；最后用半圆面积减去空白三角形面积，求出阴影部分的面积。 【详解】（1）（3＋5）×3÷2 ＝8×3÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 3.14×32÷4 ＝3.14×9÷4 ＝28.26÷4 ＝7.065（平方厘米） 12－7.065＝4.935（平方厘米） （2）3.14×（10÷2）2÷2 ＝3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 10×4÷2 ＝40÷2 ＝20（平方厘米） 39.25－20＝19.25（平方厘米） 18．如图，长方形ABCD的长是14cm，宽是6cm，求阴影部分的面积。 【答案】 【分析】长方形空白部分的面积是半径6cm的圆的面积的一半，即空白部分的面积＝（表示长方形的宽）；阴影部分的面积＝长方形的面积－空白部分的面积。 【详解】 19．“太极”是中国古代哲学的核心概念之一，蕴含着深邃的宇宙观与辩证思维，太极强调“阴阳互根”“对立统一”，如昼夜、寒暑、动静等矛盾双方既相互依存，又此消彼长，体现中国传统哲学的辩证智慧。如图方格图中有一个简化版的“太极图”，图中每个格子都是边长相同的正方形。 (1)画一画。利用圆规和尺子，在方格图中画出左边的“太极图”，要求画出的图案与原图案大小、形状相同。 (2)如果方格图中每个格子的边长为1厘米，求阴影部分的周长是多少厘米？（结果保留π） 【答案】(1) (2)8π厘米 【分析】（1）观察“太极图”可知图案是由一个大圆和两个小半圆的弧长组成，大圆的半径为两个小半圆的直径，两个小半圆的直径和大圆的直径共线，据此作图即可； （2）观察阴影部分的周长组成，可知阴影部分的周长是由大圆周长的一半和两个小圆周长的一半组成，两个小圆周长的一半即为一个小圆的周长，根据“圆周长C＝πd或C＝2πr”计算即可。 【详解】（1）略 （2）小圆的直径、大圆的半径：4×1＝4（厘米） π×4＋2×π×4÷2 ＝4π＋4π ＝8π（厘米） 答：阴影部分的周长是8π厘米。 20．按要求画一画，算一算。 (1)画一个周长为18.84厘米的圆，在这个圆中画出一个圆心角是90°的扇形。 (2)求一求所画扇形的面积是多少？ 【答案】(1)见详解 (2)7.065平方厘米 【分析】需先根据圆的周长公式求出半径，圆的周长＝（取3.14，r表示半径），再以该半径画圆，并在圆中画出圆心角为90°的扇形，采用尺规作图。 先明确圆心角90°的扇形面积是所在圆面积的。再根据圆的面积公式计算扇形面积。 【详解】（1）18.84÷3.14＝6（厘米） 6÷2＝3（厘米） 以3厘米长为半径画圆。 用圆规，把圆规两脚间的距离调整为3厘米，确定一个点作为圆心，将圆规带有针尖的一端固定在圆心处，以圆心为中心，旋转圆规带有铅笔的一端，画出一个完整的圆。 用量角器的中心与圆心重合，量角器的0°刻度线与圆上的一条半径重合，在量角器上找到90°的刻度线，沿着这个刻度线在圆上画出另一条半径。这两条半径和它们所夹的圆弧就构成了圆心角是90°的扇形。 （2）＝ 3.14× ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 28.26×＝7.065（平方厘米） 答：扇形的面积是7.065平方厘米。 21．广西梧州出产的砧板非常有名。工匠们通常会给砧板边缘箍上一圈铁条，再预留20厘米的铁条长度用来做提手。如图这块砧板半径是12厘米，给它箍圈和做提手，需要的铁条至少是多少厘米？ 【答案】95.36厘米 【分析】本题需运用圆的周长公式，计算出砧板的周长，再加上预留做提手的铁条长度，得到所需铁条的总长度。 【详解】 （厘米） 答：需要的铁条至少是95.36厘米。 22．在一场热闹非凡的街头艺术表演活动中，为了给观众带来惊喜和震撼，杂技演员决定挑战高难度项目——独轮车走钢丝，已知车轮的直径是20厘米，要骑过一根15.7米长的钢丝，车轮大约要转动多少周？ 【答案】25周 【分析】圆的周长公式，取3.14，代入直径20厘米算出车轮周长，求骑过一根15.7米长的钢丝车轮大约转动多少周就是求15.7米里有几个周长，用除法计算即可。 【详解】15.7米＝1570厘米 1570÷（3.14×20） ＝1570÷62.8 ＝25（周） 答：车轮大约要转动25周。 23．学校操场是同学们课间15分钟活动的重要场所，淘气与笑笑借助一根绳子和两根木棍在操场上画了一个周长为25.12米的圆作为游戏的可活动范围。 (1)这根绳子长多少米？（绳子打结处忽略不计） (2)他们游戏的可活动范围是多少平方米？ 【答案】(1)4米 (2)50.24平方米 【分析】（1）求画圆所用绳子的长度，就是求圆的半径，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，代入数据计算求解。 （2）求游戏的可活动范围，就是求圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】（1）25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 答：这根绳子长4米。 （2）3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 答：他们游戏的可活动范围是50.24平方米。 24．如图是一把半圆形真丝折扇。做这样的一把折扇扇面至少需要真丝面料（涂色部分）多少平方分米？ 【答案】12.56平方分米 【分析】求半圆环的面积，涂色部分是半径为3分米的大半圆减去半径为3－2＝1分米的小半圆的部分，利用半圆面积公式S＝πr2，π取3.14，用大半圆面积减去小半圆面积，即可求出需要的真丝面料面积。 【详解】3－2＝1（分米） ×3.14×32－×3.14×12 ＝×3.14×9－×3.14×1 ＝×3.14×（9－1） ＝×3.14×8 ＝12.56（平方分米） 答：做这样的一把折扇扇面至少需要真丝面料（涂色部分）12.56平方分米。 25．街心花园有一个直径8米的圆形花圃。 (1)如果将花圃的周围围上篱笆，至少需要篱笆多少米？ (2)在花圃周围铺一条1米宽的鹅卵石小路，假如每平方米鹅卵石的单价是50元，铺完这条小路大约需要多少元？ 【答案】(1)25.12米 (2)1413元 【分析】（1）求篱笆的长，即为求圆的周长。根据C＝πd计算。 （2）根据圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积，圆的面积＝πr2，内圆的半径为8÷2，外圆的半径比内圆的半径多1米，计算鹅卵石小路的面积，小路的面积×50即为铺路花的钱。 【详解】（1）3.14×8＝25.12（米） 答：至少需要篱笆25.12米。 （2）8÷2＝4（米） 4＋1＝5（米） 3.14×52－3.14×42 ＝3.14×25－3.14×16 ＝3.14×（25－16） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 28.26×50＝1413（元） 答：铺完这条小路大约需要1413元。 26．草地上安装有喷灌装置，是一个旋转着喷水的水龙头。已知这个水龙头的射程是5米，如果要在一块长为30米、宽为20米的长方形草地上安装两个这样的喷灌装置，至少会有多少平方米的草地无法直接浇到水？ 【答案】443平方米 【分析】旋转喷灌装置的射程是圆的半径r，一个装置的喷灌面积是半径5米的圆的面积。要让浇不到的面积最少，需让两个圆的面积之和最大（无重叠）。先算长方形的面积公式计算出草地总面积，再根据圆的面积公式×2计算出两个圆的面积之和，最后两者相减就是最少浇不到的面积。 【详解】30×20＝600（平方米） （平方米） 600－157＝443（平方米） 答：至少会有443平方米的草地无法直接浇到水。 27．春节期间，皓皓和爸爸仍然坚持晨跑。两人每天都会沿着姥姥家附近操场的跑道最内侧跑5圈。跑道最内侧的形状由长方形和两个半圆组成（如下图）。 （1）操场最内侧半圆的直径是多少米？ （2）整个操场的面积是多少平方米？ 【答案】（1）60米 （2）8826平方米 【分析】（1）用1942除以5计算出每一圈的长；每一圈是由长方形的两条长和两个半圆的弧长构成，两个半圆弧长刚好构成一个圆的周长，用每一圈的长减去两条长即可得圆的周长，根据“圆的周长＝πd（d为直径）”代入数值即可求半圆直径； （2）根据“长方形的面积＝长×宽”用100乘60计算出长方形部分的面积；然后根据“圆的半径＝直径÷2”计算出两个半圆的半径；再根据“圆的面积＝πr2（r为半径）”计算出两个半圆的面积；最后将长方形面积和两个半圆的面积求和即可。 【详解】（1）（1942÷5－100×2）÷3.14 ＝（388.4－200）÷3.14 ＝188.4÷3.14 ＝60（米） 答：操场最内侧半圆的直径是60米。 （2）100×60＋3.14×（60÷2）2 ＝100×60＋3.14×302 ＝100×60＋3.14×900 ＝6000＋2826 ＝8826（平方米） 答：整个操场的面积是8826平方米。 28．如下图，草地上建有边长为6米的正方体建筑物，牛绳拴在建筑物的一个角上，牛绳长为12米。这头牛能吃到草的最大面积是多少？（两头拴绳处的长度忽略不计） 【答案】395.64平方米 【分析】分析题目，这头牛能吃到草的最大面积等于以12米为半径的圆的面积的，再加上2个半径是（12－6）米的圆面积的，圆的面积＝πr2，据此列式计算。 【详解】3.14×122×＋3.14×（12－6）2××2 ＝3.14×144×＋3.14×62××2 ＝452.16×＋3.14×36××2 ＝339.12＋113.04××2 ＝339.12＋28.26×2 ＝339.12＋56.52 ＝395.64（平方米） 答：这头牛能吃到草的最大面积是395.64平方米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆 内容导航 考点梳理 1 考点 1：圆的概念及特点 2 考点 2：画圆 2 考点 3：弧、圆心角、扇形的认识 2 考点 4：与圆相关的轴对称图形 3 考点 5：圆的周长 3 考点 6：半圆的周长 4 考点 7：圆的周长的应用 4 考点 8：含圆的组合图形的周长 4 考点 9：圆的面积 5 考点 10：圆的面积的应用 5 考点 11：求最大面积 5 考点 12：圆环的面积 5 考点 13：含圆的组合图形的面积 6 考点 14：方中圆和圆中方的面积问题 6 考点 15：扇形的周长和面积 7 例题讲解 8 题型一、圆的概念及特点 8 题型二、画圆 9 题型三、弧、圆心角、扇形的认识 9 题型四、与圆相关的轴对称图形 10 题型五、圆的周长 11 题型六、半圆的周长 11 题型七、圆的周长的应用 12 题型八、含圆的组合图形的周长 13 题型九、圆的面积 14 题型十、圆的面积的应用 15 题型十一、求最大面积 16 题型十二、圆环的面积 17 题型十三、含圆的组合图形的面积 19 题型十四、方中圆和圆中方的面积问题 20 题型十五、扇形的周长和面积 21 提升练习 22 考点梳理 考点 1：圆的概念及特点 1. 定义：圆是平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。 2. 核心要素： (1) 圆心（O）：确定圆的位置。 (2) 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段。决定圆的大小。在同一个圆内，有无数条半径，长度都相等。 (3) 直径（d）：通过圆心并且两端都在圆上的线段。在同一个圆内，有无数条直径，长度都相等。 3. 数量关系：在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，半径是直径的一半。即 或 。 4. 对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 5. 特性：圆是平面图形中曲线围成的封闭图形；车轮做成圆形是因为圆心到地面的距离（半径）始终相等，行驶平稳。 考点 2：画圆 1. 工具使用：主要使用圆规。 2. 操作步骤： (1) 定针：将圆规带有针尖的一脚固定在一点（圆心）。 (2) 定距：调整两脚之间的距离为所需的半径长度。 (3) 旋转：握住圆规顶端，将装有铅笔芯的一脚绕圆心旋转一周。 3. 注意事项： (1) 针尖必须固定不动，不能滑动。 (2) 两脚间距离保持不变，确保半径恒定。 (3) 旋转时重心偏向针尖一侧，保持线条流畅闭合。 考点 3：弧、圆心角、扇形的认识 1. 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。读作“弧AB”。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角的两条边是圆的半径。 3. 扇形：由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 4. 关系： (1) 在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关。圆心角越大，扇形面积越大。 (2) 半圆也是一个特殊的扇形，其圆心角为180°。 (3) 四分之一圆的圆心角为90°。 考点 4：与圆相关的轴对称图形 1. 基本判断： (1) 圆本身有无数条对称轴。 (2) 半圆有1条对称轴（垂直于直径且过圆心的直线）。 (3) 扇形有1条对称轴（圆心角的角平分线所在的直线）。 2. 组合图形对称轴判定方法： (1) 寻找能使图形左右或上下完全重合的折痕。 (2) 常见组合： 1　 “圆+正方形”（外切或内接）：通常有4条对称轴。 2　 “圆+长方形”：通常有2条对称轴。 3　 “圆+等边三角形”：通常有3条对称轴。 (3) 注意：对称轴是直线，不是线段，画图时应超出图形边界。 考点 5：圆的周长 1. 定义：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。 2. 圆周率（ ）： (1) 定义：圆的周长与直径的比值。 (2) 性质： 是一个无限不循环小数。 (3) 取值：计算时通常取近似值 。 (4) 历史：我国南北朝数学家祖冲之将圆周率精确到小数点后第七位。 3. 计算公式： (1) 已知直径： (2) 已知半径： 考点 6：半圆的周长 1. 概念辨析：半圆的周长 圆周长的一半。 2. 构成：半圆的周长 = 圆周长的一半 + 一条直径。 3. 计算公式： (1) (2) (3) 4. 易错点：很多学生容易漏加直径，务必强调“封闭图形”的边界概念。 考点 7：圆的周长的应用 1. 滚动问题： (1) 车轮滚动一周前进的距离 = 车轮的周长。 (2) 滚动 周的距离 = 。 2. 捆扎问题：计算捆绑圆柱体所需绳子长度时，需分析直线部分（通常等于直径或圆心距）和曲线部分（通常拼成一个完整的圆周长）。 3. 时钟问题： (1) 分针尖端走过的路程 = 以分针长为半径的圆周长。 (2) 时针尖端走过的路程 = 以时针长为半径的圆周长（注意时间比例，如1小时走1/12圈）。 考点 8：含圆的组合图形的周长 1. 解题策略：“化曲为直”与“平移法”。 2. 常见类型： (1) 外接型：几个圆相切或相交，周长通常为各段弧长之和加上必要的线段长。 (2) 阴影部分周长：仔细描出阴影部分的边界，区分哪些是圆弧，哪些是直线段。 (3) 跑道型：两个半圆 + 两条直道。周长 = 一个整圆周长 + 2 直道长。 3. 核心原则：周长是围成图形所有外围线段的长度总和，内部线条不计入周长。 考点 9：圆的面积 1. 推导过程： (1) 将圆分成若干等份（偶数份），剪开后拼成一个近似的长方形。 (2) 长方形的长 圆周长的一半（ ）。 (3) 长方形的宽 圆的半径（ ）。 (4) 因为 长方形面积 = 长 宽，所以 圆面积 = 。 2. 计算公式： (1) (2) 若已知直径： (3) 若已知周长：先求 ，再求面积。 3. 面积变化规律：半径扩大 倍，直径扩大 倍，周长扩大 倍，但面积扩大 倍。 考点 10：圆的面积的应用 1. 已知条件转化： (1) 题目常给出周长求面积，必须先求半径。 (2) 题目常给出直径求面积，必须先除以2求半径。 2. 实际场景： (1) 计算圆形花坛、草坪、桌面的面积。 (2) 计算自动旋转喷灌装置的喷洒面积（射程即为半径）。 3. 单位换算：注意长度单位（m, cm）与面积单位（ , ）的区别，计算前统一单位。 考点 11：求最大面积 1. 基本原理：在周长相等的平面图形中，圆的面积最大。 2. 常见题型： (1) 正方形内剪最大的圆：圆的直径 = 正方形的边长 ( )。 (2) 长方形内剪最大的圆：圆的直径 = 长方形的宽 ( , 假设 )。 (3) 用固定长度的绳子围图形：围成圆形时面积最大。 3. 计算关键：准确找到限制圆大小的那个“最短边”或“固定长度”，将其转化为直径或半径。 考点 12：圆环的面积 1. 定义：两个同心圆之间的部分叫做圆环。 2. 要素：外圆半径 ，内圆半径 ，环宽 。 3. 计算公式： (1) (2) (3) （推荐此公式，利用乘法分配律简化计算） 4. 变形应用： (1) 已知环宽和外圆半径，求内圆半径： 。 (2) 已知环宽和内圆半径，求外圆半径： 。 考点 13：含圆的组合图形的面积 1. 解题方法： (1) 割补法：将不规则图形分割成规则图形（圆、半圆、三角形、正方形等）分别计算后相加或相减。 (2) 容斥原理：两个图形重叠部分的面积处理。 (3) 平移/旋转法：通过移动图形部分位置，将其转化为标准几何图形。 2. 常见模型： (1) 叶形/花瓣形：通常是两个四分之一圆重叠部分，或者正方形减去两个半圆等。 (2) 弓形：扇形面积减去三角形面积。 3. 步骤规范： (1) 观察图形结构。 (2) 确定组成部分。 (3) 列出算式（建议分步列式，避免混淆）。 (4) 代入数据计算。 考点 14：方中圆和圆中方的面积问题 1. 方中圆（正方形内接圆）： (1) 关系：正方形边长 = 圆直径 = 。 (2) 面积比： 1　 2　 3　 (3) 阴影面积（正方形减圆）： 。 2. 圆中方（圆内接正方形）： (1) 关系：正方形对角线 = 圆直径 = 。 (2) 正方形面积计算技巧：利用对角线计算， 。 (3) 面积比： 1　 2　 3　 (4) 阴影面积（圆减正方形）： 。 3. 记忆口诀： (1) 方中圆，剩0.86（系数乘以半径平方）。 (2) 圆中方，剩1.14（系数乘以半径平方）。 考点 15：扇形的周长和面积 1. 扇形面积： (1) 公式推导：扇形面积是圆面积的一部分，占比取决于圆心角。 (2) 计算公式： 1　 （ 为圆心角度数） 2　 特殊角： 90°扇形（四分之一圆）： 180°扇形（半圆）： 2. 扇形周长： (1) 构成：弧长 + 2条半径。 (2) 计算公式： 1　 2　 (3) 易错提醒：千万不要只算弧长，一定要加上两条半径！ 例题讲解 题型一、圆的概念及特点 【典例例题】同学们，你们知道吗？井盖平面轮廓采用圆形的一个原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这是应用了圆特征中的（    ）的知识。 A．圆心确定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．同一圆内所有的直径都相等 D．圆有无数条对称轴 举一反三 【变式训练1】因为，所以同一个圆中（    ）都可以组成一条直径。 A．任意两条半径 B．互相垂直的两条半径 C．相交的两条半径 D．相交成平角的两条半径 【变式训练2】用圆规在一个长8cm，宽5cm的长方形纸上画一个尽可能大的圆，圆规两脚间的距离应是（    ）。 A．8cm B．4cm C．5cm D．2.5cm 【变式训练3】战国时期《墨经》一书中记载：“圆，一中同长也。”这表示圆上任意一点到( )的距离相等， 也就是同一个圆的( )都相等。 题型二、画圆 【典例例题】画一个直径为4厘米的圆，并标出圆心、半径和直径。 举一反三 【变式训练1】用圆规画圆时，如果圆规两脚间的距离保持3厘米不变，但将针尖从点A移动到了点B，那么画出的两个圆（    ）。 A．大小相同，位置相同 B．大小不同，位置相同 C．大小不同，位置不同 D．大小相同，位置不同 【变式训练2】画一个半径是2cm的圆，并画出它的一组互相垂直的对称轴。 【变式训练3】画圆。在正方形内部画一个最大的圆；在正方形外部画一个圆，使正方形的四个顶点都在圆上。 题型三、弧、圆心角、扇形的认识 【典例例题】下面图形中，阴影部分属于扇形的是（    ）。 A． B． C． D． 举一反三 【变式训练1】如图，图中的角表示的是圆心角。( ) 【变式训练2】下面涂色扇形的圆心角各是多少度？涂色扇形各占圆的几分之几？ 圆心角（    ）°，涂色扇形占圆的。     圆心角（    ）°，涂色扇形占圆的。     圆心角（    ）°，涂色扇形占圆的。 【变式训练3】请在下边空白处画一个半径是2厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是90度的扇形，并用阴影部分表示。 题型四、与圆相关的轴对称图形 【典例例题】判断下列图形有几条对称轴。 ( )条   ( )条   ( )条   ( )条 举一反三 【变式训练1】下面的四个图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练2】圆是平面上的一种轴对称图形，对称轴有( )条，将一张圆形纸片至少对折( )次可以得到这个圆的圆心。 【变式训练3】画出下面各图形的所有对称轴。 题型五、圆的周长 【典例例题】计算下面图形的周长。 举一反三 【变式训练1】用圆规画一个直径是36厘米的圆，圆规两脚之间的距离应是( )厘米；画周长是18.84分米的圆，圆规两脚之间的距离应是( )分米。 【变式训练2】小红家的菜板是圆形的，直径是40厘米。菜板的半径是( )厘米，周长是( )厘米。 【变式训练3】求下面圆的周长。 题型六、半圆的周长 【典例例题】计算如图半圆的周长。 举一反三 【变式训练1】在一个长为8厘米，宽为3厘米的长方形内画一个半圆，这个半圆的周长是( )厘米。 【变式训练2】一个半圆半径是6dm，它的周长是( )dm。 【变式训练3】计算下图的周长。 题型七、圆的周长的应用 【典例例题】保龄球又称“地滚球”，是一种在木板轨道上用球滚击木瓶的室内体育运动。保龄球的半径大约是1分米，在某次比赛中，保龄球从球道的一端滚到另一端，滚了34圈，球道的长度是多少分米？ 举一反三 【变式训练1】客家春节有“踩高跷、耍单车”的民俗表演，一只小猴子骑着独轮车在客家围龙屋前的表演绳上表演，表演绳全长31.4米，独轮车车轮的直径是1米，猴子骑完全程时，车轮一共要转多少周？ 【变式训练2】为了防止冻害、暴晒和虫害，我们通常会在树干上缠绕草绳，对树干起到保护的作用。一棵树上缠了5圈（不重合），正好用去78.5分米草绳，这棵树的树干横截面的直径是多少分米？ 【变式训练3】李老师从家到学校有3000米，李老师的自行车轮胎的外直径约为0.7米，如果车轮每秒转2圈，李老师从家出发10分钟能到学校吗？ 题型八、含圆的组合图形的周长 【典例例题】如图，实验小学的体育场跑道两端是半圆形，中间是长方形，这个体育场跑道的周长是多少米？ 举一反三 【变式训练1】计算下面图形涂色部分的周长。    【变式训练2】看图计算。（单位：cm）求涂色部分的周长。 【变式训练3】如下图，幸福小学操场的跑道由长方形的两条对边和两个半圆组成，笑笑在操场上跑了4圈，一共跑了多少米？ 题型九、圆的面积 【典例例题】计算下面图形的面积。 举一反三 【变式训练1】如图，将一个圆平均分成若干个扇形，再拼成一个近似的长方形。已知长方形的周长比圆周长增加了10厘米，原来圆的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【变式训练2】已知一个圆的半径是2dm，这个圆的周长是( )dm，面积是( )。 【变式训练3】求下列各图形的面积。 题型十、圆的面积的应用 【典例例题】爷爷要给水缸做一个盖子，为了确保密封性且防止盖子掉入水缸内，盖子的直径比水缸的直径大5厘米，爷爷用绳子量了量缸口周长是23.55分米，做一个这样的盖子至少需要多少平方分米的木板？ 举一反三 【变式训练1】如图所示，一个小闹钟的秒针长4厘米。经过30秒，秒针所扫过的面积是多少平方厘米？ 【变式训练2】用一根长为8米的绳子缠绕一棵大树的树干，缠绕了4圈后还剩46.4厘米，这棵树此处的横截面积有多大？ 【变式训练3】数学迷拿了张披萨券到披萨店去换一个直径8寸（1寸≈2.5厘米）的披萨，可是老板却说8寸的披萨已经卖完了，给他换两个4寸的。你认为这样换公平吗？请用你喜欢的方式来说明。 题型十一、求最大面积 【典例例题】在下面这张长方形纸上画一个最大的圆，再计算如果把这个圆剪下来，剩余纸的面积是多少平方厘米？ 举一反三 【变式训练1】第七小学有个劳动实践基地，五（1）班同学准备用同一种长度的篱笆围一个小花圃。下面说法正确的是（    ）。 A．围成长方形的面积大 B．围成正方形的面积大 C．围成圆形的面积大 D．围成不规则图形的面积大 【变式训练2】把一只牛拴在一块边长为8米的正方形草坪上，拴牛的绳子长4米。拴在哪牛能吃到的草的面积最大？拴在哪牛能吃到的草的面积最小？请用圆规画图，把牛能吃到草的最大面积和最小面积表示出来。 【变式训练3】公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？ 题型十二、圆环的面积 【典例例题】一块直径为12米的圆形草坪，周围有一条宽2米的人行道，这条人行道的面积是多少平方米？ 举一反三 【变式训练1】计算如图中阴影部分的面积。 【变式训练2】如图，绿地公园广场有一个圆形花坛，半径是3米，在它的周围有一条宽1米的环形小路（阴影部分），求小路的面积。 【变式训练3】小夏想知道一卷空心卷筒纸展开的总长度，设计了一个实验方案（步骤如下），请你根据实验方案计算出卷筒纸展开后的总长度。 实验步骤 ①测量卷筒纸横截面的外圆直径为14厘米，内圆直径为6厘米。 ②测量每层纸的厚度为0.02厘米。 ③计算卷筒纸的总长度。 题型十三、含圆的组合图形的面积 【典例例题】求出如图中阴影部分的面积。 举一反三 【变式训练1】计算下图中涂色部分的面积。 【变式训练2】求涂色部分的面积。 【变式训练3】求阴影部分的周长。 题型十四、方中圆和圆中方的面积问题 【典例例题】“福”字指福气、福运，春节贴“福”字，是中国民间由来已久的风俗，寄托了人们对幸福生活的向往，也是对美好未来的祝愿。下面这幅圆形“福”字窗花中，圆的直径是20厘米，“福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是多少平方厘米？ 举一反三 【变式训练1】“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中最常见的设计。如下图，是一种“外方内圆”的建筑图案，外面正方形的边长是12分米，则内圆的面积是( )平方分米。 【变式训练2】如图中圆的直径是5厘米，空白部分是圆内最大的正方形，涂色部分的面积是( )平方厘米。 【变式训练3】在元旦庆祝活动中，乐乐用一张边长12厘米的正方形彩纸剪一个“外方内圆”窗花，请你求出正方形和圆之间部分的面积。 题型十五、扇形的周长和面积 【典例例题】求阴影部分的面积。 举一反三 【变式训练1】下图是汽车挡风玻璃上的雨刷装置。若雨刷左右摇摆最大角度是150°，雨刷长30厘米，那么雨刷摇摆一次刷到挡风玻璃的面积是多少？ 【变式训练2】有一个花瓣状门洞（如图），它的边是由四个直径都为2米的半圆组成的。这个门洞的面积是多少平方米？ 【变式训练3】李大伯家的鸡圈依墙而建（如图），半径是6米。若要扩建这个鸡圈，半径增加2米，则这个鸡圈的面积增加多少平方米？ 提升练习 1．下列关于圆的描述中，错误的是（    ）。 A．圆是轴对称图形 B．圆有无数条对称轴 C．圆无论怎样对折都能重合 D．只有圆形的车轮才能滚动 2．乐乐按照下图步骤画圆。这个圆的面积是（    ）平方厘米。 A．6.28 B．12.56 C．25.12 D．50.24 3．图形（    ）有无数条对称轴。 A． B． C． D． 4．下列图形中，对称轴最多的是（    ）。 A．等边三角形 B．半圆形 C．正方形 D．平行四边形 5．一个半圆的直径是，那么它的周长是（    ）cm。 A．12.56 B．16.56 C．6.28 D．10.28 6．把一条长5cm的线绳一端固定旋转一周，得到一个( )，它的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。（π取3.14） 7．如图，把圆平均分成若干等份，剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的周长是24.84cm，这个圆的半径是( )cm，周长是( )cm。 8．一个闹钟的分针长5cm，时针长3cm，分针的尖端转一圈的长度是( )cm，时针转一圈扫过的面积是( )。 9．共享单车的使用频率越来越高，一种常见的共享单车车轮直径大约是0.6米，这种车轮的周长是( )米；李叔叔在骑行过程中，车轮平均每分钟能转80圈，李叔叔5分钟骑了( )米。 10．在一个长10cm、宽8cm的长方形金属板上，明明爸爸准备加工出一个最大的圆形孔洞。这个最大的圆的周长是( )cm，它的面积是( )cm2。 11．如图，一张长方形纸的长是20厘米，小丽在纸上刚好画出了两个圆和一个半圆。这张长方形纸的周长是( )厘米，甲圆的面积是( )平方厘米。 12．下图是由5个完全相同的半圆组合而成，半圆的半径是( )厘米。 13．王大爷用一根长60分米的铁丝在一根圆柱形柱子上绕了6圈（如图），这时铁丝正好还剩下3.48分米，这根柱子横截面的直径是( )分米。 14．“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的朴素道理。如果图（1）中外面正方形的面积是36dm2，则内圆的面积是( )dm2，如果图（2）中外圆的面积是25.12dm2，则圆内大正方形的面积是( )dm2。 15．求出下面图形的周长。   16．求如图形的周长和面积。 17．求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 18．如图，长方形ABCD的长是14cm，宽是6cm，求阴影部分的面积。 19．“太极”是中国古代哲学的核心概念之一，蕴含着深邃的宇宙观与辩证思维，太极强调“阴阳互根”“对立统一”，如昼夜、寒暑、动静等矛盾双方既相互依存，又此消彼长，体现中国传统哲学的辩证智慧。如图方格图中有一个简化版的“太极图”，图中每个格子都是边长相同的正方形。 (1)画一画。利用圆规和尺子，在方格图中画出左边的“太极图”，要求画出的图案与原图案大小、形状相同。 (2)如果方格图中每个格子的边长为1厘米，求阴影部分的周长是多少厘米？（结果保留π） 20．按要求画一画，算一算。 (1)画一个周长为18.84厘米的圆，在这个圆中画出一个圆心角是90°的扇形。 (2)求一求所画扇形的面积是多少？ 21．广西梧州出产的砧板非常有名。工匠们通常会给砧板边缘箍上一圈铁条，再预留20厘米的铁条长度用来做提手。如图这块砧板半径是12厘米，给它箍圈和做提手，需要的铁条至少是多少厘米？ 22．在一场热闹非凡的街头艺术表演活动中，为了给观众带来惊喜和震撼，杂技演员决定挑战高难度项目——独轮车走钢丝，已知车轮的直径是20厘米，要骑过一根15.7米长的钢丝，车轮大约要转动多少周？ 23．学校操场是同学们课间15分钟活动的重要场所，淘气与笑笑借助一根绳子和两根木棍在操场上画了一个周长为25.12米的圆作为游戏的可活动范围。 (1)这根绳子长多少米？（绳子打结处忽略不计） (2)他们游戏的可活动范围是多少平方米？ 24．如图是一把半圆形真丝折扇。做这样的一把折扇扇面至少需要真丝面料（涂色部分）多少平方分米？ 25．街心花园有一个直径8米的圆形花圃。 (1)如果将花圃的周围围上篱笆，至少需要篱笆多少米？ (2)在花圃周围铺一条1米宽的鹅卵石小路，假如每平方米鹅卵石的单价是50元，铺完这条小路大约需要多少元？ 26．草地上安装有喷灌装置，是一个旋转着喷水的水龙头。已知这个水龙头的射程是5米，如果要在一块长为30米、宽为20米的长方形草地上安装两个这样的喷灌装置，至少会有多少平方米的草地无法直接浇到水？ 27．春节期间，皓皓和爸爸仍然坚持晨跑。两人每天都会沿着姥姥家附近操场的跑道最内侧跑5圈。跑道最内侧的形状由长方形和两个半圆组成（如下图）。 （1）操场最内侧半圆的直径是多少米？ （2）整个操场的面积是多少平方米？ 28．如下图，草地上建有边长为6米的正方体建筑物，牛绳拴在建筑物的一个角上，牛绳长为12米。这头牛能吃到草的最大面积是多少？（两头拴绳处的长度忽略不计） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $