第08讲 公式法因式分解（暑假预习讲义，6题型突破+过关检测）新七年级数学新教材沪教版五四制

第08讲 公式法因式分解 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断能否用公式法分解因式 题型2 平方差公式分解因式 题型3 完全平方公式分解因式 题型4 综合运用公式法分解因式 题型5 综合提公因式和公式法分解因式 题型6因式分解在有理数简算中的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 因式分解、公式法、平方差公式、完全平方公式、逆用乘法公式、整式乘法、分解彻底、首项系数为正、整体换元、提公因式优先、二项式、三项式、符号变形 （一）基础目标 1. 理解公式法因式分解本质为整式乘法公式的逆变形，能够准确区分整式乘法与因式分解两种运算。 2. 熟练熟记平方差、完全平方两组核心逆用公式，可直接套用公式对简单多项式进行因式分解。 3. 精准判断多项式结构特征，掌握二项式优先使用平方差公式、二次齐次三项式优先使用完全平方公式的基本规律。 （二）能力目标 1. 掌握因式分解核心顺序“一提二套”，即先提取公因式，再套用公式分解，养成规范解题习惯。 2. 熟练处理含负号、分数系数、整体重复结构的复杂多项式，灵活运用变形技巧解题。 3. 做到因式分解彻底，分解后的每个因式不能再继续分解，相同因式统一写成幂的形式。 1. 培养观察多项式结构特征的能力，建立代数整体思想，提升代数变形思维。 2. 规范解题步骤书写，规避漏项、符号错误、分解不彻底等常见问题，养成严谨的解题思维。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01平方差公式 ①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式； ③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积． 【方法总结】适用条件：多项式为二项式、两项均为平方形式、两项符号一正一负。 知识点02 完全平方公式 ①左边相当于一个二次三项式； ②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负； ④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定． 【方法总结】适用条件：多项式为二次三项式、首尾两项为平方形式、中间项是两个底数乘积的2倍，中间项符号决定最终因式的加减。 题型1 判断能否用公式法分解因式 【例1】．（25-26七年级上·上海·课后作业）下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵ ① 不符合完全平方公式或平方差公式，故不能用乘法公式进行分解； ② ，符合完全平方公式，故能分解； ③ ，不符合平方差或完全平方公式，故不能用乘法公式进行分解； ④ ，符合平方差公式，故能分解； ⑤ ，符合完全平方公式，故能分解． ∴ 能用公式法分解的有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 【变式1-1】．（22-23七年级上·上海青浦·期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； B．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； C．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； D．，符合题意， 故选：D． 【变式1-2】．下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【详解】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 【变式1-3】．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 【答案】4 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 题型2平方差公式分解因式 【例2】．（2025七年级上·上海·专题练习）因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查的是因式分解，灵活运用平方差公式是解题的关键．将表达式 改写为 ，应用平方差公式 进行因式分解． 【详解】解：， 又  ， 因式分解的结果为 ． 故选：． 【例3】．（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，不能用平方差公式得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式的结构特点判断即可． 【详解】解：A、能用平方差公式，不符合题意； B、能用平方差公式，不符合题意； C、，能用平方差公式，不符合题意； D、，不能用平方差公式，符合题意； 故选：D． 【例4】．（25-26七年级上·上海松江·期末）因式分解：______． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，掌握公式法进行因式分解是解题的关键． 观察表达式，发现其为平方差形式，利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【技巧归纳】二项式，两项均为平方形式，符号相反。 【变式2-1】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）设，，满足，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】平方差公式分解因式、分式的求值 【分析】此题考查了分式的加减法，利用已知条件和，将表达式的分子用平方和表示，再通过因式分解简化每个分式，最后求和． 【详解】解：∵ ，，   ∴ ， 同理，，， 又 ∵ ， ∴ （注：由条件知 ，同理其他分母也不为零）， 同理，，， ∴ 原式． 故选：C． 【变式2-2】．（25-26七年级上·上海·单元测试）利用平方差公式计算：______． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，先将原式利用平方差公式变形，再进行计算，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-3】．（25-26七年级上·上海宝山·期中）填空：________． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先将等号右边的用平方差公式分解因式，再填空． 【详解】解：因为， 所以， 所以填， 故答案为：． 【变式2-4】．因式分解： 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握公式法的运用． 连续两次利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 题型3 完全平方公式分解因式 【例5】．（25-26七年级上·上海·寒假作业）将多项式分解因式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了整式的因式分解，熟练掌握公式法是解决本题的关键． 直接利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：． 故选：B． 【例6】．（25-26七年级上·上海·期末）下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了完全平方公式因式分解，完全平方公式的形式为，通过检查各选项是否符合此形式即可判断． 【详解】解：选项A：∵，∴符合完全平方公式，可分解为； 选项B：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项C：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项D：∵在多项式中，首项为，末项为，而其两倍积为，不等于中间项，∴不符合完全平方公式，不可用完全平方公式分解． 故选：D． 【例7】．（25-26七年级上·上海·寒假作业）当、为何值时，代数式有最小值，则，与最小值分别为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】将代数式通过配方法转化为完全平方式的和，再根据完全平方式的非负性确定最小值及此时、的值．本题主要考查了配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握配方法将代数式变形为完全平方式的和是解题的关键． 【详解】解： ， 因为，， 所以当，时，代数式有最小值． 由，得；由，得． 此时最小值为． 故选：C． 【技巧归纳】二次三项式，首尾平方、中间项为2倍乘积。 【变式3-1】．（2025七年级上·上海·专题练习）填空：________2． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了完全平方公式．通过观察表达式，利用完全平方公式配方即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3-2】．（25-26七年级上·上海·课后作业）（1）__________；（2）_______． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）设两个空依次分别为和，再将等号右边化简，根据各项对应相等即可求解． （2）将原式转化出2倍乘积和尾平方，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：（1）设两个空依次分别为和，则， 故，解得，，解得， （2）根据完全平方公式可知， 故答案为：，，． 【变式3-3】．（2025七年级上·上海·专题练习）因式分解：______． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．利用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 题型4 综合运用公式法分解因式 【例8】．对于： ①； ②； ③； ④． 其中因式分解正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：①，此项错误； ②，此项正确； ③，此项错误； ④，此项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 【例9】．（25-26七年级上·上海·课后作业）因式分解：_____． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，利用完全平方公式和平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【例10】．分解因式：_____． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解． 观察表达式，将后三项分组并提取负号，形成完全平方公式，再运用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【技巧归纳】多项式含公因式，提取公因式后剩余部分符合公式结构。 【变式4-1】．（22-23七年级上·上海嘉定·期中）由多项式与多项式相乘的法则可知： 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式． 同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式． 请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝___． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】根据题意根据立方差公式因式分解即可． 【详解】﹣64x3＋y3 故答案为： 【点睛】本题考查了因式分解，根据题意套用立方差公式是解题的关键． 【变式4-2】．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【详解】解：           ． 【变式4-3】．（25-26七年级上·上海·寒假作业）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． （1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给方法可进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-4】．（25-26七年级上·上海·单元复习）分解因式： 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，先把看做一个整体，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 题型5 综合提公因式和公式法分解因式 【例11】．（25-26七年级上·上海·期中）下列分解因式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．利用因式分解的方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，故A项正确，不符合题意； B、，故B项正确，不符合题意； C 、，故C项不正确，符合题意； D、，故D项正确，不符合题意． 故选：C． 【例12】．（2026·上海·二模）因式分解：_____． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【详解】解： 【例13】．（25-26七年级上·上海金山·期末）因式分解：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解． 【详解】解： ． 【变式5-1】．（25-26七年级上·上海·期末）分解因式___________． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解． 先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式5-2】．（25-26七年级上·上海·课后作业）因式分解：_____． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查用分组分解法进行因式分解，采用三一分组是解答此题的关键． 利用分组分解法将前三项提取公因式后利用完全平方公式分解，再整体提取公因式后利用平方差公式继续分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式5-3】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）因式分解： 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式5-4】．（25-26七年级上·上海·期中）在括号内填入一个单项式，使得整式（   ）能因式分解．请你写出这个单项式并将整式因式分解．（请写出所有情况） 【答案】①，； ②，； ③，； ④，； ⑤，． ⑥， 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 由于和都可以分解因式，那么添加单项式消去x或者都符合题意；由于，那么添加分组法因式分解也符合题意；根据平方差公式的特点可添加一个单项式让构成一个完全平方式再平方差公式因式分解也满足题意，据此可得答案． 【详解】解：①填入时， 原式 ； ②填入时， 原式 ； ③填入时， 原式 ； ④填入时， 原式 ； ⑤填入时， 原式 ． ⑥填入 原式 题型6 因式分解在有理数简算中的应用 【例14】．（25-26七年级上·上海·课后作业）利用因式分解计算：的结果是（    ） A．44 B．800 C．2200 D．8800 【答案】D 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键．即． 【例15】．（25-26七年级上·上海·课后作业）计算：________． 【答案】/ 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】接利用平方差公式把每一个算式因式分解，再进一步发现规律计算即可． 【详解】解：原式= ， 故答案为：． 【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于利用公式进行计算． 【变式6-1】．（25-26七年级上·上海·课后作业）若，则的值为（    ） A．13 B．18 C．5 D．1 【答案】A 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】先将代数式前三项利用完全平方公式适当变形，然后将代入计算即可． 【详解】解： ∵ ∴原式 故选A 【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式．做此类题，首先必须做到心中牢记公式的“模型”，在此前提下认真地对具体题目进行观察，想方设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧，把式子凑成公式的“模型”，然后就可以应用公式进行计算了． 【变式6-2】．（25-26七年级上·上海·寒假作业）简便计算： 【答案】 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式因式分解的应用，根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解： 【变式6-3】．利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2)4 (3)0 (4) 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式、提公因式法进行简便计算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）利用提公因式法进行计算即可； （4）整理后，利用提公因式法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 一、单选题 1．利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 【答案】C 【分析】本题考查因式分解在有理数简算中的应用． 通过提取公因式进行因式分解，将表达式转化为简单乘法计算． 【详解】解： ． 故选：C． 2．将多项式进行因式分解的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查了提公因式法与公式法；先提取公因式，再用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 3．在把多项式因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式因式分解的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依照例题，根据完全平方公式、平方差公式解答． 【详解】a2-6ab+5b2 =a2-6ab+9b2-4b2 =(a-3b)2-(2b)2 =(a-3b+2b)(a-3b-2b) =(a-b)(a-5b)； 故选：D． 【点睛】本题考查了综合运用公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 4．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解题的关键． 需满足的形式，据此判断各选项． 【详解】解：选项A：，末项为负数，且非平方数，不符合公式； 选项B：：中间项对应，末项应为，但末项为，不匹配； 选项C：：首项，末项，中间项，符合； 选项D：：缺少常数项，无法构成完全平方； 故选C． 5．因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，利用平方差公式把原式化为，再整理即可． 【详解】解： ． 故选：D． 6．对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握解答的方法是关键； 通过平方差公式分解多项式，得到表达式含有因子8，因此对于任何正整数x，其值都能被8整除． 【详解】解：∵ ， ∴ 对于任何正整数x，该多项式的值都是8的倍数，因此都能被8整除 故选：D. 二、填空题 7．分解因式：_____． 【答案】/ 【详解】解： ． 8．利用因式分解计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用；通过提取公因式进行因式分解后计算． 【详解】解： ． 故答案为 ． 9．因式分解：_______． 【答案】 【详解】． 10．计算的结果是______． 【答案】 【分析】先提公因式，再进行计算即可． 【详解】解：原式 故答案为： 11．因式分解：_______． 【答案】 【详解】． 12．分解因式：________． 【答案】/ 【详解】解：． 13．因式分解______. 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提取，再由平方差公式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 14．分解因式：______． 【答案】 【分析】完全平方公式：． 【详解】解：． 15．因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，解题思路为先将原式整理为平方差的形式，利用平方差公式分解后，再对可分解的多项式继续分解，直到不能再分解为止． 【详解】解： ． 16．已知，，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用平方差公式对进行因式分解，代入已知的值，即可求出的值． 【详解】解：根据平方差公式可得 ． 将，代入得：． 系数化为得：． 17．若多项式的值为0，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据平方差公式与完全平方公式因式分解，将原多项式化简为，再根据其值为0，得到 【详解】解： ， 由题意得， 解得． 故答案为：． 18．生活中的有些密码，可以用数学的“因式分解”来生成．例如，把多项式，因式分解为，当时，求得各因式的值分别为20、11、11，将这三个数值按从小到大排列，生成六位数密码“”．用上述方法，把多项式进行因式分解，当时，可以生成的密码是_______________． 【答案】 【分析】先对多项式进行因式分解，再代入计算各因式的值，将结果按从小到大排列后拼接得到密码． 【详解】对多项式因式分解：， 当时， 计算各因式的值：，，， 将三个因式的值按从小到大排列，拼接得到六位数密码“”． 三、解答题 19．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握公式法的运用． 连续两次利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 20．分解因式： 【答案】 【分析】先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解． 【详解】解： ． 21．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，利用公式法和提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 根据公式法和提取公因式法进行因式分数即可． 【详解】解： ． 22．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键，先提取负号，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 23．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解， （1）先分组，再提取公因式即可； （2）先展开多项式，再利用完全平方公式分解． 【详解】（1）解： = =； （2）解： ． 24．利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2)4 (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式、提公因式法进行简便计算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）利用提公因式法进行计算即可； （4）整理后，利用提公因式法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 25．“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为 (1)分解因式：（当时，原式为0）（方法任意）； (2)已知多项式既能被整除，又能被整除，求m、n的值（方法任意） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，因式分解的应用，整式的除法； （1）根据当时，，得多项式必有一个因式，设，然后比较同类项的系数，进而可得出答案； （2）根据多项式既能被整除，又能被整除，得当或时，，将代入整理得①，将代入整理得②，再由①②解出，的值即可． 【详解】（1）解： 当时，， 多项式必有一个因式， 设， ， 比较同类项的系数得：，， 由，解得：， 由，解得：， ； （2）解：多项式既能被整除，又能被整除， 多项式必有因式和， 当或时，， 当时，， 整理得：①， 当时，， 整理得：②， ①②，得：， ， 将代入②，得：． ，． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 公式法因式分解 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断能否用公式法分解因式 题型2 平方差公式分解因式 题型3 完全平方公式分解因式 题型4 综合运用公式法分解因式 题型5 综合提公因式和公式法分解因式 题型6因式分解在有理数简算中的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 因式分解、公式法、平方差公式、完全平方公式、逆用乘法公式、整式乘法、分解彻底、首项系数为正、整体换元、提公因式优先、二项式、三项式、符号变形 （一）基础目标 1. 理解公式法因式分解本质为整式乘法公式的逆变形，能够准确区分整式乘法与因式分解两种运算。 2. 熟练熟记平方差、完全平方两组核心逆用公式，可直接套用公式对简单多项式进行因式分解。 3. 精准判断多项式结构特征，掌握二项式优先使用平方差公式、二次齐次三项式优先使用完全平方公式的基本规律。 （二）能力目标 1. 掌握因式分解核心顺序“一提二套”，即先提取公因式，再套用公式分解，养成规范解题习惯。 2. 熟练处理含负号、分数系数、整体重复结构的复杂多项式，灵活运用变形技巧解题。 3. 做到因式分解彻底，分解后的每个因式不能再继续分解，相同因式统一写成幂的形式。 1. 培养观察多项式结构特征的能力，建立代数整体思想，提升代数变形思维。 2. 规范解题步骤书写，规避漏项、符号错误、分解不彻底等常见问题，养成严谨的解题思维。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01平方差公式 ①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式； ③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积． 【方法总结】适用条件：多项式为二项式、两项均为平方形式、两项符号一正一负。 知识点02 完全平方公式 ①左边相当于一个二次三项式； ②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负； ④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定． 【方法总结】适用条件：多项式为二次三项式、首尾两项为平方形式、中间项是两个底数乘积的2倍，中间项符号决定最终因式的加减。 题型1 判断能否用公式法分解因式 【例1】．（25-26七年级上·上海·课后作业）下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】．（22-23七年级上·上海青浦·期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】．下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【变式1-3】．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 题型2平方差公式分解因式 【例2】．（2025七年级上·上海·专题练习）因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【例3】．（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，不能用平方差公式得到的是（ ） A． B． C． D． 【例4】．（25-26七年级上·上海松江·期末）因式分解：______． 【技巧归纳】二项式，两项均为平方形式，符号相反。 【变式2-1】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）设，，满足，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．8 D．9 【变式2-2】．（25-26七年级上·上海·单元测试）利用平方差公式计算：______． 【变式2-3】．（25-26七年级上·上海宝山·期中）填空：________． 【变式2-4】．因式分解： 题型3 完全平方公式分解因式 【例5】．（25-26七年级上·上海·寒假作业）将多项式分解因式为（   ） A． B． C． D． 【例6】．（25-26七年级上·上海·期末）下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【例7】．（25-26七年级上·上海·寒假作业）当、为何值时，代数式有最小值，则，与最小值分别为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【技巧归纳】二次三项式，首尾平方、中间项为2倍乘积。 【变式3-1】．（2025七年级上·上海·专题练习）填空：________2． 【变式3-2】．（25-26七年级上·上海·课后作业）（1）__________；（2）_______． 【变式3-3】．（2025七年级上·上海·专题练习）因式分解：______． 题型4 综合运用公式法分解因式 【例8】．对于： ①； ②； ③； ④． 其中因式分解正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【例9】．（25-26七年级上·上海·课后作业）因式分解：_____． 【例10】．分解因式：_____． 【技巧归纳】多项式含公因式，提取公因式后剩余部分符合公式结构。 【变式4-1】．（22-23七年级上·上海嘉定·期中）由多项式与多项式相乘的法则可知： 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式． 同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式． 请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝___． 【变式4-2】．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：． 【变式4-3】．（25-26七年级上·上海·寒假作业）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【变式4-4】．（25-26七年级上·上海·单元复习）分解因式： 题型5 综合提公因式和公式法分解因式 【例11】．（25-26七年级上·上海·期中）下列分解因式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【例12】．（2026·上海·二模）因式分解：_____． 【例13】．（25-26七年级上·上海金山·期末）因式分解：． 【变式5-1】．（25-26七年级上·上海·期末）分解因式___________． 【变式5-2】．（25-26七年级上·上海·课后作业）因式分解：_____． 【变式5-3】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）因式分解： 【变式5-4】．（25-26七年级上·上海·期中）在括号内填入一个单项式，使得整式（   ）能因式分解．请你写出这个单项式并将整式因式分解．（请写出所有情况） 题型6 因式分解在有理数简算中的应用 【例14】．（25-26七年级上·上海·课后作业）利用因式分解计算：的结果是（    ） A．44 B．800 C．2200 D．8800 【例15】．（25-26七年级上·上海·课后作业）计算：________． 【变式6-1】．（25-26七年级上·上海·课后作业）若，则的值为（    ） A．13 B．18 C．5 D．1 【变式6-2】．（25-26七年级上·上海·寒假作业）简便计算： 【变式6-3】．利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 一、单选题 1．利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 2．将多项式进行因式分解的结果为（    ） A． B． C． D． 3．在把多项式因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式因式分解的结果是（  ） A． B． C． D． 4．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 6．对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 二、填空题 7．分解因式：_____． 8．利用因式分解计算：_____． 9．因式分解：_______． 10．计算的结果是______． 11．因式分解：_______． 12．分解因式：________． 13．因式分解______. 14．分解因式：______． 15．因式分解：________． 16．已知，，则的值为__________． 17．若多项式的值为0，则的值为________． 18．生活中的有些密码，可以用数学的“因式分解”来生成．例如，把多项式，因式分解为，当时，求得各因式的值分别为20、11、11，将这三个数值按从小到大排列，生成六位数密码“”．用上述方法，把多项式进行因式分解，当时，可以生成的密码是_______________． 三、解答题 19．因式分解： 20．分解因式： 21．因式分解： 22．因式分解： 23．因式分解： (1)； (2)． 24．利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 25．“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为 (1)分解因式：（当时，原式为0）（方法任意）； (2)已知多项式既能被整除，又能被整除，求m、n的值（方法任意） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $