专题12 因式分解【暑假预习】提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

专题12 因式分解（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 七年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解因式分解的概念，能准确判断一个变形是否为因式分解。 · 掌握提取公因式法，能正确找出公因式并分解。 · 掌握平方差公式和完全平方公式，能熟练运用公式法分解因式。 · 掌握十字相乘法，能对二次三项式进行因式分解。 · 掌握分组分解法，能对四项或更多项的多项式进行因式分解。 · 了解配方法、待定系数法等因式分解的拓展方法，提升代数综合能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 因式分解的意义 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。 · 因式分解是整式乘法的逆变形。 · 结果必须是整式的乘积，且每个因式都要分解到不能再分解为止。 · 注意与整式乘法的区别：整式乘法是把几个整式相乘得到多项式，因式分解是把多项式化为几个整式的乘积。 ☑ 典型例题 1 题目：下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（  ） A. (x−2)² = x²−4x+4   B. x²+3x+2 = x(x+3)+2   C. x²−9 = (x+3)(x−3)   D. x²+x = x²(1+1/x) 解析：A是整式乘法；B右边不是积的形式；C符合因式分解定义；D中1/x不是整式。 答案：C ☆ 2. 提取公因式法 法则：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 · 公因式的确定：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母；指数取各相同字母的最低次幂。 · 提公因式后，括号内的项数与原多项式项数相同。 · 注意符号：若首项为负，一般先提出负号，使括号内首项为正。 ☑ 典型例题 2 题目：把多项式 ax²−ax 分解因式，结果是（  ） A. a(x²−x)   B. ax(x−1)   C. ax(x+1)   D. a(x−1) 解析：公因式为 ax，提取后得 ax(x−1)。 答案：B ☆ 3. 公式法 运用乘法公式的逆运算进行因式分解。 · 平方差公式：a²−b² = (a+b)(a−b) · 完全平方公式：a²±2ab+b² = (a±b)² · 注意公式的结构特征，先判断是否符合公式形式，再分解。 ☑ 典型例题 3 题目：分解因式 −x²+9 的结果是（  ） A. (x+3)(x−3)   B. −(x+3)(x−3)   C. (3−x)(3+x)   D. −(x+3)² 解析：−x²+9 = 9−x² = (3−x)(3+x)。 答案：C ☆ 4. 十字相乘法 适用于二次三项式 x²+px+q 或 ax²+bx+c 的因式分解。 · 对于 x²+(p+q)x+pq，分解为 (x+p)(x+q)。 · 关键：将常数项分解成两个数，使它们的和等于一次项系数。 · 对于二次项系数不为1的情况，需要同时分解二次项系数和常数项，交叉相乘后相加得一次项系数。 ☑ 典型例题 4 题目：分解因式 x²−5x+6，结果正确的是（  ） A. (x−6)(x+1)   B. (x−6)(x−1)   C. (x+2)(x+3)   D. (x−2)(x−3) 解析：常数项6分解为(−2)×(−3)，且(−2)+(−3)=−5，所以 x²−5x+6=(x−2)(x−3)。 答案：D ☆ 5. 分组分解法 将多项式分组后，分别提取公因式或运用公式，再整体提取公因式。 · 分组的目的：使各组之间出现公因式或符合公式结构。 · 常用分组方式：两项一组、三项一组（完全平方+平方差）等。 · 注意分组的灵活性和合理性。 ☑ 典型例题 5 题目：分解因式 x³+x²−4x−4 的结果是（  ） A. (x+1)(x+2)(x−2)   B. (x+1)²(x−2)   C. (x−1)(x+2)²   D. (x−1)(x−2)(x+2) 解析：原式 = (x³+x²)−(4x+4) = x²(x+1)−4(x+1) = (x²−4)(x+1) = (x+2)(x−2)(x+1)。 答案：A ❤ 知识总结表 方法 适用类型 关键步骤 注意事项 提公因式法 各项有公因式 确定公因式，提取后检查 公因式要提尽，注意符号 平方差公式 a²−b² 化为 (a+b)(a−b) 必须是两项，且是平方差 完全平方公式 a²±2ab+b² 化为 (a±b)² 三项式，两平方项符号相同 十字相乘法 二次三项式 分解常数项和二次项系数 交叉相乘之和等于一次项系数 分组分解法 四项或更多项 合理分组，提取公因式 分组后能继续分解 核心考点 ·6大典型考点精讲 【考点1】因式分解的意义（第1–4题） ※方法总结 · 判断依据：左边是多项式，右边是几个整式的乘积。 · 注意区分因式分解与整式乘法（方向相反）。 · 右边每个因式都必须是整式，不能含有分式。 · 分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止。 1．（2026春•梁溪区校级期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4 B．x2+3x+2＝x（x+3）+2 C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） D． 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此逐项判断即可． 【解答】解：A是乘法运算，不符合题意， B中等号右边不是积的形式，不符合题意， C符合因式分解的定义，符合题意， D中不是整式，不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（2025秋•大兴安岭期末）下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（　　） A．2x2﹣4＝2（x2﹣2） B．（x+y）2＝x2+2xy+y2 C．x2﹣3x+4＝x（x﹣3）+4 D．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y） 【分析】根据因式分解的定义，判断等式是否满足左边是多项式，右边是几个整式的积，且左右相等即可． 【解答】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下： A：右边为2（x2﹣2），未分解彻底，不符合题意； B：右边为x2+2xy+y2，是整式乘法展开，不是因式分解，不符合题意； C：右边为x（x﹣3）+4，含有加法运算，不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； D：右边为xy（x﹣y），是积的形式，且左右相等，符合因式分解定义，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题关键． 3．（2026春•古塔区校级期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x2+2x+7＝x（x+2）+7 B．（x+4）2＝x2+8x+16 C． D．x2﹣16＝（x+4）（x﹣4） 【分析】根据因式分解的定义，需满足将多项式转化为几个整式的积的形式，且每个因式均为整式，根据因式分解的定义逐项分析判断，即可求解． 【解答】解：A：右边为x（x+2）+7，是乘积与常数相加的形式，未完全分解为积的形式，不符合题意； B：左边为（x+4）2，右边为展开后的多项式，属于整式乘法而非因式分解，不符合题意； C：右边含分式，导致因式不是整式，不符合要求； D：左边x2﹣16利用平方差公式分解为（x+4）（x﹣4），均为整式的乘积，符合因式分解定义，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解，正确进行计算是解题关键． 4．（2025秋•博兴县期末）小明把多项式2x2﹣13x+n分解因式，有一个因式是（x﹣5），则n的值为（　　） A．15 B．40 C．﹣40 D．﹣15 【分析】设2x2﹣13x+n＝（x﹣5）（2x﹣a），将右边等式去括号展开后，再根据等式两边对应未知数的系数相等，即可求出a的值及n的值． 【解答】解：设2x2﹣13x+n＝（x﹣5）（2x﹣a），则2x2﹣13x+n＝2x2﹣（10+a）x+5a， ∴10+a＝13，5a＝n， ∴a＝3，n＝15， 故选：A． 【点评】此题考查了多项式的因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 【考点2】提取公因式法（第5–11题） ※方法总结 · 确定公因式：系数取最大公约数，字母取相同字母的最低次幂。 · 提公因式后，括号内的项数与原多项式项数相同。 · 注意首项为负时，提出负号使括号内首项为正。 · 检验：用乘法分配律展开验证。 5．（2025秋•贵州期末）把多项式ax2﹣ax分解因式，结果是（　　） A．a（x2﹣x） B．ax（x﹣1） C．ax（x+1） D．a（x﹣1） 【分析】利用提取公因式法分解因式即可得出答案． 【解答】解：根据提取公因式法分解因式可得： ax2﹣ax＝ax（x﹣1）． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 6．（2025秋•浦东新区期末）已知长、宽分别为a，b的长方形的周长为22，面积为18，则a2b+ab2的值为（　　） A．198 B．216 C．252 D．396 【分析】根据长方形周长和面积的公式得到a+b＝11，ab＝18，再将a2b+ab2因式分解等于ab（a+b），再代入求值即可． 【解答】解：由条件可知2（a+b）＝22，ab＝18， ∴a+b＝11，ab＝18， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝18×11＝198， 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 7．（2025春•西安期末）将多项式4xy2z﹣8x2y2z﹣6xyz2分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．xyz2 B．8xy C．2xyz D．24x2y2z2 【分析】确定多项式的公因式需提取各项系数的最大公约数和共有字母的最低次幂，据此进行分析，即可作答． 【解答】解：根据因式分解可得：将多项式4xy2z﹣8x2y2z﹣6xyz2分解因式时，应提取的公因式是2xyz． 故选：C． 【点评】本题考查了运用公因式法进行因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 8．（2024秋•秀峰区校级期末）（﹣2）2024+（﹣2）2025计算后的结果是（　　） A．22024 B．﹣2 C．﹣22024 D．﹣1 【分析】直接提取公因式22024，进而得出答案． 【解答】解：原式＝22024﹣22024×2 ＝22024×（1﹣2） ＝﹣22024， 故选：C． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式22024． 9．（2024•平乐县校级开学）把多项式（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）提取公因式（m﹣1）后得（m﹣1）（　　），括号中内容是（　　） A．m+1 B．2m C．m﹣1 D．m+2 【分析】直接提取公因式（m﹣1）即可得到答案． 【解答】解：原式＝（m﹣1）（m+1+1）＝（m﹣1）（m+2）， 故选：D． 【点评】本题主要考查了分解因式，熟练掌握因式分解是关键． 10．（2023秋•泰山区校级月考）因式分解：x3﹣4x2y+xy2＝x（x2﹣4xy+y2）　 ． 【分析】根据因式分解的步骤，对所给代数式进行因式分解即可． 【解答】解：由题知， 原式＝x（x2﹣4xy+y2）． 故答案为：x（x2﹣4xy+y2）． 【点评】本题主要考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提公因式法是解题的关键． 11．（2015春•濉溪县期末）若a2+a＝0，求2a2+2a+2015的值． 【分析】原式前两项提取2，把已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵a2+a＝0， ∴原式＝2（a2+a）+2015＝2015． 【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 【考点3】公式法（第12–19题） ※方法总结 · 平方差公式：a²−b²=(a+b)(a−b)，两项且为平方差。 · 完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²，三项且两平方项同号。 · 注意先提取公因式，再运用公式。 · 分解要彻底，如 a⁴−16 需连续用平方差公式。 12．（2025秋•川汇区校级期末）下列多项式，①x2+y2，②﹣x2+y2，③x2﹣y2+2xy，④﹣x2﹣y2+2xy能用公式法分解因式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】逐个分析每个多项式是否满足公式条件即可． 【解答】解：根据公式法分解因式逐项分析判断如下： ①x2+y2为平方和，无公式可分解，不符合题意； ②﹣x2+y2＝y2﹣x2＝（y+x）（y﹣x），可用平方差公式，符合题意； ③x2﹣y2+2xy不符合完全平方或平方差公式结构，无法用公式法分解，不符合题意； ④﹣x2﹣y2+2xy＝﹣（x2+y2﹣2xy）＝﹣（x﹣y）2，可用完全平方公式，符合题意； 能用公式法分解的有②和④，共2个． 故选：B． 【点评】本题考查公式法分解因式．熟练掌握该知识点是关键． 13．（2025秋•岳阳楼区期末）若x2+kx+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．6 B．﹣4或8 C．﹣6或6 D．0 【分析】根据完全平方公式的结构特征，将多项式与公式对比，确定中间项的系数，从而求出k的值． 【解答】解：根据完全平方公式的结构特征可知：x2+kx+9＝x2+kx+32， ∵多项式x2+kx+9能用完全平方公式因式分解， ∴k＝±2×1×3＝±6， 故选：C． 【点评】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 14．（2025秋•娄星区期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．x2﹣2x﹣1 B．x2+2x+4 C．x2﹣6x+9 D． 【分析】根据完全平方公式 a2±2ab+b2＝（a±b）2，逐项检查各选项是否符合公式结构． 【解答】解：A：常数项﹣1不是平方数，且无法配成完全平方，故不符合题意； B：若b＝2，则b2＝4，但2ab＝4x≠2x，故不符合题意； C：9＝32，且﹣6x＝﹣2•x•3，故符合完全平方公式，即（x﹣3）2； D：，若 ，则，但，故不符合题意． ∴能用完全平方公式因式分解的是C， 故选：C． 【点评】本题考查了完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． 15．（2026•天长市一模）分解因式：﹣x2+9＝　（3﹣x）（3+x）　 ． 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：﹣x2+9 ＝9﹣x2 ＝（3﹣x）（3+x）． 故答案为：（3﹣x）（3+x）． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确掌握公式是解题关键． 16．（2026•玄武区一模）分解因式：（a+b）2﹣4ab＝　（a﹣b）2 ． 【分析】首先利用完全平方公式去括号合并同类项，进而利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：（a+b）2﹣4ab ＝a2+2ab+b2﹣4ab ＝a2+b2﹣2ab ＝（a﹣b）2． 故答案为：（a﹣b）2． 【点评】此题主要考查了完全平方公式分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键． 17．（2025秋•城关区校级期中）把a4﹣16分解因式，正确的结果是 　（a2+4）（a+2）（a﹣2）　 ． 【分析】利用平方差公式分解因式即可求解即可． 【解答】解：a4﹣16＝（a2+4）（a2﹣4）＝（a2+4）（a+2）（a﹣2）， 故答案为：（a2+4）（a+2）（a﹣2）． 【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 18．（2025秋•金山区期中）m4﹣18m2+81． 【分析】利用公式法因式分解即可． 【解答】解：m4﹣18m2+81 ＝（m2﹣9）2 ＝（m+3）2（m﹣3）2． 【点评】本题考查因式分解﹣公式法，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 19．（2018春•荷塘区期末）（1）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，求a2+b2和ab的值． （2）分解因式： ①x2﹣8xy+16y2 ②（x+y+1）2﹣（x﹣y+1）2． 【分析】（1）已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求； （2）①原式利用完全平方公式分解即可；②原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝7①，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4②， ∴①+②得：a2+b2＝5.5，①﹣②得：ab； （2）①原式＝（x﹣4y）2； ②原式＝（x+y+1+x﹣y+1）（x+y+1﹣x+y﹣1）＝4y（x+1）． 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 【考点4】十字相乘法（第20–28题） ※方法总结 · 对于 x²+(p+q)x+pq，分解为 (x+p)(x+q)。 · 对于 ax²+bx+c，需同时分解二次项和常数项。 · 交叉相乘后相加，结果等于一次项系数。 · 注意符号的搭配。 20．（2026春•长清区期中）若将多项式x2+mx+6因式分解得（x+3）（x+n），则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】通过十字相乘法将结果展开，对比对应项系数即可求出m的值． 【解答】解：（x+3）（x+n）＝x2+nx+3x+3n＝x2+（3+n）x+3n， 又∵x2+mx+6＝（x+3）（x+n）， ∴， 解得n＝2， 代入得m＝3+2＝5． 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 21．（2025秋•安陆市期末）分解因式x2﹣5x+6，结果正确的是（　　） A．（x﹣6）（x+1） B．（x﹣6）（x﹣1） C．（x+2）（x+3） D．（x﹣2）（x﹣3） 【分析】利用十字相乘法分解二次三项式，需找到两个数，使其和为一次项系数、积为常数项，再完成因式分解即可． 【解答】解：根据十字相乘法分解二次三项式可知这两个数是﹣2和﹣3， ∴x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）． 故选：D． 【点评】本题主要考查二次三项式的因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 22．（2025秋•淄博期中）甲、乙两位同学在对多项式x2+bx+c分解因式时，甲看错了b的值，分解的结果是（x﹣4）（x+5），乙看错了c的值，分解的结果是（x+3）（x﹣4），那么x2+bx+c分解因式正确的结果为（　　） A．（x﹣5）（x﹣4） B．（x+4）（x﹣5） C．（x﹣4）（x+5） D．（x+4）（x+5） 【分析】先根据题意求出b、c的值，再代入分解因式． 【解答】解：∵（x﹣4）（x+5）＝x2+x﹣20， （x+3）（x﹣4）＝x2﹣x+﹣12， ∴b＝﹣1，c＝﹣20， ∴原多项式为：x2﹣x﹣20＝（x﹣5）（x+4）， 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键． 23．（2025秋•杨浦区期中）已知p＝﹣m﹣n，q＝mn，那么关于x的整式x2+px+q因式分解的结果是（　　） A．（x+m）（x+n） B．（x﹣m）（x﹣n） C．（x+m）（x﹣n） D．（x﹣m）（x+n） 【分析】根据已知条件，将 p 和 q 代入多项式，然后利用十字相乘法分解因式即可． 【解答】解：由条件可知多项式为x2+（﹣m﹣n）x+mn， ∴x2+px+q＝（x﹣m）（x﹣n）． 即x2+px+q因式分解结果为（x﹣m）（x﹣n）． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 24．（2025秋•碾子山区期末）已知二次三项式x2+6x+a有一个因式是（x+5），则另一个因式为x+1　 ． 【分析】设另一个因式为（x+n），整理后对比等式左右两边各项系数即可解决问题． 【解答】解：设另一个因式为（x+n），根据题意得： （x+5）（x+n）＝x2+（5+n）x+5n＝x2+6x+a； 所以5+n＝6， 解得n＝1， 故答案为：x+1． 【点评】本题考查了整式的乘法与因式分解，合并同类项等知识，熟练掌握以上知识是解题关键． 25．（2025秋•浦东新区校级期末）因式分解：a2﹣11a+24＝　（a﹣3）（a﹣8）　 ． 【分析】通过寻找两个数，它们的乘积为常数项24，且和为一次项系数﹣11，从而进行因式分解． 【解答】解：通过寻找两个数，它们的乘积为常数项24，且和为一次项系数﹣11，利用十字相乘法分解因式可得： a2﹣11a+24＝（a﹣3）（a﹣8）． 故答案为：（a﹣3）（a﹣8）． 【点评】本题考查的是因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 26．（2025秋•威海期末）因式分解： （1）； （2）； （3）x2﹣4x﹣21（用十字相乘法）． 【分析】（1）根据提公因式法和公式法解题即可； （2）根据公式法解题即可； （3）根据十字相乘法解题即可． 【解答】解：（1）； （2） ； （3）x2﹣4x﹣21＝（x﹣7）（x+3）． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 27．（2025秋•兰山区期末）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材133页有“阅读与思考”： 根据多项式的乘法法则，可知（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+q）x+pq． 那么，反过来，也有x2+（p+q）x+pq﹣（x+p）（x+q）． 这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解x2+3x+2这个式子的二次项系数是1，常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，符合x2+（p+q）x+pq类型，于是有x2+3x+2＝（x+1）（x+2）这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数． 这样，我们也可以得到|x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 （1）直接写出分解因式的结果： ①x2﹣5x﹣24＝ 　（x﹣8）（x+3）　 ； ②x2+8xy+12y2＝ 　（x+6y）（x+2y）　 ； （2）因式分解（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2； 【拓展提升】 （3）因式分解x2y+x2﹣3xy+xy2﹣4y2． 【分析】（1）①把﹣24化为﹣8×3，然后利用十字相乘法分解因式； ②把12y2化为6y•2y，然后利用十字相乘法分解因式； （2）先把多项式看作关于（x2+x）的二次三项式，然后利用十字相乘法分解因式； （3）先把多项式分成x2y+xy2和x2﹣3xy﹣4y2两组，再把两组分别分解，然后利用提公因式法分解因式． 【解答】解：（1）①x2﹣5x﹣24＝（x﹣8）（x+3）； 故答案为：（x﹣8）（x+3）； ②x2+8xy+12y2＝（x+6y）（x+2y）； 故答案为：（x+6y）（x+2y）； （2）（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2 ＝（x2+x﹣2）（x2+x+1） ＝（x+2）（x﹣1）（x2+x+1）； （3）x2y+x2﹣3xy+xy2﹣4y2 ＝x2y+xy2+x2﹣3xy﹣4y2 ＝xy（x+y）+（x﹣4y）（x+y） ＝（x+y）（xy+x﹣4y）． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法等，熟练掌握x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解，即x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．也考查了提公因式法和分组分解法． 28．（2025秋•徐闻县期末）阅读以下材料： 材料：因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1 解：将“x﹣y”看成整体，设x﹣y＝a，则原式＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 再将“a”还原，则原式＝（x﹣y﹣1）2 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（m﹣n）2+6（m﹣n）+9＝　（m﹣n+3）2 ； （2）因式分解：（a2﹣4a+3）（a2﹣4a+5）+1； （3）求证：无论n为何值，式子（n2+3n）（n2+3n+2）+2的值一定不小于1． 【分析】（1）将原式变形后利用完全平方公式因式分解即可； （2）用换元法设a2﹣4a＝x，将原式化为x2+8x+16，再利用完全平方公式得出（x+4）2，再将x还原即可； （3）设n2+3n＝a，则原式化为（a+1）2+1，再将a还原求解即可． 【解答】解：（1）（m﹣n）2+6（m﹣n）+9＝（m﹣n+3）2； 故答案为：（m﹣n+3）2； （2）解：设a2﹣4a＝x，则 原式＝（x+3）（x+5）+1 ＝x2+8x+16 ＝（x+4）2 ＝（a2﹣4a+4）2 ＝（a﹣2）4； （3）证明：设n2+3n＝a， 原式＝a（a+2）+2 ＝a2+2a+2 ＝a2+2a+1+1 ＝（a+1）2+1 ＝（n2+3n+1）2+1≥1， ∴无论n为何值，式子（n2+3n）（n2+3n+2）+2的值一定不小于1． 【点评】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 【考点5】分组分解法（第29–39题） ※方法总结 · 分组后能提取公因式或运用公式。 · 常见分组方式：两项一组、三项一组（配完全平方）、四项一组（两两分组）。 · 分组后要继续分解，直到不能分解为止。 · 注意分组的灵活性，可以尝试不同分组方式。 29．（2025秋•黄浦区校级月考）用分组分解法将x2﹣xy+2y﹣2x分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A．（x2﹣2x）+（2y﹣xy） B．（x2﹣xy）+（2y﹣2x） C．（x2+2y）+（﹣xy﹣2x） D．（x2﹣2x）﹣（xy﹣2y） 【分析】根据分组分解法解决本题． 【解答】解：A．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2﹣2x）+（2y﹣xy）＝x（x﹣2）﹣y（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣y），那么A分组正确，故A不符合题意． B．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2﹣xy）+（2y﹣2x）＝（x2﹣xy）﹣（2x﹣2y）＝x（x﹣y）﹣2（x﹣y）＝（x﹣y）（x﹣2），那么B分组正确，故B不符合题意． C．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2+2y）+（﹣xy﹣2x）无法进行分组分解，那么C分组错误，故C符合题意． D．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2﹣2x）﹣（xy﹣2y）＝x（x﹣2）﹣y（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣y），那么D分组正确，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握分组分解法进行因式分解是解决本题的关键． 30．（2024春•同步）已知x3+2x2﹣3x+k因式分解后，其中有一个因式为x+2，则k的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．10 D．﹣10 【分析】本题可令x3+3x2﹣3x+k＝（x+2）A的形式，当x＝﹣2时，可以转化为关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值． 【解答】解：令x3+2x2﹣3x+k＝（x+2）A， 当x＝﹣2时，﹣8+8+6+k＝0， 解得k＝﹣6． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，令x+2＝0，则x＝﹣2，代入因式分解的式子转化为关于k的一元一次方程是解题的关键． 31．（2022秋•晋江市校级期中）因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为（　　） A．（a﹣b）2（a+b） B．（a+b）2（a﹣b） C．ab（a+b）2 D．ab（a﹣b）2 【分析】利用分组分解法分解因式即可． 【解答】解：原式＝（a3+a2b）﹣（ab2+b3） ＝a2（a+b）﹣b2（a+b） ＝（a2﹣b2）（a+b） ＝（a﹣b）（a+b）（a+b） ＝（a﹣b）（a+b）2； 故选：B． 【点评】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式． 32．（2009春•单元）把多项式4x2﹣2x﹣y2﹣y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（　　） A．（4x2﹣y）﹣（2x+y2） B．（4x2﹣y2）﹣（2x+y） C．4x2﹣（2x+y2+y） D．（4x2﹣2x）﹣（y2+y） 【分析】把第一、三项为一组，利用平方差公式分解因式，二四项为一组，整理后再利用提公因式法分解因式即可． 【解答】解：原式＝4x2﹣2x﹣y2﹣y， ＝（4x2﹣y2）﹣（2x+y）， ＝（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x+y）， ＝（2x+y）（2x﹣y﹣1）． 故选：B． 【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题中有两个2次项正好符合平方差公式，应考虑一、三项为一组． 33．（2026•凉州区一模）分解因式：ab﹣a﹣b+1＝　（a﹣1）（b﹣1）　 ． 【分析】运用分组分解法分解因式，将原式合理分组后，分别提取公因式，然后再次提取公因式即可得到结果． 【解答】解：ab﹣a﹣b+1 ＝（ab﹣a）+（﹣b+1） ＝a（b﹣1）﹣（b﹣1） ＝（a﹣1）（b﹣1）． 故答案为：（a﹣1）（b﹣1）． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 34．（2025•宁国市校级自主招生）因式分解：x3﹣2x2y﹣7xy2﹣4y3＝　（x+y）2（x﹣4y）　 ． 【分析】先利用计算公式，将﹣4y3变形为+y3﹣5y3，结合x3+y3因式分解的公式，得到（x+y）（x2﹣xy+y2），对 2x2y+7xy2+5y3部分先提取公因式y，再利用十字相乘法进行因式分解，得到y（x+y）（2x+5y），再整体提取公因式（x+y），对余下部分利用十字相乘法进行因式分解即可． 【解答】解：x3﹣2x2y﹣7xy2﹣4y3 ＝（x3+y3）﹣（2x2y+7xy2+5y3） ＝（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣y（2x2+7xy+5y2） ＝（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣y（x+y）（2x+5y） ＝（x+y）（x2﹣3xy﹣4y2） ＝（x+y）（x+y）（x﹣4y） ＝（x+y）2（x﹣4y）． 【点评】本题主要考查了分解因式，掌握提取公因式法和公式法是解题的关键． 35．（2025•海伦市三模）因式分解：9x2﹣y2+2y﹣1＝ 　（3x+y﹣1）（3x﹣y+1）　 ． 【分析】原式后三项结合后写成完全平方，然后再运用平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：9x2﹣y2+2y﹣1 ＝9x2﹣（y2﹣2y+1） ＝（3x）2﹣（y﹣1）2 ＝（3x+y﹣1）[3x﹣（y﹣1）] ＝（3x+y﹣1）（3x﹣y+1）， 故答案为：（3x+y﹣1）（3x﹣y+1）． 【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 36．（2024•东莞市校级自主招生）因式分解 a2﹣b2﹣c2﹣2bc＝　（a+b+c）（a﹣b﹣c）　 ． 【分析】运用平方差公式、完全平方公式可得，a2﹣b2﹣c2﹣2bc＝a2﹣（b2+2bc+c2）＝a2﹣（b+c）2＝（a+b+c）（a﹣b﹣c）． 【解答】解：a2﹣b2﹣c2﹣2bc＝a2﹣（b2+2bc+c2）＝a2﹣（b+c）2＝（a+b+c）（a﹣b﹣c）， 故答案为：（a+b+c）（a﹣b﹣c）． 【点评】本题考查了因式分解，关键是掌握平方差公式、完全平方公式． 37．（2025秋•崇明区校级期中）因式分解： ①（a2+3a）2﹣8（a2+3a）+16； ②t4﹣4t2+4t﹣1． 【分析】①先运用完全平方公式进行因式分解，然后运用十字相乘法进行因式分解即可． ②分组后，先利用完全平方公式进行因式分解，然后运用平方差公式进行因式分解，最后再运用完全平方公式进行因式分解． 【解答】解：①（a2+3a）2﹣8（a2+3a）+16； ＝（a2+3a﹣4）2 ＝（a+4）2（a﹣1）2． ②t4﹣4t2+4t﹣1 ＝t4﹣（4t2﹣4t+1） ＝t4﹣（2t﹣1）2 ＝（t2+2t﹣1）（t2﹣2t+1） ＝（t2+2t﹣1）（t﹣1）2． 【点评】本题主要考查了利用分组分解法进行因式分解，运用公式法进行因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 38．（2025秋•同步）把多项式x3﹣x2﹣x+1因式分解． 【分析】将多项式x3﹣x2﹣x+1进行分组，然后分别对每组进行因式分解，再提取公因式即可． 【解答】解：x3﹣x2﹣x+1 ＝（x3﹣x2）﹣（x﹣1） ＝x2（x﹣1）﹣（x﹣1） ＝（x﹣1）（x2﹣1） ＝（x﹣1）（x+1）（x﹣1） ＝（x﹣1）2（x+1）． 【点评】本题考查因式分解的分组分解法．分组是解题的关键． 39．（2025春•单元）阅读下列材料：分解因式：3x2+3xy﹣5x﹣5y． 方法1：3x2+3xy﹣5x﹣5y＝（3x2+3xy）﹣（5x+5y）＝3x（x+y）﹣5（x+y）＝（x+y）（3x﹣5）． 方法2：3x2+3xy﹣5x﹣5y＝（3x2﹣5x）+（3xy﹣5y）＝x（3x﹣5）+y（3x﹣5）＝（3x﹣5）（x+y）． 【方法总结】对不能直接使用提公因式法和公式法进行因式分解的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”，即提公因式法和公式法进行分解，然后再整体按“基本方法”继续进行分解，直到分解彻底．这种分解因式的方法叫作分组分解法： 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： （1）分解因式：x3+x2﹣4x﹣4． （2）分解因式：y2+2yz+z2﹣9x2． 【分析】（1）先将原式分组为（x3+x2）﹣（4x+4），再利用提取公因式法和公式法进行分解； （2）先将原式变形为（y+z）2﹣（3x）2，再利用平方差公式进行因式分解． 【解答】解：（1）原式＝（x3+x2）﹣（4x+4） ＝x2（x+1）﹣4（x+1） ＝（x2﹣4）（x+1） ＝（x+2）（x﹣2）（x+1）； （2）原式＝（y+z）2﹣（3x）2 ＝（y+z+3x）（y+z﹣3x）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键． 【考点6】创新及压轴题（第40–42题） ※方法总结 · 待定系数法：设未知系数，根据恒等式对应项系数相等求解。 · 整体思想：将某式看作整体，运用公式或换元法分解。 · 配方法：添项构造完全平方式，再运用平方差公式。 · 综合运用多种方法，灵活选择。 40．（2025秋•龙口市期末）【例题讲解】因式分解：x3﹣1． ∵x3﹣1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b， ∴x3﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b恒成立． ∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即， 解得， ∴x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 （1）若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4），则m＝　1　 ； （2）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值及另一个因式． 【分析】（1）根据题目中的待定系数法原理即可求得结果； （2）根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论． 【解答】解：（1）∵（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12， ∴x2﹣mx﹣12＝x2﹣x﹣12， ∴﹣m＝﹣1， ∴m＝1， 故答案为：1； （2）设另一个因式为（x2+ax+k）， （x+1）（x2+ax+k）＝x3+ax2+kx+x2+ax+k＝x3+（a+1）x2+（a+k）x+k， ∴x3+（a+1）x2+（a+k）x+k＝x3+3x2﹣3x+k， ∴a+1＝3，a+k＝﹣3， 解得a＝2，k＝﹣5， ∴另一个因式为x2+2x﹣5． 【点评】本题考查了因式分解的应用、多项式乘以多项式，解决本题的关键是理解并会运用待定系数法原理． 41．（2022春•武冈市期末）先阅读材料，再回答问题： 分解因式：（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1 解：设a﹣b＝M，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2 再将a﹣b＝M还原，得到：原式＝（a﹣b﹣1）2 上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题： （1）分解因式：（x+y）（x+y﹣4）+4 （2）若a为正整数，则（a﹣1）（a﹣2）（a﹣3）（a﹣4）+1为整数的平方，试说明理由． 【分析】（1）设M＝x+y，据此原式＝M（M﹣4）+4＝M2﹣4M+4＝（M﹣2）2，再将M＝x+y代回即可得； （2）由原式变形为（a2﹣5a+4）（a2﹣5a+6）+1，令N＝a2﹣5a+4，据此可得原式N（N+2）+1＝N2+2N+1＝（N+1）2，根据a为正整数可作出判断． 【解答】解：（1）设M＝x+y， 则原式＝M（M﹣4）+4＝M2﹣4M+4＝（M﹣2）2， 将M＝x+y代入还原可得原式＝（x+y﹣2）2； （2）原式＝（a﹣1）（a﹣4）（a﹣2）（a﹣3）+1 ＝（a2﹣5a+4）（a2﹣5a+6）+1 令N＝a2﹣5a+4， ∵a为正整数， ∴N＝（a﹣1）（a﹣4）＝a2﹣5a+4也是整数， 则原式＝N（N+2）+1 ＝N2+2N+1 ＝（N+1）2， ∵N为整数， ∴原式＝（N+1）2即为整数的平方． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，从新定义中整理出进一步解题的有关知识，难度中等． 42．（2022春•邗江区期中）对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有： x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2 ＝（x+a）2﹣（2a）2 ＝（x+3a）（x﹣a） 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． （1）利用“配方法”分解因式： ①a2﹣6a﹣7 ②a4+a2b2+b4 （2）若a+b＝4，ab＝2，求①a2+b2；②a4+b4的值． （3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由． 【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）根据a+b＝4，ab＝2，可以求出各个小题的答案； （3）两个式子作差然后与0比较大小即可解答本题． 【解答】解：（1）①a2﹣6a﹣7 ＝（a2﹣6a+9）﹣9﹣7 ＝（a﹣3）2﹣16 ＝（a﹣3+4）（a﹣3﹣4） ＝（a+1）（a﹣7）； ②a4+a2b2+b4 ＝（a4+2a2b2+b4）﹣a2b2 ＝（a2+b2）2﹣a2b2 ＝（a2+b2+ab）（a2+b2﹣ab）； （2）①∵a+b＝4，ab＝2， ∴（a+b）2＝16 ∴a2+2ab+b2＝16 ∴a2+b2＝16﹣2ab＝16﹣2×2＝16﹣4＝12； ②由①知a2+b2＝12 ∴（a2+b2）2＝144 ∴a4+2a2b2+b4＝144 ∴a4+b4＝144﹣2a2b2＝144﹣2×22＝144﹣8＝136； （3）x2﹣4x+5＞﹣x2+4x﹣4 理由：（x2﹣4x+5）﹣（﹣x2+4x﹣4） ＝x2﹣4x+5+x2﹣4x+4 ＝2x2﹣8x+9 ＝2（x2﹣4x+4）﹣8+9 ＝2（x﹣2）2+1≥1＞0， ∴x2﹣4x+5＞﹣x2+4x﹣4． 【点评】本题考查因式分解，解答本题的关键是会用十字相乘法对式子进行因式分解． 随堂检测 · 精选练习 练习1：因式分解判断练习2：十字相乘法求系数练习3：提公因式法应用练习4：平方差公式几何验证练习5：配方法因式分解 【练习1】（2026春•沭阳县期中）下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（　　） A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．ab﹣a﹣b+1＝（a﹣1）（b﹣1） D． 【分析】因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，根据定义逐一判断即可． 【解答】解：（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1是整式的乘法，故A不符合题意；x2+2x+1＝x（x+2）+1不是化为整式的积的形式，故B不符合题意；ab﹣a﹣b+1＝（a﹣1）（b﹣1）是因式分解，故C符合题意；不是化为整式的积的形式，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是因式分解的含义，掌握“利用因式分解的定义判断是否是因式分解”是解题的关键． 【练习2】（2026春•锡山区期中）若多项式x2+mx﹣12可分解为（x﹣3）（x+4），则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．7 D．﹣7 【分析】将（x﹣3）（x+4）分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出m的值． 【解答】解：原式＝x2+4x﹣3x﹣12＝x2+x﹣12， ∴将（x﹣3）（x+4）展开结果与x2+mx﹣12对比，对应项系数相等，可得m＝1． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 【练习3】（2026春•锡山区期中）若多项式x2+mx﹣12可分解为（x﹣3）（x+4），则m的值为（　　）x2+px+q因式分解的结果为（x+3）（2x﹣1），那么p+q＝　2　 ． 【分析】将（x+3）（2x﹣1）展开后与2x2+px+q比较求出p＝5，q＝﹣3，然后代入求解． 【解答】解：（x+3）（2x﹣1）＝2x2﹣x+6x﹣3＝2x2+5x﹣3， ∵2x2+px+q＝2x2+5x﹣3， ∴p＝5，q＝﹣3， ∴p+q＝5+（﹣3）＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 【练习4】（2026春•玄武区期中）以下三种方法中，能够验证等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的有　①②③　 （填序号）． 【分析】用两种方法分别用代数式表示图①、图②、图③中的两个图形阴影部分的面积进而得到三个等式即可． 【解答】解：图①中，左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成右图是底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，所以面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此图①符合题意； 图②中，左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成右图是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，所以面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此图②符合题意； 图③中，左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成右图是底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，所以面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此图③符合题意； 综上所述，图①、图②、图③均能验证等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：①②③． 【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 【练习5】（2026春•郑州校级期中）【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解x2+2x﹣3，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3＝x2+2×x×1+12﹣1﹣3＝（x+1）2﹣22． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全x2+2x﹣3的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解x2+8x+7； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式x2+y2﹣4x+6y+18有最小值？并求出这个最小值． 【分析】（1）用平方差公式继续进行因式分解即可； （2）将原式改写为x2+8x+16﹣9，先用完全平方公式，再用平方差公式，即可进行因式分解； （3）用题目所给方法，将原式整理为（x﹣2）2+（y+3）2+5，即可进行解答． 【解答】解：（1）原式＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1）； （2）原式＝x2+8x+16﹣9 ＝（x+4）2﹣32 ＝（x+4+3）（x+4﹣3） ＝（x+7）（x+1）； （3）原式＝x2﹣4x+4+y2+6y+9+5 ＝（x﹣2）2+（y+3）2+5， ∵（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0， ∴（x﹣2）2+（y+3）2+5≥5， ∴当x＝2，y＝﹣3时，多项式x2+y2﹣4x+6y+18有最小值，最小值为5． 【点评】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：因式分解判断作业2：十字相乘法求系数作业3：提公因式法作业4：十字相乘法分解作业5：错看问题作业6：十字相乘法作业7：分组分解法作业8：因式分解求参数作业9：公式法综合作业10：分组分解法 ❤ 复习建议 明确因式分解的定义：区分因式分解与整式乘法，注意结果是整式的积，且要分解彻底。 熟练掌握基本方法：提公因式法、公式法（平方差和完全平方）、十字相乘法、分组分解法，每种方法都有其适用特征。 先提后套：分解因式时，先观察是否有公因式，若有先提取，再考虑其他方法。 灵活运用整体思想：对于复杂多项式，将某部分看作整体，简化问题。 检验与验证：分解完成后，用整式乘法展开检验，确保结果正确。 【作业1】（2025秋•阿克陶县期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B．a2﹣2a﹣1＝（a﹣1）2 C．x2+6x+10＝（x+3）2+1 D．m2﹣4m＝m（m﹣4） 【分析】运用因式分解的定义进行辨别、求解． 【解答】解：∵a（3）不是表示整式的乘积， ∴选项A不符合题意； ∵a2﹣2a﹣1≠（a﹣1）2， ∴选项B不符合题意； ∵（x+3）2+1不是整式乘积的形式， ∴选项C不符合题意； ∵m2﹣4m＝m（m﹣4）， ∴选项D符合题意， 故选：D． 【点评】此题考查了因式分解定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 【作业2】（2025秋•瓦房店市期末）把多项式x2+ax+b分解因式得（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（　　）x2+ax+b分解因式得（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（　　） A．a＝2，b＝﹣3 B．a＝2，b＝3 C．a＝1，b＝﹣6 D．a＝﹣1，b＝﹣6 【分析】根据把多项式x2+ax+b分解因式得（x﹣2）（x+3）得出a＝﹣2+3，b＝﹣2×3，再求出答案即可． 【解答】解：∵把多项式x2+ax+b分解因式，得（x﹣2）（x+3）， ∴a＝﹣2+3＝1，b＝（﹣2）×3＝﹣6， 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，能熟记x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）是解此题的关键． 【作业3】（2025秋•宁河区校级月考）把4x3y2z﹣6xy2z3+12xy3z2分解因式时，应提取的公因式是（　　）x3y2z﹣6xy2z3+12xy3z2分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．4x2y2z B．2xy2z C．6xy D．2 【分析】找公因式的要点是：①公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；②字母取各项都含有的相同字母；③相同字母的指数取次数最低的．根据找公因式的方法解题即可． 【解答】解：原式＝2xy2z（2x2﹣3z2+6yz）， ∴4x3y2z﹣6xy2z3+12xy3z2的公因式是2xy2z； 故选：B． 【点评】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握相关知识是解题的关键， 【作业4】（2024秋•上蔡县期末）将多项式x2﹣x﹣2进行因式分解，结论正确的为（　　）x2﹣x﹣2进行因式分解，结论正确的为（　　） A．（x﹣1）（x﹣2） B．（x+1）（x+2） C．（x+1）（x﹣2） D．（x﹣1）（x+2） 【分析】原式利用十字相乘法分解即可． 【解答】解：根据十字相乘法分解可得： x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）， 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解．熟练掌握该知识点是关键． 【作业5】（2025秋•麻阳县校级期中）甲、乙两个同学因式分解x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+4）（x+8），乙看错了a，分解结果为（x﹣2）（x+6），则a＝　12　 ，b＝　﹣12　 ．x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+4）（x+8），乙看错了a，分解结果为（x﹣2）（x+6），则a＝　12　 ，b＝　﹣12　 ． 【分析】甲看错了b，因此甲计算中的a值正确；乙看错了a，因此乙计算中的b值正确．分别展开甲和乙的因式分解结果，得到a和b的值． 【解答】解：甲看错了b，因此甲计算中的a值正确；乙看错了a，因此乙计算中的b值正确．则： 甲的结果为（x+4）（x+8）＝x2+12x+32， ∴a＝12； 乙的结果为（x﹣2）（x+6）＝x2+4x﹣12， ∴b＝﹣12， 故答案为：12，﹣12 【点评】本题考查的是多项式的乘法运算与因式分解，正确进行计算是解题关键． 【作业6】（2025秋•杨浦区期中）因式分解：x2﹣14x﹣32＝　（x+2）（x﹣16）　 ．x2﹣14x﹣32＝　（x+2）（x﹣16）　 ． 【分析】利用十字相乘法进行因式分解即可． 【解答】解：原式＝（x+2）（x﹣16）， 故答案为：（x+2）（x﹣16）． 【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【作业7】（2025秋•北林区校级月考）分解因式：9﹣4x2+4xy﹣y2＝　（3+2x﹣y）（3﹣2x+y）　 ．x2+4xy﹣y2＝　（3+2x﹣y）（3﹣2x+y）　 ． 【分析】先分组得到9﹣（4x2﹣4xy+y2），再利用完全平方公式分解因式，进一步利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：原式＝9﹣（4x2﹣4xy+y2） ＝32﹣（2x﹣y）2 ＝（3+2x﹣y）（3﹣2x+y）， 故答案为：（3+2x﹣y）（3﹣2x+y）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 【作业8】（2025春•兰州期中）若2x2+mx﹣1能分解为（2x+1）（x﹣1），求m的值．x2+mx﹣1能分解为（2x+1）（x﹣1），求m的值． 【分析】先把分解的结果利用多项式乘以多项式法则得到结果为2x2﹣x﹣1，利用多项式相等的条件即可求出m的值． 【解答】解：∵2x2+mx﹣1＝（2x+1）（x﹣1）＝2x2﹣x﹣1， ∴mx＝﹣x， 则m＝﹣1． 【点评】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解本题的关键． 【作业9】（2024秋•凉州区期末）分解因式： （1）（a2+3a）2﹣（a﹣1）2； （2）（x2﹣1）2﹣6（x2﹣1）+9． 【分析】（1）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解即可； （2）先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式继续分解即可． 【解答】解；（1）原式＝（a2+3a+a﹣1）（a2+3a﹣a+1） ＝（a2+4a﹣1）（a2+2a+1） ＝（a2+4a﹣1）（a+1）2； （2）（x2﹣1）2﹣6（x2﹣1）+9 ＝（x2﹣1﹣3）2 ＝（x2﹣4）2 ＝（x+2）2（x﹣2）2． 【点评】本题考查了公式法的综合运用．因式分解要彻底，直到不能分解为止．熟练掌握该知识点是关键． 【作业10】（2023春•即墨区期中）阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解． 例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法． （1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）； （2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x+y﹣1） 试用上述方法分解因式： （1）a2+2ab+b2+ac+bc； （2）4a2﹣x2+4xy﹣4y2． 【分析】（1）原式前三项结合，后两项结合，利用完全平方公式及提取公因式方法分解即可； （2）原式后三项提取﹣1，利用完全平方公式及平方差公式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝（a2+2ab+b2）+（ac+bc）＝（a+b）2+c（a+b）＝（a+b）（a+b+c）； （2）原式＝4a2﹣（x2﹣4xy+4y2）＝4a2﹣（x﹣2y）2＝（2a+x﹣2y）（2a﹣x+2y）． 【点评】此题考查了分解因式﹣十字相乘法，以及分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 因式分解（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 七年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解因式分解的概念，能准确判断一个变形是否为因式分解。 · 掌握提取公因式法，能正确找出公因式并分解。 · 掌握平方差公式和完全平方公式，能熟练运用公式法分解因式。 · 掌握十字相乘法，能对二次三项式进行因式分解。 · 掌握分组分解法，能对四项或更多项的多项式进行因式分解。 · 了解配方法、待定系数法等因式分解的拓展方法，提升代数综合能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 因式分解的意义 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。 · 因式分解是整式乘法的逆变形。 · 结果必须是整式的乘积，且每个因式都要分解到不能再分解为止。 · 注意与整式乘法的区别：整式乘法是把几个整式相乘得到多项式，因式分解是把多项式化为几个整式的乘积。 ☑ 典型例题 1 题目：下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（  ） A. (x−2)² = x²−4x+4   B. x²+3x+2 = x(x+3)+2   C. x²−9 = (x+3)(x−3)   D. x²+x = x²(1+1/x) 解析：A是整式乘法；B右边不是积的形式；C符合因式分解定义；D中1/x不是整式。 答案：C ☆ 2. 提取公因式法 法则：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 · 公因式的确定：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母；指数取各相同字母的最低次幂。 · 提公因式后，括号内的项数与原多项式项数相同。 · 注意符号：若首项为负，一般先提出负号，使括号内首项为正。 ☑ 典型例题 2 题目：把多项式 ax²−ax 分解因式，结果是（  ） A. a(x²−x)   B. ax(x−1)   C. ax(x+1)   D. a(x−1) 解析：公因式为 ax，提取后得 ax(x−1)。 答案：B ☆ 3. 公式法 运用乘法公式的逆运算进行因式分解。 · 平方差公式：a²−b² = (a+b)(a−b) · 完全平方公式：a²±2ab+b² = (a±b)² · 注意公式的结构特征，先判断是否符合公式形式，再分解。 ☑ 典型例题 3 题目：分解因式 −x²+9 的结果是（  ） A. (x+3)(x−3)   B. −(x+3)(x−3)   C. (3−x)(3+x)   D. −(x+3)² 解析：−x²+9 = 9−x² = (3−x)(3+x)。 答案：C ☆ 4. 十字相乘法 适用于二次三项式 x²+px+q 或 ax²+bx+c 的因式分解。 · 对于 x²+(p+q)x+pq，分解为 (x+p)(x+q)。 · 关键：将常数项分解成两个数，使它们的和等于一次项系数。 · 对于二次项系数不为1的情况，需要同时分解二次项系数和常数项，交叉相乘后相加得一次项系数。 ☑ 典型例题 4 题目：分解因式 x²−5x+6，结果正确的是（  ） A. (x−6)(x+1)   B. (x−6)(x−1)   C. (x+2)(x+3)   D. (x−2)(x−3) 解析：常数项6分解为(−2)×(−3)，且(−2)+(−3)=−5，所以 x²−5x+6=(x−2)(x−3)。 答案：D ☆ 5. 分组分解法 将多项式分组后，分别提取公因式或运用公式，再整体提取公因式。 · 分组的目的：使各组之间出现公因式或符合公式结构。 · 常用分组方式：两项一组、三项一组（完全平方+平方差）等。 · 注意分组的灵活性和合理性。 ☑ 典型例题 5 题目：分解因式 x³+x²−4x−4 的结果是（  ） A. (x+1)(x+2)(x−2)   B. (x+1)²(x−2)   C. (x−1)(x+2)²   D. (x−1)(x−2)(x+2) 解析：原式 = (x³+x²)−(4x+4) = x²(x+1)−4(x+1) = (x²−4)(x+1) = (x+2)(x−2)(x+1)。 答案：A ❤ 知识总结表 方法 适用类型 关键步骤 注意事项 提公因式法 各项有公因式 确定公因式，提取后检查 公因式要提尽，注意符号 平方差公式 a²−b² 化为 (a+b)(a−b) 必须是两项，且是平方差 完全平方公式 a²±2ab+b² 化为 (a±b)² 三项式，两平方项符号相同 十字相乘法 二次三项式 分解常数项和二次项系数 交叉相乘之和等于一次项系数 分组分解法 四项或更多项 合理分组，提取公因式 分组后能继续分解 核心考点 ·6大典型考点精讲 【考点1】因式分解的意义（第1–4题） ※方法总结 · 判断依据：左边是多项式，右边是几个整式的乘积。 · 注意区分因式分解与整式乘法（方向相反）。 · 右边每个因式都必须是整式，不能含有分式。 · 分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止。 1．（2026春•梁溪区校级期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4 B．x2+3x+2＝x（x+3）+2 C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） D． 2．（2025秋•大兴安岭期末）下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（　　） A．2x2﹣4＝2（x2﹣2） B．（x+y）2＝x2+2xy+y2 C．x2﹣3x+4＝x（x﹣3）+4 D．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y） 3．（2026春•古塔区校级期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x2+2x+7＝x（x+2）+7 B．（x+4）2＝x2+8x+16 C． D．x2﹣16＝（x+4）（x﹣4） 4．（2025秋•博兴县期末）小明把多项式2x2﹣13x+n分解因式，有一个因式是（x﹣5），则n的值为（　　） A．15 B．40 C．﹣40 D．﹣15 【考点2】提取公因式法（第5–11题） ※方法总结 · 确定公因式：系数取最大公约数，字母取相同字母的最低次幂。 · 提公因式后，括号内的项数与原多项式项数相同。 · 注意首项为负时，提出负号使括号内首项为正。 · 检验：用乘法分配律展开验证。 5．（2025秋•贵州期末）把多项式ax2﹣ax分解因式，结果是（　　） A．a（x2﹣x） B．ax（x﹣1） C．ax（x+1） D．a（x﹣1） 6．（2025秋•浦东新区期末）已知长、宽分别为a，b的长方形的周长为22，面积为18，则a2b+ab2的值为（　　） A．198 B．216 C．252 D．396 7．（2025春•西安期末）将多项式4xy2z﹣8x2y2z﹣6xyz2分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．xyz2 B．8xy C．2xyz D．24x2y2z2 8．（2024秋•秀峰区校级期末）（﹣2）2024+（﹣2）2025计算后的结果是（　　） A．22024 B．﹣2 C．﹣22024 D．﹣1 9．（2024•平乐县校级开学）把多项式（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）提取公因式（m﹣1）后得（m﹣1）（　　），括号中内容是（　　） A．m+1 B．2m C．m﹣1 D．m+2 10．（2023秋•泰山区校级月考）因式分解：x3﹣4x2y+xy2＝　 　 ． 11．（2015春•濉溪县期末）若a2+a＝0，求2a2+2a+2015的值． 【考点3】公式法（第12–19题） ※方法总结 · 平方差公式：a²−b²=(a+b)(a−b)，两项且为平方差。 · 完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²，三项且两平方项同号。 · 注意先提取公因式，再运用公式。 · 分解要彻底，如 a⁴−16 需连续用平方差公式。 12．（2025秋•川汇区校级期末）下列多项式，①x2+y2，②﹣x2+y2，③x2﹣y2+2xy，④﹣x2﹣y2+2xy能用公式法分解因式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（2025秋•岳阳楼区期末）若x2+kx+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．6 B．﹣4或8 C．﹣6或6 D．0 14．（2025秋•娄星区期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．x2﹣2x﹣1 B．x2+2x+4 C．x2﹣6x+9 D． 15．（2026•天长市一模）分解因式：﹣x2+9＝　 　 ． 16．（2026•玄武区一模）分解因式：（a+b）2﹣4ab＝　 　 ． 17．（2025秋•城关区校级期中）把a4﹣16分解因式，正确的结果是 　 　 ． 18．（2025秋•金山区期中）m4﹣18m2+81． 19．（2018春•荷塘区期末）（1）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，求a2+b2和ab的值． （2）分解因式： ①x2﹣8xy+16y2 ②（x+y+1）2﹣（x﹣y+1）2． 【考点4】十字相乘法（第20–28题） ※方法总结 · 对于 x²+(p+q)x+pq，分解为 (x+p)(x+q)。 · 对于 ax²+bx+c，需同时分解二次项和常数项。 · 交叉相乘后相加，结果等于一次项系数。 · 注意符号的搭配。 20．（2026春•长清区期中）若将多项式x2+mx+6因式分解得（x+3）（x+n），则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 21．（2025秋•安陆市期末）分解因式x2﹣5x+6，结果正确的是（　　） A．（x﹣6）（x+1） B．（x﹣6）（x﹣1） C．（x+2）（x+3） D．（x﹣2）（x﹣3） 22．（2025秋•淄博期中）甲、乙两位同学在对多项式x2+bx+c分解因式时，甲看错了b的值，分解的结果是（x﹣4）（x+5），乙看错了c的值，分解的结果是（x+3）（x﹣4），那么x2+bx+c分解因式正确的结果为（　　） A．（x﹣5）（x﹣4） B．（x+4）（x﹣5） C．（x﹣4）（x+5） D．（x+4）（x+5） 23．（2025秋•杨浦区期中）已知p＝﹣m﹣n，q＝mn，那么关于x的整式x2+px+q因式分解的结果是（　　） A．（x+m）（x+n） B．（x﹣m）（x﹣n） C．（x+m）（x﹣n） D．（x﹣m）（x+n） 24．（2025秋•碾子山区期末）已知二次三项式x2+6x+a有一个因式是（x+5），则另一个因式为　 　 ． 25．（2025秋•浦东新区校级期末）因式分解：a2﹣11a+24＝　 　 ． 26．（2025秋•威海期末）因式分解： （1）； （2）； （3）x2﹣4x﹣21（用十字相乘法）． 27．（2025秋•兰山区期末）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材133页有“阅读与思考”： 根据多项式的乘法法则，可知（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+q）x+pq． 那么，反过来，也有x2+（p+q）x+pq﹣（x+p）（x+q）． 这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解x2+3x+2这个式子的二次项系数是1，常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，符合x2+（p+q）x+pq类型，于是有x2+3x+2＝（x+1）（x+2）这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数． 这样，我们也可以得到|x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 （1）直接写出分解因式的结果： ①x2﹣5x﹣24＝ 　 　 ； ②x2+8xy+12y2＝ 　 　 ； （2）因式分解（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2； 【拓展提升】 （3）因式分解x2y+x2﹣3xy+xy2﹣4y2． 28．（2025秋•徐闻县期末）阅读以下材料： 材料：因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1 解：将“x﹣y”看成整体，设x﹣y＝a，则原式＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 再将“a”还原，则原式＝（x﹣y﹣1）2 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（m﹣n）2+6（m﹣n）+9＝　 　 ； （2）因式分解：（a2﹣4a+3）（a2﹣4a+5）+1； （3）求证：无论n为何值，式子（n2+3n）（n2+3n+2）+2的值一定不小于1． 【考点5】分组分解法（第29–39题） ※方法总结 · 分组后能提取公因式或运用公式。 · 常见分组方式：两项一组、三项一组（配完全平方）、四项一组（两两分组）。 · 分组后要继续分解，直到不能分解为止。 · 注意分组的灵活性，可以尝试不同分组方式。 29．（2025秋•黄浦区校级月考）用分组分解法将x2﹣xy+2y﹣2x分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A．（x2﹣2x）+（2y﹣xy） B．（x2﹣xy）+（2y﹣2x） C．（x2+2y）+（﹣xy﹣2x） D．（x2﹣2x）﹣（xy﹣2y） 30．（2024春•同步）已知x3+2x2﹣3x+k因式分解后，其中有一个因式为x+2，则k的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．10 D．﹣10 31．（2022秋•晋江市校级期中）因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为（　　） A．（a﹣b）2（a+b） B．（a+b）2（a﹣b） C．ab（a+b）2 D．ab（a﹣b）2 32．（2009春•单元）把多项式4x2﹣2x﹣y2﹣y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（　　） A．（4x2﹣y）﹣（2x+y2） B．（4x2﹣y2）﹣（2x+y） C．4x2﹣（2x+y2+y） D．（4x2﹣2x）﹣（y2+y） 33．（2026•凉州区一模）分解因式：ab﹣a﹣b+1＝　 　 ． 34．（2025•宁国市校级自主招生）因式分解：x3﹣2x2y﹣7xy2﹣4y3＝　 　 ． 35．（2025•海伦市三模）因式分解：9x2﹣y2+2y﹣1＝ 　 　 ． 36．（2024•东莞市校级自主招生）因式分解 a2﹣b2﹣c2﹣2bc＝　 　 ． 37．（2025秋•崇明区校级期中）因式分解： ①（a2+3a）2﹣8（a2+3a）+16； ②t4﹣4t2+4t﹣1． 38．（2025秋•同步）把多项式x3﹣x2﹣x+1因式分解． 39．（2025春•单元）阅读下列材料：分解因式：3x2+3xy﹣5x﹣5y． 方法1：3x2+3xy﹣5x﹣5y＝（3x2+3xy）﹣（5x+5y）＝3x（x+y）﹣5（x+y）＝（x+y）（3x﹣5）． 方法2：3x2+3xy﹣5x﹣5y＝（3x2﹣5x）+（3xy﹣5y）＝x（3x﹣5）+y（3x﹣5）＝（3x﹣5）（x+y）． 【方法总结】对不能直接使用提公因式法和公式法进行因式分解的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”，即提公因式法和公式法进行分解，然后再整体按“基本方法”继续进行分解，直到分解彻底．这种分解因式的方法叫作分组分解法： 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： （1）分解因式：x3+x2﹣4x﹣4． （2）分解因式：y2+2yz+z2﹣9x2． 【考点6】创新及压轴题（第40–42题） ※方法总结 · 待定系数法：设未知系数，根据恒等式对应项系数相等求解。 · 整体思想：将某式看作整体，运用公式或换元法分解。 · 配方法：添项构造完全平方式，再运用平方差公式。 · 综合运用多种方法，灵活选择。 40．（2025秋•龙口市期末）【例题讲解】因式分解：x3﹣1． ∵x3﹣1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b， ∴x3﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b恒成立． ∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即， 解得， ∴x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 （1）若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4），则m＝　 　 ； （2）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值及另一个因式． 41．（2022春•武冈市期末）先阅读材料，再回答问题： 分解因式：（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1 解：设a﹣b＝M，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2 再将a﹣b＝M还原，得到：原式＝（a﹣b﹣1）2 上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题： （1）分解因式：（x+y）（x+y﹣4）+4 （2）若a为正整数，则（a﹣1）（a﹣2）（a﹣3）（a﹣4）+1为整数的平方，试说明理由． 42．（2022春•邗江区期中）对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有： x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2 ＝（x+a）2﹣（2a）2 ＝（x+3a）（x﹣a） 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． （1）利用“配方法”分解因式： ①a2﹣6a﹣7 ②a4+a2b2+b4 （2）若a+b＝4，ab＝2，求①a2+b2；②a4+b4的值． （3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由． 随堂检测 · 精选练习 练习1：因式分解判断练习2：十字相乘法求系数练习3：提公因式法应用练习4：平方差公式几何验证练习5：配方法因式分解 【练习1】（2026春•沭阳县期中）下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（　　） A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．ab﹣a﹣b+1＝（a﹣1）（b﹣1） D． 【练习2】（2026春•锡山区期中）若多项式x2+mx﹣12可分解为（x﹣3）（x+4），则m的值为（　　）x2+mx﹣12可分解为（x﹣3）（x+4），则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．7 D．﹣7 【练习3】（2026春•灌南县期中）如果2x2+px+q因式分解的结果为（x+3）（2x﹣1），那么p+q＝　 　 ．x2+px+q因式分解的结果为（x+3）（2x﹣1），那么p+q＝　 　 ． 【练习4】（2026春•玄武区期中）以下三种方法中，能够验证等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的有　 　 （填序号）．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的有　 　 （填序号）． 【练习5】（2026春•郑州校级期中）【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解x2+2x﹣3，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法：x2+2x﹣3，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3＝x2+2×x×1+12﹣1﹣3＝（x+1）2﹣22． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全x2+2x﹣3的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解x2+8x+7； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式x2+y2﹣4x+6y+18有最小值？并求出这个最小值． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：因式分解判断作业2：十字相乘法求系数作业3：提公因式法作业4：十字相乘法分解作业5：错看问题作业6：十字相乘法作业7：分组分解法作业8：因式分解求参数作业9：公式法综合作业10：分组分解法 ❤ 复习建议 明确因式分解的定义：区分因式分解与整式乘法，注意结果是整式的积，且要分解彻底。 熟练掌握基本方法：提公因式法、公式法（平方差和完全平方）、十字相乘法、分组分解法，每种方法都有其适用特征。 先提后套：分解因式时，先观察是否有公因式，若有先提取，再考虑其他方法。 灵活运用整体思想：对于复杂多项式，将某部分看作整体，简化问题。 检验与验证：分解完成后，用整式乘法展开检验，确保结果正确。 【作业1】（2025秋•阿克陶县期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B．a2﹣2a﹣1＝（a﹣1）2 C．x2+6x+10＝（x+3）2+1 D．m2﹣4m＝m（m﹣4） 【作业2】（2025秋•瓦房店市期末）把多项式x2+ax+b分解因式得（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（　　）x2+ax+b分解因式得（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（　　） A．a＝2，b＝﹣3 B．a＝2，b＝3 C．a＝1，b＝﹣6 D．a＝﹣1，b＝﹣6 【作业3】（2025秋•宁河区校级月考）把4x3y2z﹣6xy2z3+12xy3z2分解因式时，应提取的公因式是（　　）x3y2z﹣6xy2z3+12xy3z2分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．4x2y2z B．2xy2z C．6xy D．2 【作业4】（2024秋•上蔡县期末）将多项式x2﹣x﹣2进行因式分解，结论正确的为（　　）x2﹣x﹣2进行因式分解，结论正确的为（　　） A．（x﹣1）（x﹣2） B．（x+1）（x+2） C．（x+1）（x﹣2） D．（x﹣1）（x+2） 【作业5】（2025秋•麻阳县校级期中）甲、乙两个同学因式分解x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+4）（x+8），乙看错了a，分解结果为（x﹣2）（x+6），则a＝　 　 ，b＝　 　 ．x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+4）（x+8），乙看错了a，分解结果为（x﹣2）（x+6），则a＝　 　 ，b＝　 　 ． 【作业6】（2025秋•杨浦区期中）因式分解：x2﹣14x﹣32＝　 　 ．x2﹣14x﹣32＝　 　 ． 【作业7】（2025秋•北林区校级月考）分解因式：9﹣4x2+4xy﹣y2＝　 　 ．x2+4xy﹣y2＝　 　 ． 【作业8】（2025春•兰州期中）若2x2+mx﹣1能分解为（2x+1）（x﹣1），求m的值．x2+mx﹣1能分解为（2x+1）（x﹣1），求m的值． 【作业9】（2024秋•凉州区期末）分解因式： （1）（a2+3a）2﹣（a﹣1）2； （2）（x2﹣1）2﹣6（x2﹣1）+9． 【作业10】（2023春•即墨区期中）阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解． 例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法． （1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）； （2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x+y﹣1） 试用上述方法分解因式： （1）a2+2ab+b2+ac+bc； （2）4a2﹣x2+4xy﹣4y2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $