第04讲 有理数的乘法、除法运算（6知识点+10题型+达标检测）-2025年小升初数学无忧衔接（沪教版五四制2024）

第04讲 有理数的乘法、除法运算 1.准确理解有理数乘法、除法的运算法则，熟练掌握有理数乘法、除法的运算步骤，能正确区分正数、负数、零在运算中的不同规则，并能运用文字语言和符号语言清晰阐述运算法则。 2.熟练掌握多个有理数相乘、相除的运算方法，明确确定积或商的符号的规律，能准确计算出结果；同时，能够将有理数的除法运算通过倒数的概念转化为乘法运算，实现乘除运算之间的灵活转换。 3.能熟练运用有理数乘法、除法运算解决生活中的实际问题，如行程问题中的速度、时间、路程计算，商品价格的折扣计算等，提高运用数学知识解决实际问题的能力。 知识点一 有理数的乘法法则 1. 有理数的乘法法则 (1) 两数相乘，同号得正，异号得负,并把绝对值相乘; (2) 任何数与0相乘,都得0. 2. 有理数乘法的运算步骤 (1)确定积的符号;(2)确定积的绝对值 注意： 确定积的符号是乘法运算中至关重要的一步,法则中的“同号得正,异号得负”是指两数相乘,不要与有理数的加法法则混淆. 知识点二 倒数的概念 1. 倒数 乘积是的两个数互为倒数. 当时,与互为倒数; 当,时,与互为倒数. 注意：倒数是它本身的数只有1和-1. 2. 倒数与相反数的区别 倒数 相反数 定义 乘积是1的两个数互为倒数 只有符号不同的两个数互为相反数 表示 的倒数是 的相反数是 性质 若,互为倒数,则 若,互为相反数,则 判定 若,则,互为倒数 若，则,互为相反数 相同点 都成对出现 不同点 正数的倒数是正数,负数的倒数是负数，0没有倒数 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数,0的相反数是0 知识点三 多个有理数相乘 1.几个不是0的数相乘的法则 积的符号由负因数的个数决定.当负因数的个数是偶数时,积是正数;当负因数的个数是奇数时,积是负数.确定符号后,再把这几个有理数的绝对值相乘.简记为“偶正奇负，绝对值相乘” 2.有因数0的几个数相乘的法则 几个数相乘，如果其中有因数为0,那么积等于0.同样,若积为零则至少有一个因数为零. 注意： 在乘法运算中,一般先把式子中所有的小数化为分数,带分数化为假分数，然后再确定符号，并把绝对值相乘. 知识点四 有理数的乘法运算律 运算律 文字表达 符号语言 乘法交换律 两个数相乘,交换因数的位置,积相等 乘法结合律 三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘，积相等 乘法分配律 一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 有理数的乘法交换律或乘法结合律一般不单独用,交换的目的是为了更好地结合. 知识点五 有理数除法法则 法则1： 除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.用公式表示为（除数一定不能为0哦!） 法则2： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数都得0. 提示 (1) 有理数除法没有交换律、结合律,更没有分配律. (2) 两个数相除,若商是 1,则这两个数相等;若商是 -1,则这两个数互为相反数. (3) 任何数除以1都得原数;任何数除以-1都得原数的相反数;除以一个非0数等于这个数的倒数. 化简分数要遵循“同号得正，异号得负”的符号法则,分子、分母、分数线前,若有一个或两个负号,则负号可以移到三个位置的任何一个,而分数的值不变. 知识点六 有理数乘除的同级运算 有理数乘除同级运算通常是先将除法转化成乘法，然后按照乘法法则,确定积的符号，最后求出结果 注意： 1. 除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算； 2. 有理数的乘除运算是同级运算,如果没简便计算情况下，一般要按照从左到右的顺序进行. 题型一、两个有理数的乘法运算 例1若两数之积为负数，则这两个数一定是（　　） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，熟知两个非零的有理数相乘，同号为正，异号为负是解题的关键． 【详解】解：∵两个非零的有理数相乘，同号为正，异号为负， ∴若两数之积为负数，则这两个数一定是一正一负， 故选：C． 1-1（24-25六年级上·上海闵行·期末） ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，直接根据有理数乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 1-2计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)0； (2)； (3)； (4)； (5)0； (6)； (7)1； (8) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，正确运用有理数的乘法法则，尤其是符号法则，是解题的关键． （1）根据0与任何数相乘都得0进行计算； （2）根据两数相乘，异号得负进行计算； （3）根据两数相乘，异号得负进行计算； （4）根据两数相乘，同号得正进行计算； （5）根据0与任何数相乘都得0进行计算； （6）根据两数相乘，异号得负进行计算； （7）先利用乘法交换律，再根据两数相乘，同号得正进行计算； （8）先计算括号中的式子，再根据两数相乘，异号得负进行计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 题型二、多个有理数的乘法运算 例2（24-25六年级上·上海·期中）下列说法中，正确的个数是（    ） ①个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负； ②个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； ③个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负； ④个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个； ⑤个有理数相乘，当积为正时，正因数有奇数个； ⑥个有理数相乘，当积为正时，正因数有偶数个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，解题的关键是熟练使用运算法则进行计算．根据几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数有奇数个，积为负；负因数有偶数个，积为正． 【详解】解：①个有理数相乘，当其中一个因数为0时，不管正因数有多少个，积为0，故原说法错误； ②个有理数相乘，当其中一个因数为0时，不管负因数有多少个，积为0，故原说法错误； ③个不为0有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负，故原说法错误； ④个有理数相乘，当积为负时，则负因数一定有奇数个，故原说正确； ⑤个有理数相乘，当积为正时，不管正因数有多少个，则负因数一定有偶数个，故原说错误； ⑥个有理数相乘，当积为正时，不管正因数有多少个，则负因数一定有偶数个，故原说错误； 故正确的有④共1个， 故选：A． 2-1（24-25六年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)60 (4) 【分析】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则和运算律是解题的关键． （1）利用乘法交换律，结合律计算即可； （2）利用乘法交换律，结合律计算即可； （3）利用乘法交换律，结合律计算即可； （4）利用乘法交换律，结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型三、有理数乘法的实际应用 例3（24-25六年级上·上海嘉定·期末）某汽车制造厂计划今年第一季度生产15000辆汽车，但实际生产的轿车数量比计划增加了，那么该汽车制造厂今年第一季度实际生产了 辆汽车． 【答案】18750 【分析】本题考查分数混合运算的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据题意进行列式计算即可． 【详解】解：由题意可得： （辆）， 故答案为：18750． 3-1（24-25六年级上·上海·阶段练习）股民曹先生上星期五买进某公司股票1000股，每股31元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 注：正数表示比前一天上涨，负数表示比前一天下跌． (1)星期三收盘时，每股是多少元？（列式计算） (2)本周内最高股价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)周三收盘时股价为元 (2)本周内最高股价是每股元，最低价是每股元 (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出他的收益元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及正负数表示一对具有相反意义的量，解题关键在于认真的阅读题目，分析题意，认真的进行计算． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据有理数的加法，有理数的大小比较，可得答案； （3）分别求出卖出时的受益，买进的费用即可解决问题； 【详解】（1）解：周三收盘时股价为： (元)． 答：周三收盘时股价为元； （2）解：周一股价为：(元)； 周二股价为：(元)； 周三股价为：(元)； 周四股价为：(元)∶ 周五股价为：(元)； 答：本周内最高股价是每股元，最低价是每股元； （3）解：根据题意得∶（元） 答：如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出他的收益元． 3-2（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 【答案】(1)45 (2)1574元 【分析】（1）根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：，解答即可． （2）先计算正常产量的工资，加上超产的奖励工资即可． 本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算计算是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：（单）． 答：外卖小哥这一周平均每天送餐45单． （2）解：∵外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元． ∴本周工资为： （元）． 答：外卖小哥这一周工资收入1574元． 3-3（24-25六年级上·上海·阶段练习）出租车司机小刘某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向北为正，向南为负，他这天上午的行程是（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ (2)若汽车耗油量为升/千米，出车时，邮箱有油升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 【答案】(1)小张距上午出发点的距离13千米，在出发点的南方 (2)需要加油，需要加升才能返回出发地． 【分析】本题考查了正负数的意义及有理数的运算； （1）先将各数相加，再根据正负号判断即可； （2）先算出总路程，再算出消耗油量，最后判断即可． 【详解】（1）解：（千米）， 故小张距上午出发点的距离13千米，在出发点的南方． （2）解： 共耗油（升）， 至少需要加（升）， 需要加油，需要加升才能返回出发地． 题型四、倒数 例 4 的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数的概念，熟练掌握基本概念是解题的关键． 先将带分数化为假分数，再将分子分母颠倒位置即可得到答案． 【详解】解：， ∴的倒数是， 故答案为：． 4-1（24-25六年级上·上海·期中）若是，则的倒数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据乘积为1的两个数互为倒数，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故答案为：． 4-2（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了倒数的定义，掌握“乘积是1的两个数互为倒数”是解题关键．将带分数化为假分数，再求倒数即可． 【详解】解：， 的倒数是， 即的倒数是， 故答案为：． 4-3（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．有理数包括正有理数和负有理数 B．和正整数称为非负数 C．除外，所有的有理数都有倒数 D．规定了原点、单位长度和正方向的射线叫做数轴 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，倒数，数轴，熟练掌握各个知识点是解题的关键．根据有理数的分类，倒数，数轴相关概念逐一判断即可． 【详解】解：、有理数包括正有理数，和负有理数，原选项说法错误，不符合题意； 、和正数称为非负数，原选项说法错误，不符合题意； 、除外，所有的有理数都有倒数，原选项说法正确，符合题意； 、规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 4-4（24-25六年级上·上海·期中）下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查倒数，有理数的乘法，关键是掌握倒数的定义，有理数乘法的运算法则． 由倒数的定义，有理数乘法的运算法则，即可判断． 【详解】解：①0 没有倒数，故①不符合题意； ②若且，则异号且负数的绝对值较大，正确，故②符合题意； ③如果，那么中至少有一个为0，正确，故③符合题意； ④几个不为 0 的有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，故④不符合题意， ∴其中正确的结论有 2 个． 故选：B． 题型五、有理数乘法运算律 例5（24-25六年级上·上海黄浦·期末）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，变形后利用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 5-1（24-25六年级上·上海·阶段练习）简便计算： 【答案】13 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘法运算律，准确计算．根据乘法运算律进行计算即可． 【详解】解： ． 5-2（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，利用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 5-3（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： 5-4（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 利用有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】 ． 题型六、有理数的除法运算 例6（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将带分数化为假分数，再将除法化为乘法计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6-1（24-25六年级上·上海虹口·期中）计算： ． 【答案】4 【分析】该题主要考查了有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法运算法则． 根据除法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 6-2（24-25六年级上·上海金山·期中）若、、、为四个不为零的有理数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法，绝对值的应用，根据题意得出、、、四个数三个为正，一个为负，即可求解． 【详解】解：∵、、、为四个不为零的有理数，且， ∴、、、四个数三个为正，一个为负， ∴ 故答案为：． 6-3（24-25六年级上·上海崇明·期中）一个数的是的倒数，求这个数． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键；根据倒数的定义直接计算即可． 【详解】解：由题意知，这个数为：， 所以这个数为． 题型七、有理数除法的应用 例7（24-25六年级上·上海·期末）观察图中正方形四个顶点所标数字的规律，可知数2025应标在（    ） A．第507个正方形的右上角 B．第507个正方形的右下角 C．第506个正方形的左上角 D．第506个正方形的左下角． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法运算的运用，理解图示，找出规律是解题的关键． 根据题意，每个正方形的都有4个数字，由此可得应该标在第个正方形的右下角，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，每个正方形的都有4个数字， ∴， ∴应该标在第个正方形的右下角， 故选：B ． 7-1（24-25六年级上·上海奉贤·期中）把一根长度为5米的绳子平均分成4段，下列说法正确的是（    ） A．每一段绳子的长度是米 B．每一段绳子的长度是米 C．每一段绳子的长度是米 D．每一段绳子的长度是米 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法，根据把一根长度为5米的绳子平均分成4段，得出每一段绳子的长度是米，即可作答． 【详解】解：∵把一根长度为5米的绳子平均分成4段， ∴（米）， ∴每一段绳子的长度是米， 故选：C． 7-2 如图所示，点，，把一条300米环形跑道分为相等的3段．若甲、乙两人分别从，两处同时相向出发，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米．相遇后不改变方向，经过800秒时，两人恰好第 次相遇． 【答案】14 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用； 分别求出第一次相遇的时间和之后每次相遇所需时间，再进行计算即可． 【详解】解：由题意得：两人第一次相遇的时间为秒， 之后每次相遇所需时间为秒， 所以第一次相遇后又相遇了次， 所以经过800秒时，两人恰好第14次相遇， 故答案为：14． 7-3（24-25六年级上·上海长宁·期中）一辆公交车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站，下表记录了这辆公交车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车的人数．该次公交车从起点站出发，到终点站全体下车．已知中间第四站开车时的人数比起点站的人数多了4个，回答以下问题： 停靠 起点站 中间第一站 中间第二站 中间第三站 中间第四站 中间第五站 中间第六站 终点 上下车人数 (1)中间第二站上车人数是_______，下车人数是_______，中间第二站开车时车上人数是_______； (2)请问的值是_______； (3)到达终点站时的人数比起点站的人数多了还是少了？此时的人数比起点站的人数多了（或少了）几分之几？ (4)如果每人次的车票价格是2元，请问这一趟公交车票价总收入为多少元？ 【答案】(1)，， (2) (3)到达终点站时的人数比起点站的人数少了，此时的人数比起点站的人数少了 (4)这一趟公交车票价总收入为92元 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减法的应用及有理数的乘除法的应用，根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据表格数据根据正负数的意义，有理数的加减进行计算即可求解； （2）先计算出中间第三站开车时车上人数，再根据中间第四站上车人数结合中间第四站开车时的人数比起点站的人数多了4个，列式计算即可； （3）观察表格中数据，求出到达终点站时的人数，即可解答； （4）根据表格数据，求出所有上车的人数再加上起点站的人数，最后乘以票价即可解答． 【详解】（1）解：由表格可知：中间第二站上车人数是4人，下车人数是6人， 中间第二站开车时车上人数是：（人）； 故答案为：4，6，21 （2）解：中间第三站开车时车上人数是：（人）， 中间第四站上车后人数：（人）， 根据题意：中间第四站开车时的人数为：（人） 则（人） 故； 故答案为： （3）解：到达终点站时的人数为：（人）， ， ， 到达终点站时的人数比起点站的人数少了，此时的人数比起点站的人数少了； （4）解： （元） 答：这一趟公交车票价总收入为92元． 题型八、有理数乘除混合运算 例8（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】2 【分析】根据有理数乘除的混合运算解答即可． 本题考查了有理数乘除的混合运算，熟练掌握运算法则是阶梯的关键． 【详解】解： ． 8-1（24-25六年级上·上海闵行·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键．根据有理数的乘除运算法则计算即可． 【详解】解： ． 8-2（24-25六年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【详解】解： 8-3（24-25六年级上·上海松江·期末）计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算， 先确定结果的符号，再将除法变为乘法，按照顺序计算即可． 【详解】解：原式 ． 8-4（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．将带分数转化成假分数，再根据有理数的乘除法可以解答本题． 【详解】解： ． 题型九、有理数四则混合运算 例9（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先算除法，再算加法即可． 【详解】解：原式 ． 9-1（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握混合运算法则． 按照混合运算法则先算括号里面的乘法，再进行通分，然后先算括号里面的，再算括号外面的即可． 【详解】解：原式 ． 9-2（24-25六年级上·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先化简绝对值，计算乘法，再计算加减即可． 【详解】解： ． 9-3（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数运算律和相关运算法则．先用乘法分配律计算，再算括号内，后算加减即可． 【详解】解： ． 题型十、有理数四则混合运算的实际应用 例10（24-25六年级上·上海·阶段练习）等额本金是指一种贷款的还款方式，是在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，这样由于每月的还款本金额度固定，而利息越来越少，借款人起初还款压力较大，但是随时间的推移每月还款败也越来越少． 设小王贷款60万，月利率是，采用等额本金还款法，准备在半年内还清，请问他第一个月需还款多少万元？第二个月需还款多少万元？最后总共要还款多少万元？ 【答案】第一个月需还款10.6万元，第二个月需还款10.5万元，最后总共要还款62.1万元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，利率问题，正确理解题意是解题的关键． 先求出每月应还本金，再由还款金额等于本金加利息求出每个月需要还款金额，再相加即可． 【详解】解：每月应还本金（万元）， 第一个月需还款（万元）， 第二个月需还款（万元）， 第三个月需还款（万元）， 第四个月需还款（万元）， 第五个月需还款（万元）， 第六个月需还款（万元）， ∴总共要还款：（万元）， 答：第一个月需还款10.6万元，第二个月需还款10.5万元，最后总共要还款62.1万元． 10-1（24-25六年级上·上海·期中）办理加油卡的好处除了可以自助加油，方便个人使用外，同时也给消费者提供了一定的优惠．如某加油站推出持加油卡加油每升优惠元，另外若加油这天的日期的个位数字恰好是5（比如某月5日，某月15日等）再优惠折后价的（规定每天最多只能加1次油）；小张2月15日在这个加油站办理了一张4088元的加油卡，计划在3月31日前加油10次，每次加元，已知现阶段95号汽油价格为元/L． (1)小张的这张加油卡，在计划日期内至少优惠了多少元？（提示：要求出最少优惠，那么就要避开特殊日子） (2)如果小张合理规划加油日期，从2月15日至3月31日期间，总共最多可以加_________升油．（直接写出答案） 【答案】(1)元 (2) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出对应的算式求解是解题的关键． （1）先求出总加油数，则可求出按照原价加油的费用，再减去办卡的费用即可得到答案； （2）根据题意可得个位数字是5的日期有5天，那么分别求出5天普通日子的加油数和5天特殊日子加油的费用，二者求和即可得到答案． 【详解】（1）解：元， 答：在计划日期内至少优惠了元； （2）解：2月15日至3月31日期间，个位数字是5的日期有2月15日，2月25日，3月5日，3月15日，3月25日，一共五天特殊日期， 升， ∴总共最多可以加升油． 10-2（24-25六年级上·上海金山·期中）某检修小组从地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)收工时检修小组位于地的______（东面西面），距离地______千米． (2)若每千米耗油升，问检修小组全程共耗油多少升？ 【答案】(1)西面， (2)升 【分析】（）根据正负数的意义列出算式计算即可； （）求出总路程，再乘以每千米耗油即可； 本题考查了正负数的意义，有理数加法和混合运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴收工时检修小组位于地的西面，距离地千米， 故答案为：西面，； （2）解：， 答：检修小组全程共耗油升． 10-3（24-25六年级上·上海闵行·期中）第七届进博会日益临近，其话题热度持续攀升．鉴于此，甲、乙两家广播电台准备在进博会期间对早间新闻进行调整．两家电台均打算在每天早晨同时开始播报早间新闻．其中：甲台每播报9分钟新闻后插播3分钟广告；乙台每播报15分钟新闻后插播3分钟广告，当两家电台的广告第一次同时结束时，早间新闻播报结束．问： (1)早间新闻播报将在几点结束? (2)早间新闻播报期间甲、乙两台将分别插播几分钟广告? 【答案】(1) (2)早间新闻播报期间甲、乙两台分别插播了9分钟和6分钟广告． 【分析】本题主要考查最小公倍数及整数四则运算的应用，理解题意是解题关键． （1）甲台新闻加广告是12分钟，乙台新闻加广告是18分钟；12，18的最小公倍数是36，所以是36分钟之后早间新闻播报结束，由此即可得； （2）用最小公倍数36分别除以新闻加广告共用的时间再乘插播广告时间即可． 【详解】（1）解：分钟，分钟， 因为12和18的最小公倍数为36， 所以早间新闻播报用了36分钟， 因为早晨开始播报早间新闻， 所以结束时间为； （2）解：分钟，分钟， 答：早间新闻播报期间甲、乙两台分别插播了9分钟和6分钟广告． A组 1.（24-25六年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．零是最小的非负有理数 B．任何一个数的绝对值是它本身 C．有理数中没有绝对值最小的数 D．任何一个正数大于它的倒数 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的特征和分类，有理数大小比较的方法，绝对值以及倒数，根据有理数的特征和分类，有理数大小比较的方法，绝对值的含义和求法，以及倒数的含义和求法，逐项判断即可． 【详解】解：A、零是最小的非负有理数，正确，本选项符合题意； B、负数的绝对值是它的相反数，例如的绝对值是2，不是它本身，故原说法错误，本选项不符合题意； C、有理数中绝对值最小的数是0，故原说法错误，本选项不符合题意； D、任何一个正数不一定大于它的倒数，例如小于它的倒数（的倒数是2），故原说法错误，本选项不符合题意． 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海金山·期中）下列说法正确的是（    ） A．因为，所以能被整除； B．有理数只包括正有理数和负有理数； C．所有的偶数都是合数； D．互为倒数的两个数乘积为． 【答案】D 【分析】本题考查了整除、有理数、合数和倒数，根据整除、有理数、合数和倒数的定义逐项判断即可求解，熟练掌握各概念是解题的关键． 【详解】解：、在中，除数不是整数，所以不能说能被整除，只能说能被除尽，该选项说法错误，不合题意； 、有理数包括正有理数，负有理数和，该选项说法错误，不合题意； 、除以外的偶数都是合数，该选项说法错误，不合题意； 、互为倒数的两个数乘积为，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 3．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）若，，且，则的值为（   ） A．5 B．5或1 C．1 D．1或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的性质及有理数的加法、乘法，解题的关键是根据，即，异号分情况讨论．由绝对值的性质，先求得x、y的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴当，时，； 当，时，． 故选：D． 4. 下列说法正确的是（    ） A．任何一个数都有倒数 B．分数都是有理数 C．是负数 D．绝对值等于本身的数是正数 【答案】B 【分析】根据分数和整数统称有理数，乘积为1的两个数互为倒数；绝对值的性质判断即可． 【详解】A. 任何一个非零数都有倒数，不符合题意； B. 分数都是有理数，符合题意； C. 不一定是负数，不符合题意； D. 绝对值等于本身的数是正数和零，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了有理数的定义，倒数的定义，绝对值的性质，熟练掌握定义和性质是解题的关键． 5. 下列哪个分数不能化成有限小数（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、是最简分数，分母中只含有质因数2，能化成有限小数，故本选项不合题意； 、是最简分数，分母中只含有质因数5，能化成有限小数，故本选项不合题意； 、是最简分数，分母中只含有质因数5，能化成有限小数，故本选项不合题意； 、是最简分数，分母中含有质因数3和2，不能化成有限小数，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查什么样的分数可以化成有限小数，解题的关键是掌握根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数． B组 1．（24-25七年级上·云南临沧·期中）计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，掌握整体思想成为解题的关键． ，，，，则，；将原式可化为；设，则．，易得，进而完成解答． 【详解】设，，，，则，， ∴ ， ∵设，则．， ∴． ∴． 故选A． 2．（24-25七年级上·山西晋中·期末）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘除法符号问题，根据，分三种情况分别求得的值，即可判断①；根据，可得，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值进而判断②，根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可判断③，根据，可得，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，分类讨论化简绝对值，根据③的方法即可判断④和⑤． 【详解】解：①∵， 当同号时，即或，时， 或， 当异号，即，或，， ∴或 ∴当时，的值为或；故①正确； 当时，即， ∴a、b异号，即，或，， ∴或； ∴当时，的值为；故②正确； ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴． ∴的值为．故③不正确； ∵，则 ∴， ∴a、b、c中有3个负数或一负两正， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有一负两正时，； ∴的值为或；故④正确； ∵， ∴a、b、c中一负两正或一正两负， 当a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴ 当a、b、c中一正两负， 不妨设, ∴ ∴的所有可能的值为，故⑤正确， 故正确的有①②④⑤， 故选：C． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 有理数的乘法、除法运算 1.准确理解有理数乘法、除法的运算法则，熟练掌握有理数乘法、除法的运算步骤，能正确区分正数、负数、零在运算中的不同规则，并能运用文字语言和符号语言清晰阐述运算法则。 2.熟练掌握多个有理数相乘、相除的运算方法，明确确定积或商的符号的规律，能准确计算出结果；同时，能够将有理数的除法运算通过倒数的概念转化为乘法运算，实现乘除运算之间的灵活转换。 3.能熟练运用有理数乘法、除法运算解决生活中的实际问题，如行程问题中的速度、时间、路程计算，商品价格的折扣计算等，提高运用数学知识解决实际问题的能力。 知识点一 有理数的乘法法则 1. 有理数的乘法法则 (1) 两数相乘，同号得正，异号得负,并把绝对值相乘; (2) 任何数与0相乘,都得0. 2. 有理数乘法的运算步骤 (1)确定积的符号;(2)确定积的绝对值 注意： 确定积的符号是乘法运算中至关重要的一步,法则中的“同号得正,异号得负”是指两数相乘,不要与有理数的加法法则混淆. 知识点二 倒数的概念 1. 倒数 乘积是的两个数互为倒数. 当时,与互为倒数; 当,时,与互为倒数. 注意：倒数是它本身的数只有1和-1. 2. 倒数与相反数的区别 倒数 相反数 定义 乘积是1的两个数互为倒数 只有符号不同的两个数互为相反数 表示 的倒数是 的相反数是 性质 若,互为倒数,则 若,互为相反数,则 判定 若,则,互为倒数 若，则,互为相反数 相同点 都成对出现 不同点 正数的倒数是正数,负数的倒数是负数，0没有倒数 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数,0的相反数是0 知识点三 多个有理数相乘 1.几个不是0的数相乘的法则 积的符号由负因数的个数决定.当负因数的个数是偶数时,积是正数;当负因数的个数是奇数时,积是负数.确定符号后,再把这几个有理数的绝对值相乘.简记为“偶正奇负，绝对值相乘” 2.有因数0的几个数相乘的法则 几个数相乘，如果其中有因数为0,那么积等于0.同样,若积为零则至少有一个因数为零. 注意： 在乘法运算中,一般先把式子中所有的小数化为分数,带分数化为假分数，然后再确定符号，并把绝对值相乘. 知识点四 有理数的乘法运算律 运算律 文字表达 符号语言 乘法交换律 两个数相乘,交换因数的位置,积相等 乘法结合律 三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘，积相等 乘法分配律 一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 有理数的乘法交换律或乘法结合律一般不单独用,交换的目的是为了更好地结合. 知识点五 有理数除法法则 法则1： 除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.用公式表示为（除数一定不能为0哦!） 法则2： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数都得0. 提示 (1) 有理数除法没有交换律、结合律,更没有分配律. (2) 两个数相除,若商是 1,则这两个数相等;若商是 -1,则这两个数互为相反数. (3) 任何数除以1都得原数;任何数除以-1都得原数的相反数;除以一个非0数等于这个数的倒数. 化简分数要遵循“同号得正，异号得负”的符号法则,分子、分母、分数线前,若有一个或两个负号,则负号可以移到三个位置的任何一个,而分数的值不变. 知识点六 有理数乘除的同级运算 有理数乘除同级运算通常是先将除法转化成乘法，然后按照乘法法则,确定积的符号，最后求出结果 注意： 1. 除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算； 2. 有理数的乘除运算是同级运算,如果没简便计算情况下，一般要按照从左到右的顺序进行. 题型一、两个有理数的乘法运算 例1若两数之积为负数，则这两个数一定是（　　） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．无法确定 1-1（24-25六年级上·上海闵行·期末） ． 1-2计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 题型二、多个有理数的乘法运算 例2（24-25六年级上·上海·期中）下列说法中，正确的个数是（    ） ①个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负； ②个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； ③个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负； ④个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个； ⑤个有理数相乘，当积为正时，正因数有奇数个； ⑥个有理数相乘，当积为正时，正因数有偶数个． A．1 B．2 C．3 D．4 2-1（24-25六年级上·上海金山·期中）计算：． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、有理数乘法的实际应用 例3（24-25六年级上·上海嘉定·期末）某汽车制造厂计划今年第一季度生产15000辆汽车，但实际生产的轿车数量比计划增加了，那么该汽车制造厂今年第一季度实际生产了 辆汽车． 3-1（24-25六年级上·上海·阶段练习）股民曹先生上星期五买进某公司股票1000股，每股31元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 注：正数表示比前一天上涨，负数表示比前一天下跌． (1)星期三收盘时，每股是多少元？（列式计算） (2)本周内最高股价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 3-2（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 3-3（24-25六年级上·上海·阶段练习）出租车司机小刘某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向北为正，向南为负，他这天上午的行程是（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ (2)若汽车耗油量为升/千米，出车时，邮箱有油升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 题型四、倒数 例 4 的倒数是 ． 4-1（24-25六年级上·上海·期中）若是，则的倒数是 ． 4-2（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）的倒数是 ． 4-3（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．有理数包括正有理数和负有理数 B．和正整数称为非负数 C．除外，所有的有理数都有倒数 D．规定了原点、单位长度和正方向的射线叫做数轴 4-4（24-25六年级上·上海·期中）下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五、有理数乘法运算律 例5（24-25六年级上·上海黄浦·期末）用简便方法计算：． 5-1（24-25六年级上·上海·阶段练习）简便计算： 5-2（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 5-3（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 5-4（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： 题型六、有理数的除法运算 例6（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 6-1（24-25六年级上·上海虹口·期中）计算： ． 6-2（24-25六年级上·上海金山·期中）若、、、为四个不为零的有理数，且，则 ． 6-3（24-25六年级上·上海崇明·期中）一个数的是的倒数，求这个数． 题型七、有理数除法的应用 例7（24-25六年级上·上海·期末）观察图中正方形四个顶点所标数字的规律，可知数2025应标在（    ） A．第507个正方形的右上角 B．第507个正方形的右下角 C．第506个正方形的左上角 D．第506个正方形的左下角． 7-1（24-25六年级上·上海奉贤·期中）把一根长度为5米的绳子平均分成4段，下列说法正确的是（    ） A．每一段绳子的长度是米 B．每一段绳子的长度是米 C．每一段绳子的长度是米 D．每一段绳子的长度是米 7-2 如图所示，点，，把一条300米环形跑道分为相等的3段．若甲、乙两人分别从，两处同时相向出发，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米．相遇后不改变方向，经过800秒时，两人恰好第 次相遇． 7-3（24-25六年级上·上海长宁·期中）一辆公交车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站，下表记录了这辆公交车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车的人数．该次公交车从起点站出发，到终点站全体下车．已知中间第四站开车时的人数比起点站的人数多了4个，回答以下问题： 停靠 起点站 中间第一站 中间第二站 中间第三站 中间第四站 中间第五站 中间第六站 终点 上下车人数 (1)中间第二站上车人数是_______，下车人数是_______，中间第二站开车时车上人数是_______； (2)请问的值是_______； (3)到达终点站时的人数比起点站的人数多了还是少了？此时的人数比起点站的人数多了（或少了）几分之几？ (4)如果每人次的车票价格是2元，请问这一趟公交车票价总收入为多少元？ 题型八、有理数乘除混合运算 例8（24-25六年级上·上海·期中）计算： 8-1（24-25六年级上·上海闵行·期末）计算： 8-2（24-25六年级上·上海·期末）计算： 8-3（24-25六年级上·上海松江·期末）计算：． 8-4（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 题型九、有理数四则混合运算 例9（24-25六年级上·上海·期中）计算： 9-1（24-25六年级上·上海·期中）计算： 9-2（24-25六年级上·上海普陀·期中）计算：． 9-3（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 题型十、有理数四则混合运算的实际应用 例10（24-25六年级上·上海·阶段练习）等额本金是指一种贷款的还款方式，是在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，这样由于每月的还款本金额度固定，而利息越来越少，借款人起初还款压力较大，但是随时间的推移每月还款败也越来越少． 设小王贷款60万，月利率是，采用等额本金还款法，准备在半年内还清，请问他第一个月需还款多少万元？第二个月需还款多少万元？最后总共要还款多少万元？ 10-1（24-25六年级上·上海·期中）办理加油卡的好处除了可以自助加油，方便个人使用外，同时也给消费者提供了一定的优惠．如某加油站推出持加油卡加油每升优惠元，另外若加油这天的日期的个位数字恰好是5（比如某月5日，某月15日等）再优惠折后价的（规定每天最多只能加1次油）；小张2月15日在这个加油站办理了一张4088元的加油卡，计划在3月31日前加油10次，每次加元，已知现阶段95号汽油价格为元/L． (1)小张的这张加油卡，在计划日期内至少优惠了多少元？（提示：要求出最少优惠，那么就要避开特殊日子） (2)如果小张合理规划加油日期，从2月15日至3月31日期间，总共最多可以加_________升油．（直接写出答案） 10-2（24-25六年级上·上海金山·期中）某检修小组从地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)收工时检修小组位于地的______（东面西面），距离地______千米． (2)若每千米耗油升，问检修小组全程共耗油多少升？ 10-3（24-25六年级上·上海闵行·期中）第七届进博会日益临近，其话题热度持续攀升．鉴于此，甲、乙两家广播电台准备在进博会期间对早间新闻进行调整．两家电台均打算在每天早晨同时开始播报早间新闻．其中：甲台每播报9分钟新闻后插播3分钟广告；乙台每播报15分钟新闻后插播3分钟广告，当两家电台的广告第一次同时结束时，早间新闻播报结束．问： (1)早间新闻播报将在几点结束? (2)早间新闻播报期间甲、乙两台将分别插播几分钟广告? A组 1.（24-25六年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．零是最小的非负有理数 B．任何一个数的绝对值是它本身 C．有理数中没有绝对值最小的数 D．任何一个正数大于它的倒数 2．（24-25六年级上·上海金山·期中）下列说法正确的是（    ） A．因为，所以能被整除； B．有理数只包括正有理数和负有理数； C．所有的偶数都是合数； D．互为倒数的两个数乘积为． 3．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）若，，且，则的值为（   ） A．5 B．5或1 C．1 D．1或 4. 下列说法正确的是（    ） A．任何一个数都有倒数 B．分数都是有理数 C．是负数 D．绝对值等于本身的数是正数 5. 下列哪个分数不能化成有限小数（      ） A． B． C． D． B组 1．（24-25七年级上·云南临沧·期中）计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 2．（24-25七年级上·山西晋中·期末）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$