精品解析：陕西西安市阎良区西飞第一中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

陕西西安市阎良区西飞第一中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A. 6 B. 7i C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，z的虚部为 2. 化简（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】可知. 3. 学校举办运动会，小明仅参加了两场比赛，下列事件中与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的是（ ） A. 小明只有一场比赛获奖 B. 小明两场比赛均获奖 C. 小明至多一场比赛获奖 D. 小明两场比赛均未获奖 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用对立事件的定义判断即可. 【详解】小明仅参加了两场比赛，情况如下： ①两次都获奖；②只有一次获奖；③两次均未获奖， 所以与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的事件是“小明两场比赛均未获奖”. 4. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，， 所以，解得. 5. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理，得. 6. 给出下列4个命题，其中正确的是（ ） ①平行于同一直线的两条直线平行； ②平行于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一直线的两个平面平行； ④垂直于同一平面的两个平面平行． A. ②③ B. ①② C. ①③ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的传递性、线面垂直的性质定理判断正确命题，借助长方体模型排除错误命题即可. 【详解】对于 ① ，根据平行线的传递性，平行于同一直线的两条直线平行，故①正确； 对于 ② ，若取长方体，易得平面，且平面， 但平面与平面相交，故②错误； ③ 根据线面垂直的性质定理，垂直于同一直线的两个平面平行，故③正确； ④ 若取长方体，平面与平面都垂直于平面， 但平面与平面相交，故④错误. 综上，正确的命题为①③. 7. 已知8个样本数据，，，…，的平均数为4，其中，则这8个数据的方差为（ ） A. 18 B. 20 C. 24 D. 28 【答案】B 【解析】 【详解】因8个样本数据，，，…，的平均数为4，记为， 则可得， 又， 则 ． 8. 晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为.已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将区域还原到圆柱中求得其面积，由区域和全等可求得总面积. 【详解】由题意可知区域和全等，且都是底面半径为，高为的圆柱的侧面的一部分， 将区域还原到如图所示圆柱中. 由图可知，，， 由扇形的弧长公式可知，的长为， 结合圆柱的侧面积公式可知， 所以， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据：4，5，6，8，9，10，则下列说法正确的是（ ） A. 该组样本数据的极差为6 B. 该组样本数据的平均数为7 C. 该组样本数据的第60百分位数为7 D. 该组样本数据的标准差为 【答案】AB 【解析】 【详解】由题知，该组样本数据的极差为，A正确； 平均数为，B正确； 因为，故第60百分位数为第4个数据8，C错误； 方差：， 标准差：，D错误. 10. 已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. 的共轭复数为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由题意知，，其共轭复数为，故A正确；B错误； 又，故C正确； ，故D正确. 11. 堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑．则（ ） A. 阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形 B. 鳖臑的四个面均为直角三角形 C. 阳马的体积是鳖臑的体积的两倍 D. 堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据阳马的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断，对于B，根据鳖臑的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断，对于C，根据棱锥的体积公式结合已知条件分析判断，对于D，根据堑堵、阳马与鳖臑的定义分析判断. 【详解】对于A，如图，由题意可知平面，平面， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以阳马的四个侧面都是直角三角形，所以A错误， 对于B，如图由题意可知平面，平面， 所以， 因为平面，平面， 所以， 所以鳖臑的四个面均为直角三角形，所以B正确， 对于C，设长方体的长，宽，高分别为，则， 所以阳马的体积，鳖臑的体积， 所以阳马的体积是鳖臑的体积的两倍，所以C正确， 对于D，由题意可知堑堵、阳马与鳖臑都是由同一个长方体分割而成，且堑堵、阳马与鳖臑的顶点都是原长方体的顶点， 所以堑堵、阳马与鳖臑均可以补成原长方体， 所以它们的外接球的半径都等于原长方体外接球的半径，所以D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则____________． 【答案】 【解析】 【详解】设为坐标原点， 因为， 所以，， 所以. 13. 在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为_____________． 【答案】0.45 【解析】 【分析】根据给定条件，利用频率的定义求解. 【详解】正面向上的频率为：. 故答案为： 14. 如图，四面体中，，，分别为的中点．若异面直线与互相垂直，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】取中点，连接，可得，，且，根据勾股定理即可求解. 【详解】取中点，连接， 又分别为的中点，所以，， 又，，异面直线与互相垂直， 所以，，且， 所以，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，的夹角为，且，，． （1）若，求； （2）若，求实数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的模长公式计算即可； （2）由向量的数量积公式列方程求解即可. 【小问1详解】 当时，， 则， 所以. 【小问2详解】 当时，， 解得． 16. 已知某黑箱子中放着编号的n张纸条，每张纸条除了编号不同其他完全一致，现随机抽取一张纸条，记随机事件“抽出的纸条上的编号小于3”，随机事件“抽出的纸条上的编号是偶数”. （1）当时，计算、、，并判断随机事件A与B是否相互独立； （2）当时，计算、、，并判断随机事件A与B是否相互独立． 【答案】（1），，，随机事件A与B相互独立 （2），，，随机事件A与B不相互独立 【解析】 【分析】（1）、（2）先根据古典概率定义计算、、，再根据事件相互独立的成立条件判定即可. 【小问1详解】 由题意得，时，样本空间包含6个等可能样本点，其中随机事件A包含2个等可能样本点，随机事件B包含三个等可能样本点，随机事件包含1个样本点， 所以，，， 因为此时，所以随机事件A与B相互独立． 【小问2详解】 由题意得，时，样本空间包含7个等可能样本点，其中随机事件A包含2个等可能样本点，随机事件B包含三个等可能样本点，随机事件包含1个样本点， 所以，，， 因为此时，所以随机事件A与B不相互独立． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，且的面积等于，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以，即，， 因为，所以，得，即. 【小问2详解】 因为，所以，所以 由余弦定理得，， 因为，，所以，所以的周长为. 18. 某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． （1）求身高在区间的学生人数； （2）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 【答案】（1）30人 （2）①3人，2人，1人；② 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的概念，求出身高在区间的频率。进而根据总人数，求出这一区间的学生人数； （2）根据分层抽样的概念和方法，分别求出这三组的人数，根据比例求出各组抽取的人数，再根据古典概率公式，求出事件的概率； 【小问1详解】 设的频率为， 由频率分布直方图可知，解得． 所以身高在区间的学生人数为（人）． 【小问2详解】 ①，，三组的人数分别为30人，20人，10人． 因此三组中每组各抽取（人），（人），（人）． ②设组的3位同学为，，，组的2位同学为，，组的1位同学为， 则从6名学生中抽取2人有15种可能： ，，，，， ，，，，，，，，，． 其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能： ，，，，，，，，． 所以组中至少有1人被抽中的概率为． 19. 在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点． （1）求证：平面SCD； （2）求二面角的余弦值； （3）求点B到平面SCD的距离． 【答案】（1）取SD的中点M，连接ME，MC， 因为E，M分别为SA，SD的中点，则且， 又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，则且， 可得且，可知四边形EFCM是平行四边形，则， 且平面SCD，平面SCD，所以平面SCD． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，可证，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作辅助线，根据线面垂直分析可知为二面角的平面角，即可得结果； （3）由（2）可知：平面ABCD，利用等体积转化法求点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AB的中点O，连接SO，CO，AC， 因为，则， 且平面平面ABCD，平面平面，平面SAB， 所以平面ABCD， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 又因为，则，， 可知为二面角的平面角， 在中，则，，， 可得， 所以二面角的余弦值为． 【小问3详解】 由（2）可知：平面ABCD， 且，， 设点B到平面SCD的距离为h， 因为，则， 即，解得， 所以B到平面SCD的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西西安市阎良区西飞第一中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A. 6 B. 7i C. 7 D. 2. 化简（ ） A. B. C. D. 3. 学校举办运动会，小明仅参加了两场比赛，下列事件中与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的是（ ） A. 小明只有一场比赛获奖 B. 小明两场比赛均获奖 C. 小明至多一场比赛获奖 D. 小明两场比赛均未获奖 4. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ） A. 5 B. C. D. 6. 给出下列4个命题，其中正确的是（ ） ①平行于同一直线的两条直线平行； ②平行于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一直线的两个平面平行； ④垂直于同一平面的两个平面平行． A. ②③ B. ①② C. ①③ D. ①④ 7. 已知8个样本数据，，，…，的平均数为4，其中，则这8个数据的方差为（ ） A. 18 B. 20 C. 24 D. 28 8. 晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为.已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据：4，5，6，8，9，10，则下列说法正确的是（ ） A. 该组样本数据的极差为6 B. 该组样本数据的平均数为7 C. 该组样本数据的第60百分位数为7 D. 该组样本数据的标准差为 10. 已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. 的共轭复数为 C. D. 11. 堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑．则（ ） A. 阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形 B. 鳖臑的四个面均为直角三角形 C. 阳马的体积是鳖臑的体积的两倍 D. 堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则____________． 13. 在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为_____________． 14. 如图，四面体中，，，分别为的中点．若异面直线与互相垂直，则的长为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，的夹角为，且，，． （1）若，求； （2）若，求实数． 16. 已知某黑箱子中放着编号的n张纸条，每张纸条除了编号不同其他完全一致，现随机抽取一张纸条，记随机事件“抽出的纸条上的编号小于3”，随机事件“抽出的纸条上的编号是偶数”. （1）当时，计算、、，并判断随机事件A与B是否相互独立； （2）当时，计算、、，并判断随机事件A与B是否相互独立． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，且的面积等于，求的周长． 18. 某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． （1）求身高在区间的学生人数； （2）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 19. 在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点． （1）求证：平面SCD； （2）求二面角的余弦值； （3）求点B到平面SCD的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $