2026-2027学年新高一上学期初高衔接讲义----数学思想方法的初步

初升高数学衔接暑假预科班讲义 数学思想方法的初步（2-3课时) 初高中数学的本质差异，不在于知识量的增加，而在于思维方式的转型。初 中数学思维以"具体一直观一模仿"为特征，学生习惯于通过具体例子理解概念、 通过模仿例题完成练习：高中数学思维则以"抽象一逻辑一探究"为特征，要求学 生能够从具体中抽象出一般、从特殊中归纳出规律、从已知中推导出未知。 这种思维转型集中体现在三个方面：其一，由运算型思维向推理型思维转变， 高中数学大量出现"证明"类问题，要求学生进行严格的逻辑推理；其二，由静态 思维向动态思维转变，函数、数列、极限等内容要求学生用运动变化的观点看问 题；其三，由单一思维向综合思维转变，高中问题往往需要综合运用多种知识与 方法。思维转型的顺利完成，关键在于数学思想方法的引领。 许多高一新生仍沿用初中的学习方法，表现为：上课只记笔记不思考，课后 只做题不归纳数，遇到难题只等老师讲不主动探究。这种学习方法的滞后，是导 致高一学生成绩下滑的重要原因。学思想方法的渗透，能够引导学生从"做题” 走向"悟道"，从"学会"走向"会学"，实现学习方法的根本转变。 一分类讨论 1.1什么是分类讨论 分类讨论思想，是指在研究和解决数学问题时，根据问题本身的特征，把研 究对象按照某种标准划分为若干类，然后对每一类分别进行研究、求解，最后综 合各类结果得出完整答案的一种思维方法。它的核心是"化整为零、各个击破、 再聚零为整"。 通俗地说，当一个数学问题不能一刀切"地统一处理时，我们就需要"分情况讨 论”一一把问题分成若干个可以统一处理的子问题，分别解决后再汇总。这种"分 而治之"的策略，是数学思维的基本功。 请同学们先看下面这道看似简单的题目： 已知☒=3，=2，求x+y的值。 1 不少同学会脱口而出："x+y=5"。但仔细想想，这个答案对吗？由x=3知 x=3或x=-3,由yl=2知y=2或y=-2。所以x和y各有两种可能， 组合起来共有2×2=4种情形，对应x+y的值分别为5、1、-1、-5。正确答 案应该是这四个值，而不是单一的5。 这道题的"陷阱"在于：它把一个需要分类讨论的问题，伪装成了可以直接计 算的问题。如果不进行分类讨论，就会遗漏大量情形，得出不完整的答案。事实 上，从初中到高中，分类讨论思想是解决数学问题最基本、最重要的思想方法之 一，也是同学们最容易忽视、最容易出错的环节。 进入高中后，含参数的问题将大量出现一一含参方程、含参不等式、含参函 数、含参几何问题等。参数取值不同，问题的性质、结论的形式往往随之改变， 必须通过分类讨论才能给出完整解答。掌握分类讨论思想，是顺利完成初高衔接、 适应高中数学学习的关键一步。本讲义将系统介绍分类讨论思想的内涵、原则、 方法和典型应用。 2.1绝对值的分类定义 绝对值是分类讨论最典型的载体。它的定义本身就是分类的： lal = a(a>0) -a,(a<0) (当a=0时|al=0) 2 图1绝对值y=Ix的分段（分类讨论的典型场景） 1 -x<0:y=-x =×≥0：y=× 第一类 分界点=0 第二类 x<0 X≥0 2 -2 图1绝对值y=x的分段图象 从图象上看，y=x是一个"V"形折线，在x=0处发生"转折"。这个转折 点就是分类的"分界点”。处理任何含绝对值的问题，第一步都是"找分界点、定 分段区间"，然后在每个区间内去掉绝对值符号，转化为普通代数问题。 2.2零点分界法 处理含多个绝对值的问题，最常用的方法是"零点分界法”：令每个绝对值内部的 表达式为零，求出"零点"，用这些零点把数轴分成若干段，在每段内各绝对值的 符号确定，从而可以去掉绝对值符号。 例题1解含多个绝对值的方程 解方程：x-1川+x-3引=4。 心 图51x-1川+1x-3引的数轴分段（零点分界法） 第三类 >3 X=3 图2零点分界法：用x=1和x=3将数轴分为三段 分析：令x-10得x=1,令x-3=0得x=3。这两个零点把数轴分成三段： x<1、1≤x≤3、x>3。在每段内，x-1和x-3的符号确定，可去掉绝对值。 第一类：当x<1时，x-1<0,x-3<0,所以x-1=-(x-1)=1-x,x-3引= -(x-3)=3-X。方程变为(1-x)+(3-x=4,即4-2x=4,解得x=0。检验：0< 1√，故x=0是解。 第二类：当1≤x≤3时，x-1≥0，x-3≤0，所以k-1=x-1,k-3=3-x。 方程变为(x-1)+(3-x)=4,即2=4，矛盾。此段无解。 第三类：当x>3时，x-1>0,x-3>0,所以k-1=x-1,区-3引=x-3。方 程变为(x-1)+(x-3)=4,即2x-4=4,解得x=4。检验：4>3√，故x=4是 解。 综合三类，原方程的解为x=0或x=4。本题体现了分类讨论的标准流程： 找分界点→分段→逐段去绝对值求解→检验→汇总。每一步都不可省略， 尤其是"检验”一一必须验证求得的解是否落在该类对应的区间内。 变式训练1 解不等式：x+2-x-1川>1。 找零点：令x+2=0得x=-2,令x-10得x=1。分三段讨论： 第一类x<-2:x+2=-x-2,K-1川=1-x。不等式变为(x-2)-(1-x)>1, 即-3>1，恒不成立。无解。 第二类-2≤x≤1：k+2=x+2,k-1川=1-x。不等式变为(x+2)-(1-x)>1, 4 即2x+1>1,得x>0。结合-2≤x≤1，得0<x≤1。 第三类x>1:k+2=x+2,x-1=x-1。不等式变为(x+2)-(x-1)>1,即3> 1,恒成立。故x>1全部是解。 综合三类，即x0 3.1一元二次方程根的判别式分类 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况，由判别式△=b2-4ac 决定：△>0时有两个不等实根，△=0时有两个相等实根，△<0时无实根。这 本身就是一种分类讨论。当方程含有参数时，△的符号随参数变化，更需要分类 讨论。 例题2含参一元二次方程的根的情况讨论 已知关于x的方程(m-1)x2+2mx+m+3=0,讨论m取不同值时方程根的情 况。 分析：注意方程中x2的系数是m-1),当m=1时系数为零，方程退化 为一次方程：当m≠1时才是二次方程。所以首先要按m=1和m≠1分类。 第一类：当m=1时，方程为0x2+2x+4=0,即2x+4=0,解得x=-2。 此时方程有一个实根x=-2。 第二类：当m≠1时，方程为二次方程。计算判别式△=(2m)2-4m-1)m+3) =4m2-4m2+2m-3)=4m2-4m2-8m+12=-8m+12=-4(2m-3)。 再按△的符号分类：①当△>0即-4(2m-3)>0,得m<3/2且m≠1 时，方程有两个不等实根；②当△=0即m=3/2时，方程有两个相等实根； ③当△<0即m>3/2时，方程无实根。 综合：m<1或1<m<3/2时有两个不等实根；m=1时有一个实根；m= 3/2时有两个相等实根；>3/2时无实根。本题的关键是"两级分类"：先按是 否为二次方程分类(=1与m≠1)，再在二次方程类内按判别式符号分类。这 种"逐级分类"是处理含参问题的标准做法。 5 变式训练2 已知方程x2-(m+2)x+4=0有两个正实数根，求实数m的取值范围。 变式2解答 设两根为x,x2。要使方程有两个正实数根，需同时满足：①有实根：△≥ 0:②两根为正：x1+x2>0且Xx2>0。 由韦达定理：x1+x2=m+2,X1x2=4>0恒成立。△=m+2)2-16=m2+4m -12=m+6)m-2)≥0，得m≤-6或m≥2。 由x1x2=4>0知两根同号；再由x1+x2=m+2>0得m>-2。结合△≥0 的条件m≤-6或m≥2，取交集：m≤-6与m>-2矛盾（舍去），m≥2与m> -2取交集得m≥2。 故m的取值范围是m≥2，即m∈[2，+∞)。本题中"两根同号"由xx2>0自 动保证，再由x+x2>0确定为正，体现了分类讨论与韦达定理的结合。 课后练习 练习A(基础巩固) 1.已知lal=5,bl=3,且a>b,求a+b的所有可能值。 2.解方程：2x-3=5。 3.解不等式：x-2<3。 4.讨论关于x的方程k-2)x2+3x+1=0的根的情况。 练习B(能力提升) B1解不等式：x-1+x+3引≤6。 B2已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m2+m=0的两根均为正数，求m的 6 取值范围。 数形结合思想 1.什么是数形结合 数形结合思想，是指在研究数学问题时，把问题的数量关系（代数特征）与 空间形式（几何特征)结合起来考察，通过"以形助数"或"以数解形"，使抽象问 题直观化、复杂问题简单化的一种思维方法。它包含两个相辅相成的方向： ·以形助数：借助图形的直观性，理解数量关系、解决代数问题。例如用函数 图象研究函数性质、用几何意义解不等式。 ·以数解形：借助数量的精确性，刻画几何特征、解决几何问题。例如用坐标 法研究图形、用代数式表达几何关系。 这两个方向构成了数形结合的完整闭环。在初高衔接阶段，同学们要特别重视” 以形助数"的训练，因为高中数学中大量抽象的代数概念（函数、不等式、方程） 都有其几何直观，养成"见数思形"的习惯，能让高中数学学习事半功倍。 2.1利用二次函数图像解一元二次不等式 元二次方程ax2+bx+c0(a0)的根，就是二次函数y=ax2+bx+c的图象 (抛物线)与x轴交点的横坐标。抛物线与x轴的交点个数，由判别式 △=b2-4ac决定： 判别式△ 抛物线与x轴的位置关系 方程根的情况 △>0 两个不同交点 两个不相等的实数根 △=0 个交点（相切） 两个相等的实数根 △<0 无交点 无实数根 △>0：两个不等实根 图4二次函数图象克)轴期略卖粮元二次方程的实根 y=1x+-2x+3 y=1x-2 图3抛物线与x轴的交点对应方程的根 我们借助二次函数的图象研究了一元二次方程的根。事实上，二次函数、一 元二次方程与一元二次不等式三者之间有着密不可分的内在联系，被称为"三个 二次"关系。本节将进一步运用数形结合思想，通过二次函数的图象来求解一元 二次不等式，这是初高衔接阶段数形结合思想的经典应用，也是高中研究函数性 质的重要基础。 所谓"三个二次"，是指二次函数y=ax2+bx+c(a≠O)、一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)和一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0)。这三者共 享同一个代数表达式ax2+bx+c,只是研究的角度不同：二次函数研究的是y 随x变化的规律，一元二次方程研究的是y=0时x的取值，一元二次不等式 研究的是y>0(或y<0)时x的取值范围。 从数形结合的角度看，一元二次方程ax2+bx+c=0的根，就是抛物线y= ax2+bx+c与x轴交点的横坐标：一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集， 就是抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方部分对应的x的取值范围；ax2+bx+ c<0的解集，则是抛物线在x轴下方部分对应的x的取值范围。因此，只要 画出二次函数的图象，"看图说话"就能直接得出不等式的解集。 ⊙ 情形一：△>0（两不等实根） 国9二次函数困降急云次香落特口>0的情粉） 情形三：△<0（无实根） =1x-2x-3 =1x-2x+1 -1x4-2x+2 图9二次函数图象与一元二次不等式解集(a>0的情形) 2.3.2解集规律：看图说话 当a>0时（抛物线开口向上），根据判别式△=b2-4ac的符号，一元二 次不等式的解集呈现三种典型情形。同学们不必死记硬背公式，而应理解"图象 在x轴上方对应ax2+bx+c>0,图象在x轴下方对应ax2+bx+c<0"这一核心 原理，做到"看图说话"。 归纳"三个二次"解集规律（a>0) 当a>0时，设方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x(x1≤x),则： 情形一（△>0，两不等实根x1<x2:ax2+bx+c>0的解集为{xx<x1或x> x2}(两根之外)；ax2+bx+c<0的解集为xx1<x<x2}（两根之间)。 情形二（△=0，两相等实根x1=x=-b/2a):ax2+bx+c>0的解集为{xx≠ -b/2a}(除根外所有实数)：ax2+bx+c<0的解集为空集⑦；ax2+bx+c≥0的 解集为全体实数R。 情形三（△<0，无实根）：ax2+bx+c>0的解集为全体实数R(因抛物线全在 x轴上方)：ax2+bx+c<0的解集为无解。 口诀：a>0时，"大于取两边，小于取中间"：△<0时，"大于全成立，小于全 空集"。 9 2.3.3数形结合解不等式的三步法 利用二次函数图象解一元二次不等式，可遵循以下三个步骤： ●第一步"化正"：若二次项系数a<0,先两边同乘-l,化为a>0的情形（注 意不等号方向要改变)。 ·第二步"求根"：求对应方程ax2+bx+c=0的根x1、x2（若△<0则无实 根)，并在草稿上画出抛物线示意图（开口向上，标出与x轴交点）。 ●第三步"看图"：根据不等号方向，"看图说话"写出解集—">0"看x轴上 方，"<0"看x轴下方。 例题3用数形结合法解一元二次不等式 解下列一元二次不等式： (1)x2-2x-3>0: (2)-x2+2x+3≥0： (3)x2-2x+2<0。 图10×2-2×一3>0的角解集（数形结合法） y=x2-2x-3 解集 -1或×> y>0(不等式解集) y<0 y<0区域 图10x2-2x-3>0的解集（数形结合法） 10 例题3解答 第(1)问：a=1>0,开口向上。求根：x2-2x-3=0,(x+1)x-3)=0,x =-1,x2=3。画抛物线示意图（开口向上，与x轴交于-1和3)。不等式x2- 2x-3>0表示抛物线在x轴上方的部分，对应x<-1或x>3。故解集为{x |x<-1或x>3}。 第(2)问：a=-1<0,先化为a>0。两边同乘-1（不等号改变方向）： x2-2x-3≤0。求根同上：x1=-1,x2=3。不等式x2-2x-3≤0表示抛物线 在x轴下方及x轴上的部分，对应-1≤x≤3。故解集为{x-1≤x≤3}。 图11a<0时的化归策略：两边同乘-1，转化为a>0 化归前：-x2+2x+3> (开口向下，a<0) 阳原20 解集：-1<X<3 图11a<0时的化归策略：两边同乘-1，转化为a>0 第(3)问：a=1>0,开口向上。求根：x2-2x+2=0,△=4-8=-2<0， 无实根。抛物线与x轴无交点，整条抛物线全在x轴上方（因a>0且△<0）。 不等式x2-2x+2<0表示抛物线在x轴下方的部分，但抛物线全在上方，故 解集为空集②。 点评：本题三小问分别对应△>0、a<0(需化归)、△<0三种典型情形。 解题的关键在于"画图”一只要准确画出抛物线示意图（开口方向、与x轴交 点)，解集就能"看图说话"直接得出，无需死记公式。这正是数形结合思想的威 力：把抽象的代数不等式，转化为直观的图象判断。 11 变式训练2 己知不等式x2+x+4>0的解集为全体实数R,求实数m的取值范围。 变式2解答 分析：a=1>0,抛物线开口向上。不等式x2+mx+4>0的解集为R,意 味着抛物线y=x2+mx+4全在x轴上方（与x轴无交点），即方程x2+mx+ 4=0无实根。 解答：由△<0得m2-16<0,即-4<m<4。故m的取值范围是{m-4 <m<4}。 拓展思考：若将条件改为"x2+mx+4>0的解集为{xx≠xo}"(即除一个 点外都成立)，则说明△=0，m=±4。若改为"x2+mx+4<0的解集为空集"， 则同样要求△≤0（抛物线不在x轴下方），得-4≤m≤4。同学们要善于从” 解集"反推"图象特征"，再转化为"判别式条件"，这是数形结合的双向运用。 化归思想的内涵 1.1什么是化归思想 化归思想，是指在研究和解决数学问题时，不是直接攻击原问题，而是通过 某种转化手段，把原问题归结为一个己经解决或比较容易解决的问题，最终通过 对新问题的求解获得原问题解答的一种思维方法。"化归"二字，"化"是转化、变 换，"归"是归结、回归，合起来就是"转化并归结"。 化归思想包含三个基本要素：化归的对象（把什么化归）、化归的目标（化 归成什么)、化归的方法（如何化归）。例如，解分式方程时，化归的对象是分式 方程，化归的目标是整式方程，化归的方法是去分母（方程两边同乘最简公分母）。 明确这三个要素，是运用化归思想的前提。 12 2.1换元法 换元法是化归思想最典型的体现。它的基本做法是：引入一个或几个新变量 (称为"元")，替换原式中某个表达式，从而把复杂问题转化为简单问题。换元 法的本质是"化繁为简"，通过替换把复杂结构简化。 图4换元法：化归思想的典型应用 令t=x2-3x (x2-3x)2-5(x2-3x)+6=0 t2-5t+6=0 换元 复杂的高次方程→简单的一元二次方程（化繁为简、化高次为低次） 图4换元法：化归思想的典型应用 换元法的关键在于"识别重复结构”一一当原式中某个表达式反复出现时，把 它整体看作一个新元，往往能大大简化问题。使用换元法时要注意两点：一是新 元的取值范围要与原表达式一致（避免增根或失根）：二是求解新方程后要"还原 "回原变量，得到原问题的解。 例题1用换元法解高次方程 解方程：(x2-3x)2-5(x2-3x)+6=0。 分析：观察方程，发现x2-3x这个表达式反复出现，构成"重复结构"。令 t=x2-3x,原方程可化归为关于t的一元二次方程。 解答：令t=x2-3x,则原方程化为-5t+6=0。因式分解得(t-2)t-3) =0,故t=2,t2=3。 还原：当t=2时，x2-3x=2,即x2-3x-2=0,由求根公式x=(3±V17)/2。 当t=3时，x2-3x=3,即x2-3x-3=0,由求根公式x=(3±V21)/2: 所以原方程有四个实数根：x=(3±V17)/2或x=(3±V21)/2。本题通过换元， 把四次方程化归为二次方程，大大降低了难度。这就是化归思想"化高次为低次、 13 化繁为简"的威力。 变式训练1 解方程：(x2-5x+4)(x2-5x+6)=120。 变式1解答 观察：两个因式中都有x2-5x,但后面的常数不同(4和6)。直接展开会 很繁琐。注意到4和6的平均数是5，可令t=x2-5x+5,则两个因式分别 为t-1和t+1。 换元：令t=x2-5x+5,原方程化为(t-1)t+1)=120,即t2-1=120, t=121,t=±11。 还原：当t=11时，x2-5x+5=11,即x2-5x-6=0,(x-6x+1)=0,x= 6或x=-1。当t=-11时，x2-5x+5=-11,即x2-5x+16=0,△=25-64< 0,无实根。 所以原方程的实数根为x=6或x=-1。本题的换元技巧在于"取中点”一一 把x2-5x+4和x2-5x+6都用x2-5x+5表示，从而利用平方差公式简化 运算。这种"对称换元"是处理此类问题的常用策略。 第三讲 配方法与消元法 3.1配方法 配方法是把二次三项式ax2+bx+c通过添项、拆项，配成完全平方式与常 数之和的一种方法。它的本质是"化归"一一把一般形式的二次式化归为顶点式， 从而把研究一般二次函数性质的问题，化归为研究顶点式性质的问题。 14 图7配方法：把一般式化归为顶点式 化归前 化归后 yx2-2x-3 y(x-1)2-4 式 (顶点不 (性质清晰 顶点(1,4) 图5配方法：把一般式化归为顶点式 配方法是初中数学的重要方法，在高中数学中应用更加广泛：研究二次函数 的顶点、对称轴、最值，推导一元二次方程的求根公式，证明基本不等式，求解 圆锥曲线的某些问题等，都离不开配方法。可以说，配方法是连接初中代数与高 中代数的重要桥梁。 例题2用配方法求二次函数的最值 求函数fx)=-x2+4x+5的最大值及取得最大值时x的值。 分析：函数fx)=-x2+4x+5是二次项系数为负的二次函数，有最大值。 要求最大值，需要把一般式配方化为顶点式，从而直接读出顶点坐标。 解答：fx)=-x2+4x+5=-(x2-4x)+5=-(x2-4x+4-4)+5=-(x-2)2+4 +5=-(x-2)2+9。 因为-（区-2）2≤0，所以fx)≤9，当且仅当x-2=0即x=2时取等号。 故fx)的最大值为9，此时x=2。 本题通过配方，把一般式fx)=-x2+4x+5化归为顶点式fx)=-(区-2)2+ 9,最大值与对应x值一目了然。这就是化归"化一般为特殊、化未知为已知" 的体现。 15 变式训练2 已知fx)=x2-2ax+3在区间[0,2]上的最小值为2，求实数a的值。 变式2解答 配方：fx)=(x-a)2+3-a,开口向上，对称轴x=a。最小值取决于对称 轴与区间「0,21的位置关系，需分类讨论。 第一类：a<0(对称轴在区间左侧)。fx)在[0,2]上单调递增，最小值f0) =3-a2=2,得a2=1,a=±1。结合a<0,得a=-1。 第二类：0≤a≤2（对称轴在区间内）。最小值fa)=3-a2=2,得a2=1, a=±1。结合0≤a≤2，得a=1。 第三类：a>2(对称轴在区间右侧)。fx)在[0,2]上单调递减，最小值f2) =4-4a+3=7-4a=2,得a=5/4。但5/4<2，与a>2矛盾，舍去。 综合：a=-1或a=1。本题综合运用了配方法（化归为顶点式）和分类讨 论（对称轴位置不同导致最值位置不同），是化归思想与分类讨论思想的结合应 用。 3.2消元法 消元法是解方程组的基本方法，它的核心思想是"化归"一一把多元方程组通 过消元，化归为一元方程，从而求解。消元法主要有两种：代入消元法和加减消 元法。 代入消元法是从一个方程中解出某个未知数（用其他未知数表示），代入 一个方程，从而消去该未知数。加减消元法是通过两个方程相加或相减，消去某 个未知数。两种方法的本质相同，都是减少未知数的个数，把"不会解的多元问 题"化归为"会解的一元问题"。 例题3用消元法解三元方程组 16 解方程组：①x+y+z=6;②2x-y+z=3;③3x+2y-z=4。 分析：三元方程组需要通过两次消元，化归为二元方程组，再化归为一元方 程。 解答：①+③得4x+3y=10.④。②+③得5x+y=7⑤。 由⑤得y=7-5x,代入④：4x+3(7-5x)=10,即4x+21-15x=10,-11x =-11,x=1。 回代：y=7-5x1=2。再由①：1+2+z=6,z=3。所以方程组的解为x =1,y=2,z=3。 本题通过两次消元，把三元化归为二元，再化归为一元，体现了化归思想” 逐步简化"的特征。消元法是线性代数的基础，高中阶段将学习更一般的矩阵消 元法。 A组（基础巩固） A1用换元法解方程：(x2+2x)2-7(x2+2x)+12=0。 A2用配方法求函数fx)=2x2-8x+5的最小值及取得最小值时x的值。 A3用消元法解方程组：①x+2y=5;②3x-y=4. B组（能力提升） B1解方程：(x2-2x+1)x2-2x+3)=3。(提示：令t=x2-2x+2) B2已知fx)=x2-4x+3在区间[0，a]上的最小值为-1，求实数a的取值 范围。 17