强基讲座02 数学方法之配方法-2026年初高中数学衔接讲义

强基讲座02：配方法答案解析 考点1：配方法与完全平方式 1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（ ） A. B. C. 5 D. 6 答案：C 解析： 设长、宽、高分别为 。 全面积：。 棱长和：。 对角线： 2.若 （ 是实数），则 的值一定是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 整数 答案：A 解析： 配方得：故恒为正数。 3.已知实数 ，且满足 则 的值为（ ） A. 23 B. -23 C. -2 D. -13 答案：B 解析： 两式可化为： 所以 与 是方程 的两根。 韦达定理： 因 ，故 。 令 ，则 。 目标式： 4.若 ，则 的值为 ______。 答案： 或 解析： 看作关于 的二次方程： 判别式：故 。 当 时，代入得 ；当 时，代入得 。 5.化简二次根式： ______。 答案：8 解析： 因为 ，所以原式 。 6.已知三角形的三边 满足 ，则这个三角形的形状为 ______ 三角形。 答案：等边 解析： 两边乘以2： 所以 。 7.已知 满足 ，则 ______。 答案： 解析： 配方： 代入： 8.若 ，那么 的值是多少？ 答案：0 解析：令 ，则 。 代入整理得： 该方程有无穷多解，不能唯一确定 。例如取 得 ，则原式 ；但也可取其他值。通常竞赛题意图为配方成平方和等于0， 9.已知二元二次多项式 可以分解成两个二元一次多项式的乘积，求实数 的值。 答案： 或 解析：设 比较系数得： 由 得 或 。 分别求解可得 或 。 考点2：配方法与最值问题 1.设正实数 满足 ，则当 取得最大值时， 的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3 答案：B 解析：由 ，令 ，则 设 ，则 ，整理得关于 的方程： 有实根，判别式 ： 故 ，此时 ，即 。 此时 。 目标式： 令 ，则原式 ，当 （即 ）时取最大值1。 2. 已知实数 满足 ，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析：由 得 ，则 由 得 。 二次函数 在区间端点取最小值（因对称轴在区间内，最小值在离对称轴较远的端点）。 当 时，；当 时，。故最小值为 。 3.已知 ，则 ______。 答案： 解析：取倒数： 目标式： 令 ，则 ，分母 。 代入 ，得 4.已知函数 在 上的最大值是2，求实数 的值。 答案： 或 解析：，对称轴 。 若 ，即 ，最大值在顶点，令其等于2，得 或 ，均不合。 若 （即 ），最大值在 ：。 若 （即 ），最大值在 ：。 5.在 中，已知 ，若 ，，求 的最大值。 答案： 解析： ，故 。 由 ，得 故 又 ，，于是当 时取等。 6.若 的最大值为 ，最小值为 ，则 的值为 ______。 答案： 解析：定义域 。平方： 令 ，故 。 所以 ，即 。 于是 。 7.已知二次函数 和一次函数 ，其中 ，且 。 （1）求证：两函数的图像交于不同的两点 ； （2）求线段 在 轴上的射影 的长度的取值范围。 答案：（1）略；（2） 解析（1）交点满足 ，判别式 。由 且 得 ，故 ，从而 ，有两个不同交点。 （2）设交点横坐标为 ，则 由 得 ，令 ，则 。 于是函数 在 上单调递减，值域为 ，故 。 考点3：配方法与方程、不等式 1.关于 的方程 的解是 （ 为常数，），则方程 的解是（ ） A. -2 或 1 B. -4 或 -1 C. 1 或 3 D. 无法求解 答案：B 解析：原方程根为 ，即 的两根为 。 新方程中 ，所以 。 而原根满足 ，故新根为 或 。 2.在实数范围内定义一种新运算“※”，其规则为 a※b =。根据这个规则，求方程 的解 。 答案：3或-7 解析：，。 3.设 为互不相等的实数，且满足 求 的取值范围。 答案： 解析：由第二式得 。 由第一式得 。 于是 因 ，故 ，即 。 4.解方程：，其中 为正数。 答案： 解析：由均值不等式： 相乘得 等号成立当且仅当 ，即 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 强基讲座02：数学方法之配方法 考点1：配方法与完全平方式 1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（ ） A.  B.  C. 5  D. 6 2.若（x,y 是实数），则 M的值一定是（ ） A. 正数  B. 负数  C. 零  D. 整数 3.已知实数，且满足则的值为（ ） A. 23 B. -23 C.-2 D. -13 4.若，则的值为______。 5.化简二次根式：______。 6.已知三角形的三边 满足，则这个三角形的形状为______三角形。 7.已知满足，则_____。 8.若那么 a + 2b - 3c 的值是多少？ 9.已知二元二次多项式可以分解成两个二元一次多项式的乘积，求实数k的值。 考点2：配方法与最值问题 1.设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A. 0  B. 1  C.  D. 3 2.已知实数满足，则的最小值是（ ） A.  B.  C.  D. 3.已知，则= ______。 4.已知函数在上的最大值是2，求实数的值。 5.中，已知，若，，求 的最大值。 6.若的最大值为，最小值为，则的值为______。 7.已知二次函数和一次函数，其中，且。 （1）求证：两函数的图像交于不同的两点； （2）求线段在轴上的射影的长度的取值范围。 考点3：配方法与方程、不等式 1. 关于的方程的解是（a，m，b均为常数，a≠0），则方程 的解是（ ） A. -2 或 1 B. -4 或 -1 C. 1 或 3 D. 无法求解 2.在实数范围内定义一种新运算“※”，其规则为 a※b =。根据这个规则，求方程的解 。 3.设 为互不相等的实数，且满足关系，求的取值范围。 4.解方程：，其中为正数。 学科网（北京）股份有限公司 $