第14章 全等三角形 章末复习课件 2025-2026学年人教版八年级上册数学

该初中数学课件聚焦全等三角形章末复习，涵盖概念、性质、判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）、实际应用及角平分线性质判定，通过生活实例问题导入，构建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合测量湖距等实际应用培养数学眼光，通过全等判定推理步骤发展数学思维，用模型化表达强化数学语言。采用问题驱动与实例分析，助学生提升探究与应用能力，为教师提供系统复习资源与多样化例题。

章末复习 人教版八年级上册数学 　　请你带着下面的问题，进入本章的复习吧！ 　　1．你能举一些实际生活中全等形的例子吗？ 　　2．全等三角形有什么性质？ 　　3．从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件来判定两个三角形是否全等时，哪些是能够判定的？两个直角三角形全等的条件是什么？ 　　请你带着下面的问题，进入本章的复习吧！ 　　4．学习本章后，你对角的平分线有了哪些新的认识？你能用全等三角形证明角的平分线的性质吗？ 　　5．你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗？ 考点一　全等三角形的概念 　　例1　如图，在长方形ABCD中，AE＝BE，连接DE，CE，CE交BD于点F． 　　（1）图中有全等三角形吗？ 　　（2）图中有面积相等的三角形吗？ A B C D E F 　　解：（1）图中有2对全等三角形，△ADB≌△CBD，△ADE≌△BCE． 　　例1　如图，在长方形ABCD中，AE＝BE，连接DE，CE，CE交BD于点F． 　　（1）图中有全等三角形吗？ 　　（2）图中有面积相等的三角形吗？ 　　分析：全等三角形的面积相等，等底等高的三角形的面积相等． 考点一　全等三角形的概念 A B C D E F 　　例1　如图，在长方形ABCD中，AE＝BE，连接DE，CE，CE交BD于点F． 　　（1）图中有全等三角形吗？ 　　（2）图中有面积相等的三角形吗？ 考点一　全等三角形的概念 　　解：（2）图中有6对面积相等的三角形，△ADB和△CBD，△ADE和△BCE，△ADE和△BDE，△BDE和△BCE，△DEC和△BCD，△ADB和△CDE． A B C D E F 考点一　全等三角形的概念 　　（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 　　（2）全等三角形的周长相等，面积相等；但周长（或面积）相等的两个三角形不一定是全等三角形． 　　（3）两个形状和大小完全相同的三角形便是全等三角形，与三角形的位置无关． 考点一　全等三角形的概念 　　1．如图，△ABC 沿直线BC向右平移BC的长度后与△ECD重合，则△ABC≌__________ ，两个三角形中，相等的边有__________，__________，__________，相等的角有_________________，_________________，___________________． △ECD A B C D E AB＝EC BC＝DC ∠B＝∠ECD ∠ACB＝∠D ∠A＝∠E AC＝ED 考点二　全等三角形的性质 　　解：（1）∵△ABE≌△ACD， 　　∴CD＝BE＝6． 　　∴EC＝CD－DE＝6－2＝4． 　　∴BC＝BE＋EC＝6＋4＝10． 　　例2　如图，已知△ABE≌△ACD． 　　（1）如果BE＝6，DE＝2，求BC的长； 　　（2）如果∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，求∠DAE的度数． A B C D E 考点二　全等三角形的性质 　　解：（2）∵△ABE≌△ACD， 　　∴∠BAE＝∠CAD＝∠BAC－∠BAD． 　　∵∠BAC＝75°，∠BAD＝30°， 　　∴∠BAE＝75°－30°＝45°． 　　∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝45°－30°＝15°． 　　例2　如图，已知△ABE≌△ACD． 　　（1）如果BE＝6，DE＝2，求BC的长； 　　（2）如果∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，求∠DAE的度数． A B C D E 利用全等三角形的性质求线段长度的方法 　　（1）先确定两个三角形中边的对应关系，再由这种对应关系实现已知线段与所求线段的转换． 　　（2）若所求的线段不是全等三角形的对应边，则需要用等式的性质进行转化求解． 利用全等三角形的性质求角的度数的方法 　　（1）直接求：用全等三角形的对应角相等求角的度数． 　　（2）间接求：先求得对应角的度数，再结合邻补角、三角形内角和外角等，求出角的度数． 考点二　全等三角形的性质 考点二　全等三角形的性质 　　2．如图，若△OAD≌△OBC，∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD的度数是＿＿＿＿＿＿＿． 　　解析：在△OBC中，根据三角形内角和等于180°，得∠OBC＝180°－∠O－∠C＝95°． 　　∵△OAD≌△OBC， 　　∴∠OAD＝∠OBC＝95°． 95° A B C D E O 　　3．如图，已知△ACE≌△DBF，CE＝BF，AE＝DF，AD＝8，BC＝2． 　　（1）求AC 的长度； 　　（2）试说明CE∥BF． A B C D E F 考点二　全等三角形的性质 　　解：（1）∵△ACE≌△DBF， 　　∴AC＝BD． 　　∴AC－BC＝BD－BC，即AB＝DC． 　　∵AD＝8，BC＝2，∴2AB＋2＝8． 　　∴AB＝3． ∴AC＝3＋2＝5． 　　解：（2）∵△ACE≌△DBF， 　　∴∠ECA＝∠FBD． 　　∴CE∥BF． 考点二　全等三角形的性质 A B C D E F 　　3．如图，已知△ACE≌△DBF．CE＝BF，AE＝DF，AD＝8，BC＝2． 　　（1）求AC 的长度； 　　（2）试说明CE∥BF． 考点三　全等三角形的判定 　　例3　如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件不能判定△ABC≌△BAD的是（　　）． 　　A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA 　　C．∠C＝∠D D．BC＝AD A B C D 　　解析：已知一组对应角相等，图中有一条公共边，即已有一边及一角对应相等，选项A与两已知条件构成“SSA”，不能判定两个三角形全等； 　　选项B与两已知条件构成“ASA”，能判定两个三角形全等； 　　选项C与两已知条件构成“AAS”，能判定两个三角形全等； 　　选项D与两已知条件构成“SAS”，能判定两个三角形全等． A 考点三　全等三角形的判定 　　判定两个三角形全等的思路： 　　（1）已知两边 　　（2）已知一边一角 　　（3）已知两角 找夹角→SAS 找第三边→SSS 边为角的对边→找另一角→AAS 边为角的邻边 找角的另一邻边→SAS 找边的另一邻角→ ASA 找边的对角→AAS 找夹边→ASA 找任一角的对边→AAS 考点三　全等三角形的判定 　　解析：由条件①，根据“ASA”可判定两个直角三角形全等； 　　由条件②，根据“HL”可判定两个直角三角形全等； 　　由条件③，根据“SAS”可判定两个直角三角形全等； 　　由条件④，根据“AAS”可判定两个直角三角形全等． 　　例4　在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，下列条件中能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的个数为（　　）． 　　①AC＝A′C′，∠A＝∠A′； ②AC＝AC，AB＝A′B′； 　　③AC＝A′C′，BC＝B′C′； ④AB＝A′B′，∠A＝∠A′． 　　A．1 B．2 C．3 D．4 D 考点三　全等三角形的判定 　　判定两个直角三角形全等的思路： 　　（1）已知一锐角 　　（2）已知一斜边 　　（3）已知一直角边 找直角与已知锐角的夹边→ASA 找锐角（或直角）的对边→AAS 找一条直角边→HL 找一组锐角→AAS 找斜边→ HL 找已知边相邻的锐角→ ASA 找已知边所对的锐角→ AAS 考点三　全等三角形的判定 　　4．如图，AC＝BD，AD⊥AC于点A，BC⊥BD于点 B．求证：Rt△ADC≌Rt△BCD． A B C D 　　证明： ∵AD⊥AC，BC⊥BD， 　　 　　∴∠A＝∠B＝90°． 　　在Rt△ADC和Rt △BCD中， 　　　　　　 　　　　　　 　　∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL）． 考点三　全等三角形的判定 　　5．已知△ABN 和△ACM 的位置如图，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．求证：∠M＝∠N． A B C D E O D M N 1 2 　　证明：在△ABD和△ACE中， 　　 　　 　　∴Rt△ABD≌Rt△ACE（SAS）． 　　∴∠B＝∠C． 考点三　全等三角形的判定 A B C D E O D M N 1 2 　　∵∠1＝∠2， 　　∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE， 　　即∠BAN＝∠CAM． 　　在△ABN和△ACM中， 　　 　　 　　∴△ABN≌△ACM（ASA）． 　　∴∠M＝∠N． 考点三　全等三角形的判定 A B C O D 　　6．如图，AC交BD于点 O，请你从下面三项中选出两项作为条件，另一项作为结论，写出一个真命题，并加以证明． 　　（1）OA＝OC；　　（2）OB＝OD；　　（3）AB//DC． 　　解：命题：如图，AC交BD于点O，若AB∥DC，OB＝OD，则OA＝OC． 考点三　全等三角形的判定 A B C O D 　　证明：∵AB∥DC 　　∴∠B＝∠D． 　　在△AOB和△COD中， 　　 　　 　　∴△AOB≌△COD（ASA）． 　　∴OA＝OC． 还有其他答案吗？ 考点四　全等三角形的实际应用 　　例5　如图，要在湖的两岸 A，B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量 A，B 两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一个测量方案： 　　（1）画出测量示意图，写出测量步骤（测量数据用字母表示）； 　　（2）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）． 　　分析：解题的关键是设计全等三角形，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系． A B A B 　　解：（1）在陆地上找到可以直接到达 A，B 的一点 O， 　　连接BO并延长至点 D，使OD＝OB， 　　连接AO并延长至点 C，使OC＝OA， 　　测出CD的长记为 a． O C D a 考点四　全等三角形的实际应用 A B O C D a 考点四　全等三角形的实际应用 　　（2）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）． 　　解：（2）由测量方案，得OC＝OA，OD＝OB． 　　在△COD和△AOB中， 　　 　　 　　∴△AOB≌△COD． 　　∴AB＝CD＝a． 考点四　全等三角形的实际应用 　　利用全等三角形解决实际问题，关键是在实际问题中提炼出全等三角形模型，从而利用三角形全等的判定与性质解决实际问题． 　　基本解题思路：建立数学模型→构造全等三角形→证明线段相等解决问题． 考点四　全等三角形的实际应用 　　7．如图，树AB与树CD之间相距13 m，小华从点 B 沿BC走向点 C，行走一段时间后他到达点 E，此时他仰望两棵树的顶点 A 和 D，且两条视线的夹角正好为90°，EA＝ED．已知树AB的高为5 m，小华行走的速度为1 m/s，求小华从点 B 走到点 E 所用的时间． B C A D E 　　解：∵∠AED＝90°， 　　∴∠AEB＋∠DEC＝90°． 　　∵∠ABE＝90°， 　　∴∠A＋∠AEB＝90°． 　　∴∠A＝∠DEC． 　　在△ABE和△ECD中， 　　∴△ABE≌△ECD（AAS）． 　　∴EC＝AB＝5 m． 　　∵BC＝13 m， 　　∴BE＝8 m． 　　∴小华从点 B 走到点 E 所用的时间是8÷1＝8（s）． B C A D E 考点四　全等三角形的实际应用 考点五　角的平分线的性质和判定的应用 　　例6　如图，∠1＝∠2，点 P 为BN上的一点，∠PCB＋∠BAP＝180 °，求证：PA＝PC． 　　分析：由角的平分线的性质易想到过点 P 向∠ABC的两边作垂线段PE，PF，构造角的平分线的基本图形． E F B A C N 1 2 P 　　证明：过点 P 作PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F． 　　∵∠1＝∠2，PE⊥BA，PF⊥BC， 　　∴PE＝PF，∠PEA＝∠PFC＝90°． 　　∵∠PCB＋∠BAP＝180°，∠BAP＋∠EAP＝180°． 　　∴∠EAP＝∠PCB． 　　在△APE和△CPF中， 　　∴△APE≌△CPF（AAS）． 　　∴AP＝CP． 考点五　角的平分线的性质和判定的应用 E F B A C N 1 2 P 考点五　角的平分线的性质和判定的应用 　　角的平分线的性质和判定都是证明线段或角相等的重要依据，在应用角的平分线的性质和判定时，常常结合全等三角形等有关知识来推导所求证的结论．在解题过程中往往需要添加辅助线来解决问题，通常从角的平分线上的已知点向角的两边作垂线． 考点五　角的平分线的性质和判定的应用 　　8．如图，已知△ABC的周长是24 cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2 cm，求△ABC的面积． B C A D O 　 　解：连接OA，作OE⊥AB于点 E，作OF⊥AC于点 F． 　　∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点 D， 　　∴OD＝OE＝OF＝2 cm． 　　∴S△ABC＝S△OAB＋S△OAC＋S△OBC 　　　　　 ＝ AB·OE＋ AC·OF＋ BC·OD 　　　　　 ＝ (AB＋AC＋BC)·OD 　　　　　 ＝ ×24×2 　　　　　 ＝24 （cm2）． B C A D O E F 考点五　角的平分线的性质和判定的应用 解决问题 全等三角形 性质 判定 角的平分线的性质和判定 角边角（ASA） 边角边（SAS） 全等形 边边边（SSS） 角角边（AAS） 斜边、直角边（HL） 对应角相等 对应边相等 证明直角三角形全等的特殊方法 $