14.3 第1课时 角平分线的性质-培优课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦角平分线的尺规作图与性质定理，通过折叠三角形纸、分析平分角仪器原理导入，衔接SSS全等知识，引导学生从动手操作到抽象作图步骤，构建“操作-原理-应用”的学习支架。 其亮点在于以情境探究培养数学眼光，如折叠操作强化几何直观，性质定理探究从猜想到证明发展推理意识，总结中明确易错点与应用场景构建模型意识。分层练习与详细解析助力学生掌握核心，也为教师提供清晰教学路径。

人教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 14.3 第1课时 角平分线的性质 第十四章 全等三角形 14.3 第1课时 角平分线的性质 总结与练习 一、课时核心知识点总结 1. 角平分线的尺规作图（基础） 无需量角器，只用无刻度直尺和圆规即可作出任意角的平分线，作图原理依托SSS三角形全等，作图后需保留圆弧痕迹，是考试基础考点。 2. 角平分线的性质定理（必考核心） 定理内容：角平分线上的点到角两边的距离相等。 关键词解读：①点：必须在角的平分线上；②距离：特指垂线段的长度，不是斜线段、不是线段长度；③结论：两条垂线段长度相等。 几何语言（满分模板）：∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，∴PM=PN。 3. 核心易错点（考试高频陷阱） 1. 必须同时满足在角平分线上+垂直两边两个条件，才能得距离相等，缺一不可； 2. 不能直接用“角相等”推出线段相等，必须强调垂直距离； 3. 性质定理只能证线段相等，不能直接证角平分线（判定定理才可证角平分线）。 4. 性质定理常见应用场景 1. 不求角度，快速证明两条垂线段相等； 2. 求线段长度、周长、面积； 3. 简化全等证明，替代繁琐的AAS/ASA全等步骤。 二、课时同步练习题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 角平分线的性质是：角平分线上的点到角两边的（）相等 A. 线段长度 B. 垂线段距离 C. 斜线段距离 D. 任意距离 2. 已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=5，则PN的长为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 3. 下列条件中，能利用角平分线性质定理得出线段相等的是（） A. 点P在角内，到角两边线段相等 B. 点P在角平分线上，且垂直角两边 C. 角相等，直接得线段相等 D. 点在角平分线上即可 4. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，若DE=3，则DF的值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 关于角平分线性质，下列说法错误的是（） A. 可快速证垂线段相等 B. 无需证明全等即可得线段相等 C. 不垂直也能使用该性质 D. 点必须在角平分线上 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 角平分线上的点到角两边的________相等。 7. 若点P在∠AOB的平分线上，且PM⊥OA，PN⊥OB，PM=6cm，则PN=________cm。 8. 使用角平分线性质的两个条件：①点在________上；②点到角两边________。 9. 三角形的角平分线可以得到对应________相等，常用于求边长和面积。 10. 角平分线性质定理几何语言：∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，∴________。 三、解答题（共60分） 11.（15分）已知：AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，求证：DB=DC。 12.（15分）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，若PM=4，求PN的长度，并说明理由。 13.（15分）在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，S△ABC=30，AB=8，AC=7，DE=DF，求DE的长。 14.（15分）辨析说理：“只要点在角内部，到角两边距离就相等”，判断正误并说明理由。 三、参考答案及解析 一、选择题 1. B 解析：角平分线性质特指点到角两边的垂线段距离，非任意线段。 2. C 解析：根据性质定理，角平分线上的点到角两边垂线段相等，PN=PM=5。 3. B 解析：必须同时满足点在角平分线、垂直两边，才可使用性质定理。 4. B 解析：AD为角平分线，DE、DF为角两边垂线段，故DF=DE=3。 5. C 解析：使用性质定理必须满足垂直条件，不垂直无法得出距离相等。 二、填空题 6. 距离（垂线段长度） 7. 6 8. 角平分线；垂直 9. 垂线段 10. PM=PN 三、解答题 11. 证明：∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，根据角平分线的性质，∴DB=DC。 12. 解：PN=4。理由：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，由角平分线的性质可得PN=PM=4。 13. 解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF。S△ABC=S△ABD+S△ACD=$$\frac{1}{2}AB\cdot DE+\frac{1}{2}AC\cdot DF$$。代入DE=DF、AB=8、AC=7、面积=30，得$$\frac{1}{2}\times8\times DE+\frac{1}{2}\times7\times DE=30$$，解得DE=4。 14. 解：说法错误。理由：只有在角平分线上的点，到角两边的距离才相等；任意角内部的点，不一定在角平分线上，到两边的距离不一定相等。 1. 能用尺规作图：作一个角的平分线，强化分析及作图能力.(重点) 2. 理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理.(重、难点) 3. 培养观察、归纳及动手能力，发展推理能力. 学习目标 （1）判定两个三角形全等的方法有哪些？ SSS、ASA、ASA、AAS、HL （2）三角形中有哪些重要的线段？ 三角形的高、三角形的中线、三角形的角的平分线 （3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做 _________________. 点到直线的距离 情境探究 ：拿出一个小三角形纸，按照如图所示的步骤，动手折叠. 问题1：折痕 BD 平分∠ABC 吗？为什么呢？ B D A C M ② B A M ① 问题2：在如图所示的折叠过程中，按照先后顺序保证了哪些条件相等，使得折痕平分∠ABC ？ 先 AB = BC，后 AD = DC. 探究点一： 角平分线的作法 情境探究：如图是一个平分角的仪器，其中 AB = AD，BC = DC. 将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是这个角的平分线. 你能说明它的道理吗？ A B D C E 分析：在△ACD 和△ACB 中， AC = AC， AD = AB， CD = CB， ∴△ACD≌△ACB(SSS). ∴∠DAC =∠BAC. ∴AE 平分∠DAB. 探究点一： 角平分线的作法 思考：你能想到如何作一个角的平分线吗? A B O M C (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N． (3) 画射线 OC. 射线 OC 即为所求. (2) 分别以点 M，N 为圆心． 大于　MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点 C. 作法： 探究点一： 角平分线的作法 N 问题1 为什么以大于 MN 的长为半径作弧？ 答：如果以小于 MN 的长为半径作弧，所作的两弧可能没有交点，就找不到角的平分线. A B O M N 探究点一： 角平分线的作法 问题2 两弧的交点一定在∠AOB 的内部吗？ 答：两弧的交点可能在∠AOB 的内部，也可能在∠AOB 的外部，而我们要找的是∠AOB 内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了. A B O M N C 探究点一： 角平分线的作法 在刚才折叠的基础上(在折叠状态，未展开)将BC 自身重合对折(点 B 与点 C 重合)观察折叠后的展开图，你发现了什么? B D A C M ② B D A C M P ③ 探究点二：角的平分线的性质 纸上又多了两条折痕，设为 PE 和 PF (如图)，两条折痕相交于点 P，并且点 P 在角平分线 BD上； 观察折痕与边的关系得到： B D A C M P E F PE⊥BC，PF⊥AB，PE = PF. 对于任意角的平分线是否都有这样的结论？ 探究点二：角的平分线的性质 PD PE 第一次 第二次 第三次 在刚作出的∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P，过点画出 OA，OB 的垂线，分别记垂足为 D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？在 OC 上多取几点试试. 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 通过以上测量，你发现了角平分线的什么性质？ 探究点二：角的平分线的性质 怎样验证猜想呢？ 1. 问题：写出上述命题的题设(已知)和结论(求证). 题设：角的平分线上有一点 结论：这一点到角的两边的距离相等 已知： 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2. 画出图形，几何语言描述 P A O B C D E OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB 求证： PD = PE 探究点二：角的平分线的性质 已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO = ∠PEO = 90°. 在 △OPD 和 △OPE 中， ∠PDO = ∠PEO， ∠DOP = ∠EOP， OP = OP， ∴△OPD≌△OPE (AAS). ∴ PD = PE. ∵ OC 是∠AOB 的平分线， ∴∠AOC = ∠BOC. 探究点二：角的平分线的性质 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. B A D O P E C 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， 推理的条件有三个，必须写完全，不能少 点在角的平分线上 垂线段的长 探究点二：角的平分线的性质 证明几何命题的一般步骤 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 探究点二：角的平分线的性质 例 如图，AD 为∠BAC 的平分线，DF⊥AC 于点 F，∠B = 90°，DE = DC，试说明：BE = FC. 解：∵∠B = 90°，∴ BD⊥AB. ∵ AD 为∠BAC 的平分线，且 DF⊥AC， ∴ DB = DF. 在Rt△BDE 和 Rt△FDC 中， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC (HL). ∴BE = FC. DE = DC， DB = DF， 探究点二：角的平分线的性质 1.如图，作已知的平分线 ，合理的顺序是( ) C ① 作射线；②在，上分别截取，，使 ；③ 分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 内交 于点 . A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②① 返回 中考考法 17 返回 A 2．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(　　) A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 中考考法 18 返回 解：如图，点P即为所求． 3．陕西中考如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上．请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB.(保留作图痕迹，不写作法) 中考考法 19 4.如图，是的平分线，点在 上， 于点，于点，若 ，则 的长为( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 返回 中考考法 20 5.如图，平分，点是射线 上一点， 于点，点是射线 上的一个动点， 连接.若，则 的长度不可能是( ) D A.18 B.7.2 C.6 D.4.5 返回 中考考法 21 返回 B 6．厦门期中如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 中考考法 22 7.如图,，，垂足分别为,， 与 相交于点，且.求证： . 证明： , 为 的平分线. , ， , . 又 , , . 返回 中考考法 23 8.命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”的题设是______________ ___________，结论是________________________. 一个三角形的两个角互余 这个三角形是直角三角形 返回 中考考法 24 返回 C 中考考法 25 角平分线 性质定理 一个点：________________； 二距离：________________； 两相等：____________________ 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 角平分线上的点 点到角两边的距离 两条垂线段(距离)相等 课堂小结 9．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N.若MN＝2，AD＝4MD，则AM的长为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 $