2.2.1 有理数的乘法 课件 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦有理数乘法法则、符号法则及倒数概念，通过蜗牛爬行情境结合数轴引入，观察算式规律推导法则，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以情境化导入培养数学眼光，通过规律探究发展推理意识，结合登山气温变化等实例强化数学语言表达。助力学生提升抽象能力和运算能力，为教师提供逻辑清晰的教学资源，提高教学效率。

2.2.1 有理数的乘法 人教版七年级数学上册 · 第二章 有理数的运算 1.7.2013 同学们好！今天我们将学习有理数的一种新运算——乘法。通过本节课的学习，我们将掌握有理数乘法的法则，并能解决相关的实际问题。 ‹#› 1.掌握有理数的乘法法则，并能熟练地计算两个数的乘法.（重点） 2.掌握多个有理数相乘的积的符号法则.（难点） 3.会求一个数的倒数. 2 cm 0(O) 2 6 4 l 结果：3分钟后在直线l上点O的右边6 cm处. 表示：(+2)×(+3)= 6. (1) 如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向右爬行，3分钟后它在什么位置？ 知识点1 有理数乘法法则 新知引入 (2)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向左爬行，3分钟后它在什么位置？ -6 -4 0(O) -2 2 cm l 结果：3分钟后在直线l上点O 的左边6 cm处. 表示：(-2)×(+3)= -6. 观察下面的两列乘法算式，你能发现什么规律? 3 × 3 = 9， 3 × 2 = 6， 3 × 1 = 3, 3 × 0 = 0. 随着第二个乘数逐 次递减1，积逐次递减3 3 × 3 = 9， 2 × 3 = 6， 1 × 3 = 3， 0 × 3 = 0. 随着前一乘数逐次递减1， 积逐次递减3. 要使(1)中的规律在引入负数后仍然成立，那么应有: 3×(-1)=-3, 3×(-2)=_______. 3×(-3)=_______. -6 -9 要使(2)中的规律在引入负数后仍成立，那么应有： (－1)×3=　　　,　 (－2)×3=　　　, (－3)×3=　　　. －3 －6 －9 ☀归纳 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积也为负数.积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 利用上面归纳的结论计算下面的算式，你能发现什么规律? －3 × 3 = －9 －3 × 2 = －6 －3 × 1 = －3 －3 × 0 = 0 - 正数 负数 负数 随着第二个乘数逐 次递减1，积逐次增加3 4.零与任何数相乘或任何数与零相乘结果都是 . 1.正数乘正数,积为 数；负数乘负数,积为 数; 2.负数乘正数,积为 数；正数乘负数,积为 数; 3.乘积的绝对值等于各乘数绝对值的 ; 正 正 负 负 积 (同号得正) (异号得负) 零 根据上面结果可知： (+2)×(+3)= 6 (-2)×(+3)= -6 (+2)×(-3)= -6 (-2)×(-3)= 6 0×2=0 0×(-2)=0 2×0=0 (-2)×0=0 1.两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 2.任何数与0相乘，都得0. 讨论: (1)若a＜0,b＞0,则ab____0 ; (2)若a＜0,b＜0,则ab____0 ; (3)若ab＞0,则a、b应满足什么条件？ (4)若ab＜0,则a、b应满足什么条件？ ＜ ＞ a、b同号 a、b异号 总结 有理数乘法法则 注意：“同号得正，异号得负”只适用于两个非0的有理数相乘. 法则探究：从规律到法则 01 / 观察第一列算式 3×3=9 3×2=6 3×1=3 3×0=0 规律：后一乘数逐次减1，积逐次减3。 推导：按此规律，引入负数后，积继续递减3。即 3×(-1)=-3， 3×(-2)=-6， 3×(-3)=-9。 1.7.2013 我们来看课本上的思考。通过观察两组算式，我们发现了一个规律：当乘数减小1时，积会相应地变化。根据这个规律，我们可以推导出正数乘负数和负数乘正数的结果。 ‹#› 初步结论：正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积也为负数。积的绝对值等于乘数的绝对值的积。 02 / 观察第二列算式 3×3=9 2×3=6 1×3=3 0×3=0 规律：前一乘数逐次减1，积逐次减3。 推导：按此规律，引入负数后，积继续递减3。即 (-1)×3= -3， (-2)×3= -6， (-3)×3= -9。 要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有: (-3)×(-1)=-3, (-3)×(-2)=_______. (-3)×(-3)=_______. 6 9 从符号和绝对值两个角度观察上述3个算式，你能说说它们的共性吗?你能发现什么规律? 正数 负数 负数 ☀归纳 负数乘负数，积为正数，且积的绝对值等于各乘数绝对值的积. 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 任何数与0相乘，都得0. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a,b为正有理数，c为任意有理数，则 (+a)×(+b)=a×b,(-a)×(-b)=a×b; (-a)×(+b)=-(a×b),(+a)×(-b)=-(a×b); c×0=0，0×c=0. 1.两个非0有理数相乘时，先确定积的符号，再确定积的绝对值. 2. 有理数相乘，当因数中有带分数时，应先把带分数化为假分数再相乘；当因数中既有分数又有小数时，统一化为小数或分数，再相乘. 3.任何数同1相乘都等于它本身， 任何数同-1相乘都等于它的相反数. 14 例1 计算：(1)8×(-1)； (2) ； (3) . 导引：(1)异号两数相乘，积为负；(2)（3）同号两数相乘，积为正. 解：(1)8×(-1)＝－(8×1）＝－8; (2)=1； （3）=+=. 例题示范 法则探究（二）：负数乘负数 01 观察算式，寻找变化规律 计算发现：随着后一乘数逐次递减 1，积在逐次增加 3。 (-3)×3= -9 (-3)×2= -6 (-3)×1= -3 (-3)×0= 0 逻辑推导：按照“积增加 3”的规律继续向下推演，当乘数变为负数时，积变为正数。 02 规律延伸，推导核心结果 (-3) × (-1) = 3 (-3) × (-2) = 6 (-3) × (-3) = 9 结论：负数乘负数，积为正数，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积。这就是“负负得正”的数学原理。 1.7.2013 接下来，我们挑战最关键的部分：负数乘负数。通过观察规律，我们发现，当两个负数相乘时，积为正数。这就是“负负得正”的由来。 ‹#› 有理数乘法法则 01 / 法则核心要义 符号判定：两数相乘，同号得正，异号得负。且积的绝对值等于乘数的绝对值的积．即“正正得正，负负得正，正负得负”。 数值计算与特例：先确定符号，再把绝对值相乘。特别地，任何有理数与0相乘，结果都为0。 02 / 字母公式化表示 设 a, b 为正有理数： (+a)×(+b) = +(a×b)； (-a)×(-b) = +(a×b) (+a)×(-b) = -(a×b)； (-a)×(+b) = -(a×b) 设 c 为任意有理数： c × 0 = 0，0 × c = 0 这意味着，0是乘法中的零元，任何数与它相乘都会归零。 1.7.2013 现在，我们可以总结出完整的有理数乘法法则。记住这个口诀：“先定符号，再算绝对值”。符号的确定规则是“同号得正，异号得负”。 ‹#› 例2 求下列各数的倒数． (1)－； (2)2； (3)－1.25； (4)5. 解：(1)－的倒数是－； (2)2＝，故2的倒数是； (3)－1.25＝－，故－1.25的倒数是－； (4)5的倒数是. 例3 已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为6，求－cd＋|m|的值． 解：由题意得a＋b＝0，cd＝1，|m|＝6，m＝±6； ∴①当m＝6时，原式＝－1＋6＝5； ②当m＝－6时，原式＝－1＋6＝5. 故－cd＋|m|的值为5. 找特点，给这些数起一个你喜欢的名字. 1 1 1 你还能写出一些乘积为1的算式吗？ 认真观察每一对数，你发现了么？ 两个乘数的分子分母互相颠倒. 新知引入 知识点2 倒数 有理数中，乘积是1的两个数互为倒数. 要点精析： (1)0没有倒数． (2)一个数和它的倒数的符号相同，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数． (3)倒数是相互的，当ab＝1时，a叫做b的倒数，b也叫做a的倒数． (4)1或－1的倒数是它本身． 例题解析（二）：实际应用 【例2】实际情境：用正数表示气温的变化量，上升为正，下降为负。登山队攀登一座山峰，每登高 1 km 气温的变化量为 -6℃。若登高 3 km 后，气温会发生怎样的变化？ 根据题意，每登高1km气温变化为-6℃，登高3km的总变化量即为3个-6相加。用乘法计算： (-6) × 3 = -18 结果为-18℃，负号代表气温下降。因此结论是：登高3 km后，气温下降18℃。 1.7.2013 来看例2，这是一个实际应用问题。通过有理数乘法，我们可以计算出气温的变化量。 ‹#› 例题解析（三）：多个有理数相乘 例4：计算 2 × 3 × 0.5 × (-7) 解：原式 = (2 × 0.5) × [3 × (-7)] （利用乘法交换律与结合律） = 1 × (-21) = -21 核心知识点：乘法交换律与结合律 在有理数乘法中，乘法交换律 (ab = ba) 和结合律 ((ab)c = a(bc)) 仍然成立。多个有理数相乘时，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘，从而简化运算过程。 1.7.2013 来看例3，这里我们可以运用乘法交换律和结合律来简化计算。这说明，在有理数范围内，乘法的运算律依然成立。 ‹#› 求一个数的倒数的方法 1.求非零整数a的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数，例如，3的倒数是 ; 2.求分数-(m≠0,n≠0)的倒数，就是把这个分数的分子和分母交换位置，例如，- 的倒数是-。 3.求带分数的倒数,先把带分数化成假分数,再交换分子和分母的位置,例如,-,所以-的倒数是； 4.求小数的倒数，要先把小数化成分数，再求其倒数，例如, -0.5=-，所以-0.5的倒数是-2. 运算律探究：乘法分配律 01. 探究：结果相同吗？ 计算：5 × [3 + (-7)] = 5 × (-4) = -20 计算：5 × 3 + 5 × (-7) = 15 - 35 = -20 在有理数中，一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。这就是乘法分配律。 a(b + c) = ab + ac 1.7.2013 我们再来探究乘法分配律。通过计算我们发现，分配律在有理数范围内同样成立。利用分配律可以使一些计算更加简便，如例4的解法2。 ‹#› 解法一：先算括号内 原式 =( + - )×12 = (- ) × 12 =-1 计算步骤繁琐，需先通分，容易出错。 解法二：运用分配律 原式 = ×12 + ×12 - ×12 =3 + 2 - 6 = -1 转化为整数乘法，计算简便快捷。 例题解析（三）：多个有理数相乘 例3：（2）计算 ( + - )×12. 法则 有理数乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同0相乘，都得0． 倒数 乘积为1的两个数互为倒数. $