2.2 有理数的加减运算 —2026--2027学年北师大版七年级数学上册

北师大版七年级上册预习 第二章 有理数及其运算 第 2 节 有理数的加减运算 📅 两日预习打卡安排 【Day1 预习任务】（建议用时25分钟） ✅ 完成目标：掌握有理数加法法则与运算律 1.通读课本加法部分内容，自主完成知识点1-2、概念1-3的挖空填写； 2.背诵加法法则3条，能用自己的话复述； 3.完成基础训练相关题目，对照答案订正。 打卡自检：能独立计算同号、异号两数相加，会用交换律、结合律简便计算。 【Day2 预习任务】（建议用时30分钟） ✅ 完成目标：掌握减法法则与加减混合运算 1.通读课本减法与混合运算部分内容，自主完成知识点3-10、概念4-10的挖空填写； 2.背诵减法法则，能熟练把减法改写为加法； 3.完成剩余所有练习题，对照答案订正； 打卡自检：能独立完成加减混合运算，会用省略加号的和的形式，能解决温差、水位类应用题。 一、核心知识点梳理 知识点1：有理数加法的分类与法则 两个有理数相加分为三类情况：同号两数相加、异号两数相加、一个数与0相加。 同号两数相加，取相同的 符号 ，并把 绝对值 相加。 异号两数相加，绝对值相等时和为 0 ；绝对值不等时，取 绝对值较大 的数的符号，并用 较大 的绝对值减去______较小______的绝对值。 一个数同0相加，仍得 这个数 。 ⚠️ 易错点标注：异号相加最容易符号出错！记住：谁的绝对值大，就听谁的符号！ 知识点2：有理数加法的运算律 加法交换律：两个数相加，交换 加数 的位置， 和__不变，字母表示为 a+b=b+a 。 加法结合律：三个数相加，先把 前 两个数相加，或者先把 后__两个数相加，__和__不变，字母表示为 (a+b)+c=a+(b+c) 。 简便计算常用技巧：互为相反数的数先结合相加得0、同号数先结合、同分母分数先结合、凑整的数先结合。 ⚠️ 易错点标注：交换加数位置时，一定要带着符号一起搬家！比如-3+5交换后是5+(-3)，不是5-3！ 知识点3：有理数减法法则 减法是加法的 逆 运算，有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的 相反数 ，字母公式： a-b=a+(-b) 。 任意减法运算都可以统一转化为 加法 运算进行计算。 ⚠️ 易错点标注：减法变加法要同时变两处！①减号变加号 ②减数变相反数，只变一处必错！ 知识点4：有理数加减混合运算 加减混合运算第一步：把所有减法统一转化为 加法 运算，写成连加形式。 第二步：运用加法 交换律 和 结合律 调整加数顺序、分组结合，简化计算。 加减混合运算可以省略括号和加号，写成省略加号的和的形式，如可写成 -3-5+2 。 ⚠️ 易错点标注：省略加号后，每个数前面的符号就是它自己的性质符号，不是运算符号！ 知识点5：数轴解释有理数加法 数轴上加法移动规则：正数向 右 移动对应单位长度，负数向 左 移动对应单位长度，最终落点对应的数就是和。 知识点6：和的大小变化规律 一个数加正数，和比原数 大 ；一个数加负数，和比原数 小 。 一个数减正数，差比原数 小 ；一个数减负数，差比原数 大 。 知识点7：温差、海拔差等实际应用 温差=最高气温 减去 最低气温；海拔高差=高海拔数值 减去 低海拔数值。 水位、价格、身高波动类问题，把初始基准记为0，正向变化记正、反向变化记负，通过加减运算求最终结果。 ⚠️ 易错点标注：温差永远是正数！计算时一定是高温减低温，不要搞反顺序！ 知识点8：相反数加法特征 互为相反数的两个数相加和为 0 ；若两个数的和为0，则这两个数 互为相反数 。 知识点9：省略加号的和的读法 式子可读作：负5、正3、负7、正4的和 ，也可读作负5加3减7加2。 ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错类型 错误示例 正确写法 避坑口诀 减法变号错误 减变加，数变反，两处都要变 异号相加符号错 谁大听谁的 交换加数丢符号 带着符号搬家 温差计算反序 温差永远正，大减小 加0变号 加0还得原数 二、基本概念定义 加法交换律：有理数加法中，交换两个 加数 的位置，和不变的运算规律。 加法结合律：有理数加法中，改变相加的先后顺序，和不变的运算规律。 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，减去一个数等价于加它的 相反数 。 省略加号的和：把加减混合运算全部转化为加法后，省略式子中的 加号 和括号得到的形式。 基准量：处理水位、海拔、身高问题时选定的参照标准，通常记作0，高于基准记正、低于基准记负。 温差：同一时段某地最高气温与最低气温的 差值 ，用最高温减最低温计算。 净变化量：一系列正向、反向变化累加后的最终结果，通过多次加减运算求得。 有理数加减混合运算：同一个式子中同时包含有理数加法和减法的运算，可统一为加法计算。 三、数学思想方法 1. 转化思想 减法统一转化为加法计算；复杂加减混合运算转化为分组凑整的简便加法，把陌生运算转化为熟悉的运算。 2. 数形结合思想 借助数轴上点的左右移动直观解释加法运算过程，用数轴位置验证计算结果；用折线图呈现水位变化规律。 3. 分类讨论思想 对有理数加法按同号、异号、加0三类分类归纳法则；分析和与原数大小时分加正数、加负数分类讨论。 4. 模型思想 用正负数表示水位升降、价格涨跌、海拔高低这类相反意义的量，搭建加减数学模型解决生活实际问题。 5. 归纳推理思想 从竞赛计分、数轴移动多个实例中归纳出有理数加法法则；从多组减法算式归纳出"减一个数等于加相反数"的减法规律。 6. 优化思想 利用加法交换律、结合律对加数重新分组，优先结合相反数、同分母、可凑整的数，简化运算降低出错率。 四、预习训练 一、选择题 1.结果不等于的算式是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 分别计算各选项求解即可． 【解答】 解：、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意． 故选：．  2.计算的结果是（       ） A.2 B. C.3 D. 【答案】 A 【解析】 本题考查有理数的减法运算，关键点是减去一个负数等于加上它的相反数。根据有理数加减法法则计算即可. 【解答】 解： 减去一个负数等于加上它的相反数， 故选：A.  3.将式子省略括号和加号后变形正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查有理数加减计算化简．根据题意利用“同号得正，异号得负”即可化简该式． 【解答】 解：， 故选：．  4.当，且，则的值为（       ） A. B.或 C. D. 【答案】 B 【解析】 根据，且，得出，的值，进而得出答案． 【解答】 解：，，，， ， ， ，， 或． 故选 5.如图，加工一种轴时，轴直径在毫米到毫米之间的产品都是合格品，在图纸上通常用来表示这种轴的加工要求．现加工四根轴，轴直径的加工要求是．下列数据是加工成的轴直径，其中不合格的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查正数和负数的知识，先求出合格的范围是解题的关键。根据题意可得出合格的范围，从而可判断出直径是否合格. 【解答】 解：由题意得：合格范围为： 到 选项A不合格. 故选：A.  6.已知上周五（周末不开市）沪市指数以点报收，本周内股市涨跌情况如下表（“+”表示比前一天涨，“-”表示比前一天跌）： 星期 一 二 三 四 五 股指变化/点 那么本周五的沪市指数报收点为（       ） A.点 B.点 C.点 D.点 【答案】 B 【解析】 本题主要考查了正负数的意义，有理数的加法运算，将涨跌点数相加，再加上上周五的指数即可． 【解答】 ． 本周五的沪市指数报收点为点. 故选： 7.是应用了（       ） A.加法交换律 B.加法结合律 C.分配律 D.加法的交换律与结合律 【答案】 D 【解析】 本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键. 【解答】 解： 是应用了加法的交换律与结合律， 故选：D.  8.已知，，且，那么等于（          ） A.8 B.-2 C.8或-2 D.-8或-2 【答案】 D 【解析】 根据绝对值的性质先求出x、y的值，再根据 x>y确定出x、y的值，然后代入 x+y进行计算即可得解. 【解答】 或-3，y=5或-5， , 或x=-3，y=-5， 当 x=3，y=-5时，x+y=3+（-5）=-2， 当 x=-3，y=-5时，x+y=（-3）+（-5）=-8， 综上所述，x+y的值等于-2或-8， 故选D.  9.若．则的相反数是（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据绝对值的性质求出、的值，计算出，再根据相反数的定义解答． 【解答】 解：，，， ，， ， 的相反数是， 故选：．  10.若，，三个有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 此题综合考查了数轴、绝对值．根据数轴上的数，右边的数总是大于左边的数，即可判断，，的符号，根据到原点的距离即可判断绝对值的大小，再根据有理数的加法法则即可作出判断． 【解答】 解：根据数轴可知：，且，则 、，正确，不符合题意； 、，正确，不符合题意； 、，原选项错误，符合题意； 、，正确，符合题意． 故选：． 二、 填空题   11.如果的相反数是最大的负整数，的相反数是最小的正整数，则____0____． 【答案】 【解析】 根据最小的正整数是，最大的负整数是，求出，的值，计算出． 【解答】 解：∵ 最大的负整数为， ∴ 的相反数为， 则， ∵ 最小的正整数为， ∴ 的相反数为， 则， 则． 12.若，，，则的值是____-11或-1____． 【答案】 -11或-1 【解析】 本题主要考查了代数式求值，求一个数的绝对值，有理数的加法计算，根据绝对值的定义和有理数的加法计算法则可确定m、n的值，再代值计算即可得到答案. 【解答】 解： 或m-n=5-6=-1， 故答案为：-11或-1. 13.小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“+”错写成“-”或“-”错写成“+”），结果算成了，则原式从左往右数，第_______6_____个运算符号写错了． 【答案】 【解析】 先确定哪一个数的符号出了错，再确定这个符号是第几个． 【解答】 ， 小于， 一定是把+错写成减号了， 这个数为， 是第六个符号写错了， 故答案为：6 14.微信零钱是人们日常支付的便捷工具，可以清晰地记录日常消费明细．如图所示的是国庆节假期期间，王叔叔10月1日至5日的微信零钱消费明细，其中正数表示收款，负数表示付款．王叔叔于10月5日18：59扫二维码付款给超市后的余额为___121.63_____． 【答案】 121.63 【解析】 本题考查了有理数加减混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意列出算式97.18-50+100-10.25-15.30计算即可． 【解答】 解：由题意得，97.18-50+100-10.25-15.30 = (97.18+100)-(50+10.25+15.30) = 197.18-75.55 = 121.63 故答案为：121.63 15.计算：____________． 【答案】 【解析】 本题考查有理数的加减运算，两两一组分别计算即可． 【解答】 解：原式 ， 故答案为：． 16.___ _____. 【答案】 【解析】 本题考查了裂项法进行有理数加减运算，关键是裂项相消法求和；观察原式，每一项为两个连续整数倒数的差的绝对值，利用绝对值的性质去掉绝对值符号，发现裂项相消，即中间项相互抵消，只剩首尾部分项化简即可. 【解答】 解：原式 故答案为: . 三、 解答题   17.有理数的加减运算： （1） （2） 【答案】 -50 -2 【解析】 （1）去括号运算即可； （2）把小数变成分数运算即可. 【解答】 （1） 解：原式 （2） 解：原式 18.已知数轴上的点，分别表示和． （1）在数轴上画出，两点； （2）写出数轴上点和点之间的所有整数，并求它们的和． 【答案】 见解答 点和点之间的整数有、、、、、；它们的和为 【解析】 （1）利用数轴表示数方法求解； （2）利用数轴找出两点之间的个整数，然后计算它们的和． 【解答】 （1） 解：如图所示： （2）解：数轴上点和点之间的整数有、、、、、，它们的和为．  19.某水泥仓库天内进出水泥的吨数如下（“+”表示进库，“-”表示出库）： 、、、、、． （1）经过这天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ （2）经过这天，仓库管理员结算发现库里还存吨水泥，那么天前，仓库里存有水泥多少吨？ （3）如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨元，那么这天要付多少元装卸费？ 【答案】 ，吨；元 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解：根据有理数的加法运算，可得答案 （2）根据有理数的减法运算，可得答案 （3）根据装卸都付费，可得总费用． 解：（1） ， 答：仓库里的水泥减少了，减少了吨； （吨） 答：天前，仓库里存有水泥吨； （3） （元） 答：这天要付元的装卸费． “点睛”本题考查了正数和负数，注意：有理数的加法是解题关键；剩下的减去多运出的就是原来的，（3）装卸都付费． 20.若，． （1）若，，求的值； （2）若，求的值． 【答案】 2 -10或-2 【解析】 （1）根据绝对值的意义，a,b的符号，求出 a,b的值，再进行加法运算即可； （2）根据绝对值的非负性，求出 a,b的值，再进行减法运算即可. 【解答】 （1）解： （2）解： 或   21.阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. （1）仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； （2）用拆项法计算：． 【答案】 【解析】 （1）根据题干信息进行解答即可； （2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可. 【解答】 （1） 解：12.6拆为 ，-5.23拆为 故答案为： （2）解： 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版七年级上册预习 第二章 有理数及其运算 第 2 节 有理数的加减运算 📅 两日预习打卡安排 【Day1 预习任务】（建议用时25分钟） ✅ 完成目标：掌握有理数加法法则与运算律 1.通读课本加法部分内容，自主完成知识点1-2、概念1-3的挖空填写 2.背诵加法法则3条，能用自己的话复述 3.完成基础训练相关题目，对照答案订正 打卡自检：能独立计算同号、异号两数相加，会用交换律、结合律简便计算 【Day2 预习任务】（建议用时30分钟） ✅ 完成目标：掌握减法法则与加减混合运算 1.通读课本减法与混合运算部分内容，自主完成知识点3-10、概念4-10的挖空填写 2.背诵减法法则，能熟练把减法改写为加法 3.完成剩余所有练习题，对照答案订正 打卡自检：能独立完成加减混合运算，会用省略加号的和的形式，能解决温差、水位类应用题 一、核心知识点梳理 知识点1：有理数加法的分类与法则 两个有理数相加分为三类情况：同号两数相加、异号两数相加、一个数与0相加。 同号两数相加，取相同的 ，并把 相加。 异号两数相加，绝对值相等时和为 ；绝对值不等时，取 的数的符号，并用 的绝对值减去__________的绝对值。 一个数同0相加，仍得 。 ⚠️ 易错点标注：异号相加最容易符号出错！记住：谁的绝对值大，就听谁的符号！ 知识点2：有理数加法的运算律 加法交换律：两个数相加，交换 的位置， __不变，字母表示为 。 加法结合律：三个数相加，先把 两个数相加，或者先把 两个数相加，_ __不变，字母表示为 。 简便计算常用技巧：互为相反数的数先结合相加得0、同号数先结合、同分母分数先结合、凑整的数先结合。 ⚠️ 易错点标注：交换加数位置时，一定要带着符号一起搬家！比如-3+5交换后是5+(-3)，不是5-3！ 知识点3：有理数减法法则 减法是加法的 运算，有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的 ，字母公式： 。 任意减法运算都可以统一转化为 运算进行计算。 ⚠️ 易错点标注：减法变加法要同时变两处！①减号变加号 ②减数变相反数，只变一处必错！ 知识点4：有理数加减混合运算 加减混合运算第一步：把所有减法统一转化为 运算，写成连加形式。 第二步：运用加法 和 调整加数顺序、分组结合，简化计算。 加减混合运算可以省略括号和加号，写成省略加号的和的形式，如可写成 。 ⚠️ 易错点标注：省略加号后，每个数前面的符号就是它自己的性质符号，不是运算符号！ 知识点5：数轴解释有理数加法 数轴上加法移动规则：正数向 移动对应单位长度，负数向 移动对应单位长度，最终落点对应的数就是和。 知识点6：和的大小变化规律 一个数加正数，和比原数 ；一个数加负数，和比原数 。 一个数减正数，差比原数 ；一个数减负数，差比原数 。 知识点7：温差、海拔差等实际应用 温差=最高气温 最低气温；海拔高差=高海拔数值 低海拔数值。 水位、价格、身高波动类问题，把初始基准记为0，正向变化记正、反向变化记负，通过加减运算求最终结果。 ⚠️ 易错点标注：温差永远是正数！计算时一定是高温减低温，不要搞反顺序！ 知识点8：相反数加法特征 互为相反数的两个数相加和为 ；若两个数的和为0，则这两个数 。 知识点9：省略加号的和的读法 式子可读作：负5、正3、负7、正4的和 ，也可读作负5加3减7加2。 ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错类型 错误示例 正确写法 避坑口诀 减法变号错误 减变加，数变反，两处都要变 异号相加符号错 谁大听谁的 交换加数丢符号 带着符号搬家 温差计算反序 温差永远正，大减小 加0变号 加0还得原数 二、基本概念定义 加法交换律：有理数加法中，交换两个 的位置，和不变的运算规律。 加法结合律：有理数加法中，改变相加的先后顺序，和不变的运算规律。 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，减去一个数等价于加它的 。 省略加号的和：把加减混合运算全部转化为加法后，省略式子中的 和括号得到的形式。 基准量：处理水位、海拔、身高问题时选定的参照标准，通常记作0，高于基准记正、低于基准记负。 温差：同一时段某地最高气温与最低气温的 ，用最高温减最低温计算。 净变化量：一系列正向、反向变化累加后的最终结果，通过多次加减运算求得。 有理数加减混合运算：同一个式子中同时包含有理数加法和减法的运算，可统一为加法计算。 三、数学思想方法 1. 转化思想 减法统一转化为加法计算；复杂加减混合运算转化为分组凑整的简便加法，把陌生运算转化为熟悉的运算。 2. 数形结合思想 借助数轴上点的左右移动直观解释加法运算过程，用数轴位置验证计算结果；用折线图呈现水位变化规律。 3. 分类讨论思想 对有理数加法按同号、异号、加0三类分类归纳法则；分析和与原数大小时分加正数、加负数分类讨论。 4. 模型思想 用正负数表示水位升降、价格涨跌、海拔高低这类相反意义的量，搭建加减数学模型解决生活实际问题。 5. 归纳推理思想 从竞赛计分、数轴移动多个实例中归纳出有理数加法法则；从多组减法算式归纳出"减一个数等于加相反数"的减法规律。 6. 优化思想 利用加法交换律、结合律对加数重新分组，优先结合相反数、同分母、可凑整的数，简化运算降低出错率。 四、预习训练 一、选择题 1.结果不等于的算式是（       ） A. B. C. D.  2.计算的结果是（       ） A.2 B. C.3 D. 3.将式子省略括号和加号后变形正确的是（       ） A. B. C. D. 4.当，且，则的值为（       ） A. B.或 C. D. 5.如图，加工一种轴时，轴直径在毫米到毫米之间的产品都是合格品，在图纸上通常用来表示这种轴的加工要求．现加工四根轴，轴直径的加工要求是．下列数据是加工成的轴直径，其中不合格的是（       ） A. B. C. D. 6.已知上周五（周末不开市）沪市指数以点报收，本周内股市涨跌情况如下表（“+”表示比前一天涨，“-”表示比前一天跌）： 星期 一 二 三 四 五 股指变化/点 那么本周五的沪市指数报收点为（       ） A.点 B.点 C.点 D.点 7.是应用了（       ） A.加法交换律 B.加法结合律 C.分配律 D.加法的交换律与结合律 8.已知，，且，那么等于（          ） A.8 B.-2 C.8或-2 D.-8或-2 9.若．则的相反数是（       ） A. B. C. D. 10.若，，三个有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（       ） A. B. C. D. 二、 填空题   11.如果的相反数是最大的负整数，的相反数是最小的正整数，则_______． 12.若，，，则的值是_______． 13.小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“+”错写成“-”或“-”错写成“+”），结果算成了，则原式从左往右数，第___________个运算符号写错了． 14.微信零钱是人们日常支付的便捷工具，可以清晰地记录日常消费明细．如图所示的是国庆节假期期间，王叔叔10月1日至5日的微信零钱消费明细，其中正数表示收款，负数表示付款．王叔叔于10月5日18：59扫二维码付款给超市后的余额为________． 15.计算：____________． 16.___ ____. 三、 解答题   17.有理数的加减运算： （1） （2） 18.已知数轴上的点，分别表示和． （1）在数轴上画出，两点； （2）写出数轴上点和点之间的所有整数，并求它们的和．  19.某水泥仓库天内进出水泥的吨数如下（“+”表示进库，“-”表示出库）： 、、、、、． （1）经过这天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ （2）经过这天，仓库管理员结算发现库里还存吨水泥，那么天前，仓库里存有水泥多少吨？ （3）如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨元，那么这天要付多少元装卸费？ 20.若，． （1）若，，求的值； （2）若，求的值．  21.阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. （1）仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为____； （2）用拆项法计算：． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $