第二章《有理数及其运算》第3节《有理数的乘除运算》 暑期预习——2026--2027学年秋北师大版七年级数学上册

北师大版七年级上册预习 第二章 有理数及其运算 第 3 节 有理数的乘除运算 📅 两日预习打卡安排 【Day1 预习任务】（建议用时25分钟） ✅ 完成目标：掌握两数乘法法则、多因数乘积符号判断、乘法三大运算律简便计算 1.通读课本 P49-P52 乘法相关内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-4」的挖空填写； 2.背诵乘法符号判定规则、三大乘法运算律的字母表达式； 3.完成基础训练相关题目，对照末尾答案订正错题。 打卡自检：能独立判断多个有理数相乘的最终符号、能规范使用运算律简化乘法计算。 【Day2 预习任务】（建议用时30分钟） ✅ 完成目标：掌握除法两种计算法则、除法转乘法技巧、多层括号乘除混合运算 1.通读课本 P52-P54 除法相关内容，自主完成下文「核心知识点 4-6」「基本概念 5」的剩余挖空填写； 2.熟记除法符号规则、倒数转化法、乘除混合运算优先级； 3.完成基础训练相关题目，整理错题错因。 打卡自检：能熟练把所有除法转化为乘法计算、正确处理带括号的乘除混合运算。 一、核心知识点梳理 知识点 1：两有理数相乘基础法则 两数相乘，____同号____得正， ____异号____ 得负，并把两个数的___绝对值_____相乘； 任何数与 0 相乘，最终积为。 ⚠️易错点标注：同号 / 异号的判断依据是两个因数整体的正负，不是最终结果符号。 知识点 2：多个非 0 有理数相乘的符号规则 几个不为 0 的有理数相乘，积的正负由算式中____负因数____的总个数决定： 当____负因数____的个数为奇数时，积为___负_____；当_____负因数___的个数为偶数时，积为___正_____；确定符号后，再把所有因数的____绝对值____相乘得到绝对值部分。 ⚠️易错点标注：只要相乘的因数里出现任意一个 0，最终积直接为0，无需再判断符号。 知识点 3：有理数乘法三大运算律（全学段高频考点） 乘法交换律：___a×b=b×a_____（字母表达式）； 乘法结合律：_____(a×b)×c=a×(b×c)___（字母表达式）； 乘法对加法的分配律：____a×(b+c)=a×b+a×c____（字母表达式） 。 ⚠️易错点标注：分配律最容易漏乘，括号外的因数必须和括号内每一项分别相乘，不能跳过任意一项。 知识点 4：有理数除法直接计算法则 两数相除，____同号____得正， ____异号____ 得负，并把两个数的____绝对值____相除； 0 除以任何____不为0____的数，结果都得 0 。 ⚠️易错点标注：0绝对不能作为除数 / 分母，无数学意义。 知识点 5：除法转化为乘法通用法则 除以一个不等于 0 的数，等价于乘这个数的____倒数____； 字母通用公式：a÷b=__a×______（b≠0） 。 ⚠️易错点标注：只有除数要取倒数，被除数保持原样不变，不要颠倒被除数。 知识点 6：有理数乘除混合运算顺序 第一步先把算式中所有的_____除法运算___全部转化为___乘法运算_____，统一运算形式； 同级运算（只有乘除）严格按照从____左____往____右____的顺序依次计算； 算式带有括号时，优先计算___括号_____内部的内容，再算 括号 外。 ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错类型 避坑提示 多因数符号判错 只统计负因数个数，奇数个负因数积为负，偶数个为正，和正因数无关 倒数概念误用 0 没有倒数；转化除法时仅除数取倒数，被除数不变 分配律漏乘项 括号外的数要乘括号内所有项，不能只乘第一项 乘除运算乱序 同级乘除必须从左往右算，不能随意调换先后顺序 0 作除数错误 任何情况都不能用 0 当除数、分母，无计算意义 二、基本概念定义 1.倒数：若两个有理数相乘的乘积等于____1____，就称这两个数互为倒数； 2.乘法交换律：两个数相乘，互相交换____因数____的位置，最终的___积_____不会发生改变。 3.乘法结合律：三个数相乘，既可以先把前___两_____个数相乘，也可以先把后___两_____个数相乘，最终积不变。 4.乘法分配律：一个数乘两个数的和，等于这个数分别和___两个加数_____相乘，再把两次得到的___积_____相加。 5.有理数除法：是乘法的____逆____运算，已知乘法里的积和其中一个因数，求另一个未知因数的运算。 三、数学思想方法 1. 转化思想（本节核心思想） 把复杂的除法运算统一转化为熟悉的乘法运算，用一套乘法规则完成所有乘除计算；乘除混合时统一化乘法，大幅降低运算难度和出错率。 2. 分类讨论思想 对乘、除法都按照「同号两数」「异号两数」两类分类讨论符号；多个数相乘时，按负因数个数的奇偶性分类判定最终符号，逻辑清晰不混乱。 3. 归纳推理思想 课本从水位升降的生活实例、负负得正的分配律推导过程，从多组特殊算式归纳出普适的有理数乘除法则，学会从特例找通用规律。 4. 运算优化思想 灵活运用乘法三大运算律调整计算顺序、凑整约分，简化大数、分数的复杂运算，减少计算步骤带来的失误。 5. 数学建模思想 用水位升降、物品涨跌这类生活相反意义的量，搭建有理数乘除的数学模型，用数学运算解决生活实际变化问题。 四、预习训练 一、选择题 1.下列计算结果是负数的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据有理数的乘法运算符号法则对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】 解：、有个负因数，积是正数，故本选项错误； 、有因数，积为，故本选项错误； 、有个负因数，积是负数，故本选项正确； 、有个负因数，积是正数，故本选项错误． 故选：．  2.要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（       ） A.+ B.- C. D. 【答案】 A 【解析】 将各选项的运算符号代入计算即可得． 【解答】 解：， ， ， ， 因为， 所以要使运算结果最大，应填入的运算符号为， 故选：． 3.计算的结果是（       ） A.16 B.25 C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查了有理数的乘除运算．根据有理数的乘除运算法则计算即可. 【解答】 解： 故选：B  4.如图，若数轴上的两点表示的数分别为，则下列结论正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由图可知，，结合有理数的加减法、有理数的乘法及绝对值的几何意义解题． 【解答】 根据题意得，，，，故选项、、均错误； ，故正确， 故选：． 5.下列各式中，运用运算律不正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：A： ，运用了加法的交换律和结合律（将减法视为加负数后重组），正确； B： ，运用了乘法的交换律，正确； C： ，运用了乘法的结合律，正确； D：分配律应为 ，此处 ，右边应为 ，但原式右边为 ，缺少乘数-24，运用分配律不正确. 故选：D. 6.一根长的铜丝，先剪去铜丝的，再剪去剩下铜丝的，则两次剪完后剩下铜丝的长度是（       ） A.m B.m C.m D.m 【答案】 D 【解析】 本题考查有理数减法，乘法的实际应用，先计算第一次剪去后剩余的长度，再计算第二次剪去的长度，最后求第二次剪后剩余的长度即可. 【解答】 解： 铜丝的初始长度为1m，第一次剪去铜丝的 剩余长度为 第二次剪去剩余铜丝的 即剪去 最终剩余长度为 故选：D. 7.若m，n互为倒数，且满足，则n的值为（     ） A. B. C. D.2 【答案】 A 【解析】 根据倒数的性质得到mn=1，展开已知等式后代入1求出m的值，再根据倒数定义即可得到n的值. 【解答】 解：∵ m,n互为倒数， ∴ mn=1， ∵ m(n+1)=3， 展开等式得mn+m=3， 把mn=1代入得1+m=3， ∴ m=2， 又∵ m,n互为倒数， ∴ n==.   故选：A. 8.如果a，b互为相反数（a≠0），x，y互为倒数，那么代数式的值是（      ） A.0 B.1 C.－1 D.－2 【答案】 D 【解析】 根据题意易知a+b=0，xy=1，则有 ，然后代入求解即可. 【解答】 解： 互为相反数（），x，y互为倒数， ，xy=1， 故选D. 二、 填空题   9.的相反数是____ ____，倒数是________，绝对值是________． 【答案】 【解析】 本题考查了相反数，倒数，绝对值的概念，熟练掌握以上概念是解题的关键；根据相反数，倒数，绝对值的概念求解即可. 【解答】 解： 的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 故答案为： 10.绝对值小于的所有负整数的积为______________． 【答案】 【解析】 找到绝对值小于的负整数，然后再求解乘积即可． 【解答】 解：绝对值小于的所有负整数有、、； ． 故答案为： 11.已知 【答案】 【解析】 根据绝对值的性质求得 【解答】 解： ，， 又 或 或 故答案为：  12.，这步计算的变形依据是_____有理数的除法法则_________． 【答案】 有理数的除法法则 【解析】 本题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法运算法则是解题的关键． 根据有理数的除法运算法则解答即可． 【解答】 解：，这步计算的变形依据是有理数的除法法则． 故答案为：有理数的除法法则．   13.计算的结果___36_____． 【答案】 36 【解析】 本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握乘除运算的符号法则及“除以一个数等于乘它的倒数”的运算转化方法将除法转化为乘法，依据有理数乘法法则（同号得正、异号得负，并把绝对值相乘）依次计算. 【解答】 解：   14.，应用了___乘法分配律_____（定律） 【答案】 乘法分配律 【解析】 本题考查乘法分配律，式子 ，是把相同因数24提取出来，将另外的因数 -47、36、-89相加后再与24相乘，应用了乘法分配律. 故答案为：乘法分配律. 【解答】 根据乘法分配律的逆运算，即 ，其中 ， ， ， 提取相同因数24后得到，化简为 故答案为：乘法分配律． 15.现规定一种运算“”：，则___________． 【答案】 【解析】 本题考查新定义运算，能够读懂题意是解题关键； 根据规定，．先计算 ；再计算 ． 【解答】 解：， ， 原式， 故答案为：． 三、 解答题   16.计算 （1） （2） 【答案】 解：原式. 解：原式. 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解：原式. （2）解：原式. 17.计算： （1） （3） 【答案】 50 【解析】 先把除法化为乘法，再根据有理数的乘法法则计算，即可作答. （2）先将小数化成分数，再计算乘法，然后计算除法即可； （3）根据有理数的乘除混合运算法则计算. 【解答】 （1）解： （2）解：原式   （3）解：    18.用运算律计算：（每题要写出必要的解题步骤） （1）． （2）（用乘法分配率） （3）； 【答案】 【解析】 （1）先把原式变形为，再利用有理数乘法分配律进行求解即可； （2）直接利用有理数乘法分配律进行求解即可． （3）根据乘法分配律进行计算即可； 【解答】 （1）解： （2）解： ． （3）解：    19.用简便方法计算： （1）． （2）÷. 【答案】 1 -24 【解析】 （1）利用乘法分配律进行简单计算即可. （2）利用乘法分配律计算，再利用倒数的性质即可。 【解答】 解：（1）原式 （2）因为÷与 互为倒数， 所以= 所以÷.  20.启正中学举办“科技点亮未来”科技节，科学社团的同学们要制作植物标本礼盒用于成果展示．商户为学校提供了一批制作标本的干燥植物材料，以每盒克为标准，共计盒，将超出标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，记录结果如表所示： 与标准质量的差值 盒数 1 （1）求这盒干燥植物材料的总质量； （2）已知这种干燥植物材料直接制作成基础标本礼盒，单价为元克；若进行深加工（压制型覆膜封装）后，制成精品标本礼盒，单价为元克，但深加工后的质量为原质量的，且每克材料的深加工费为元．请帮学校计算，这批材料深加工后比直接制作基础标本礼盒多盈利多少元． 【答案】 200g； 500元. 【解析】 （1）分别求出标准总质量为，与标准质量的总差值为0g，然后相加即可求解； （2）分别直接制作盈利为，深加工盈利为，然后相减即可求解. 【解答】 （1）解：标准总质量为， 与标准质量的总差值为：， 总质量为， 答：这10盒干燥植物材料的总质量为200g； （2）解：直接制作盈利为， 深加工后质量为， 深加工收入为， 深加工费为， 深加工盈利为， 所以多盈利为， 答：多盈利500元. 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版七年级上册预习 第二章 有理数及其运算 第 3 节 有理数的乘除运算 📅 两日预习打卡安排 【Day1 预习任务】（建议用时25分钟） ✅ 完成目标：掌握两数乘法法则、多因数乘积符号判断、乘法三大运算律简便计算 1.通读课本 P49-P52 乘法相关内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-4」的挖空填写； 2.背诵乘法符号判定规则、三大乘法运算律的字母表达式； 3.完成基础训练相关题目，对照末尾答案订正错题。 打卡自检：能独立判断多个有理数相乘的最终符号、能规范使用运算律简化乘法计算。 【Day2 预习任务】（建议用时30分钟） ✅ 完成目标：掌握除法两种计算法则、除法转乘法技巧、多层括号乘除混合运算 1.通读课本 P52-P54 除法相关内容，自主完成下文「核心知识点 4-6」「基本概念 5」的剩余挖空填写； 2.熟记除法符号规则、倒数转化法、乘除混合运算优先级； 3.完成基础训练相关题目，整理错题错因。 打卡自检：能熟练把所有除法转化为乘法计算、正确处理带括号的乘除混合运算。 一、核心知识点梳理 知识点 1：两有理数相乘基础法则 两数相乘，________得正， ________ 得负，并把两个数的________相乘； 任何数与 0 相乘，最终积为。 ⚠️易错点标注：同号 / 异号的判断依据是两个因数整体的正负，不是最终结果符号。 知识点 2：多个非 0 有理数相乘的符号规则 几个不为 0 的有理数相乘，积的正负由算式中________的总个数决定： 当________的个数为奇数时，积为________；当________的个数为偶数时，积为_______；确定符号后，再把所有因数的________相乘得到绝对值部分。 ⚠️易错点标注：只要相乘的因数里出现任意一个 0，最终积直接为0，无需再判断符号。 知识点 3：有理数乘法三大运算律（全学段高频考点） 乘法交换律：________（字母表达式）； 乘法结合律：________（字母表达式）； 乘法对加法的分配律：________（字母表达式） 。 ⚠️易错点标注：分配律最容易漏乘，括号外的因数必须和括号内每一项分别相乘，不能跳过任意一项。 知识点 4：有理数除法直接计算法则 两数相除，________得正， _______ 得负，并把两个数的________相除； 0 除以任何________的数，结果都得 。 ⚠️易错点标注：0绝对不能作为除数 / 分母，无数学意义。 知识点 5：除法转化为乘法通用法则 除以一个不等于 0 的数，等价于乘这个数的_______； 字母通用公式：a÷b=_______（b≠0） 。 ⚠️易错点标注：只有除数要取倒数，被除数保持原样不变，不要颠倒被除数。 知识点 6：有理数乘除混合运算顺序 第一步先把算式中所有的________全部转化为________，统一运算形式； 同级运算（只有乘除）严格按照从______往_______的顺序依次计算； 算式带有括号时，优先计算________内部的内容，再算 外。 ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错类型 避坑提示 多因数符号判错 只统计负因数个数，奇数个负因数积为负，偶数个为正，和正因数无关 倒数概念误用 0 没有倒数；转化除法时仅除数取倒数，被除数不变 分配律漏乘项 括号外的数要乘括号内所有项，不能只乘第一项 乘除运算乱序 同级乘除必须从左往右算，不能随意调换先后顺序 0 作除数错误 任何情况都不能用 0 当除数、分母，无计算意义 二、基本概念定义 1.倒数：若两个有理数相乘的乘积等于________，就称这两个数互为倒数； 2.乘法交换律：两个数相乘，互相交换________的位置，最终的________不会发生改变。 3.乘法结合律：三个数相乘，既可以先把前_______个数相乘，也可以先把后______个数相乘，最终积不变。 4.乘法分配律：一个数乘两个数的和，等于这个数分别和________相乘，再把两次得到的________相加。 5.有理数除法：是乘法的_______运算，已知乘法里的积和其中一个因数，求另一个未知因数的运算。 三、数学思想方法 1. 转化思想（本节核心思想） 把复杂的除法运算统一转化为熟悉的乘法运算，用一套乘法规则完成所有乘除计算；乘除混合时统一化乘法，大幅降低运算难度和出错率。 2. 分类讨论思想 对乘、除法都按照「同号两数」「异号两数」两类分类讨论符号；多个数相乘时，按负因数个数的奇偶性分类判定最终符号，逻辑清晰不混乱。 3. 归纳推理思想 课本从水位升降的生活实例、负负得正的分配律推导过程，从多组特殊算式归纳出普适的有理数乘除法则，学会从特例找通用规律。 4. 运算优化思想 灵活运用乘法三大运算律调整计算顺序、凑整约分，简化大数、分数的复杂运算，减少计算步骤带来的失误。 5. 数学建模思想 用水位升降、物品涨跌这类生活相反意义的量，搭建有理数乘除的数学模型，用数学运算解决生活实际变化问题。 四、预习训练 一、选择题 1.下列计算结果是负数的是（       ） A. B. C. D. 2.要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（       ） A.+ B.- C. D. 3.计算的结果是（       ） A.16 B.25 C. D. 4.如图，若数轴上的两点表示的数分别为，则下列结论正确的是（       ） A. B. C. D. 5.下列各式中，运用运算律不正确的是（       ） A. B. C. D. 6.一根长的铜丝，先剪去铜丝的，再剪去剩下铜丝的，则两次剪完后剩下铜丝的长度是（       ） A.m B.m C.m D.m 7.若m，n互为倒数，且满足，则n的值为（     ） A. B. C. D.2 8.如果a，b互为相反数（a≠0），x，y互为倒数，那么代数式的值是（      ） A.0 B.1 C.－1 D.－2 二、 填空题   9.的相反数是________，倒数是________，绝对值是________． 10.绝对值小于的所有负整数的积为______________． 11.已知 12.，这步计算的变形依据是______________． 13.计算的结果________． 14.，应用了________（定律） 15.现规定一种运算“”：，则___________． 三、 解答题   16.计算 （1） （2） 17.计算： （1） （3）   18.用运算律计算：（每题要写出必要的解题步骤） （1）． （2）（用乘法分配率） （3）； 19.用简便方法计算： （1）． （2）÷. 20.启正中学举办“科技点亮未来”科技节，科学社团的同学们要制作植物标本礼盒用于成果展示．商户为学校提供了一批制作标本的干燥植物材料，以每盒克为标准，共计盒，将超出标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，记录结果如表所示： 与标准质量的差值 盒数 1 （1）求这盒干燥植物材料的总质量； （2）已知这种干燥植物材料直接制作成基础标本礼盒，单价为元克；若进行深加工（压制型覆膜封装）后，制成精品标本礼盒，单价为元克，但深加工后的质量为原质量的，且每克材料的深加工费为元．请帮学校计算，这批材料深加工后比直接制作基础标本礼盒多盈利多少元． 学科网（北京）股份有限公司 $