山东青岛市崂山区2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学试题

八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．某大学生创业团队积极支持家乡建设，为乡村剪纸工作室设计了一批窗花图案，下列作品中是中心对称图形的是 A． B． C． D． 2．若，则下列结论一定成立的是 A．   B． C．   D． 3．下列关于三角形的命题不是真命题的是 A．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 B．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 C．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 D．一条直角边相等且斜边上的高相等的两个直角三角形全等 4．下列因式分解正确的是 A．   B． C．   D． 5．如图，，若，则的度数是 A．    B． C．    D． 6．已知不等式组的解集为，则的值为 A．      B． C．      D． 7．如图，沿射线方向平移后得到，已知，，则的值为 A．      B．      C．      D． 8．如图，在平行四边形中，为延长线上一点，连接，添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是 A．             B． C．             D． 9．如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则等于 A．             B． C．             D． 10．如图，经过点的直线与直线相交于点，则的解集是 A． B． C． D． 第II卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．代数式的值为，则的值为________． 12．小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义．如图，小明把左侧两个正方形和两个长方形拼接为右边的一个大正方形，根据题意可用等式表示一个多项式的因式分解是________． 13．一辆汽车以的速度行驶，从地到地需要．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加，那么提速后从地到地需要的时间比原来减少________． 14．某种商品的进价为元，销售时标价为元，商店准备打折销售，但要保持利润率不低于，则最多可以打________折． 15．如图，平行四边形的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，是的中点，连接，若，，则的长为________． 16．如图，在中，，，点，为上两点，，为外一点，且，．以下结论：①；②；③若，则；④周长的最小值为．正确的有________．（请填写序号） 三、作图题（本大题共2小题，共8分） 17．（本小题满分4分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上． （1）以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，在网格中画出； （2）的面积为________． 18．（本小题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，． 求作：等腰，使得点，分别在，上，且底边上的高为． 四、解答题（本大题共7小题，共64分） 19．（本小题满分14分） （1）解不等式组：，并写出它的整数解； （2）因式分解：； （3）先化简，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 20．（本小题满分6分） 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某学校计划采购一批某款平板学习机，学习机标价统一为元，现从甲、乙两家销售商了解到不同优惠方案，采购多台均可享受折扣． 素材一 甲销售商优惠规则：第一台按原价元收费，剩余每台优惠； 乙销售商优惠规则：所有平板每台统一优惠． 素材二 该学校计划采购平板学习机台（为正整数）． 素材三 根据预算限制，采购平板数量不超过台． 请完成下列任务： 任务一 分别写出在甲、乙两家销售商采购台平板的总花费表达式； 任务二 求出采购多少台时，两家销售商花费相同，并分析采购数量不同时，选择哪家销售商更划算； 任务三 若学校计划采购台平板，请判断去乙销售商采购是否更便宜，并说明理由． 21．（本小题满分8分） 如图，在中，，，边上的垂直平分线交于点，垂足是点．若，求的周长． 22．（本小题满分8分） 如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点，过点作，且，连接，，．证明： （1）； （2）四边形是平行四边形． 23．（本小题满分8分） 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1600元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，其中购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．求购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 24．（本小题满分10分） 在整数除法体系中，一个正整数除以一个正整数的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑．若我们把一个正整数除以一个正整数所得的余数记作“模”，例如：记作“模”；记作“模”；记作“模”． （1）模________； （2）若模，为正整数，则模________； （3）已知分式，模，模，，（）为正整数，则模________； （4）如图所示，有两种卡片，其中边长为的正方形卡片有张，长为，宽为的矩形卡片有张，用这张卡片刚好拼接成一个大长方形，其中模，模，，为正整数，设这个大长方形的面积为，若模，请直接写出满足条件的，的取值组合． 25．（本小题满分10分） 如图，已知长方形中，，，，分别是边和对角线上的两个动点，其中点从点出发沿方向运动，速度为每秒；同时，点从点出发沿方向运动，速度为每秒，设运动的时间为． （1）小明发现当点在的角平分线上时，点恰好处在线段的垂直平分线上．你同意他的想法吗？请通过计算说明理由； （2）如图，当点运动到中点时，沿将翻折，使点落在点处，延长交于点，求此时的长度； （3）当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案及评分标准 一、选择题(3分×10=30分) 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 D D C D A E B 二、 填空题(3分×6=18分) 题号 11 12 13 14 15 16 mt 答案 -1 x2+2ax+a2=(x+a)2 9 5 ①②③ m+v 三、作图题（本题满分8分） 17.(1)正确画出图形 3分 5 (2)2 4分 18.正确画出图形 3分 结论 4分 四、解答题（本题满分64分） 2x+1<4x+3① 3+x>2x-1+1② 19.(1)2 3 由①得x>-1 1分 由②得x≤5 2分 -1<x≤5 3分 整数解为0,1,2,3,4,5 4分 (2)2x3-12x2y+18y2 =2x(x2-6xy+9y2) 6分 =2x(x-3y)2 8分 小 =3,+ x+2x+2 x+2 9分 =1-x÷x2-1 x+2x+2 =I-x x+2 x+2（x-1)(x+1) 10分 s、1 x+1 12分 当x=0时 13分 原式=-1 14分 20.任务一： y年=4000+4000×(1-20%)(x-1) ∴.y厘=3200x+800 yz=4000×(1-15%)x .yz=3400x 2分 任务二： ①呷=z 3200x+800=3400x x=4 ②呷<yz 3200x+800<3400x x>4 又x≤15 ∴.4<x≤15 ③狎>吃 3200x+800>3400x x<4 ∴.0<x<4 答：当x=4时，两家门店花费一样： 当0<x<4时，选乙门店更划算； 当4<x≤15时，选甲门店更划算. 5分 任务三： 当x=10时，选甲门店更划算，去乙门店采购不便宜. 6分 21.解：连接AE A D B 内 :DE垂直平分AC ∴.AE=EC=3 1分 AB=AC .∠B=∠C 2分 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180° ∴.∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-120°=60° ∴.∠B=∠C=30° 3分 AE=EC ∴.∠EAC=∠C=30° ∴.∠BAE=∠BAC-∠EAC=120°-30°=90° 4分 在Rt△ABE中，∠BAE=90°，∠B=30 ∴.BE=2AE=6 5分 由勾股定理，AB=VBE2-AE2=3V5 6分 .AC=AB=33 .△ABC的周长为 AB+AC+BC=AB+BC+BE+CE=33+33+6+3=63+9 8分 22. D (1)证明： :四边形ABCD是平行四边形 ∴.AB∥CD,AB=CD ∴.∠CDB=∠ABD :AF∥BD ∴.∠ABD=∠BAF ∴.∠CDB=∠BAF 在△CDE和△ABF中 DE=AF ∠CDB=∠BAF CD=AB ∴.△CDE≌△ABF 4分 (2)证明： :AF∥BD,AF=DE ∴.四边形ADEF是平行四边形 ∴，AD∥EF,AD=EF .四边形ABCD是平行四边形 ∴，AD∥BC.AD=BC ∴.EF∥BC,EF=BC :∴四边形BCEF是平行四边形 8分 23.(1)设B型机器人单价为x元，则A型机器人单价为(x+200)元. 20001600 x+200 解得x=800 经检验x=800是原方程的解。 A型单价：800+200=1000元. 答：A型机器人模型的单价是1000元，B型机器人模型的单价是800元. 4分 (2)设购买A型机器人a台，则购买B型机器人(40-a)台. :B型不超过A型的3倍. ∴.40-a≤3a ∴.a≥10 A型折后单价：1000×0.8=800元. B型折后单价：800×0.8=640元. 总费用W:W=800a+640(40-a）=800a+25600-640a=160a+25600 费用W是关于a的一次函数，且系数l60>0,说明W随a的增大而增大.因此，当a取最小值时，总费 用最少 a的最小值为10 此时B型数量为：40-10=30台。 最少费用为：W=160×10+25600=27200元. 答：购买A型机器人10台，B型机器人30台时花费最少，最少花费是27200元. 8分 24.(1)2 2分 (2)3 4分 (3)2 6分 (4)m=0,n=0;m=0,n=1:m=0,n=2:m=1,n=2:m=2,n=1 10分 25.(1)解：过点P作PG1AC于点G, :四边形ABCD是长方形 .∠B=909 .PB⊥AB :P点在∠BAC的角平分线上 ∴.PB=PG=8-t ∠B=∠AGP=90° .∠BAP=∠GAP AP=AP △ABP≌△AGP(AAS) .∴.AB=AG=6cm 在Rt△ABC中由勾股定理得AC=V62+82=10 ∴.CG=10-6=4 在Rt△PCG中由勾股定理得=(8-)}+42 解得t=5 即：CP=5 此时AQ=5 ∴.CQ=10-5=5 ∴.CP=CQ C恰好处在线段P口的垂直平分线上，小明的发现是正确的. 3分 (2)连接PF,由题意得CP=BP=4 AB=AE=6,BP=PE=4 由折叠得( ∠B=∠AEP=90 ∴.∠PEF=90°，PE=PC=4 :四边形ABCD是长方形 ∴.∠BCD=90° ∴.∠PEF=∠BCD=90° 在Rt△PEF和Rt△PCF中 PE=PC.PF=PF ∴.Rt△PEF≌Rt△PCF 设CF=x则EF=x,AF=6+x,DF=6-x 在Rt△4DF中由勾股定理得(6+)'=(6-刈+82 8 x= 解得3 CF- 6分 当CD=C0时，则10-t=6 ∴.t=4 当CD=DO时，过点D作DH⊥AC于H 10-t ∴.CH=HQ= 2 :四边形ABCD是长方形 .∠ADC=90° SA40x6x8x10x DM 1 由 2 .DH=4.8 10-t2 +4.82=62 在Rt△CDH中由勾股定理得2 解得∴.t=2.8 综上当t=4秒或t=2.8秒时△DCQ是以CD为腰的等腰三角形 10分