暑期预习分层讲练第二课配方法解一元二次方程 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 分层设计科学，从基础概念到创新探究层层递进，通过梯度化题型培养运算能力、推理意识与创新意识，适配暑期预习巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题夯实|配方法基本概念、直接配方运算|以选择、填空、简单解答题为主，如配方步骤辨析、基础方程求解，强化符号意识| |中档题突破|方程根的应用、几何与代数综合|结合坐标系中点的距离问题，考查知识迁移能力，发展推理意识| |困难题探究|创新解法与拓展应用|引入“平均数法”新解法、配方法因式分解，培养创新意识与探究能力|

【2026 暑期预习・分层讲练】2026-2027 学年人教版九年级数学上册 第二课 配方法解一元二次方程（原卷）基础提升中考拓展三合一 一、基础题夯实 1．将方程配方后，所得方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，将原方程转化为的形式可得____． 3．（1）____________； （2）____________． 4．用配方法解一元二次方程时，配方后的等式为（    ） A． B． C． D． 5．解方程：． 6．若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．，x取何值时，函数在实数范围内有意义______________． 8．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 9．对于实数a，b，定义运算“※”如下：，例如，．若，则x的值为_____________． 10．将一元二次方程配方，得到方程，其中“▲”表示的数是（   ） A．3 B．6 C．9 D．10 11．方程的较小实数根为_____． 12．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 13．已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 14．计算、解方程 (1)计算：； (2)解方程：． 二、中档题突破 15．如果是关于的一元二次方程 的一个根，求的值及方程的另一个根． 16．解下列方程： (1)； (2)． 17．在平面直角坐标系中，已知点和点，点是轴上一点，如果，求点的坐标． 18．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 三、困难题探究 19．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形得 ． ， ， ． 直接开平方并整理，得，． 我们称小明这种解法为“平均数法”． 请用“平均数法”解方程：． 20．对于二次三项式，可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使中的前两项与构成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进一步分解．于是 ．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法． (1)如果（   ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为 ； (2)用“配方法”分解因式：； (3)用“配方法”分解因式：． 作业第1页，共2页 作业第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【2026 暑期预习・分层讲练】2026-2027 学年人教版九年级数学上册 第二课 配方法解一元二次方程（答案与解析）基础提升中考拓展三合一 参考答案 题号 1 4 6 8 10 12 18 答案 A B D D C C C 1．A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法的步骤，先移项，再配方，将方程左边整理为完全平方式，即可得到结果． 【详解】解： 移项，得． 两边都加一次项系数一半的平方，得， 即． 2． 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】先移项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：∵， 移项得， 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得： ， 整理得． 3． 25 5 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】解：（1）， （2）． 4．B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，整理即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， 一次项系数为，其一半的平方为，等式两边同时加得， 整理得． 5．，． 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】运用配方法求解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ，即， ， ∴，． 6．D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】利用完全平方公式将原方程配方为指定形式，即可得到的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， 整理得 ， 对比，可得． 7．x为任意实数 【知识点】配方法的应用、求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到被开方数需大于等于，对被开方数配方后判断其取值范围，即可得到的取值范围． 【详解】解：根据题意，得， ∵，且， ， ∴对任意实数，不等式恒成立， ∴为任意实数时，该函数在实数范围内有意义． 8．D 【知识点】配方法的应用、零指数幂、运用完全平方公式进行运算、幂的乘方运算 【分析】本题考查整式运算的基本法则，需要运用幂的乘方法则、合并同类项法则、完全平方公式、零指数幂的定义，逐一判断选项正误． 【详解】解：选项A： ， A错误． 选项B：根据合并同类项法则， ， B错误． 选项C：根据完全平方公式， ， C错误． 选项D：先判断底数是否不为0，对配方得： ， ， ，即底数恒不为0， 根据零指数幂定义：任何非零数的次幂等于， ，D正确． 9． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、新定义下的实数运算 【分析】根据题目中给出的运算规则，将转化为常规的一元二次方程，再求解方程． 【详解】解：根据定义的运算规则，将转化为方程： ， 解得． 10．C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到▲表示的数. 【详解】对一元二次方程配方时，若二次项系数为1，需要在等式两边同时加上一次项系数一半的平方. ∵原方程为，一次项系数为， ∴一次项系数的一半为 ， ∴， ∴等式两边同时加9，▲表示的数是9， 11．/ 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】对方程两边开平方得到两个一元一次方程，求解得到方程的两个根，比较根的大小即可得到较小实数根． 【详解】解：对方程两边直接开平方，得 ， 即或， 解得，， ， 方程的较小实数根为． 12．C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】先将二次项系数化为1，再根据完全平方公式进行配方，计算后即可得到正确结果． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ， 整理得． 13． 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 即， ∵方程通过配方可变形为， ∴， ∴． 14．(1) (2)， 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的绝对值、解一元二次方程——直接开平方法、求一个数的算术平方根 【分析】（1）利用算术平方根、立方根、绝对值的性质进行计算即可； （2）利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ，． 15．，方程的另一个根为 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、由一元二次方程的解求参数 【分析】将代入，解方程求出，再解方程即可求出另一个解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入得：， 解得：， ∴方程为：， ∴， 解得：， ∴另一根为：． 16．(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法 【详解】（1）解： ∴或 ∴，； （2）解： ∴或 ∴，． 17．或 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、已知两点坐标求两点距离、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】先利用两点间距离公式求出线段的长度，设轴上点坐标为，再用两点间距离公式表示出的长度，根据列方程求解，即可得到点横坐标． 【详解】解：已知，，由两点间距离公式： ， 点在轴上， 设， ， 根据列方程： ， 两边同时平方消去根号： ， ， ， ， 当时，； 当时，， 点的坐标为或． 18．C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、由一元二次方程的解求参数 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 19． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】将原方程整理为，依据平方差公式可得，再整理，并开方可得答案． 【详解】解：， 原方程变形，得 由平方差公式，得， 即， 开方，得， ∴． 20．(1)4 (2) (3) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、求完全平方式中的字母系数、配方法的应用 【分析】（1）根据完全平方式的结构特征确定常数项； （2）按照题干给出的配方法，先凑出完全平方式，再利用平方差公式分解因式； （3）先提取公因式，利用配方法分解因式即可． 【详解】（1）解：设括号内的常数为， 由于是完全平方式， 则， 解得：， 因此，括号内的常数应为； （2）解： ； （3）解： ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $