3.3 练习3 直线与抛物线的综合应用 课时练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与抛物线综合应用，通过基础巩固、中档提升、拔高拓展三层设计，实现从单一知识点到综合应用的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|直线与抛物线交点、斜率计算|单选为主，如第1题交点个数判断，巩固概念理解| |中档|焦点准线性质、对称问题|含多选（第8-9题），如第6题对称点坐标关系，提升综合运算| |拔高|轨迹方程、定点证明|解答题（第13-16题），如第14题定点证明，培养逻辑推理与创新意识|

3.3 练习3　直线与抛物线的综合应用 1. 过原点且与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有( 　) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 2. 已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为( 　) A. B. C. －2 D. 2 3. 若抛物线y2＝12x与直线2x＋y－4＝0交于A，B两点，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于( 　) A. 2 B. 9 C. 5 D. 13 4. 设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( 　) A. B. [－2，2] C. [－1，1] D. [－4，4] 5. 已知直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2＝，则直线l恒过定点( 　) A. (－4，0) B. (0，－4) C. (－8，0) D. (0，－8) 6. 若抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1·x2＝，则m的值为( 　) A. B. 2 C. D. 3 7. (2024·福建龙岩高二期中)已知过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点(A在第一象限)，D是以AB为直径的圆E与抛物线C的准线的公共点.若|AD|＝|BD|，则|AB|等于( 　) A. B. C. D. 8. (多选)(2024·安徽芜湖高二期末)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，且直线y＝2x被抛物线所截得的弦长为4，则( 　) A. 抛物线C的焦点坐标为 B. 抛物线C的准线方程为y＝ C. 抛物线C的方程为x2＝2y D. 抛物线C的方程为x2＝y 9. (多选)已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，直线l与C交于A，B两点，弦AB中点的横坐标为4，|AB|＝4，则( 　) A. l的斜率为1 B. l在y轴上的截距为 C. 弦AB中点的纵坐标为 D. |AF|＋|BF|＝9 10. 直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝ .  11. 已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点.若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为 .  12. 已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则的最小值是 .  13. 设P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系内的一个动点，O为坐标原点，点P到定点M的距离比到x轴的距离大. (1)求点P的轨迹方程； (2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值. 14. (2024·辽宁六校高二期中)已知P(4，y0)是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5. (1)求抛物线C的方程； (2)设A，B为C上异于P的两点，且直线PA与PB的斜率之积为－4，证明：直线AB过定点. 15. 过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(点M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( 　) A. B. 2 C. 2 D. 3 16. (2024·衡水中学检测)如图所示，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8. (1)求抛物线C的方程； (2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求·的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 练习3　直线与抛物线的综合应用 1. 过原点且与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有(　B　) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 【解析】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝0，直线与抛物线只有一个公共点，满足题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝kx，由得k2x2－x＝0.当k＝0时，直线的方程为y＝0，直线与抛物线只有一个公共点，满足题意；当k≠0时，Δ＝1＞0，此时直线与抛物线有两个公共点，不满足题意.故过原点且与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有2条. 2. 已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为(　A　) A. B. C. －2 D. 2 【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，由得＝2，即4kAB＝2，kAB＝. 3. 若抛物线y2＝12x与直线2x＋y－4＝0交于A，B两点，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于(　D　) A. 2 B. 9 C. 5 D. 13 【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋6.由得x2－7x＋4＝0，∴x1＋x2＝7，∴|FA|＋|FB|＝13. 4. 设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　C　) A. B. [－2，2] C. [－1，1] D. [－4，4] 【解析】 准线x＝－2，Q(－2，0)，设l：y＝k(x＋2)，由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.当k＝0时，x＝0，即交点为(0，0)，当k≠0时，Δ≥0，－1≤k＜0，或0＜k≤1.综上，k的取值范围是[－1，1]. 5. 已知直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2＝，则直线l恒过定点(　A　) A. (－4，0) B. (0，－4) C. (－8，0) D. (0，－8) 【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1k2＝··，∴y1y2＝8.设直线l的方程为x＝my＋b，代入抛物线方程可化为y2－2my－2b＝0，∴y1y2＝－2b，∴－2b＝8，∴b＝－4，∴直线l恒过定点(－4，0). 6. 若抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1·x2＝，则m的值为(　A　) A. B. 2 C. D. 3 【解析】 设直线AB的方程为y＝－x＋b，代入y＝2x2得2x2＋x－b＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，∴b＝1，即AB的方程为y＝－x＋1.设AB的中点为M(x0，y0)，则x0＝，代入y0＝－x0＋1，得y0＝.又M在y＝x＋m上，∴m，∴m＝. 7. (2024·福建龙岩高二期中)已知过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点(A在第一象限)，D是以AB为直径的圆E与抛物线C的准线的公共点.若|AD|＝|BD|，则|AB|等于(　B　) A. B. C. D. 【解析】 由焦点F，知，即p＝1，则抛物线C的方程为y2＝2x，由抛物线的性质可知，以AB为直径的圆E与准线相切，即ED与准线垂直，由题意可知∠ADB＝90°，又|AD|＝|BD|，∴∠DAB＝30°，∠DBE＝60°，则|AB|＝2|BD|，即|BD|＝|BE|，则∠DEB＝60°，故直线AB的倾斜角为60°，则直线AB的方程为y＝.由消去y可得3x2－5x＝0，则xA＋xB＝，∴|AB|＝xA＋xB＋1＝. 8. (多选)(2024·安徽芜湖高二期末)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，且直线y＝2x被抛物线所截得的弦长为4，则(　AC　) A. 抛物线C的焦点坐标为 B. 抛物线C的准线方程为y＝ C. 抛物线C的方程为x2＝2y D. 抛物线C的方程为x2＝y 【解析】 由可得或∴直线y＝2x与抛物线C的交点坐标为(0，0)和(4p，8p)，∴＝4，解得p＝1(负值舍去)，故抛物线C的方程为x2＝2y，焦点坐标为，准线方程为y＝. 9. (多选)已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，直线l与C交于A，B两点，弦AB中点的横坐标为4，|AB|＝4，则(　ACD　) A. l的斜率为1 B. l在y轴上的截距为 C. 弦AB中点的纵坐标为 D. |AF|＋|BF|＝9 【解析】 易得l的斜率存在，设l：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－8kx－8b＝0，则由x1＋x2＝8k＝2×4，得k＝1.由|AB|＝··＝4，得b＝，∴l：y＝x，弦AB中点的纵坐标为4，|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋4＝x1x24＝8－3＋4＝9. 10. 直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝　0或1　.  【解析】 当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点；当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意得Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1. 11. 已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点.若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为　y2＝4x　.  【解析】 设抛物线方程为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得x2－kx＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝k.又P(2，2)为AB的中点，∴＝2，∴k＝4，∴y2＝4x. 12. 已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则的最小值是　32　.  【解析】 设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，Δ＞0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，∴＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，当m＝0时，的最小值是32. 13. 设P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系内的一个动点，O为坐标原点，点P到定点M的距离比到x轴的距离大. (1)求点P的轨迹方程； (2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值. 解： (1)过点P作x轴的垂线且垂足为N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝，∴＝y，化简得x2＝2y，故点P的轨迹方程为x2＝2y. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 消去y化简得x2－2kx－2＝0，∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2. ∵|AB|＝··＝2，∴k4＋3k2－4＝0， 又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1. 14. (2024·辽宁六校高二期中)已知P(4，y0)是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5. (1)求抛物线C的方程； 解： 由题可知4＝5，解得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x. (2)设A，B为C上异于P的两点，且直线PA与PB的斜率之积为－4，证明：直线AB过定点. 证明： 由(1)知，＝4×4，且y0＞0，解得y0＝4， ∴P(4，4).设A，B，则kPA＝，同理可得，kPB＝，则kPA·kPB＝＝－4，即4(y1＋y2)＋y1y2＋20＝0.当直线AB的斜率存在时，直线AB的方程为y－y1＝，整理得4x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，∴4x－20－(y1＋y2)(y＋4)＝0，即y＋4＝(x－5)，∴直线AB过定点(5，－4)； 当直线AB的斜率不存在时，y1＋y2＝0，可得＝20，则＝5，∴直线AB的方程为x＝5，也过点(5，－4).综上，直线AB过定点(5，－4). 15. 过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(点M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(　C　) A. B. 2 C. 2 D. 3 【解析】 抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1). 联立方程解得或∵点M在x轴的上方，∴M(3，2).∵MN⊥l，∴N(－1，2)，∴|NF|＝＝4，|MF|＝|MN|＝3＋1＝4，∴△MNF是边长为4的等边三角形，∴点M到直线NF的距离为2. 16. (2024·衡水中学检测)如图所示，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8. (1)求抛物线C的方程； (2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求·的最小值. 解： (1)由题意可知F，则该直线方程为y＝x， 代入y2＝2px(p＞0)，得x2－3px＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p.∵|MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8，即3p＋p＝8，解得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x. (2)设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.∵直线l为抛物线C的切线，∴Δ＝0，解得b＝1，∴直线l的方程为y＝x＋1.由(1)可知x1＋x2＝6，x1x2＝1.设P(m，m＋1)， 则＝(x1－m，y1－(m＋1))，＝(x2－m，y2－(m＋1))，∴·＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)]·[y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.∵x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4.∵＝4(x1－x2)，∴y1＋y2＝4×＝4，∴·＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2，3)时，·取得最小值，最小值是－14. 学科网（北京）股份有限公司 $