1.1.1 集合及其表示方法 课时同步练习卷-2026年暑假预习高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 围绕集合概念及表示方法，通过基础到综合的分层设计，覆盖概念理解、符号运用、综合应用，培养抽象能力与推理意识，适配暑假巩固与提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|集合概念、元素关系、基本表示法|单选1（集合确定性判断）、填空12（符号填空）、解答15（列举法），夯实核心概念| |中档|集合关系、参数简单应用|单选6-7（集合包含求参数）、多选9-11（综合判断），强化知识迁移| |拔高|含参数综合问题、证明推理|解答18-19（集合性质探究、证明），发展逻辑推理与创新意识|

1.1.1 集合及其表示方法课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 2．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 5．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 6．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 7．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．直线与的交点构成的集合为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 11．下列四个命题中正确的是（   ） A．方程的解集为 B．满足的整数解的集合为 C．由实数x，，，，所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 13．已知集合，集合，若，则集合含有的元素个数为__________． 14．已知集合关于的方程有唯一解，用列举法表示___________． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 16．用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 17．已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 18．已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 19．已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1 集合及其表示方法课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】集合元素必须具备确定性.（1）（2）（5）描述模糊、无统一标准，无法构成集合； （3）（4）（6）对象确定，可构成集合，共3组不能构成集合. 2．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 3．已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合，得， 所以. 4．不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式利用区间表示即可. 【详解】因为，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 5．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，时的情况判断AC；分别令，求解对应的，并结合判断BD. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，令，解得，故，即B错误； 对于C选项，当时，，故C正确； 对于D选项，令，解得，故，即D 错误； 6．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 7．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且， 则得(I)或(II)， 由(I)解得，由(II)解得， 故实数的取值范围是. 8．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．直线与的交点构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】联立直线方程可得交点坐标，然后由集合表示方法可得答案. 【详解】，即直线交点坐标为，则交点构成的集合为：或. 10．（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 11．下列四个命题中正确的是（   ） A．方程的解集为 B．满足的整数解的集合为 C．由实数x，，，，所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 【答案】BC 【分析】由根式与平方意义求解方程即可判断A；解不等式组即可判断B；化简实数，，再结合集合中元素的互异性即可分析求解判断C；根据集合中的元素的特点可得是6的正整数约数，即可求解判断D. 【详解】A，因为，所以由题意方程的解为，故方程的解集为，A错误； B，由得，整数解的集合为，B正确； C，由于，且在，，中，当时，， 当时，，当时，， 故三者，，中至少有两个相等， 则由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，C正确； D，因为且，所以是6的正整数约数， 即，解得， 因此集合中含有4个元素，故D错误 故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 【答案】 【分析】根据常用数集定义判断. 【详解】0是自然数，； 是无理数，不属于有理数集，； -5是整数，； 是实数，； 3.14不是正整数，. 13．已知集合，集合，若，则集合含有的元素个数为__________． 【答案】3 【分析】根据集合的描述法计算求解即可. 【详解】因为集合，集合， 且， 则 则集合含有的元素个数为3. 故答案为：3. 14．已知集合关于的方程有唯一解，用列举法表示___________． 【答案】 【分析】由方程只有一个解或方程化为一元一次方程，分类讨论即可. 【详解】由有， 当方程有两个相等实数解时，，解得； 当方程可化为一元一次方程时，此时一元一次方程有一解，符合题意， 由于， 则令或，则或； 此时为或，只有一解， 所以集合. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据语言描述，用列举法表示集合； （2）解方程求出，再利用列举法表示结合； （3）根据语言描述和偶数性质，用列举法表示集合； （4）根据质数的性质，用列举法表示集合． 【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 16．用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为． （2）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为． （3）由于， 所以用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为 ． （4）由，则 ，故集合为． 17．已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 18．已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 【答案】(1)； (2)没有可能； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用定义依次计算即得. （2）假定是，结合定义计算导出矛盾即可. （3）利用给定的定义计算推理即得. 【详解】（1）当时，即，则，， ，，所以. （2）假设集合是单元素集， 由，则，得，整理得与实数平方为非负数矛盾， 所以集合不可能是单元素集. （3）由，得且，，于是， ，所以. 19．已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 【答案】(1)集合具有性质，不具有性质 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据性质的定义，枚举所有满足属于对应集合的正整数对，逐一验证 是否都属于集合，即可完成两个集合是否具有对应性质的判断； （2）对所有满足 的情况分类讨论，结合性质要求 列方程，结合是不等于1的正整数筛选得到的值； （3）先假设存在具有性质的集合，设出集合中的最小正元素，再结合性质推导得出矛盾，即可证明不存在符合要求的集合. 【详解】（1）集合具有性质，不具有性质. 对 ，仅存在正整数和为，此时对应，满足，故具有； 对 ，当正整数和为时仅对应，满足，故 不具有性质. （2）因为集合 具有性质，所以，且， 所以 ，所以 或， 所以 . 当时，满足以上条件的正整数只有：或       ， 且都满足： . （3）证明：假设存在具有性质集合.                            因为集合，所以设集合中最小的元素为， 若，则由于 ，且， 由可知 ，但是中最小的元素且，而， 所以集合不具有性质 ，矛盾. 所以 . 设集合中除以外的最小元素为，则 . 因为 ，且， ，且， 集合中比小的元素只有， 所以，解得， 即集合中除以外的最小元素为， 因为，集合具有性质， 所以， 这与集合中除以外的最小元素为相矛盾， 综上，不存在具有性质集合. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $