【高二下学期人教A版期末复习专题08】2026年高二数学选择性必修第三册第六章计数原理期末复习培优提升限时小卷（八）

**基本信息** 聚焦计数原理核心内容，通过多样化题型系统考查排列组合应用、二项式定理及杨辉三角性质，强化知识内在逻辑与实际问题解决能力，体现数学思维与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二项式定理|单选1/填空8/解答9|考查展开式系数、二项式系数之和及常数项|从二项式系数概念到展开式应用，构建“公式推导-性质应用-计算求解”逻辑链| |排列组合|单选2/3/4/填空7/解答10|涉及分配方案、排队（相邻/不相邻）、人员安排|围绕“分类加法/分步乘法计数原理”，形成“基本排列组合-有限制条件问题-实际应用”递进关系| |杨辉三角|多选5|结合图形考查行和、最大项等性质|链接二项式系数与杨辉三角的对应关系，深化对组合数性质的理解|

2025-2026学年高二数学下学期培优提升限时小卷（八） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第三册第六章计数原理。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在的展开式中，的系数是(     ) A. B. C. D. 2.甲乙丙三名同学分别从，，，四个景点中选择一处游览，则不同的选择方案有(     ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3.将本不同的书分给名学生，每人至少一本，则不同的分配方法数为(     ) A. B. C. D. 4.甲、乙等人在月号参加了纪念抗日战争胜利周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有种． A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是(     ) A. 第行的第个数最大 B. 第行所有数之和为 C. D. 记第，行数的最大值分别为，，则 6.若的展开式中的第项与第项的二项式系数相等，则    ． A. B. 展开式中各项系数的和为 C. 展开式中的常数项为 D. 展开式中各二项式系数的和为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.名大学生到新疆、青海、西藏三个地方去支教，每名同学只去个地方，新疆安排名，青海安排名，西藏安排名，则不同的安排方法共有           ． 8.若，则           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分若展开式的二项式系数之和是． 求的值；求展开式中的常数项． 10.本小题分有名男生，名女生排成一排． 从中选出人排成一排，有多少种排法 要求女生必须站在一起，有多少种不同的排法 若名女生互不相邻，则有多少种不同的排法 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期培优提升限时小卷（八） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第三册第六章计数原理。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在的展开式中，的系数是(     ) A. B. C. D. 2.甲乙丙三名同学分别从，，，四个景点中选择一处游览，则不同的选择方案有(     ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3.将本不同的书分给名学生，每人至少一本，则不同的分配方法数为(     ) A. B. C. D. 4.甲、乙等人在月号参加了纪念抗日战争胜利周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有种． A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是(     ) A. 第行的第个数最大 B. 第行所有数之和为 C. D. 记第，行数的最大值分别为，，则 6.若的展开式中的第项与第项的二项式系数相等，则    ． A. B. 展开式中各项系数的和为 C. 展开式中的常数项为 D. 展开式中各二项式系数的和为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.名大学生到新疆、青海、西藏三个地方去支教，每名同学只去个地方，新疆安排名，青海安排名，西藏安排名，则不同的安排方法共有           ． 8.若，则           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分若展开式的二项式系数之和是． 求的值；求展开式中的常数项． 10.本小题分有名男生，名女生排成一排． 从中选出人排成一排，有多少种排法 要求女生必须站在一起，有多少种不同的排法 若名女生互不相邻，则有多少种不同的排法 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期培优提升限时小卷（八） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第三册第六章计数原理。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在的展开式中，的系数是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了指定项的系数与二项式系数，属于基础题． 利用二项式定理写出其通项，求得  时，展开式中含有  项，代入计算可得结果． 【解答】 解：由二项式  的通项为  可得， 当  ，即  时，展开式中含有  项， 此时  ， 因此  的系数为 ． 故选：． 2.甲乙丙三名同学分别从，，，四个景点中选择一处游览，则不同的选择方案有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C  【解析】解：根据分步乘法计数原理，完成“三名同学选择景点”这件事需分三步： 甲同学选择景点：有种选择、、、； 乙同学选择景点：同样有种选择与甲的选择无关； 丙同学选择景点：同样有种选择与甲、乙的选择无关， 因此，总的选择方案数为种 故选：． 3.将本不同的书分给名学生，每人至少一本，则不同的分配方法数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：把本不同的书分成，，的三组，则有种分组方法， 将分好的三组全排列，对应个学生，有种情况， 则有种不同的分法． 故选：． 4.甲、乙等人在月号参加了纪念抗日战争胜利周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有种． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查排列与组合及两个基本原理，正确运用捆绑法是关键，属于基础题． 甲、乙两人必须相邻，利用捆绑法，都不站在两端，安排在，或位置，即可得出结论． 【解答】 解：由题意，利用捆绑法，甲、乙两人必须相邻且都不站在两端，安排在，或位置，方法数为种． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是(    ) A. 第行的第个数最大 B. 第行所有数之和为 C. D. 记第，行数的最大值分别为，，则 【答案】BC  【解析】因为第行的第个数是，由组合数性质可知，为的最大值，所以第行的第个数最大． 由二项式系数的性质知，第行各数的和为，所以第行所有数之和为． 组合数性质的应用． 第行数的最大值为，第行数的最大值为，所以． 6.若的展开式中的第项与第项的二项式系数相等，则    ． A. B. 展开式中各项系数的和为 C. 展开式中的常数项为 D. 展开式中各二项式系数的和为 【答案】ABC  【解析】因为第项和第项的二项式系数相等，所以，A正确 令，则，B正确 的展开式的通项为，令，则，所以常数项为，C正确 各二项式系数之和为，D错误故选ABC． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.名大学生到新疆、青海、西藏三个地方去支教，每名同学只去个地方，新疆安排名，青海安排名，西藏安排名，则不同的安排方法共有          ． 【答案】  【解析】解：先选名去新疆，再选名去青海，剩下的名去西藏， 所以不同的安排方法共有． 故答案为：． 8.若，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查二项展开式项的系数和与二项式系数的和，属于基础题． 利用赋值法分别令和即可求得正确答案． 【解答】 解：依题意，， 令，得； 令，得； 所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 若展开式的二项式系数之和是． 求的值； 求展开式中的常数项． 【答案】解：由题意得，二项式系数之和为， ． 展开式的通项公式为．， 令，得， 展开式中的常数项为．  【解析】本题考查了二项展开式中各项系数和以及展开式的通项公式，属于基础题． 根据二项式展开式中二项式系数和求出的值； 利用二项展开式的通项公式，即可求出展开式的常数项． 10.本小题分 有名男生，名女生排成一排． 从中选出人排成一排，有多少种排法 要求女生必须站在一起，有多少种不同的排法 若名女生互不相邻，则有多少种不同的排法 【答案】解：从中选出人排成一排，有 种排法；  根据题意，将名女生看成一个整体，考虑其顺序有种排法， 将名女生的整体与名男生全排列，有种排法， 则不同的排法有种；  排男生，有种排法， 排好后连同两端共有个空位，将名女生插入到空位中，有种情况， 则不同的排法共有种．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $