2.2 一元二次方程的解法（第2课时）（教学课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的配方法，核心知识点为用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。课堂导入通过回顾直接开平方法和完全平方公式，以“解方程x²+6x-2=0”的问题引发思考，引导学生将方程转化为(x+h)²=k的形式，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于注重数学思维与几何直观的结合，通过“尝试交流”填空归纳完全平方式特征，“思维提升”用拼图直观展示x²+2x=24的配方过程，将代数变形与图形拼接对应，发展学生的几何直观和推理意识。教学方法上，明确配方法“移项、配方、整理、开方、求解”步骤，课堂小结梳理依据、关键及易错点，帮助学生形成结构化认知。学生能在直观与抽象结合中理解转化思想，教师可借助清晰流程和实例提升教学效率。

2.2 一元二次方程的解法（2） 第二章 一元二次方程 学 习 目 标 1 2 理解配方法的依据——完全平方公式和等式的性质． 能熟练运用配方法解简单的二次项系数为1的一元二次方程，体会转化思想． 知识回顾 1．什么形式的方程可以用直接开平方法求解？ x2＝a (a≥0)、(x＋h)2＝k （h，k为常数，k≥0）． 2．你还记得完全平方公式吗？ a2±2ab＋b2＝(a±b)2． 问题引入 如何解方程 x2＋6x－2＝0？ ① 这个方程能直接用直接开平方法求解吗？ ② 能否通过适当的变形，把这个方程化成(x＋h)2＝k的形式呢？ 尝试交流 在空格中填上适当的数： (1) x2－4x＋ ＝( x－ )2； (2) x2＋6x＋ ＝( x＋ )2； 22 2 32 3 观察上面的等式，你有什么发现？ (3) x2－7x＋ ＝( x－ )2； (4) x2＋x＋ ＝( x＋ )2 ． 新知归纳 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方． x2±ax＋＝ 与(x＋3)2＝x2＋6x＋9，有什么关联？ 新知探究 如何解方程 x2＋6x－2＝0？ 解：把常数项移到方程的右边， 得 x2＋6x＝2． 根据等式的性质，在方程的两边都加上一次项系数6的一半的平方， 即3²，得 x2＋2·x·3＋32＝2＋32． 整理，得 (x＋3)2＝11． 解这个方程，得 x＋3＝±． 所以原方程的两个实数根为x1＝－3＋，x2＝－3－． 移项 (依据：等式的性质) 配方 (依据：等式的性质) 整理，左边写成完全平方形式 直接开平方法求解 (依据：平方根的意义) 分别求解 新知探究 对一般形式的方程 x2＋bx＋c＝0如何进行配方？ 把常数项移到方程的右边， 得 x2＋bx＝－c， 在上式两边都加上一次项系数b一半的平方， 得 x2＋2··x＋＝－c＋， 整理，得 ＝． 移项 配方 整理，左边写成完全平方形式 能用直接开平方法求解吗？ 当 b2－4c≥0 时，可以根据平方根的意义求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法． 例题讲解 例2 解下列方程： (1) x2－4x＋3＝0； 解：(1) 移项，得 x2－4x＝－3． 配方，得 x2－2·x·2＋22＝－3＋22， (x－2)2＝1． 开平方，得 x－2＝±1． 所以原方程的两个实数根为x1＝3，x2＝1． 配方法(二次项系数为1)的基本步骤： 方法总结 移：常数项移到等号右边(注意变号)； 配：两边同时加上一次项系数一半的平方； 整：左边写成完全平方式，合并右边常数； 开：直接开平方，得到两个一元一次方程； 解：分别求解，写出方程两个根． 例题讲解 例2 解下列方程： 解：(2) 移项，得 x2＋3x＝1． 配方，得 x2＋2·x·＋＝1＋ ， ＝． 开平方，得 x＋＝±． 所以原方程的两个实数根为x1＝－，x2＝－． (2) x2＋3x－1＝0． 易错点提醒： 1．负数、分数一次项系数配方时，先取一半再平方，符号不要错； 2．等式两边必须同时加同一个数； 3．开平方务必保留正负号，不能遗漏负根． 新知巩固 解下列方程： (1) x2＋4x＝5； (2) x2－8x＝3； (3) x2＋10x＋20＝0； (4) x2－x－1＝0． x1＝－5，x2＝1 x1＝4＋，x2＝4－ x1＝，x2＝ x1＝－5＋，x2＝－5－ 讨论交流 配方法解一元二次方程的基本思路是什么？ 先把方程化为(x＋h)2＝k的形式，再用直接开平方法求解． 配方法 直接开平方法 (x＋h)2＝k (k≥0) x＝ 思维提升 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零． 解：k2－4k＋5＝k2－4k＋4＋1 ＝(k－2)2＋1． ∵ (k－2)2≥0， ∴ (k－2)2＋1≥1＞0． ∴ k2－4k＋5的值必定大于零． 思维提升 用配方法解一元二次方程，配方的过程也可以用拼图直观地表示． x(x＋2)＝24 x x＋2 24 x2＋2x＝24 x x x2 1 1 1x 1x x2＋2x＋12＝24＋12 x x x2 1 1x 1x 1 1 25 (x＋1)2＝25 拼图的过程 配方的过程 观察左图理解为什么在配方过程中，方程两边同时加上一次项系数一半的平方？ 思维提升 解：把方程x2－2x－3＝0变形为x2－2x＝3，即x(x－2)＝3． x x－2 3 1 1(x－2) 1(x－2) x－2 x－2 1(x－2) 1(x－2) 由上图可得方程x2－2x－3＝0可化为(x－1)2＝4． 请你尝试用这种方法解方程 x2－2x－3＝0． 1 1 上面用拼图的方法直观地表示出解一个一元二次方程的过程． 课堂小结 2.2 一元二次方程的解法（2） 配方法的依据： 完全平方公式和等式的性质 配方法关键：找到“一次项系数的一半的平方” 配方法步骤： 移项→配方→整理完全平方式→开平方→求解 易错提醒：分数配方要仔细、两边同步变形、不丢负根 感谢聆听！ $