2.2一元二次方程的解法（讲义，5知识9大题型）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的解法，系统梳理直接开平方法（基础降次）、配方法（转化为完全平方形式）、因式分解法（因式乘积为0）、公式法（通用求根）及根的判别式（判断根的情况），构建从基础到综合的学习支架。 资料通过9类题型分类、典例精析与变式巩固结合，突出易错点提示，培养学生抽象能力（符号意识）、运算能力（解法步骤）和推理意识（根的判别式应用）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生针对性练习，查漏补缺。

第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 知识点一 直接开平方法 1. 解法核心思想：解一元二次方程的核心策略是“降次”，即将一元二次方程转化为我们熟悉的一元一次方程来求解，所有解法均围绕这一思想展开。 2. 直接开平方法（最基础的降次方法）： ①适用形式：适用于可化为（a为常数）或（h、k为常数，）的一元二次方程。 ②求解法则：对于方程： 当时，方程有两个不相等的实数根，，记为，； 当时，方程有两个相等的实数根，； 当时，方程无实数根（因为任何实数的平方都非负）。 3. 对于方程（）：直接开平方，得，解得。 即学即练 1．（25-26八年级下·广西崇左·期中）方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 2．（2025·贵州·中考真题）一元二次方程的根是__________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 根据直接开平方法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 解得：． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·北京·期中）解方程：． 【答案】 ， 【详解】解：， ， ， 解得， ． 知识点二 配方法 1. 定义：将一元二次方程（）通过配方，转化为的形式，再用直接开平方法求解，这种方法叫做配方法。 2. 具体步骤（分两种情况）： 情况1：二次项系数为1（） 移项：将常数项移到等号右边，得； 配方：在等号两边同时加上“一次项系数一半的平方”，即，左边化为完全平方式，得，即； 求解：当时，用直接开平方法求解；当时，方程无实数根。 情况2：二次项系数不为1（，） 化二次项系数为1：在方程两边同时除以二次项系数a，得； 后续步骤同“二次项系数为1”的配方法（移项、配方、求解）。 即学即练 1．（2026·安徽阜阳·二模）解方程：． 【答案】， 【分析】可考虑使用配方法、公式法或因式分解法求解．若选择配方法，把常数项移项到等号右边，再配方，开平方求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴ 则， ，． 2．（2026·安徽·二模）解方程：． 【答案】， 【分析】可以利用配方法解一元二次方程． 【详解】解： ， ， ， ∴，． 3．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）用配方法解方程． 【答案】， 【分析】先将二次项系数化成，然后两边同时加上变形后，开方即可求出解． 【详解】解：方程两边同时除以，得， 方程两边同时加上，得， ， ， ，． 知识点三 因式分解法 1. 定义：当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，可将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种方法叫做因式分解法。 2. 核心依据：若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0（即若，则或）。 3. 常见因式分解形式与步骤： 移项：将方程所有项移到等号左边，使等号右边为0； 因式分解：将左边的多项式分解为两个一次因式的乘积； 求解：令每个一次因式等于0，解两个一元一次方程，所得的解即为原一元二次方程的根。 即学即练 1．（25-26八年级下·山东烟台·期中）一元二次方程的解是_____． 【答案】， 【详解】解： 整理得， ∴或 解得，． 2．（2026·安徽阜阳·二模）解方程：． 【答案】 【详解】解：， 整理得， 因式分解得， 所以或， 解得． 知识点四 公式法 1. 求根公式推导：对一元二次方程的一般形式（），通过配方法可推导出求根公式： （其中，否则方程无实数根）。 2. 适用范围：适用于所有一元二次方程，尤其适用于无法直接开平方法、因式分解法求解的方程。 3. 求解步骤： ①将方程化为一般形式，确定、、的值（注意符号）； ②计算根的判别式； ③判断根的情况。 即学即练 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程： 【答案】， 【分析】用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】解： 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）解方程：． 【答案】 ， 【详解】解：， ， ， ， ∴，． 知识点五 根的判别式 1. 定义：对于一元二次方程（），我们把式子叫做根的判别式，通常用希腊字母“”表示。 2. 根的情况判断（核心应用） 当时，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式求解； 当时，方程有两个相等的实数根，； 当时，方程无实数根。 即学即练 1．（2026·云南普洱·二模）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，先计算判别式的值，再根据判别式与0的大小关系得出结论． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ∵， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 2．（2026·云南昭通·一模）某工程队修建道路时，涉及的数量关系可化为一元二次方程．下列关于的一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程 ，判别式为 ，方程有两个不相等实数根需满足 ． 【详解】解：对选项A：， ，方程无实数根，不符合要求； 对选项B：，，方程有两个相等的实数根，不符合要求； 对选项C： ， ，方程有两个不相等的实数根，符合要求； 对选项D： ， ，方程无实数根，不符合要求． 题型01 直接开平方法解方程 / （1）解法:化成形式，，开平方得求解；仅有一解；无实数根； （2）易错:漏写正负号；负数直接开平方运算. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）的解是___________． 【答案】 或 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法是解题关键，通过移项和开平方求解方程即可． 【详解】方程 ， 移项，得 ， 开平方，得 ，即或． 故答案为 ：或． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海·期末）方程的解是____________． 【答案】 ．/． 【分析】本题主要考查了运用平方根解方程，灵活运用平方根解方程是解题的关键．通过移项和开平方解方程，运用平方根的性质求解． 【详解】解：移项得， 开平方得，即， 当时，解得； 当时，解得． 故答案为：． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）方程的根是______． 【答案】 【分析】将方程左边利用完全平方公式变形，再通过直接开平方法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 直接开平方得， 解得． 题型02 配方法解方程、配方变形求值 / （1）移项→二次项系数化为1→两边加一次项系数一半的平方→写成平方形式求解；代数式配方凑完全平方式，整体代入计算； （2）易错：配方时左边加常数，右边忘记同步相加；系数化1计算出错. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·广西崇左·期中）方程配方后的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤对原方程变形即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴移项得 ， ∴方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 将左边整理为完全平方形式，得， 即方程配方后的形式是． 2．（25-26八年级下·福建莆田·期中）解方程： 【答案】 【分析】根据配方法得出，再开方求解即可． 【详解】解： ∴ ∴， ∴， 解得：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·安徽·期中）用配方法解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，最后把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方即可． 【详解】解： ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）用配方法解方程，应在方程两边同时加上______． 【答案】9 【分析】在二次项系数为时，配方需要在方程两边加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：方程的二次项系数为，一次项系数为， 则一次项系数一半的平方得， 因此应在方程两边同时加上，配方可得，即． 3．（25-26八年级下·北京·期中）用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为_____． 【答案】 12 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题关键，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行计算即可. 【详解】解：方程，两边加上，得 ， 即. 4．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）解方程：（用配方法）． 【答案】 【分析】方程运用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 5．（2026·广东江门·一模）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，……第三步 ，……第四步 由此可得，……第五步 解得……第六步 (1)任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？ ②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？ (2)任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 【答案】(1)①方法是配方法，依据是完全平方公式；②第三步，配方时仅在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边未同时加上该数，等式不成立 (2)， 【分析】（1）①根据配方法解方程的步骤可得解方程的方法；②由完全平方公式的含义可得答案； （2）正确利用配方法进行求解即可． 【详解】（1）解：①根据题干信息，解此一元二次方程的方法是配方法， 配方法依据的数学公式是完全平方公式， ②第三步首先出现错误，配方时仅在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边未同时加上该数，等式不成立． （2）解：二次项系数化为1，得， 移项，得， 配方，得， 即， 由此可得， 解得，． 题型03 公式法求解一元二次方程 / （1）化为，代入求根公式计算. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·陕西西安·期末）解方程：． 【答案】 【分析】方程运用公式法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， 即． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·新疆·一模）一元二次方程的根为______． 【答案】， 【分析】先将一元二次方程整理为一般形式，计算根的判别式，再利用求根公式 求解即可． 【详解】解： 移项，得 根的判别式 ∴ 即，． 2．（2026·安徽安庆·二模）解方程： 【答案】， 【详解】解：整理得， ，，， ． ∴， ∴，． 题型04 因式分解法解方程 / （1）移项使右边为0，因式分解成两个因式乘积为0，分别令因式为0求根. 典｜例｜精｜析 1．（2026·安徽阜阳·二模）解方程： 【答案】 【详解】解： 或 ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·辽宁抚顺·一模）一元二次方程的根是____． 【答案】 【详解】解： 或 解得． 2．（25-26八年级下·安徽·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴或 ∴，． 题型05 选用合适方法解方程 / （1）平方形式选直接开平法；易配方选配方法；任意方程可用公式法；易分解优先因式分解法. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山东淄博·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用提公因式法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【详解】（1） ，． （2） ，． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·四川成都·一模）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ∴， （2）解： 或 ， 2．（2025·四川广元·一模）选择适当的方法解方程； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用因式分解法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解： ， 或， 解得：； （2）解：， ， 或， 解得：． 3．（2025·新疆昌吉·模拟预测）解下列方程： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （3）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （4）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴， 解得，． 题型06 利用换元法解方程 / （1）解法：把重复代数式设为新未知数，简化方程求解，再回代求原未知数的值； （2）易错：:忘记回代求原未知数；换元取值范围把控不当. 典｜例｜精｜析 1．（2025·四川雅安·一模）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 通过变量代换，将新方程转化为已知方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则新方程化为， ∵方程的解为，， ∴或， 解得或， ∴新方程的解为，． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·江苏南京·三模）实数，满足，则 ______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握几种常见的解一元二次方程的方法．设，则方程化为：，然后根据分解因式法解一元二次方程，再判断的值即可． 【详解】解：设，则方程化为：， ， 或， 或， x、y是实数， ， ， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，平方根的性质，掌握换元法是解题关键． 通过换元法将四次方程转化为一元二次方程，求解后代回，根据平方根性质进行取舍即可得到原方程的实数解． 【详解】解：令，则原方程化为：， 解得，， 当时，，则该方程无实数解； 当时，，解得，． 综上，该方程的解为：，． 3．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）【材料阅读】解方程： 第一步：设，则原方程化为①，解方程①得：． 第二步：求解x的方程，即②③，解②③得：，，， 第三步：所以原方程的解是：，，， 上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 【初步应用】（1）解方程： 【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数． 【答案】（1）原方程的解为，，，； （2）四个连续自然数是2，3，4，5． 【分析】本题考查了换元法的思想应用及一元二次方程的解法． （1）利用换元法解方程即可； （2）通过设第一个数，将乘积式转化为方程，再用换元法简化计算即可． 【详解】解：（1）设， 原方程可变为， 则， ∴或， ∴， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， ∴原方程的解为，，，； （2）解：设四个连续自然数为n，，，， 由题意得， 整理得，即， 设，则方程化为， 即， 因式分解得， （舍去），， 当时，，即， 因式分解得，， ∴，（舍去）， ∴四个连续自然数是2，3，4，5． 题型07 含参数方程求解与参数取值判定 / （1）先讨论二次项系数是否为0，区分一元一次、一元二次方程，分类解方程，结合条件限定参数范围. 典｜例｜精｜析 1．（2026·山东菏泽·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 2．（2026·广东汕头·一模）关于x的方程有两个不等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)取一个你喜欢的k值，解这个方程． 【答案】(1) (2)当时，，（答案不唯一） 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根得到，求解即可； （2）本题答案不唯一，可以取，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即 解得． 所以的取值范围是． （2）解：由（1）知，不妨取． 当时，原方程化为， 因式分解：． 则或， 解得． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏扬州·二模）关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】结合一元二次方程有两个相等的实数根，得出根的判别式等于0，代入方程系数计算，整理即可得到所求代数式的值． 【详解】解：关于的一元二次方程 有两个相等的实数根， 根的判别式， 整理得． 2．（2026·河南驻马店·模拟预测）关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可能为（    ） A．5 B．4.5 C．6 D．4 【答案】D 【详解】解：∵ 一元二次方程有实数根 ∴ 根的判别式 解得 选项中只有D选项的满足． 3．（2026·湖南邵阳·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，其中为实数，则__________． 【答案】1 【分析】根据方程有两个相等的实数根可得根的判别式为0，由此得到的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 整理得， ． 4．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值． (2)若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把代入，化简即可得到答案； （2）由得到，代入根的判别式，化简得，解关于b的方程即可证得结论． 【详解】（1）解：∵若是方程的一个根， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵方程有两个相同的实数根， ∴， 解得， ∴b的值为或． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知：关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）先求出k的值，再解一元二次方程，将两个解分别代入求出m的值，结合一元二次方程的定义取合适的m的值即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根 ∴， 解得； （2）解：∵k是符合条件的最大整数， ∴， 方程变形为， 解得：，， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得； ∵， ∴， ∴m的值为． 题型08 利用判别式判断方程根的情况 / （1）计算，两不等实根；两相等实根；无实根. 典｜例｜精｜析 1．（2026·河南开封·二模）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】计算判别式的值，根据判别式时方程有两个不相等的实数根；时方程有两个相等的实数根；时方程没有实数根，即可判断． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·广东中山·一模）正比例函数的图象过二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是___． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】先根据正比例函数图象的性质可得，再根据判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二，四象限， ∴． 在一元二次方程中， 则， ∵， ∴， 所以一元二次方程有两个不相等的实数根． 2．（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知实数a，b满足，则关于x的方程根的情况是_____． 【答案】没有实数根 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入求出的值，最后计算一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴． ∴一元二次方程为， ∵． ∴该一元二次方程没有实数根． 3．（25-26九年级上·河南驻马店·期末），在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是_________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据数轴判断正负． 先求出根的判别式，再结合数轴作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由数轴可知， ∴， 即关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 题型09 一元二次方程根中新定义运算问题 / （1）读懂自定义运算法则，套用规则列式，转化为常规方程求解. 典｜例｜精｜析 1．（2026·河南商丘·模拟预测）对于实数a，b定义新运算：．例如：，若关于x的方程没有实数根，则c的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据新定义运算整理出关于的一元二次方程，结合方程无实数根得到根的判别式小于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 可得关于的方程为， 整理为标准一元二次方程形式得， ∵方程没有实数根， ∴， 解得． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖北·模拟预测）对于实数，，定义运算“”：，关于的方程有两个不相等的实数根，的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先根据新定义的运算规则，将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程根的判别式，结合方程有两个不相等的实数根得到判别式大于0，解不等式即可得到t的取值范围. 【详解】解：根据定义运算， 将，代入得： ， 展开并整理得：， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， 根的判别式， 其中，，， ， 计算得：， ， 解得. 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有两个不相等的实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， 即， 有两个不相等的实数根， ， 即， 解得． 3．（25-26八年级下·浙江·期中）对于任意实数a，b，c有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，． (1)求关于x的一元二次方程的解； (2)若关于x的一元二次方程无实数根，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据新定义可得方程，根据该方程无实数根，利用判别式和一元二次方程的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 知识点一 直接开平方法 1. 解法核心思想：解一元二次方程的核心策略是“降次”，即将一元二次方程转化为我们熟悉的一元一次方程来求解，所有解法均围绕这一思想展开。 2. 直接开平方法（最基础的降次方法）： ①适用形式：适用于可化为（a为常数）或（h、k为常数，）的一元二次方程。 ②求解法则：对于方程： 当时，方程有两个不相等的实数根，，记为，； 当时，方程有两个相等的实数根，； 当时，方程无实数根（因为任何实数的平方都非负）。 3. 对于方程（）：直接开平方，得，解得。 即学即练 1．（25-26八年级下·广西崇左·期中）方程的根是__________． 2．（2025·贵州·中考真题）一元二次方程的根是__________． 3．（25-26七年级下·北京·期中）解方程：． 知识点二 配方法 1. 定义：将一元二次方程（）通过配方，转化为的形式，再用直接开平方法求解，这种方法叫做配方法。 2. 具体步骤（分两种情况）： 情况1：二次项系数为1（） 移项：将常数项移到等号右边，得； 配方：在等号两边同时加上“一次项系数一半的平方”，即，左边化为完全平方式，得，即； 求解：当时，用直接开平方法求解；当时，方程无实数根。 情况2：二次项系数不为1（，） 化二次项系数为1：在方程两边同时除以二次项系数a，得； 后续步骤同“二次项系数为1”的配方法（移项、配方、求解）。 即学即练 1．（2026·安徽阜阳·二模）解方程：． 2．（2026·安徽·二模）解方程：． 3．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）用配方法解方程． 知识点三 因式分解法 1. 定义：当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，可将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种方法叫做因式分解法。 2. 核心依据：若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0（即若，则或）。 3. 常见因式分解形式与步骤： 移项：将方程所有项移到等号左边，使等号右边为0； 因式分解：将左边的多项式分解为两个一次因式的乘积； 求解：令每个一次因式等于0，解两个一元一次方程，所得的解即为原一元二次方程的根。 即学即练 1．（25-26八年级下·山东烟台·期中）一元二次方程的解是_____． 2．（2026·安徽阜阳·二模）解方程：． 知识点四 公式法 1. 求根公式推导：对一元二次方程的一般形式（），通过配方法可推导出求根公式： （其中，否则方程无实数根）。 2. 适用范围：适用于所有一元二次方程，尤其适用于无法直接开平方法、因式分解法求解的方程。 3. 求解步骤： ①将方程化为一般形式，确定、、的值（注意符号）； ②计算根的判别式； ③判断根的情况。 即学即练 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程： 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）解方程：． 知识点五 根的判别式 1. 定义：对于一元二次方程（），我们把式子叫做根的判别式，通常用希腊字母“”表示。 2. 根的情况判断（核心应用） 当时，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式求解； 当时，方程有两个相等的实数根，； 当时，方程无实数根。 即学即练 1．（2026·云南普洱·二模）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 2．（2026·云南昭通·一模）某工程队修建道路时，涉及的数量关系可化为一元二次方程．下列关于的一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 题型01 直接开平方法解方程 / （1）解法:化成形式，，开平方得求解；仅有一解；无实数根； （2）易错:漏写正负号；负数直接开平方运算. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）的解是___________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期末）方程的解是____________． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）方程的根是______． 题型02 配方法解方程、配方变形求值 / （1）移项→二次项系数化为1→两边加一次项系数一半的平方→写成平方形式求解；代数式配方凑完全平方式，整体代入计算； （2）易错：配方时左边加常数，右边忘记同步相加；系数化1计算出错. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·广西崇左·期中）方程配方后的形式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建莆田·期中）解方程： 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·安徽·期中）用配方法解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）用配方法解方程，应在方程两边同时加上______． 3．（25-26八年级下·北京·期中）用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为_____． 4．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）解方程：（用配方法）． 5．（2026·广东江门·一模）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，……第三步 ，……第四步 由此可得，……第五步 解得……第六步 (1)任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？ ②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？ (2)任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 题型03 公式法求解一元二次方程 / （1）化为，代入求根公式计算. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·陕西西安·期末）解方程：． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·新疆·一模）一元二次方程的根为______． 2．（2026·安徽安庆·二模）解方程： 题型04 因式分解法解方程 / （1）移项使右边为0，因式分解成两个因式乘积为0，分别令因式为0求根. 典｜例｜精｜析 1．（2026·安徽阜阳·二模）解方程： 变｜式｜巩｜固 1．（2026·辽宁抚顺·一模）一元二次方程的根是____． 2．（25-26八年级下·安徽·期中）解方程：． 题型05 选用合适方法解方程 / （1）平方形式选直接开平法；易配方选配方法；任意方程可用公式法；易分解优先因式分解法. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山东淄博·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·四川成都·一模）解方程： (1)； (2)． 2．（2025·四川广元·一模）选择适当的方法解方程； (1) (2) 3．（2025·新疆昌吉·模拟预测）解下列方程： (1)； (2) (3)； (4)． 题型06 利用换元法解方程 / （1）解法：把重复代数式设为新未知数，简化方程求解，再回代求原未知数的值； （2）易错：:忘记回代求原未知数；换元取值范围把控不当. 典｜例｜精｜析 1．（2025·四川雅安·一模）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 变｜式｜巩｜固 1．（2025·江苏南京·三模）实数，满足，则 ______． 2．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 3．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）【材料阅读】解方程： 第一步：设，则原方程化为①，解方程①得：． 第二步：求解x的方程，即②③，解②③得：，，， 第三步：所以原方程的解是：，，， 上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 【初步应用】（1）解方程： 【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数． 题型07 含参数方程求解与参数取值判定 / （1）先讨论二次项系数是否为0，区分一元一次、一元二次方程，分类解方程，结合条件限定参数范围. 典｜例｜精｜析 1．（2026·山东菏泽·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 2．（2026·广东汕头·一模）关于x的方程有两个不等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)取一个你喜欢的k值，解这个方程． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏扬州·二模）关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·河南驻马店·模拟预测）关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可能为（    ） A．5 B．4.5 C．6 D．4 3．（2026·湖南邵阳·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，其中为实数，则__________． 4．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值． (2)若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知：关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值． 题型08 利用判别式判断方程根的情况 / （1）计算，两不等实根；两相等实根；无实根. 典｜例｜精｜析 1．（2026·河南开封·二模）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 变｜式｜巩｜固 1．（2026·广东中山·一模）正比例函数的图象过二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是___． 2．（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知实数a，b满足，则关于x的方程根的情况是_____． 3．（25-26九年级上·河南驻马店·期末），在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是_________． 题型09 一元二次方程根中新定义运算问题 / （1）读懂自定义运算法则，套用规则列式，转化为常规方程求解. 典｜例｜精｜析 1．（2026·河南商丘·模拟预测）对于实数a，b定义新运算：．例如：，若关于x的方程没有实数根，则c的取值范围是________． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖北·模拟预测）对于实数，，定义运算“”：，关于的方程有两个不相等的实数根，的取值范围是__________． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则的取值范围为__________． 3．（25-26八年级下·浙江·期中）对于任意实数a，b，c有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，． (1)求关于x的一元二次方程的解； (2)若关于x的一元二次方程无实数根，求k的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $