精品解析：江苏省无锡市锡山区2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

2025—2026学年春学期学科素养调研 初一数学 （时长：100分钟，总分：120分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅图案分别代表“立春、立夏、芒种、大雪”，其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此依次对各图形进行判断即可． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项符合题意； B．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列各式计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据幂的运算性质可知，A．不能合并，故错误；B．，故错误；C．，故错误；D．，故正确． 故选D． 考点：幂的运算性质． 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：．∵，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，故该选项符合题意； ．∵，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列命题中的真命题是（ ） A. 对顶角相等 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 两个锐角的和是钝角 D. 垂直于同一直线的两条直线互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角性质，平行线的性质，角的分类等知识，熟记相关概念性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：选项A：∵对顶角的性质为对顶角相等，∴A是真命题； 选项B：∵只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，任意两条直线被截同位角不一定相等，∴B是假命题； 选项C：∵若两个锐角分别为和，和为，仍是锐角，∴两个锐角的和不一定是钝角，C是假命题； 选项D：∵同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，不是互相垂直，∴D是假命题． 5. 已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的解集，不等式组中各个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．解一元一次不等式组．遵循的原则是：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了．掌握不等式组的解集的概念是解题的关键．观察数轴，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：由图知两个不等式的解集分别为和，它们的公共部分为， ∴这个不等式组的解集为：， 故选：B． 6. 《九章算术》是我国古代数学著作，其中有一道题：“今有牛五、羊二，直金十两：牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意找出两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组． 【详解】设每头牛值金x两，每只羊值金y两，题目中5头牛、2只羊共值金10两， 可得方程， ∵2头牛、5只羊共值金8两， ∴可得方程， ∴可列方程组为． 7. 如图，在正方形网格中，阴影部分是5个涂黑的小正方形，若再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，这样的涂法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】先找到网格的对称中心，也就是第2行第2列、第2行第3列、第3行第2列、第3行第3列这四个小正方形的公共顶点；再找原阴影中列的中点作为旋转中心．依次将每个白色小正方形作为涂黑候选，将涂黑后的整体图形绕对称中心旋转，判断旋转后的图形是否和原图形完全重合，统计符合条件的候选数量． 【详解】解：如图，再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，可选取小正方形①或选取小正方形②，这样的涂法共2种． 8. 如图，小明制作了A类，B类，C类卡片各20张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，要拼出一个长为，宽为的大长方形，则他准备的C类卡片（ ） A. 够用，剩余2张 B. 不够用，还缺2张 C. 够用，剩余3张 D. 不够用，还缺3张 【答案】C 【解析】 【分析】先根据长方形面积公式，计算长为、宽为的大长方形的总面积，使用多项式乘多项式法则展开．结合卡片的形状，确定A类、B类、C类卡片对应的面积分别为、、，因为拼成的大长方形面积等于所有卡片面积之和，所以展开后的总式中项的系数就是所需C类卡片的数量．将所需C类卡片数量和已准备的20张对比，判断是否够用并计算差值． 【详解】解：∵ A类正方形面积为，B类正方形面积为，C类长方形面积为． 大长方形长为，宽为， 面积为：． ∴展开式中的系数就是需要C类卡片的数量，即需要17张C类卡片． 小明准备了20张C类卡片，（张）， ∴够用，剩余3张． 9. 如图，在中，是边上的一点，将沿翻折，使点B恰好落在边上的点E处，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据翻折的性质得到、，再结合平角定义求出，最后利用三角形外角定理求出，进而得到的度数． 【详解】解：由翻折可得，，， ， ， ． 10. 定义一种新运算：． ①； ②若，则或； ③若，则； ④若，则的最小值为9． 以上说法正确的有（ ） A. ②③ B. ①③ C. ①④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题为新定义运算题，解题思路是根据新运算的分段规则，先判断的符号，再选择对应公式计算，逐个验证四个结论后得到正确选项． 【详解】解：， ①正确 分两种情况讨论： 当时， ，用： ，符合条件． 当时，， ，与矛盾，舍去． 因此只有． ②错误 分两种情况： 当时， ，用： ，符合条件． 当时， ，用： 不满足，舍去． 只有解，③正确 ， ，故，用第二条公式： 原式变为： 令，由得，式子化为． 几何意义：数轴上点到2和11的距离和，最小值为两点间距， 当（即）时取到最小值9． ④正确 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处） 11. 一块钟乳石每年大约增长，请将0.00012用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：． 12. 命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________. 【答案】如果a，b互为相反数，那么a+b=0 【解析】 【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题. 【详解】解：逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0. 故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0. 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题． 13. 若，，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，准确的计算是解决本题的关键． 利用同底数幂的除法法则，将指数相减转化为幂的除法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 14. 五边形的内角和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：五边形的内角和为． 15. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°． 正确顺序的序号排列为_____． 【答案】③①② 【解析】 【分析】根据反证法的步骤即可判断． 【详解】反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 所以，正确的步骤是③①②． 故答案为：③①②． 【点睛】本题考查反证法、记住反证法的把步骤先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 16. 如图，把绕点A逆时针旋转得到．已知，则的度数为______． 【答案】110 【解析】 【分析】首先，根据旋转的性质得到，再由可得的度数． 【详解】解：∵把绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴． 17. 若关于、的方程组的解满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先通过消元法用含的代数式表示和，得到，，再代入不等式，得到，再解一元一次不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， 由①得， 把③代入②，得， 整理，得， 解得， 把代入③，得， 将，代入，得， 即， 解得． 18. 将边长为x的小正方形（图1）和边长为y的大正方形（图2）按如图3的位置摆放．若，则图中阴影部分的总面积______；若，，则图中阴影部分的总面积______． 【答案】 ①. 5 ②. 20 【解析】 【分析】根据题意可证明，得，则，结合题意，运用平方差公式即可求解；根据题意，运用完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形，四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∵，， ∴， ∴， ∵． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 分别算出零次幂，负指数幂的结果，再计算加减即可； （2）运用平方差公式，完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程组、不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 把代入，得，解得， 把代入，得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 解不等式，得， 解不等式，，解得， ∴原不等式组的解集为． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，30 【解析】 【分析】运用整式的混合运算法则化简，再代入计算即可． 【详解】解： ， 其中， ∴原式． 22. 如图，在边长为1的正方形网格中，的三个顶点A，B，C均在格点上． （1）将向右平移2格，再向下平移4格，请在网格中画出平移后的； （2）将绕点B顺时针旋转，请在网格图中画出旋转后的； （3）已知是由旋转得到的，请画出旋转中心P的位置． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质可将点A、B、C先向右平移2格，再向下平移4格，再把平移后得到的对应点顺次连接即可； （2）根据旋转的性质画出对应点，把旋转后所得到的点顺次连接即可； （3）分别作边上的垂直平分线，两边垂直平分线的交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 如图，将沿射线方向平移至． （1）求证：； （2）若的周长为20，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：由平移的性质可得：，， ， ， ． （2）26 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，平行线的性质求解即可； （2）根据平移的性质得到，，，结合图形，运用等量代换即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 由平移的性质可得：，，， ， ． 24. 学校决定购买一批足球，用于日常教学和校园足球活动．已知：购买10个A品牌足球和5个B品牌足球共需950元，购买6个A品牌足球和4个B品牌足球共需660元． （1）求A、B两种品牌足球的单价各是多少元？ （2）根据需要，学校决定购进A、B两种品牌的足球共50个．某商店开展“优惠促销”活动：A品牌足球单价优惠4元，B品牌足球单价打8折．购买时要求：A品牌足球的数量大于B品牌足球数量的1.5倍，且不超过B品牌足球数量的2倍．请求出总费用最少的购买方案，并求出此时总费用的最小值． 【答案】（1）A品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为90元 （2）当购买A品牌足球33个，B品牌足球17个时总费用最少，最少总费用为2742元 【解析】 【分析】（1）设A品牌足球单价为x元，B品牌足球单价为y元．根据题意找准等量关系列出关于的方程组，解方程组即可； （2）首先，求出A、B品牌优惠后的单价，然后，设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球个，根据题意列出关于a的不等式组求出a的取值范围，再得到总费用：用关于a的代数式表示，根据实际情况将a的值逐一代入代数式中并比较大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：设A品牌足球单价为x元，B品牌足球单价为y元． 根据题意，得， 解得． 答：A品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为90元； 【小问2详解】 解：促销后单价：A品牌：(元)， B品牌：(元)， 设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球个， 根据题意，得， 解得， ∵a为整数， 的值可以为31，32，33． 根据题意得总费用为(元)， 当时，(元)； 当时，(元)； 当时，(元)； ， ∴当购买A品牌足球33个，B品牌足球17个时总费用最少，最少总费用为2742元． 25. “杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就．南宋数学家杨辉借助三角数表，阐释了二项和（，2，3，4，…）展开式的系数规律，这一数表也因此得名．如下图，该三角形图表两条斜边上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和． 例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．利用上面的规律，完成以下问题： （1）请写出的展开式为 ； （2）的展开式中共有 项，从左往右第三项的系数是 ； （3）代数推理：已知x为整数，求证：能被24整除． 【答案】（1） （2）8，21 （3）证明：根据二项和（，2，3，4，…）展开式的系数规律，可得 ， ∵x为整数， ∴是整数， ∴是24的倍数，即能被24整除． 【解析】 【分析】(1)根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的系数规律先确定展开式中各项的系数，再确定每一项中对应的次数即可得到展开式； (2)根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的项数规律得到展开式的项数比n大1，即项数为，可得的展开式中的项数，再根据展开式中的系数规律得到从左到右各项的系数即可得出答案； (3)根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的项数及系数的规律将代数式展开并化简，再提取公因数即可证得结论． 【小问1详解】 解：根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的系数规律可知，的展开式中从左到右各项的系数为1，5，10，10，5，1，每一项中a的次数按降幂排列从5降到0，b的次数按升幂排列从0升到5， ∴； 【小问2详解】 解：根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的项数规律可知，展开式的项数比n大1，即项数为， ∴的展开式中共有(项)； 根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的系数规律可知，的展开式中从左到右各项的系数为1，7，21，35，35，21，7，1， ∴的展开式中从左到右第三项的系数是21； 【小问3详解】 略 26. 如图1，在中，点D为边上的一个定点，射线与边交于点E，射线与边交于点F，与关于直线对称，与关于直线对称． （1）如图2，当点落在边上，点落在边上时，若，则的度数为 ； （2）在图1中，设，，求x与y满足的数量关系式； （3）如图3，，射线从位置出发，绕点D顺时针旋转，到位置停止；射线从位置出发，绕点D逆时针旋转，到位置停止．两条射线同时开始旋转，射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，当时，求旋转时间t的值． 【答案】（1）40 （2）时；当时 （3）t为或 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，由平角的定义及计算得到，在四边形中根据内角和定理即可求解； （2）由折叠的性质得：，，结合图形分类讨论：当在的左侧时（）；当在的右侧时（）；结合角度的数量关系列式求解即可； （3）根据题意得到射线到的时间为秒，射线到的时间为秒，，，结合运动情况分类讨论：与相遇前；在与相遇后；由平角的定义列式求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∵与关于直线对称，点落在边上，，与关于直线对称，点落在边上， ∴， ∴， ∵，则， ∴， 在四边形中，， 故答案为：40； 【小问2详解】 解：由折叠的性质得：，， ，， ①当在的左侧时（）， ， ， ， ； ②当在的右侧时（）， ， ， ， ． 综上，x，y满足当时；当时． 【小问3详解】 解：当时，， ∵射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，到位置停止， ∴射线到的时间为秒，射线到的时间为秒， 由题意可知，，， ①与相遇前，则， ∴， 解得； ②与相遇后，则， ∴， 解得，不合题意舍去； ∴在与相遇后，当时，射线已停止旋转， ∴此时， ， 解得， 综上，当t为或时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年春学期学科素养调研 初一数学 （时长：100分钟，总分：120分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅图案分别代表“立春、立夏、芒种、大雪”，其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中的真命题是（ ） A. 对顶角相等 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 两个锐角的和是钝角 D. 垂直于同一直线的两条直线互相垂直 5. 已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》是我国古代数学著作，其中有一道题：“今有牛五、羊二，直金十两：牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形网格中，阴影部分是5个涂黑的小正方形，若再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，这样的涂法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 8. 如图，小明制作了A类，B类，C类卡片各20张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，要拼出一个长为，宽为的大长方形，则他准备的C类卡片（ ） A. 够用，剩余2张 B. 不够用，还缺2张 C. 够用，剩余3张 D. 不够用，还缺3张 9. 如图，在中，是边上的一点，将沿翻折，使点B恰好落在边上的点E处，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 定义一种新运算：． ①； ②若，则或； ③若，则； ④若，则的最小值为9． 以上说法正确的有（ ） A. ②③ B. ①③ C. ①④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处） 11. 一块钟乳石每年大约增长，请将0.00012用科学记数法表示为______． 12. 命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________. 13. 若，，则_______． 14. 五边形的内角和为________． 15. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°． 正确顺序的序号排列为_____． 16. 如图，把绕点A逆时针旋转得到．已知，则的度数为______． 17. 若关于、的方程组的解满足，则的取值范围是______． 18. 将边长为x的小正方形（图1）和边长为y的大正方形（图2）按如图3的位置摆放．若，则图中阴影部分的总面积______；若，，则图中阴影部分的总面积______． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程组、不等式组： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，在边长为1的正方形网格中，的三个顶点A，B，C均在格点上． （1）将向右平移2格，再向下平移4格，请在网格中画出平移后的； （2）将绕点B顺时针旋转，请在网格图中画出旋转后的； （3）已知是由旋转得到的，请画出旋转中心P的位置． 23. 如图，将沿射线方向平移至． （1）求证：； （2）若的周长为20，，求四边形的周长． 24. 学校决定购买一批足球，用于日常教学和校园足球活动．已知：购买10个A品牌足球和5个B品牌足球共需950元，购买6个A品牌足球和4个B品牌足球共需660元． （1）求A、B两种品牌足球的单价各是多少元？ （2）根据需要，学校决定购进A、B两种品牌的足球共50个．某商店开展“优惠促销”活动：A品牌足球单价优惠4元，B品牌足球单价打8折．购买时要求：A品牌足球的数量大于B品牌足球数量的1.5倍，且不超过B品牌足球数量的2倍．请求出总费用最少的购买方案，并求出此时总费用的最小值． 25. “杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就．南宋数学家杨辉借助三角数表，阐释了二项和（，2，3，4，…）展开式的系数规律，这一数表也因此得名．如下图，该三角形图表两条斜边上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和． 例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．利用上面的规律，完成以下问题： （1）请写出的展开式为 ； （2）的展开式中共有 项，从左往右第三项的系数是 ； （3）代数推理：已知x为整数，求证：能被24整除． 26. 如图1，在中，点D为边上的一个定点，射线与边交于点E，射线与边交于点F，与关于直线对称，与关于直线对称． （1）如图2，当点落在边上，点落在边上时，若，则的度数为 ； （2）在图1中，设，，求x与y满足的数量关系式； （3）如图3，，射线从位置出发，绕点D顺时针旋转，到位置停止；射线从位置出发，绕点D逆时针旋转，到位置停止．两条射线同时开始旋转，射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，当时，求旋转时间t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $