精品解析：山东省济南市历下区2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题

七年级数学学情调研 考试时间120分钟 满分150分 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的平方根为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根的定义，需要注意正数有两个互为相反数的平方根，不要与算术平方根混淆． 【详解】解： ， 的平方根为 ． 2. 下列中国传统玉器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、沿中间竖直直线折叠，左右两部分能完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意；  B、找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；  C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；  D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 3. 在一项抽卡片活动中，有四张卡片背面分别印有：“芒种”、“夏至”、“小暑”、“大暑”，除卡片背面的字不同外，其它完全相同．将卡片正面朝上随机打乱，从中任意抽取一张，抽到卡片背面含有“暑”字的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式，用符合要求的结果数除以所有等可能的总结果数即可得到答案． 【详解】解：∵ 共有4张卡片，从中任意抽取1张，所有等可能的结果共4种，其中卡片背面含有“暑”字的结果共2种， ∴抽到含“暑”字卡片的概率为 ． 4. 如图是水杯的截面示意图，已知，吸管与水平面形成的夹角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，直接求解即可 【详解】解：，  ， ， ． 5. 如图，点，，在同一直线上，，要使，添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据邻补角的性质由推出，结合公共边，利用全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：∵点在同一直线上， ∴，， ∵， ∴， 在和中， 已知（公共边），， A、添加，这是已知条件的推论，无法证明； B、添加， 在和中，    ∴，故该选项符合题意； C、添加，这是公共边，无法证明； D、添加，无法证明． 6. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类二次根式合并规则、乘方运算、根式的性质逐一判断选项即可． 【详解】选项A：与不是同类二次根式，不能合并， ， 故A错误． 选项B：， B错误． 选项C： 根据立方根的性质，， ， 故C错误． 选项D： 根据二次根式的性质，， ， 故D正确． 7. 如图，在数轴上，若点表示的实数是，以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点，过点向数轴作垂线，垂足为点，点表示的实数是，则点到数轴的距离的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在数轴上的位置求出的长，由圆的半径相等得出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可 【详解】解：点表示的实数是， ， 以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点， ， 点表示的实数是，且， ，， 在中，由勾股定理得：． 8. 如图，某长方体的长为，宽为，高为，点是长方体的一个顶点，点是一条棱的中点．一只蚂蚁沿长方体外表面从点处爬到点处，它爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分三种情况讨论，利用勾股定理求解，然后比较即可． 【详解】解：把长方体剪开，使其右面和正面组成一个长方形， 由题意得，， ∴； 把长方体剪开，使其正面和下面组成一个长方形， 由题意得，，， ∴ ∴， 把长方体剪开，使其正面和上面组成一个长方形， 同上可得，， ∵， ∴它爬行的最短路程为． 9. 如图，学校开展“数学测量日”活动，数学兴趣小组决定测量四楼教室到地面的距离的长度，在无法跨越花坛直接测量的情况下，他们采用以下方法： ①甲同学在四楼教室窗户处拉住绳子一端，乙同学在楼下平坦地面上拉直绳子退至离教学楼米的点处，此时手上的绳子还剩米； ②乙同学继续往后退米到达点处，此时手上的绳子刚好用完； ③乙同学拉绳子的手到地面的距离和的长都是米． 则四楼教室到地面的距离的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】设米，绳子总长度为米，通过作辅助线构造直角三角形，分别在、中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据题意可得， 过点作于， 则点在上， 设米，绳子总长度为米， 由题意得： 乙同学手高米，米，米， 第一次绳长剩余米，故，第二次绳子用完，， 米，米，米，， 在中，， 在中，， 得：，解得， 把代入得：，即，边长为正，故，得米， 因此四楼教室到地面的距离为米． 10. 在等边三角形中，平分，，分别为边，上的点，且．若的最小值为，则等边三角形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作的平行线，在平行线上截取线段，容易证明，则，从而得到，结合线段公理可得当、、三点共线时，取得最小值，因此．容易判断是等腰直角三角形，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，过点作的平行线，在平行线上截取线段， ∵是等边三角形，平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，当、、三点共线时，取得最小值， ∵的最小值为， ∴， 在中，， ∴， 解得． 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 比较大小：________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ． 12. 若，，是勾股数，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】勾股数是满足勾股定理的正整数.需分两种情况讨论，分别为是最长边，是最长边，利用勾股定理计算后，根据勾股数的定义筛选结果即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为最长边时，由勾股定理得， 不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去； 当为最长边时，由勾股定理得 ， ，是正整数，符合勾股数定义． 13. 如图，平分，，若比的倍大度，则________度． 【答案】 【解析】 【分析】设为，根据角平分线的定义表示出，根据题意表示出，利用平行线的性质建立一元一次方程求解即可 ． 【详解】解：设， 平分，  ．  比的倍大度 ，  ．  ， ，   ． 解得．   ． 故答案为． 14. 如图，在长方形中，，，点沿直线以每秒个单位长度的速度向右运动，点沿直线以每秒个单位长度的速度向右运动，点，同时运动秒后，梯形的面积和时间的关系式可表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方形的性质得出，，根据点和点的运动速度和时间表示出和的长度，进而表示出梯形的上底和下底的长度，最后利用梯形的面积公式即可得出与的关系式． 【详解】解：由长方形可知，，， ， 根据题意，运动秒后，， ． ，．   四边形是梯形，且高为    ．  故答案为． 15. 如图，在中，，点为的中点，点，分别在边，上，若，，，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到点G；使，连接．证明，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：延长到点G；使，连接,， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ， ． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（１）先将非最简二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． （2）逆用分式加法法则，分别作二次根式的除法运算并化简，再加减即可． 【小问1详解】 解 ： ． 【小问2详解】 解：． 17. 如图，已知，，．试说明：． 【答案】证明：∵， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先证明，再解答即可 【详解】略 18. 已知的平方根是，的立方根是． （1）求，的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1） ， （2） 的算术平方根为 【解析】 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义列出关于、的方程，先求出、的值； （2）把，代入计算的值，最后根据算术平方根的定义求解结果． 【小问1详解】 解：的平方根是，  ， 解得， 的立方根是，  ， 把代入得， 解得； 【小问2详解】 解：把，代入得：，  的算术平方根是，  的算术平方根为． 19. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为，的顶点在网格的格点上． （1）作关于直线轴对称的； （2）的面积为________； （3）点到的距离为________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质画出； （2）根据正方形的面积减去三个三角形的面积，即可求解； （3）根据网格的特点和勾股定理求得，设点到的距离为，根据等面积法求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为 【小问3详解】 解：∵ 设点到的距离为， 则，即 解得：，即点到的距离为 20. 某商家“幸运刮奖”设置“一等奖”，“二等奖”，“三等奖”，“谢谢参与”四种结果．如图，在至的数字中任意选中一个数字并刮开，会显示获奖情况，其中刮奖得“一等奖”，“二等奖”，“三等奖”的概率分别为，，． （1）刮奖结果是“谢谢参与”的概率是________； （2）如图，若刮开数字“”，显示的是“二等奖”，再任意刮开一个数字，结果是“二等奖”的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据所有事件的概率之和为1，求解即可； （2）根据简单的概率公式求解即可； 【小问1详解】 解：根据题意，得设置“一等奖”，“二等奖”，“三等奖”，“谢谢参与”四种结果．且 “一等奖”，“二等奖”，“三等奖”的概率分别为，，， 故“谢谢参与”的概率为． 【小问2详解】 解：“二等奖”的概率为， 故刮开数字是“二等奖”的有2种等可能性，又刮开数字“”，显示的是“二等奖”， 故还有8个数字，且这8个数字中刮开数字是“二等奖”的有1种等可能性， 故再任意刮开一个数字，结果是“二等奖”的概率是； 21. 某快递公司同省快递的收费标准见下表（包裹质量不足按计，超出部分不足按计）： 包裹质量/ … 运费/元 … （1）在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； （2）设运费为元，包裹质量为，写出与的关系式：________； （3）若包裹质量为，快递公司收取运费元，是否符合收费标准，请说明理由． 【答案】（1） 包裹质量；运费 （2） （x为不小于实际包裹质量的最小正整数） （3） 符合收费标准 理由：包裹质量为，根据收费规则，按计算， 把代入，得， 计算所得运费与快递公司收取的运费一致，因此符合收费标准． 【解析】 【分析】（1）根据变量的变化关系判断自变量和因变量； （2）根据表格数据总结运费与包裹质量的变化规律列出关系式； （3）根据收费规则计算对应质量的运费，判断是否符合收费标准． 【小问1详解】 解：在这个变化过程中，运费随包裹质量的变化而变化，因此自变量是包裹质量，因变量是运费； 【小问2详解】 解：根据表格数据可得，包裹质量为时，运费为8元，包裹质量每增加，运费增加3元，题目要求包裹质量不足按计， 则，整理得，（其中x为不小于实际包裹质量的最小正整数）； 【小问3详解】 略 22. 如图，在正方形中，，点为的中点，点在上，，连接，，． （1）求三条边的长； （2）请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1），， （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形； 【解析】 【分析】（1）求三条边的长； （2）利用勾股定理的逆定理证明即可． 【小问1详解】 解：在正方形中，， 故， ∵点为的中点， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵正方形， ， ，， ． 【小问2详解】 略 23. 某校科技社团设计了一款智能计算器，该计算器具有特殊的“变换数对”功能． 定义：对于输入的数对，其中．计算器会先将进行开立方运算得到，即，再将的算术平方根取相反数得到，即，最后输出两个结果和，将这两个输出结果称为数对的“变换数对”． 例如：数对的“变换数对”为和． （1）下列选项不可能为某数对的“变换数对”结果的是________； A． B． C． D． （2）若输入数对，则输出的“变换数对”结果为________； （3）社团成员小明输入某个数对后，发现输出的“变换数对”其中一个结果是，求和的值． 【答案】（1）B （2） 和 （3） 【解析】 【分析】（1）根据的取值范围判断选项即可； （2）按定义计算出和，即可写出变换数对； （3）分两种情况讨论输出数对的对应关系，排除不符合定义的情况，逆推计算得到和的值． 【小问1详解】 解：由定义得，对任意输入数对，，因此， 任意输出的变换数对为或，因此任意变换数对中必有一个数不大于0， 选项A、，，可能； 选项B、，两个数都大于0，不可能； 选项C、，可能； 选项D、，两个数都不大于0，可能； 【小问2详解】 解：输入数对，则， ∴，， ∴输出的变换数对为和； 【小问3详解】 解：已知其中一个输出结果是， 分两种情况讨论： 若，则与矛盾，此情况舍去； 若， 由，得， 由，得，两边平方得，满足， 因此． 24. 如图是长方体水池的示意图，该水池的底部被分隔为甲、乙两个独立区域．甲区域以立方米每小时的速度进行注水，乙区域底部的排水孔以一定的速度往下排水．图为注水过程中甲区域水面的高度（米）随时间（小时）变化的图象． （1）表示的数值是________； （2）求乙区域排水孔的排水速度； （3）求图中表示的数值． 【答案】（1）2米 （2）立方米每小时 （3）小时 【解析】 【分析】（1）根据体积相同，得到，求解即可； （2）设乙区域内的排水孔的排水速度为立方米每小时，根据题意，得，求解即可； （3）设20小时后再经过小时，水位上升了米，根据题意，得，求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，解得（米）； 【小问2详解】 解：设乙区域内的排水孔的排水速度为立方米每小时，根据题意，得， 解得， 故乙区域内的排水孔的排水速度为立方米每小时 【小问3详解】 解：设20小时后再经过小时，水位上升了米，根据题意，得， 解得， 故（小时）． 25. 某数学兴趣小组以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，请回答下列问题： （1）如图，当点，重合时，________度，________度； （2）如图，，交于点，若，求的度数； （3）如图，，交于点，若，，请直接写出的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质，得，继而判定是等边三角形，根据三角形内角和求解即可； （2）根据轴对称的性质，根据三角形内角和求解即可； （3）连接，证明是等边三角形，，根据勾股定理得到，过点A作于点M，设，则，根据勾股定理，解方程，求解即可； 【小问1详解】 解：根据轴对称的性质，得， 是等边三角形， ， 根据轴对称的性质，得， ， ； 【小问2详解】 解：根据轴对称的性质，得， ， ，， ； ， ； 【小问3详解】 解：根据轴对称的性质，得， ， ，， ； ， ； ， ， ， ， 如图，连接， ∵ ∴ ∴， ∴， 是等边三角形， ， 根据轴对称的性质，得，， ， ， ， ， ， ， 过点A作于点M，设，则，， ， 根据勾股定理，得， ， ， ， 解得， ，， 当时，，不符合要求，舍去； 故， ， ； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学学情调研 考试时间120分钟 满分150分 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的平方根为（ ） A. B. C. D. 2. 下列中国传统玉器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在一项抽卡片活动中，有四张卡片背面分别印有：“芒种”、“夏至”、“小暑”、“大暑”，除卡片背面的字不同外，其它完全相同．将卡片正面朝上随机打乱，从中任意抽取一张，抽到卡片背面含有“暑”字的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是水杯的截面示意图，已知，吸管与水平面形成的夹角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点，，在同一直线上，，要使，添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在数轴上，若点表示的实数是，以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点，过点向数轴作垂线，垂足为点，点表示的实数是，则点到数轴的距离的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某长方体的长为，宽为，高为，点是长方体的一个顶点，点是一条棱的中点．一只蚂蚁沿长方体外表面从点处爬到点处，它爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，学校开展“数学测量日”活动，数学兴趣小组决定测量四楼教室到地面的距离的长度，在无法跨越花坛直接测量的情况下，他们采用以下方法： ①甲同学在四楼教室窗户处拉住绳子一端，乙同学在楼下平坦地面上拉直绳子退至离教学楼米的点处，此时手上的绳子还剩米； ②乙同学继续往后退米到达点处，此时手上的绳子刚好用完； ③乙同学拉绳子的手到地面的距离和的长都是米． 则四楼教室到地面的距离的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 在等边三角形中，平分，，分别为边，上的点，且．若的最小值为，则等边三角形的边长为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 比较大小：________（填“”，“”或“”）． 12. 若，，是勾股数，则的值是________． 13. 如图，平分，，若比的倍大度，则________度． 14. 如图，在长方形中，，，点沿直线以每秒个单位长度的速度向右运动，点沿直线以每秒个单位长度的速度向右运动，点，同时运动秒后，梯形的面积和时间的关系式可表示为________． 15. 如图，在中，，点为的中点，点，分别在边，上，若，，，则的长度为________． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，已知，，．试说明：． 18. 已知的平方根是，的立方根是． （1）求，的值； （2）求的算术平方根． 19. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为，的顶点在网格的格点上． （1）作关于直线轴对称的； （2）的面积为________； （3）点到的距离为________． 20. 某商家“幸运刮奖”设置“一等奖”，“二等奖”，“三等奖”，“谢谢参与”四种结果．如图，在至的数字中任意选中一个数字并刮开，会显示获奖情况，其中刮奖得“一等奖”，“二等奖”，“三等奖”的概率分别为，，． （1）刮奖结果是“谢谢参与”的概率是________； （2）如图，若刮开数字“”，显示的是“二等奖”，再任意刮开一个数字，结果是“二等奖”的概率是多少？ 21. 某快递公司同省快递的收费标准见下表（包裹质量不足按计，超出部分不足按计）： 包裹质量/ … 运费/元 … （1）在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； （2）设运费为元，包裹质量为，写出与的关系式：________； （3）若包裹质量为，快递公司收取运费元，是否符合收费标准，请说明理由． 22. 如图，在正方形中，，点为的中点，点在上，，连接，，． （1）求三条边的长； （2）请判断的形状，并说明理由． 23. 某校科技社团设计了一款智能计算器，该计算器具有特殊的“变换数对”功能． 定义：对于输入的数对，其中．计算器会先将进行开立方运算得到，即，再将的算术平方根取相反数得到，即，最后输出两个结果和，将这两个输出结果称为数对的“变换数对”． 例如：数对的“变换数对”为和． （1）下列选项不可能为某数对的“变换数对”结果的是________； A． B． C． D． （2）若输入数对，则输出的“变换数对”结果为________； （3）社团成员小明输入某个数对后，发现输出的“变换数对”其中一个结果是，求和的值． 24. 如图是长方体水池的示意图，该水池的底部被分隔为甲、乙两个独立区域．甲区域以立方米每小时的速度进行注水，乙区域底部的排水孔以一定的速度往下排水．图为注水过程中甲区域水面的高度（米）随时间（小时）变化的图象． （1）表示的数值是________； （2）求乙区域排水孔的排水速度； （3）求图中表示的数值． 25. 某数学兴趣小组以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，请回答下列问题： （1）如图，当点，重合时，________度，________度； （2）如图，，交于点，若，求的度数； （3）如图，，交于点，若，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $