精品解析： 山东省济南市历下区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年山东省济南市历下区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 8的立方根为（ ） A. 2 B. ±2 C. －2 D. 4 2. 下列中国传统纹样的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年我国人工智能模型凭借开源模式和成本优势火爆全球．在单词“”中随机选择一个字母，选到字母“e”的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，连接，平分，添加一个条件后，不能证明的是（ ） A B. C. D. 6. 宽与长之比为的长方形称为“黄金长方形”，估算的取值范围在（ ） A. 0到之间 B. 到1之间 C. 1到之间 D. 到2之间 7. 如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 涨潮时，潮水高度不断上升，海水淹没滩涂．退潮时，潮水高度不断下降，露出滩涂，若此时潮水高度小于当日潮水最大高度的一半，则适合赶海．如图呈现了某地一天内潮水高度的变化情况，下列说法错误的是（ ） A. 该地当日时潮水高度最大，高度为 B. 该地当日时和时潮水高度相同 C. 该地当日到适合赶海 D. 该地当日到适合赶海 9. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，作垂足为点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9 10. 如图，，，，E，F分别是射线，上的动点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 13 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 正数的两个平方根分别是和，则______． 12. 中，，，则______． 13. 如图，点O为数轴的原点，数轴上点A表示的数为，作于点O，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点C，则数轴上点C表示的数为____． 14. 如图，线段是底边上的高，，，动点P从点B出发，沿的方向运动至点C处停止．设的长为，的面积为，则与之间的关系式为_______． 15. 长方形纸片中，，，点是边上一动点，连接，把沿折叠，使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为_____． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在中，点D为上一点，且，点E为外一点，且，连接当时，判断与的数量关系，并说明理由． 18. 已知，． （1）求代数式的值； （2）求代数式的值． 19. 如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏： ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个； ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中； ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”； ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜． 通过游戏经验的积累，小颖发现： （1）在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率； （2）为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中． 20. 如图，在中，，点为边的中点，连接，为上一点，连接．若，，求的度数． 21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A与点B均在格点上，l为网格线所在的直线． （1）标出点A关于直线l的对称点； （2）在直线l上找一点P，使得的值最小（保留作图痕迹）； （3）若在网格中有一点Q，点Q到点，点A，点B这三个点的距离均相等，则______． 22 综合与实践 【问题背景】 某超市员工现需利用扶梯将70辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材1：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长与购物车数量的关系： 购物车数量辆 1 2 3 4 5 车身总长米 素材2：如图，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 （1）根据表格可知，购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式为______； （2）在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 23. 在小轩房间中有一个长方体衣柜和书柜，现需要购买一款扫地机器人，使其能顺利从入口处进入活动区进行清扫请根据以下信息解决问题： 房间示意图及相关尺寸说明 相关尺寸说明： 房间的平面图为长方形，其中，； 衣柜底面为长方形，其中，； 书柜底面为长方形，其中，． 扫地机器人相关信息 某型号扫地机器人底面是直径为的圆形，当扫地机器人从入口进入活动区域时，扫地机器人的边缘距离点和点的安全距离均至少为． 请通过计算说明，该型号的扫地机器人能否顺利地从入口处进入活动区． 24. 某景区内有小石潭、花圃、石塔三个景点（且三个景点在同一直线上），图1为三个景点之间的路线图．小明与小红均从小石潭出发，依次游览小石潭、花圃、石塔，最后原路返回至小石潭． 小明骑共享单车出发游览，小明到小石潭的距离与其出发时间之间的关系如图2所示． 景区内有一班游览车从小石潭发车，在小石潭与石塔之间匀速往返行驶（上下车时间忽略不计）．小红乘坐游览车出发，小红和游览车到小石潭的距离与其出发时间之间的关系如图3所示． （1）图2中的自变量是______，因变量是______． （2）小明从小石潭出发匀速骑行到花圃，在该路段小明的速度为______，在花圃游玩后，小明以的速度骑行至石塔，则小明在花圃游玩了______ （3）游览车平均速度是______，若小红和游览车的出发时刻均为早上，则小红在早上______（填时刻）从花圃上车前往石塔． 25. 如图，在中，，，射线交线段于点，作点关于射线的对称点．直线与直线交于点，与射线交于点，连接交于点． （1）如图，当点位于直线上时，______（用含的代数式表示）； （2）如图，当时，判断与的数量关系，并说明理由； （3）如图，当时，连接，若，，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省济南市历下区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 8的立方根为（ ） A. 2 B. ±2 C. －2 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】解：因为，则8的立方根为2. 2. 下列中国传统纹样的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A、B、C的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形； 选项D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选： 3. 2025年我国人工智能模型凭借开源模式和成本优势火爆全球．在单词“”中随机选择一个字母，选到字母“e”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，计算在单词“”中随机选一个字母为“e”的概率，需统计字母“e”的出现次数和总字母数． 【详解】解：∵ 单词“”中共有8个字母，其中字母“e”出现4次， ∴选到“e”的概率是：． 故选：B． 4. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 5. 如图，在四边形中，连接，平分，添加一个条件后，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：平分， ， ， 当添加时，不能判定，A选项符合题意； 当添加时，，B选项不符合题意； 当添加时，，C选项不符合题意； 当添加时，判定，D选项不符合题意． 6. 宽与长之比为的长方形称为“黄金长方形”，估算的取值范围在（ ） A. 0到之间 B. 到1之间 C. 1到之间 D. 到2之间 【答案】B 【解析】 【分析】先由得到，再由不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ， ， ． 7. 如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ，，， ， ∵，， ，， ， 是直角三角形， ， ∴四边形的面积的面积的面积， ， 这块菜地的面积为， 故选：B． 8. 涨潮时，潮水高度不断上升，海水淹没滩涂．退潮时，潮水高度不断下降，露出滩涂，若此时潮水高度小于当日潮水最大高度的一半，则适合赶海．如图呈现了某地一天内潮水高度的变化情况，下列说法错误的是（ ） A. 该地当日时潮水高度最大，高度为 B. 该地当日时和时潮水高度相同 C. 该地当日到适合赶海 D. 该地当日到适合赶海 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象信息逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知， 该地当日时潮水高度最大，高度为，故选项A说法正确，不符合题意； 该地当日时和时潮水高度相同，均为3.5m，故选项B说法正确，不符合题意； 该地当日到适合赶海，故选项C说法正确，不符合题意； 该地当日到，夜间不安全，不适合赶海，故原说法错误，故选项D符合题意． 9. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，作垂足为点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】过点E作于点，由题意易得平分，根据角平分线性质得，根据勾股定理得，再由等腰三角形三线合一得． 【详解】解：过点E作于点， 由题意得平分， ，， ， ，， ， ， 故选：C． 10. 如图，，，，E，F分别是射线，上动点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】作点D关于的对称点，作点G关于的对称点，连接，，，则，，从而可得，当，E，F，在同一直线上时，的值最小，最小值为，再结合轴对称的性质和勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图所示：作点D关于的对称点，作点G关于的对称点，连接，，， 则，， ∴， 当，E，F，在同一直线上时，的值最小，最小值为， 根据对称的性质可知：，，，，， ∴，， ∴是直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 正数的两个平方根分别是和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了平方根的性质和应用，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，可得：． 【详解】解：正数的两个平方根分别是和， ． 故答案为：． 12. 在中，，，则______． 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵在中，，， ∴． 故答案为：55． 13. 如图，点O为数轴的原点，数轴上点A表示的数为，作于点O，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点C，则数轴上点C表示的数为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以得到，然后根据勾股定理即可求得的长，然后根据、，即可表示出点C表示的数． 【详解】解：点A表示的数为， ， 于点O， 是等腰直角三角形， ， 由题意得，， 数轴上点C表示数为， 故答案为：． 14. 如图，线段是底边上的高，，，动点P从点B出发，沿的方向运动至点C处停止．设的长为，的面积为，则与之间的关系式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出的长和的取值范围，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，的长为， ∴，且， ∵线段是底边上的高，， ∴的面积为， 综上，与之间的关系式为． 15. 长方形纸片中，，，点是边上一动点，连接，把沿折叠，使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质，正方形的性质与判定以及勾股定理，解题的关键熟练掌握以上知识点的应用及分类讨论思想． 【详解】如图，当共线时，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即：，解得：， 如图，当落在上时，， 此时四边形为正方形， ∴， 综上可知：的长为或， 故答案为：或． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先运算二次根式的除法，再化简二次根式即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在中，点D为上一点，且，点E为外一点，且，连接当时，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】由可得，由判定即可求解． 【详解】解：与的数量关系是：，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， 即． 18. 已知，． （1）求代数式的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式：求解即可； （2）根据完全平方公式：求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 19. 如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏： ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个； ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中； ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”； ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜． 通过游戏经验的积累，小颖发现： （1）在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率； （2）为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中． 【答案】（1） （2）十位 【解析】 【分析】（1）根据转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个，可知小颖下一次转出的数大于的概率为； （2）根据转盘上小于的数字有个，所以小颖下一次转出的数字小于的概率为，所以小颖下一次转出的数字小于的概率大，因为在十位上应该填入一个较大的数，所以数字应该放在十位上． 小问1详解】 解：转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个， 她下一次转出的数字大于的概率为； 【小问2详解】 解：由第一问可知，她下一次转出的数字大于的概率为， 转盘上小于的数字有个， 小颖下一次转出的数字小于的概率为， ， 小颖下一次转出的数字小于的概率大， 在十位上应该填入一个较大的数， 数字应该放在十位上． 20. 如图，在中，，点为边的中点，连接，为上一点，连接．若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一性质，可求得． 【详解】， ． ，点为边的中点， 平分， ． 21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A与点B均在格点上，l为网格线所在的直线． （1）标出点A关于直线l的对称点； （2）在直线l上找一点P，使得的值最小（保留作图痕迹）； （3）若在网格中有一点Q，点Q到点，点A，点B这三个点的距离均相等，则______． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3）5 【解析】 【分析】（1）根据对称的性质作图即可； （2）根据两点之间线段最短，连接交直线l于点P，即可求解； （3）取格点和，连接，，，则为线段的垂直平分线，延长交直线为，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求． 【小问2详解】 解：如上图，连接交直线l于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求． 【小问3详解】 解：如上图，取格点和，连接，，，则为线段的垂直平分线，延长交直线为，由题意知，直线l为线段的垂直平分线， 此时点Q到点，点A，点B这三个点的距离均相等， ． 22. 综合与实践 【问题背景】 某超市员工现需利用扶梯将70辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材1：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长与购物车数量的关系： 购物车数量辆 1 2 3 4 5 车身总长米 素材2：如图，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 （1）根据表格可知，购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式为______； （2）在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据增加1辆购物车，车身总长增加米，列出表达式即可； （2）利用勾股定理求出的长，再把代入求出的值，再进行比较即可． 【小问1详解】 解：根据表格，增加1辆购物车，车身总长增加米， 则， ∴车身总长与购物车数量之间的关系式为 【小问2详解】 该超市员工不能通过一次转运就将全部购物车转运完毕．理由如下： 在中利用勾股定理得：（米）， 当时，， ∵， ∴该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 23. 在小轩房间中有一个长方体衣柜和书柜，现需要购买一款扫地机器人，使其能顺利从入口处进入活动区进行清扫请根据以下信息解决问题： 房间示意图及相关尺寸说明 相关尺寸说明： 房间的平面图为长方形，其中，； 衣柜底面为长方形，其中，； 书柜底面为长方形，其中，． 扫地机器人相关信息 某型号扫地机器人的底面是直径为的圆形，当扫地机器人从入口进入活动区域时，扫地机器人的边缘距离点和点的安全距离均至少为． 请通过计算说明，该型号的扫地机器人能否顺利地从入口处进入活动区． 【答案】能顺利地从入口处进入活动区，见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再结合扫地机器人的底面是直径为的圆形，扫地机器人的边缘距离点E和点G的安全距离均至少为，可推出结论． 【详解】解：如图：，， 由勾股定理得，， 扫地机器人的底面是直径为的圆形，扫地机器人的边缘距离点和点的安全距离均至少为， ， ， 该型号的扫地机器人能顺利地从入口处进入活动区． 24. 某景区内有小石潭、花圃、石塔三个景点（且三个景点在同一直线上），图1为三个景点之间的路线图．小明与小红均从小石潭出发，依次游览小石潭、花圃、石塔，最后原路返回至小石潭． 小明骑共享单车出发游览，小明到小石潭的距离与其出发时间之间的关系如图2所示． 景区内有一班游览车从小石潭发车，在小石潭与石塔之间匀速往返行驶（上下车时间忽略不计）．小红乘坐游览车出发，小红和游览车到小石潭的距离与其出发时间之间的关系如图3所示． （1）图2中的自变量是______，因变量是______． （2）小明从小石潭出发匀速骑行到花圃，在该路段小明的速度为______，在花圃游玩后，小明以的速度骑行至石塔，则小明在花圃游玩了______ （3）游览车的平均速度是______，若小红和游览车的出发时刻均为早上，则小红在早上______（填时刻）从花圃上车前往石塔． 【答案】（1）出发时间，小明到小石潭的距离 （2）300，20 （3）400， 【解析】 【分析】（1）根据题意即可解题； （2）根据图2求出小明从小石潭到花圃的速度，进而解题； （3）由图3可知游览车往返花了20分钟，根据路程、速度、时间之间的关系计算即可． 【小问1详解】 解：依据题意可知：图2中的自变量是出发时间，因变量是小明到小石潭的距离； 【小问2详解】 解：由图2可知，当时，小明到达花圃， ，即小明从小石潭到花圃的速度为； 当时，小明到达石塔， ， ，即小明在花圃游玩了； 【小问3详解】 解：由图3可知游览车往返花了20分钟， ； ， ， 小红在早上从花圃上车前往石塔． 25. 如图，在中，，，射线交线段于点，作点关于射线的对称点．直线与直线交于点，与射线交于点，连接交于点． （1）如图，当点位于直线上时，______（用含的代数式表示）； （2）如图，当时，判断与的数量关系，并说明理由； （3）如图，当时，连接，若，，则______． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据轴对称的性质得出，从而得出，根据等边对等角得，由列出方程，求解可得答案； （2）证明，根据全等三角形性质可得结论； （3）在上截取，连接，证明，得，根据勾股定理得出的值，进而再根据勾股定理得出结果． 【小问1详解】 解：设， ∵点与点关于射线对称，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：． 理由：由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图， 在上截取，连接， ∵点与点关于射线对称，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $