第一章 空间向量与立体几何 强化训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何，通过分层题型系统覆盖向量运算、位置关系及综合应用，强化数学眼光下的空间观念与数学思维的推理运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量基本运算|6题（单选1-3、多选7、填空9-10）|含数量积、共面条件、模长计算，融合单位向量与坐标运算|从向量概念生成到运算律推导，构建“概念-运算-性质”逻辑链| |空间向量应用|8题（单选4-6、多选8、填空11-12、解答13-15）|涉及立体几何中垂直平行证明、动态问题、距离夹角计算|以向量为工具，实现几何问题代数化，体现“几何直观-向量表示-代数求解”转化思维|

第一章 空间向量与立体几何 强化训练 (时间：45分钟　分值：100分) 一、 单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1. (2025·山东菏泽高二阶段练习)已知a＝3i＋2j－k，b＝i－j＋2k(其中i，j，k是两两垂直的单位向量)，则5a与3b的数量积等于( 　) A. －15 B. －5 C. －3 D. －1 2. (2025·四川眉山高二期中)在棱长为1的正四面体ABCD中，E是AD的中点，则·等于( 　) A. B. C. D. 3. (2025·河北沧州高二期中)已知向量a＝(2，k，3)，b＝(2，5，0)，c＝(0，2，1)，若a，b，c共面，则k的值为( 　) A. 11 B. －1 C. 9 D. 3 4. (2025·江苏南通高二检测)已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中AA1＝3，BD＝4，··＝5，则cos＜＞等于( 　) A. B. C. D. 5. 如图所示，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，G为△ABC的重心，P为OG的中点，则等于( 　) A. abc B. abc C. abc D. abc 6. (2025·江苏扬州高二期中)在边长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DA，BB1的中点，M，N分别为线段D1A1，A1B1上的动点(不包括端点)，且满足EN⊥FM，则线段MN的长度的取值范围是( 　) A. B. C. (－3，2) D. [2，2) 二、 多项选择题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 7. (2025·天津高二期中)已知空间向量a＝(2，1，－1)，b＝(3，4，5)，则下列结论中，正确的是( 　) A. 5|a|＝|b| B. (2a＋b)∥a C. a⊥(5a－6b) D. a在b上的投影向量为 8. (2025·广东珠海高二检测)如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝，∠BAA1＝，∠CAA1＝，AB＝AC＝1，AA1＝2，O是B1C与BC1的交点，则下列结论中，正确的是( 　) A. () B. ||＝ C. AO⊥BC D. 平面ABC⊥平面B1BCC1 三、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9. (2025·天津北辰高二期中)设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(3，－6，3)，且a⊥c，b∥c，则|a－b|＝ .  10. (2025·湖南永州高二期中)已知向量a与b的夹角为60°，a＝(1，1，)，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影向量的模为 .  11. (2025·广西高二阶段检测)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ的值为  . 12. (2025·广东东莞高二检测)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，CC1＝C1D1＝，C1B1＝1，P为线段B1C上一点，则·的取值范围是 .  四、 解答题(本大题共3小题，共38分) 13. (10分)(2025·山东菏泽高二阶段练习)在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知底面正三角形的边长为2，三棱柱的高为3. (1)建立适当的空间直角坐标系，标出所有点的坐标； (2)设AA1中点为E，BC中点为F，求出； (3)求出cos<>. 14. (13分) (2025·福建厦门高二期中)如图所示，在矩形ABCD和ABEF中，AB＝4，AD＝AF＝3，∠DAF＝＝λ＝λ，0＜λ＜1，记＝a，＝b，＝c. (1)将用a，b，c表示出来； (2)当λ等于多少时，线段MN的长度取得最小值？求此时MN与AE夹角的余弦值. 15. (15分)如图所示，在空间中平移△ABC到△A'B'C'，连接对应顶点，设＝a，＝b，＝c，M，E分别是BC'，AA'的中点，N是B'C'上一点. (1)若N为B'C'的中点，用向量法证明：AM∥EN； (2)若AB＝AC＝1，AA'＝2，∠BAC＝60°，∠ACC'＝∠ABB'＝90°，问是否存在点N使得AM⊥EN，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 强化训练 (时间：45分钟　分值：100分) 一、 单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1. (2025·山东菏泽高二阶段练习)已知a＝3i＋2j－k，b＝i－j＋2k(其中i，j，k是两两垂直的单位向量)，则5a与3b的数量积等于(　A　) A. －15 B. －5 C. －3 D. －1 【解析】 由题意5a·3b＝15a·b＝15(3i＋2j－k)·(i－j＋2k)＝15(3i2－2j2－2k2)＝15(3－2－2)＝－15. 2. (2025·四川眉山高二期中)在棱长为1的正四面体ABCD中，E是AD的中点，则·等于(　A　) A. B. C. D. 【解析】 ∵，∴··()＝··，又||＝||＝1，||＝，<>＝，<>＝，∴·＝1×1×cos1××cos. 3. (2025·河北沧州高二期中)已知向量a＝(2，k，3)，b＝(2，5，0)，c＝(0，2，1)，若a，b，c共面，则k的值为(　A　) A. 11 B. －1 C. 9 D. 3 【解析】 由题意知a，b，c共面，则存在不全为0的实数x，y使得a＝xb＋yc，即(2，k，3)＝x(2，5，0)＋y(0，2，1)＝(2x，5x＋2y，y)，∴解得 4. (2025·江苏南通高二检测)已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中AA1＝3，BD＝4，··＝5，则cos＜＞等于(　B　) A. B. C. D. 【解析】 如图所示： ∵··＝()·()·＝()·()········()＝·＝5，∴·＝－5，∴cos<>＝. 5. 如图所示，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，G为△ABC的重心，P为OG的中点，则等于(　C　) A. abc B. abc C. abc D. abc 【解析】 连接AG，并延长AG交BC于点D，连接OD，则D为BC的中点，且AG＝AD， ()＝()＝()()＝abc. 6. (2025·江苏扬州高二期中)在边长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DA，BB1的中点，M，N分别为线段D1A1，A1B1上的动点(不包括端点)，且满足EN⊥FM，则线段MN的长度的取值范围是(　B　) A. B. C. (－3，2) D. [2，2) 【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，E(1，0，0)，F(2，2，1)，设M(x，0，2)，N(2，y，2)，其中0＜x＜2，0＜y＜2，则＝(1，y，2)，＝(x－2，－2，1)，∵⊥，∴·＝(1，y，2)·(x－2，－2，1)＝x－2y＝0，据此可得x＝2y，∵0＜x＜2，∴0＜y＜1，由空间中两点之间距离公式可得|MN|＝ ，当y＝时，|MN|＝，当y＝0时，|MN|＝2，结合二次函数的性质可得线段MN的长度的取值范围是. 二、 多项选择题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 7. (2025·天津高二期中)已知空间向量a＝(2，1，－1)，b＝(3，4，5)，则下列结论中，正确的是(　AC　) A. 5|a|＝|b| B. (2a＋b)∥a C. a⊥(5a－6b) D. a在b上的投影向量为 【解析】 空间向量a＝(2，1，－1)，b＝(3，4，5).对于A，5|a|＝5＝5|b|＝·＝5，A正确；对于B，2a＋b＝(7，6，3)，而≠，则向量2a＋b与a不共线，B错误；对于C，5a－6b＝(－8，－19，－35)，a·(5a－6b)＝2×(－8)＋1×(－19)－1×(－35)＝0，∴a⊥(5a－6b)，C正确；对于D，a·b＝5，|b|＝5，∴a在b上的投影向量为b＝b＝，D错误. 8. (2025·广东珠海高二检测)如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝，∠BAA1＝，∠CAA1＝，AB＝AC＝1，AA1＝2，O是B1C与BC1的交点，则下列结论中，正确的是(　ABD　) A. () B. ||＝ C. AO⊥BC D. 平面ABC⊥平面B1BCC1 【解析】 对于A，由图，()＝()，A正确；对于B，由A，||2＝()2＝(2·2·2·)＝⇒||＝，B正确；对于C，·()·()＝(····)＝＝1≠0，则AO与BC不垂直，C错误；对于D，取BC中点为D，连接AD，则()，又由图可得， 注意到·()·(··)＝0，则AD⊥BB1，又AD⊥BC，BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，则AD⊥平面B1BCC1，又AD⊂平面ABC，则平面ABC⊥平面B1BCC1，D正确. 三、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9. (2025·天津北辰高二期中)设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(3，－6，3)，且a⊥c，b∥c，则|a－b|＝　3　.  【解析】 ∵a⊥c，∴a·c＝0，即3x－6＋3＝0，解得x＝1，又b∥c，∴存在实数λ使得b＝λc，即解得∴a－b＝(1，1，1)－(1，－2，1)＝(0，3，0)，∴|a－b|＝＝3. 10. (2025·湖南永州高二期中)已知向量a与b的夹角为60°，a＝(1，1，)，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影向量的模为　1　.  【解析】 由a＝(1，1，)，得|a|＝＝2，则a·b＝|a||b|cos 60°＝2×6×＝6， ∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b＝2×4－6＝2，∴2a－b在a方向上的投影向量的模为＝1. 11. (2025·广西高二阶段检测)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ的值为 1. 【解析】 设＝a，＝b，＝c，则构成空间的一个基底，设AB＝1，∵BD⊥AN， ∴·＝0，∵＝b－a，＝c＋λb，∴(b－a)·(c＋λb)＝0，即b·c＋λb2－a·c－λa·b＝0，即λ＝0，解得λ＝1. 12. (2025·广东东莞高二检测)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，CC1＝C1D1＝，C1B1＝1，P为线段B1C上一点，则·的取值范围是 　.  【解析】 以C1为坐标原点，以C1D1，C1B1，C1C为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 由于CC1＝C1D1＝，C1B1＝1，设点P纵坐标为m，则C1(0，0，0)，D1(，0，0)，P(0，m，m)(0≤m≤1)，则·＝(0，m，m)·(，m，m)＝m2＝4m2－6m＋3＝4，由于0≤m≤1，当m＝时，4取最小值，当m＝0时，4取最大值3，即·的取值范围是. 四、 解答题(本大题共3小题，共38分) 13. (10分)(2025·山东菏泽高二阶段练习)在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知底面正三角形的边长为2，三棱柱的高为3. (1)建立适当的空间直角坐标系，标出所有点的坐标； (2)设AA1中点为E，BC中点为F，求出； (3)求出cos<>. 解： (1)以BC的中点O为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意知，|AO|＝，则A(，0，0)，B(0，1，0)，C(0，－1，0)，A1(，0，3)，B1(0，1，3)，C1(0，－1，3). (2)由题意知，E，F(0，0，0)，故. (3)＝(0，2，－3)，∴cos＜＞＝. 14. (13分) (2025·福建厦门高二期中)如图所示，在矩形ABCD和ABEF中，AB＝4，AD＝AF＝3，∠DAF＝＝λ＝λ，0＜λ＜1，记＝a，＝b，＝c. (1)将用a，b，c表示出来； (2)当λ等于多少时，线段MN的长度取得最小值？求此时MN与AE夹角的余弦值. 解： (1)由图知，＝λλ＝λ()λ()＝(λ－1)λ＝(λ－1)b＋λc. (2)由题意|a|＝4，|b|＝|c|＝3，a·b＝a·c＝0，c·b＝3×3cos，由(1)知＝[(λ－1)b＋λc]2＝(λ－1)2b2＋2λ(λ－1)b·c＋λ2c2＝9(λ－1)2＋9λ(λ－1)＋9λ2＝9(3λ2－3λ＋1)，∴当λ＝时，有最小值即||有最小值；此时bc，＝a＋c，＝9(3λ2－3λ＋1)＝9，故||＝，||＝＝5， 且··(a＋c)＝a·bc·bc·a|c|2＝×9＝， 设MN与AE的夹角为θ，则cos θ＝|cos<>|＝. 15. (15分)如图所示，在空间中平移△ABC到△A'B'C'，连接对应顶点，设＝a，＝b，＝c，M，E分别是BC'，AA'的中点，N是B'C'上一点. (1)若N为B'C'的中点，用向量法证明：AM∥EN； 证明： 当N为B'C'的中点时，()＝()＝(b＋c)a＝(a＋b＋c)， ()＝()＝()＝(a＋b＋c)，∴AM∥EN. (2)若AB＝AC＝1，AA'＝2，∠BAC＝60°，∠ACC'＝∠ABB'＝90°，问是否存在点N使得AM⊥EN，并说明理由. 解： 设＝λ，则λλ()＝a＋b＋λ(c－b)＝a＋(1－λ)b＋λc， 由于∠ACC'＝∠ABB'＝90°，a·b＝a·c＝0， ∴·(a＋b＋c)·a2(1－λ)b2b·cλc2＝1(1－λ)×1×1×λ＝，即·≠0，故不存在点N使得AM⊥EN. 学科网（北京）股份有限公司 $