25.3实际问题与一元二次方程（第1课时几何问题）（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦用一元二次方程解决几何问题，课堂导入先回顾直接开平方法、配方法等四种解方程方法，明确方程学习的最终目的是解决实际问题，搭建从解法到几何应用的学习支架。 其亮点在于通过“审题—设元—列方程—解方程—检验—作答”完整过程，结合连续整数直角三角形、矩形周长与面积转化等实例，培养数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。设元技巧（如对称设元）和根的检验方法帮助学生规范解题，对教师提供结构化教学流程，对学生提升问题解决能力。

第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 25.3.1 几何问题 学 习 目 标 1 2 3 能运用勾股定理、矩形面积公式等几何知识找等量关系，列一元二次方程解决实际问题. 准确挖掘几何问题中的隐含等量关系，合理检验方程根的实际意义. 经历 “审题 — 设元 — 列方程 — 解方程 — 检验 — 作答” 的完整过程，培养分析和解决实际问题的能力. 新课引入 思考 在前面的课程中，我们已经学习了哪些解一元二次方程的方法？这些方法的关键思想或注意事项是什么？ ①直接开平方法（平方根的意义） ②配方法（配一次项系数一半的平方） ③公式法（先比较与0的大小） ④因式分解法（提公因式、完全平方公式、十字相乘） 学习方程的最终目的是为了解决实际问题，今天我们就一起来探究如何用一元二次方程解决我们非常熟悉的几何图形问题。 3 新知探究 直角三角形边长问题 探究 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 想一想 三个连续正整数可以怎么表示？ 设最短边为 ,则另外两边为 由勾股定理，得 解方程，得 4 拓展思考 直角三角形边长问题 如果把 "三个连续正整数" 改成 "三个连续偶数"，这样的直角三角形存在吗？如果存在，三边长是多少？ 【分析】要判断三个连续偶数能否构成直角三角形，需结合勾股定理验证：设三个连续偶数为 、、（ 为正整数，最大数 为斜边），若两短边平方和等于长边平方，则存在这样的直角三角形. 解：根据勾股定理列方程： 化简得： 解得 ( 舍去，边长不能为 0) 对应三边长为 6、8、10。 5 知识小结 直角三角形问题技巧总结 设元技巧：通常设最小的数为, 其余数用、(或 、)表示 等量关系：直角三角形问题必须明确斜边是最长边， 避免将直角边和斜边混淆 根的检验技巧：几何问题中，边长、长度等物理量必须为正数， 所有负根一律舍去； 若涉及三角形三边关 系，还需检验两边之和大于第三边. 6 新知探究 矩形周长与面积问题 探究 用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 想一想 细绳的长度对应矩形的什么量？ 细绳的长度对应矩形的周长 如果设矩形的一边长为 ，你能用含 的式子表示出它的邻边长吗？ 因为周长为 ，所以长 + 宽 = 邻边长为 7 新知探究 解：设矩形的一边长为 m,由矩形的周长为 40 m, 可得此边的邻边长为;再由矩形的面积为96 m,得 解方程，得 用一根长为 的细绳可以围成面积 为 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为 方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 8 想一想 这两种设法有什么不同？哪种设法解方程更简便？为什么？ 新知探究 思考 除了刚才的设法，我们还有其他设未知数的方法吗？ ②设一边长为，那么邻边长为 ①可设一边长为 ,那么其邻边长为 9 常规设 、：直观通用、易列方程、略繁。 新知探究 设 、：面积直写、分式方程、步骤稍多。 对称设 、：和为定值、平方差、最简最快。 10 新知巩固 因式分解法解方程 如图，要把长为、宽为的长方形花坛四周扩展相同的宽度，得到面积为的新长方形花坛，则的值为（ ） A. B. C. D. 【分析】利用长方形的面积计算公式，结合新长方形花坛的面积为，即可得出关于的一元二次方程． 解：设扩展的宽度为， 依题意，得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去） 故选：D． 11 知识小结 矩形问题技巧总结 矩形问题核心是周长与面积的转化， 已知周长时，先求出“长 + 宽”的和， 再用一个未知数表示长和宽， 最后根据面积列方程。 设元技巧：当已知两个数的和为定值 时， 可设这两个数为 和 ， 利用平方差公式简化解方程过程 根的理解：若方程的两个根互为长和宽，且没有规定 “长 > 宽”， 则这两个根对应的是同一个矩形，不能认为是两个不同的矩形。 12 巩固训练1 直角三角形边长问题 是否存在三边长是三个连续奇数的直角三角形？如果存在，求出三边长；如果不存在，说明理由. 【分析】设未知数表示三边，利用勾股定理列方程；斜边必为最长边，负根和不符合边长条件的根直接舍去. 设三个连续奇数分别为 、、 根据勾股定理列方程： 展开整理： 因式分解： 解得：，（均不符合题意，舍去） 因此不存在三边长为三个连续奇数的直角三角形 13 巩固训练1 直角三角形边长问题 变式题 1.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在△ABC中，．若设，则可列方程（ ） A. B. C. D. 解：∵AB+AC=10，AC= ∴． 依题意得： 即． 故选：D． 14 巩固训练2 矩形周长与面积基础问题 【分析】由周长先求 长 + 宽的和，用一个未知数表示长和宽，再根据面积公式列方程． 用 篱笆围矩形菜园，面积 ，求长和宽. 解：矩形周长 长 宽 设矩形的长为 ，则宽为 根据面积公式： 整理： 因式分解： 解得：， 答：矩形菜园的长为 ，宽为 . 15 变式题 巩固训练2 矩形周长与面积基础问题 矩形周长 ，面积 ，求长和宽. 解： 矩形周长 长 宽 设矩形的长为 则宽为 根据面积公式： 整理： 因式分解： 解得： ， 答：矩形的长为 ，宽为 16 巩固训练3 靠墙围矩形问题 【分析】围栏仅围矩形三边，根据 “三边总长 = 围栏长” 表示出平行边，再用面积公式列方程． 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 解：设矩形的宽为 则矩形的宽为， ∴ 故选：A. 17 变式题 巩固训练3 靠墙围矩形问题 如图，要利用一面墙（墙长为）建猪圈，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形猪圈，则猪圈的边长为______． 【详解】解：设的长度为，则的长度为． 根据题意，得， 解得，， 则或． ， 舍去， ． 所以，猪圈的边长为是． 18 课堂总结 本节课你学到了什么？ 19 感谢聆听! 20 $