01讲 二次函数的概念 预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数概念这一核心知识点，系统梳理二次函数的定义、一般式，以及二次函数的辨别、根据实际情境列函数关系式、依据定义求参数值等关键题型，构建从概念理解到应用实践的递进式学习支架。 该资料通过分层设计的题型专练与巩固练习，结合销售利润、矩形面积等现实情境实例，培养学生的抽象能力、模型意识和推理能力。课中助力教师高效授课，课后便于学生针对性练习，有效查漏补缺，强化知识应用。

第二十六章二次函数 01讲二次函数的概念 >慰型归纳 【知识点1二次函数… …1】 【题型1.二次函数的辨别… 1】 【题型2.列二次函数 2】 【题型3.根据二次函数的定义求参数 …3】 【巩固练习… …4】 知识清单 知识点1二次函数 1.定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数. 其中，x是自变量，α，b,c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项. 2.二次函数的一般式：任何一个二次函数的解析式，都可以化成y=ax2+bx+ c(a,b,c是常数，a≠0)的形式，因此，把y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)叫作二 次函数的一般式. >题型专练 题型1.二次函数的辨别 【例1】下列函数中，属于二次函数的是() A.y=V2x2-3 B.y=(x+2)2-x2 1/5 C.y=-3x2+1 D.y=3 【例2】函数解析式y=x2+2x一1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是() A.1,2,1 B.1,2,-1 C.0,2,-1 D.0,-2,-1 【例3】函数y=x(2x-1) 二次函数.（填“是”或者“不是”） 【变式1】下列函数中，是二次函数的是() A.y=3x-1 B.y- C.y=x-5)2-x2 D.y=x2+x-3 【变式2】下列函数：①y=x2:②y=x2+1:③y=(x+1)x-1):④y=:⑤y=Vx2+4: ⑥y=+号(a为常数)：⑦y=3(x+1)2-1,其中是二次函数的有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【变式3】给出下列函数：①y=(-1)2-2+1:②y=-2x2-1:③y=(伯+x-1:④y 2x2-x-1;⑤y=ax2+bx+c;⑥y=3x3-2x2.其中二次函数的个数为(） A.1 B.2 C.3 D.4 【变式4】己知二次函数y=1-5x+3x2,则一次项系数b= 【变式5】已知函数：①y=2x-1;②y=-2x2-1;③y=3x3-2x2;④y=2(x+3)2-2x2; ⑤y=a2+bx+c:⑥y=X2+是+5.其中是二次函数的是 (填序号) 题型2.列二次函数 【例1】某商店销售一种商品，每件成本为α元，售价为x元，每天可销售(100一10x)件，则每天 的利润y(元)与售价x(元)之间的函数关系式是() A.y=(x-a)(100-10x) B.y=(x+a)(100-10x) C.y=(x-a)(10x-100) D.y=(x+a)(10x-100) 【例2】一个正方形的边长为8cm,它的边长增加xcm后，得到新的正方形的面积为ycm2,则y关 于x的函数解析式为 【变式1】下列变量间具有二次函数关系的是() A.正方形的周长y与边长x B.正方形的面积S与边长x C.三角形的高一定时，面积y与底边长xD.速度一定时，路程s与时间t 【变式2】某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长18m),墙对面有一个2m宽 2/5 的门，另外三边用木栏围成，木栏长30m,若鸡场的宽为xm,养鸡场面积为Sm2,则S与x之间的 函数关系式为() A.S=x(30-2x) B.S=x(32-2x) C.S=x(28-2x) D.S=x(30-x) 【变式3】用一根长为100cm的铁丝，把它折成一个长方形框.设长方形的宽为xcm,面积为ycm2, 则y关于x的函数关系式是 ·(化成一般式，不需写出取值范围) 【变式4】小亮爸爸想用长为80m的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长 度为28m),另外三边用栅栏围成.设矩形与墙垂直的一边长为xm,面积为ym,则y与x的函数关 系式是 (写出自变量x的取值范围) 【变式5】西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元.调查发现，当销售价为120元 时，平均每天能售出80个：而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个，设每个宁萌公 仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为 (化为一般式) 题型3：根据二次函数的定义求参数 【例1】已知y=(m+1)x2+2x-3是二次函数，则m的取值范围是() A.m>-1 B.m<-1 C.m≠1 D.m≠-1 【例2】如果函数y=(k-3)x2-3k+2+kx+1是关于x的二次函数，则k= 【变式1】己知y=(m+2)xm是关于x的二次函数，那么m的值为() A.-2 B.2 C.±2 D.0 ) 【变式2】若是关于x的二次函数y=(a+3)xla-1-x+1,则a的值是( A.-3 B.2 C.3 D.-3或3 【变式3】若y=(m-2)xml+3x+1是关于x的二次函数，则m的值为 【变式4】已知y=axa2-2a+2是二次函数，求a的值. 【变式5】已知y=(a2+a)xa2-2a-1-ax是y关于x的二次函数，求a的值并指出二次项系数、一 次项系数和常数项. 3/5 >巩固练习 1.(25-26八年级下山东东营期中)下列各式中，y是x的二次函数的是() A.y=2x-3 B.y=x2-5x+13 C.y=ax2+bx+c D.y=x2-+2 2.(25-26八年级下浙江宁波期中)若函数y=(m-2)xm2-2+x是关于x的二次函数，则m为() A.2 B.±2 C.-2 D.0 3.(2026上海闵行·二模)下列函数，图象不是一条直线的是(). A.y=x2 B.y=x+1 C.y=1 D.y=x 4.（2026河南周口一模)下列各式中，y是关于x的二次函数的是() A.y= B.x2-y+2=0C.y=2x+1 D.y2=x2-1 5.(25-26九年级上安徽安庆期末)在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能， 其满足关系E=mw2,则下列说法正确的是（) A.当m一定时，E与v满足一次函数关系B.当m一定时，E与v满足二次函数关系 C.当v一定时，E与m不满足函数关系D.当v一定时，E与m满足二次函数关系 6.（25-26九年级上·广东珠海·期末)公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定.经 销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率x,请问 9月份的销售量y关于每月增加的百分率x的函数解析式是() A.y=1500(1+x)2 B.y=1500+(1-x)2 C.y=(1+x)2+1500 D.y=x2+1500 7.（25-26九年级上河北唐山期末)若函数y=口-5x+3是二次函数，则“o”可以是(). A.y B.22 C.x2 D.2x 8.(25-26九年级上云南玉溪期中)已知二次函数y=x2+bx+c可化为y=(x-2)2-3的形式， 则b+c的值是() A.-3 B.3 C.-5 D.5 9.(2026甘肃白银·模拟预测)若y=(a-3)xa2-2a-1-2是二次函数，则a= 10.(25-26九年级上广东江门期中)若函数y=(m-3)xm-1+2x-1是关于x的二次函数，则m 的值为一 4/5 11.(25-26九年级上河南周口.期末)若二次函数y=2x2-ax+2a-1的图象经过点(-1,4)，则a 的值为 12.(25-26九年级上河南南阳期中)写出一个顶点在原点的抛物线解析式为 13.(25-26九年级上江苏徐州期末)某化肥厂10月份生产某种化肥200t,如果11、12月的月平 均增长率为x,则12月份化肥的产量y()与x之间的函数关系式为 14.(25-26九年级上河南南阳·期末)已知二次函数y=(m+2)x2+3x+m2-4的常数项为零， 则m的值为一 15.（25-26九年级上·安徽准北期中)在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人， 若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为 16.(25-26九年级上.广西崇左·期末)已知函数y=(m+2)xm2-2(m为常数)，求当m为何值时： (1y是x的一次函数？ (2y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标 17.(25-26九年级上.安徽安庆期末)已知函数y=(a+1)xa+1+(a-3)x+a,其中a为常数. (1)当a取什么值时，它为二次函数？ (2)当a取什么值时，它为一次函数？ 5/5 第二十六章 二次函数 01讲 二次函数的概念 题型归纳 【知识点1 二次函数 1】 【题型1. 二次函数的辨别 1】 【题型2. 列二次函数 2】 【题型3. 根据二次函数的定义求参数 3】 【巩固练习 4】 知识清单 知识点1 二次函数 1.定义：一般地，形如的函数，叫作二次函数. 其中，是自变量，分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项. 2.二次函数的一般式：任何一个二次函数的解析式，都可以化成的形式，因此，把叫作二次函数的一般式. 题型专练 题型1. 二次函数的辨别 【例1】下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例3】函数______二次函数．（填“是”或者“不是”） 【变式1】下列函数中，是二次函数的是（） A． B． C． D． 【变式2】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3】给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4】已知二次函数，则一次项系数__________ 【变式5】已知函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次函数的是________（填序号） 题型2. 列二次函数 【例1】某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【例2】一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【变式1】下列变量间具有二次函数关系的是（   ） A．正方形的周长y与边长x B．正方形的面积S与边长x C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．速度一定时，路程s与时间t 【变式2】某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长，若鸡场的宽为，养鸡场面积为，则S与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式3】用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围） 【变式4】小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为），另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是______（写出自变量的取值范围） 【变式5】西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为______________(化为一般式) 题型3. 根据二次函数的定义求参数 【例1】已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例2】如果函数是关于x的二次函数，则________． 【变式1】已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【变式2】若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【变式3】若是关于的二次函数，则的值为______． 【变式4】已知是二次函数，求a的值． 【变式5】已知是y关于x的二次函数，求a的值并指出二次项系数、一次项系数和常数项． 巩固练习 1．（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·上海闵行·二模）下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 4．（2026·河南周口·一模）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 6．（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河北唐山·期末）若函数是二次函数，则“”可以是（    ）． A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）已知二次函数可化为的形式，则的值是(    ) A． B．3 C． D．5 9．（2026·甘肃白银·模拟预测）若是二次函数，则_______． 10．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 11．（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 12．（25-26九年级上·河南南阳·期中）写出一个顶点在原点的抛物线解析式为__________ 13．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 14．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 15．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 16．（25-26九年级上·广西崇左·期末）已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 17．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 01讲 二次函数的概念 题型归纳 【知识点1 二次函数 1】 【题型1. 二次函数的辨别 1】 【题型2. 列二次函数 5】 【题型3. 根据二次函数的定义求参数 8】 【巩固练习 10】 知识清单 知识点1 二次函数 1.定义：一般地，形如的函数，叫作二次函数. 其中，是自变量，分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项. 2.二次函数的一般式：任何一个二次函数的解析式，都可以化成的形式，因此，把叫作二次函数的一般式. 题型专练 题型1. 二次函数的辨别 【例1】下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 【例2】函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 【例3】函数______二次函数．（填“是”或者“不是”） 【答案】是 【分析】本题主要考查了二次函数的识别，解题的关键是掌握二次函数的定义． 通过将函数表达式化为一般形式，判断其是否符合二次函数的定义． 【详解】解：函数可展开为，该形式为，其中，因此是二次函数． 故答案为：是． 【变式1】下列函数中，是二次函数的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数一般形式是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数.逐一检查各选项，A为一次函数，B为反比例函数，C化简后为一次函数，D符合二次函数定义. 【详解】解：∵二次函数的标准形式为， 对于A:，最高次项为一次，不是二次函数； 对于B:，是分式函数，不是整式，不是二次函数； 对于C:，化简后为一次函数，不是二次函数； 对于D:，符合二次函数定义．. 故选：D． 【变式2】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 【变式3】给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：①函数不是二次函数； ②函数是二次函数； ③函数不是二次函数； ④函数是二次函数； ⑤当时，函数不是二次函数； ⑥函数不是二次函数； ∴二次函数有②④，共2个， 故选：B． 【变式4】已知二次函数，则一次项系数__________ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是掌握：形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数，其中是自变量，、、分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴一次项系数． 故答案为：． 【变式5】已知函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次函数的是________（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的整式函数是二次函数，据此逐一判断函数类型是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如 （其中 ）的函数是二次函数，逐一判断各函数． 【详解】解：① 是一次函数，不是二次函数； ② 满足 ，是二次函数； ③ 是三次函数，不是二次函数； ④ ，化简后为一次函数，不是二次函数； ⑤ 中 可能为0，不一定是二次函数； ⑥ 含有分式项，不是整式函数，不是二次函数． 故答案为：②． 题型2. 列二次函数 【例1】某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列函数关系式，利润由每件利润乘以销售数量得出，每件利润为售价减成本，销售数量由题干给出，由此可解． 【详解】解：∵ 每件利润为元，每天销售件， ∴ 每天利润 ． 故选：A． 【例2】一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【答案】 【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式． 【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知， ∴． 【变式1】下列变量间具有二次函数关系的是（   ） A．正方形的周长y与边长x B．正方形的面积S与边长x C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．速度一定时，路程s与时间t 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义（形如，其中），逐一分析各选项变量间的关系式，判断是否为二次函数即可． 【详解】解：A．正方形的周长与边长的关系为，是一次函数，不符合题意； B．正方形的面积与边长的关系为，符合二次函数形式，符合题意； C．三角形的高一定时，面积与底边的关系为（为定值），是一次函数，不符合题意； D．速度一定时，路程与时间的关系为（为定值），是一次函数，不符合题意； 故选：B． 【变式2】某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长，若鸡场的宽为，养鸡场面积为，则S与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据长方形的面积公式列出函数关系式即可. 【详解】解：设鸡场的宽为． 由题意可得：， ∴. 故选：B 【变式3】用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围） 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式．根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案． 【详解】解：由题意得：长方形的长为， ∴， 故答案为：． 【变式4】小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为），另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是______（写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则矩形平行于墙的一边长为，根据矩形的面积公式可求出与的函数关系式，再根据题意求出自变量的取值范围即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则矩形平行于墙的一边长为， ∴， 又由题意得，， 解得， ∴与的函数关系式为， 故答案为：． 【变式5】西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为______________(化为一般式) 【答案】 【分析】本题考查根据题意列二次函数解析式． 根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，再化为一般式即可． 【详解】由题意，可列y关于x的函数关系式为：． 故答案为：． 题型3. 根据二次函数的定义求参数 【例1】已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 【例2】如果函数是关于x的二次函数，则________． 【答案】0 【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0，且x的最高次数为2，据此列方程与不等式求解即可得到k的值． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解方程，解得或． 由得， 因此． 【变式1】已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】二次函数要求的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出关于的条件即可求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴，且， 解得， 解得， ∴． 【变式2】若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义．需满足自变量最高次数为2且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数． ∴根据二次函数定义可得： 由，得， 即或 又∵， ∴ ∴． 故选：C 【变式3】若是关于的二次函数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：根据题意可知，且，所以． 故答案为： 【变式4】已知是二次函数，求a的值． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的定义，解题的核心是紧扣二次函数的两个关键条件：一是自变量的最高次数为2，二是二次项系数不为0． 根据已知可得且，即可求解． 【详解】解：是二次函数， ， 解得或， 又， ． 【变式5】已知是y关于x的二次函数，求a的值并指出二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】；二次项系数、一次项系数和常数项分别为12，和0 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的一般形式，既要保证自变量的最高次数是，又要保证二次项系数不为． 根据二次函数的定义来确定未知数的指数和系数的条件，从而求解的值，再确定各项系数． 【详解】解：根据题意，得，解得，． 又， 且， ， ， ． 二次项系数为、一次项系数为、常数项为． 巩固练习 1．（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 3．（2026·上海闵行·二模）下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图象特征作出判断即可． 【详解】解：对于选项A：是二次函数，图象是一条抛物线，符合题意； 对于选项B： 是一次函数，图象是一条直线，不符合题意； 对于选项C： 是一条平行于轴的直线，不符合题意； 对于选项D： 是正比例函数，图象是一条直线，不符合题意． 4．（2026·河南周口·一模）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 5．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数的定义，熟练掌握一次函数与二次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数，二次函数的定义，即可判断． 【详解】解：∵一次函数的形式为（，、为常数），二次函数的形式为（，、、为常数） ①当一定时，令（为常数且），则，符合二次函数的形式，∴与满足二次函数关系，故A不符合题意，B符合题意； ②当一定时，令（为常数且），则，符合一次函数的形式，∴与满足一次函数关系，故C、D不符合题意．. 故选：B． 6．（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 7．（25-26九年级上·河北唐山·期末）若函数是二次函数，则“”可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 一般地，形如（为常数，）的函数是二次函数，据此可得答案． 【详解】解：根据二次函数的定义，“”可以是． 故选：C． 8．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）已知二次函数可化为的形式，则的值是(    ) A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式化成一般式确定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的关键． 【详解】解： ∴，， ∴． 故选：A． 9．（2026·甘肃白银·模拟预测）若是二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为0，且自变量的最高次数为2， 即， 整理，得， ∴， ∴， 解得或， 结合， 可得． 10．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可. 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . 11．（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 12．（25-26九年级上·河南南阳·期中）写出一个顶点在原点的抛物线解析式为__________ 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了抛物线的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 顶点在原点的抛物线解析式通常表示为或，其中为不等于零的常数，然后即可求解； 【详解】解：抛物线是二次函数的基本形式，其顶点坐标可通过配方或直接观察得出为，因此满足顶点在原点的条件， 故答案为：； 13．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为，12月份产量为，从而得到函数关系式． 【详解】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为， 故， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，解一元一次不等式． 根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解． 【详解】解：∵二次函数的常数项为零， ∴，即， ∴或． 又∵函数为二次函数， ∴二次项系数， ∴， ∴． 故答案为：2． 15．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据病毒传播模型，每轮传染中每人传染x人，最初1人感染，经过两轮传染，总感染人数y等于. 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为. 故答案为： 16．（25-26九年级上·广西崇左·期末）已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【答案】(1) (2)，纵坐标为的点的横坐标 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 17．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案； （）根据二次项系数等于零且一次项系数不等于零是一次函数，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当，即时，原函数为，是一次函数； 当即时，原函数为，也是一次函数， 综上所述，当或时，是一次函数． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $第二十六章二次函数 01讲二次函数的，念 >慰型归纳 【知识点1二次函数… …1】 【题型1.二次函数的辨别… 1】 【题型2.列二次函数 5】 【题型3.根据二次函数的定义求参数 …8】 【巩固练习… …10】 知识清单 知识点1二次函数 1.定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函 数 其中，x是自变量，α，b,c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项. 2.二次函数的一般式：任何一个二次函数的解析式，都可以化成y=ax2+bx+ c(a,b,c是常数，a≠0)的形式，因此，把y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 叫作二次函数的一般式。 思型专练 题型1.二次函数的辨别 【例1】下列函数中，属于二次函数的是() 1/17 A.y=V2x2-3 B.y=(x+2)2-x2 C.y=-3x2+1 0.y= 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 的整式函数，据此逐一分析选项即可。 【详解】解：A.y=√2x2-3不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B.y=(x+2)2-x2=x2+4x+4-x2=4x+4,该函数是一次函数，不是二次函数， 故不符合题意； C.y=-3x2+1符合y=ax2+bx+c(a=-3≠0，b=0,c=1)的形式，是二次函数， 故符合题意： D.y=是不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C 【例2】函数解析式y=x2+2x-1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是() A.1,2,1 B.1,2,-1 C.0,2,-1 D.0,-2,-1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式y=ax2+bx+c(a≠0)中各 系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键。 【详解】解：，'二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c(a≠0，a为二次项系数，b为一次 项系数，c为常数项)， ∴.函数解析式y=x2+2x-1中二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是-1， 故选：B. 【例3】函数y=x(2x-1)】 二次函数.（填“是"或者“不是”） 【答案】是 【分析】本题主要考查了二次函数的识别，解题的关键是掌握二次函数的定义. 通过将函数表达式化为一般形式，判断其是否符合二次函数的定义. 【详解】解：函数y=x(2x-1)可展开为y=2x2-x,该形式为y=ax2+bx+c,其中a= 2≠0，因此是二次函数. 故答案为：是 【变式1】下列函数中，是二次函数的是() 2/17 A.y=3x-1 B.y=月 C.y=(x-5)2-x2 D.y=x2+x-3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数一般形式是解题的关键. 根据二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数是二次函数逐一检查各选项，A 为一次函数，B为反比例函数，C化简后为一次函数，D符合二次函数定义 【详解】解：，二次函数的标准形式为y=ax2+bx+c(a≠0)， 对于Ay=3x-1,最高次项为一次，不是二次函数： 对于By=,是分式函数，不是整式，不是二次函数： 对于Cy=(x-5)2-x2=x2-10x+25-x2=-10x+25,化简后为一次函数，不是二 次函数： 对于Dy=x2+x-3,符合二次函数定义.. 故选：D. 【变式2】下列函数：①y=x2;②y=x2+1;③y=(x+1)x-1):④y=:⑤y= V+4:⑥y-a为常数：⑦y=3(x+12-1,其中是=次函数的有（) A.3个 B.4个 c.5个 D.6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数， 且a≠0)的函数叫做二次函数. 【详解】解：①符合定义，是二次函数. ②符合定义，是二次函数 ③y=(x+1)x-1)=x2-1,符合定义，是二次函数. ④不符合定义，不是二次函数. ⑤不符合定义，不是二次函数 ⑥y=器=点2+品因为a为常数，所以2+2≥2≠0，符合定义，是=次函数。 ⑦y=3(x+1)2-1=3x2+6x+2,符合定义，是二次函数. 综上所述，符合条件的二次函数共5个，故选C. 【变式3】给出下列函数：①y=x-1)2-x2+1:②y=-2x2-1:③y=(月+x-1: 3/17 ④y=2x2-x-1;⑤y=ax2+bx+c:⑥y=3x3-2x2.其中二次函数的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c 是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可. 【详解】解：①函数y=(x-1)2-x2+1=x2-2x+1-x2+1=-2x+2不是二次函数： ②函数y=-2x2-1是二次函数： 国函数y=(（目+x-1不是=次函数： ④函数y=2x2-x-1是二次函数 ⑤当a=0时，函数y=ax2+bx+c不是二次函数： ⑥函数y=3x3-2x2不是二次函数： 二次函数有②④，共2个， 故选：B 【变式4】已知二次函数y=1-5x+3x2,则一次项系数b= 【答案】-5 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是掌握：形如y=ax2+bx+c(a、b、c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次 项系数、一次项系数和常数项.据此解答即可. 【详解】解：：y=1-5x+3x2=3x2-5x+1, 一次项系数b=-5. 故答案为：-5. 【变式5】已知函数：①y=2x-1:②y=-2x2-1:③y=3x3-2x2;④y=2(x+3)2 2x2;⑤y=ax2+bx+c;⑥y=x2++5.其中是二次函数的是 (填序号) 【答案】② 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如y=ax2+bx+c(a≠0)的整式函数是二次 函数，据此逐一判断函数类型是解题的关键. 根据二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c(其中a≠0)的函数是二次函数，逐一判断 各函数。 【详解】解：①y=2x-1是一次函数，不是二次函数； 4/17 ②y=-2x2-1满足a=-2≠0，是二次函数： ③y=3x3-2x2是三次函数，不是二次函数： ④y=2(x+3)2-2x2=2(x2+6x+9)-2x2=2x2+12x+18-2x2=12x+18,化简 后为一次函数，不是二次函数： ⑤y=ax2+bx+c中a可能为0，不一定是二次函数： ⑥y=x2++5含有分式项，不是整式函数，不是二次函数. 故答案为：② 题型2.列二次函数 【例1】某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售(100-10x)件， 则每天的利润y(元)与售价x(元)之间的函数关系式是() A.y=(x-a)(100-10x) B.y=(x+a)(100-10x) C.y=(x-a)(10x-100) D.y=(x+a)(10x-100) 【答案】A 【分析】本题考查列函数关系式，利润由每件利润乘以销售数量得出，每件利润为售价减成 本，销售数量由题干给出，由此可解. 【详解】解：每件利润为(x-a)元，每天销售(100-10x)件， .每天利润y=(x-a)(100-10x). 故选：A, 【例2】一个正方形的边长为8cm,它的边长增加xcm后，得到新的正方形的面积为ycm2, 则y关于x的函数解析式为 【答案】 y=x2+16x+64(x≥0) 【分析】先根据题意得到新正方形的边长.再利用正方形面积公式列出y与x的关系式.整理 后即可得到函数解析式。 【详解】由题意可知，原正方形边长为8cm,边长增加xcm后，新正方形的边长为(8+x)cm 根据正方形面积公式，可得：y=(8+x)2 展开整理得：y=x2+16x+64 由x的实际意义可知x≥0， 5/17 y=x2+16x+64(x≥0). 【变式1】下列变量间具有二次函数关系的是() A.正方形的周长y与边长x B.正方形的面积S与边长x C.三角形的高一定时，面积y与底边长x D.速度一定时，路程s与时间t 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义. 根据二次函数的定义（形如y=ax2+bx+c,其中a≠0），逐一分析各选项变量间的关系 式，判断是否为二次函数即可. 【详解】解：A.正方形的周长y与边长x的关系为y=4x,是一次函数，不符合题意： B.正方形的面积S与边长x的关系为S=x2,符合二次函数形式，符合题意： C.三角形的高一定时，面积y与底边x的关系为y=hx(h为定值)，是一次函数，不符合 题意： D.速度一定时，路程s与时间t的关系为s=vt(为定值)，是一次函数，不符合题意： 故选：B 【变式2】某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长18m),墙对面有一个 2m宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长30m,若鸡场的宽为xm,养鸡场面积为Sm2, 则S与x之间的函数关系式为() A.S=x(30-2x) B.S=x(32-2x) C.S=x(28-2X) D.S=x(30-X) 【答案】B 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据长方形的面积公式列出函数关系式即可. 【详解】解：设鸡场的宽为xm, 由题意可得：S=x(30+2-2x), .S=x(32-2x). 故选：B 【变式3】用一根长为100cm的铁丝，把它折成一个长方形框.设长方形的宽为xcm,面 积为ycm2,则y关于x的函数关系式是 (化成一般式，不需写出取值范围) 6/17 【答案】y=-x2+50x 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式.根据长方形的宽和周长表示出长 方形的长为(50-x)cm,再根据长方形的面积公式可得答案. 【详解】解：由题意得：长方形的长为(50-x)cm, ∴y=x(50-x)=-x2+50x, 故答案为：y=-x2+50x 【变式4】小亮爸爸想用长为80m的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙 (墙的长度为28m),另外三边用栅栏围成.设矩形与墙垂直的一边长为xm,面积为ym, 则y与x的函数关系式是 (写出自变量x的取值范围) 【答案】y=-2x2+80x(26≤x<40) 【分析】本题考查了二次函数的应用，设矩形与墙垂直的一边长为xm,面积为ym,则矩形 平行于墙的一边长为(80-2x)m,根据矩形的面积公式可求出y与x的函数关系式，再根据 题意求出自变量x的取值范围即可，理解题意是解题的关键 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为xm,面积为ym,则矩形平行于墙的一边长为(80 2x)m, .y=x(80-2x)=-2x2+80x, 又由题意得， (80-2x>0 (80-2x≤281 解得26≤x<40, ∴y与x的函数关系式为y=-2x2+80x(26≤x<40), 故答案为：y=-2x2+80x(26≤x<40): 【变式5】西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元.调查发现，当销售价 为120元时，平均每天能售出80个：而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个.设 每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为 (化为一般式) 【答案】y=-5x2+270x+5600 【分析】本题考查根据题意列二次函数解析式。 根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，再化为一般式即可。 7/17 【详解】由题意，可列y关于x的函数关系式为：y=(120-50-x)(80+5x)=-5x2+ 270x+5600. 故答案为：y=-5x2+270x+5600. 题型3。根据二次函数的定义求参数 【例1】已知y=(m+1)x2+2x-3是二次函数，则m的取值范围是() A.m>-1 B.m<-1 C.m≠1 D.m≠-1 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为0的要求，列不等式求解即可. 【详解】解：，二次函数的二次项系数不能为0，y=(m+1)x2+2x-3是二次函数， .m+1≠0， 解得m≠-1. 【例2】如果函数y=(k-3)xk2-3k+2+kx+1是关于x的二次函数，则k= 【答案】0 【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0，且x的最高次数为2，据此列方程与 不等式求解即可得到k的值。 【详解】解：根据二次函数的定义，利：33，”2 解方程k2-3k+2=2,解得k=0或k=3. 由k-3≠0得k≠3， 因此k=0. 【变式1】己知y=(m+2)xm是关于x的二次函数，那么m的值为( A.-2 B.2 C.±2 D.0 【答案】B 【分析】二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出关于的条件即 可求解， 【详解】解：：y=(m+2)xlm是关于x的二次函数， .lml=2,且m+2≠0， 解|ml=2得m=士2， 解m+2≠0得m≠-2， 8/17 .m=2. 【变式2】若是关于x的二次函数y=(a+3)xl1一x+1,则a的值是( A.-3 B.2 C.3 D.-3或3 【答案】c 【分析】本题考查二次函数的定义.需满足自变量最高次数为2且二次项系数不为0，据此 列方程与不等式求解即可。 【详解】解：，函数y=(a+3)xla-1-x+1是关于x的二次函数. 根据二次函数定义可得： flal-1=2 (a+3≠0 lal-1=2,得|a=3, 即a=3或a=-3 又a+3≠0， a≠-3 .a=3. 故选：C 【变式3】若y=(m-2)xm+3x+1是关于x的二次函数，则m的值为 【答案】-2 【分析】本题主要考查二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0) 的函数叫做二次函数， 【详解】解：根据题意可知ml=2,且m-2≠0，所以m=-2. 故答案为：-2 【变式4】已知y=axa2-2a+2是二次函数，求a的值. 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的定义，解题的核心是紧扣二次函数的两个关键条件：一是自变 量的最高次数为2，二是二次项系数不为0. 根据已知可得a2-2a+2=2且a≠0，即可求解. 【详解】解：y=aQ2-2a+2是二次函数， a2-2a+2=2, 解得a=0或a=2, 又a≠0， 9/17 a=2. 【变式5】已知y=(a2+a)x2-2a-1-ax是y关于x的二次函数，求a的值并指出二次项系 数、一次项系数和常数项 【答案】Q=3;二次项系数、一次项系数和常数项分别为12，-3和0 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的一般形式，既要保证自变 量的最高次数是2，又要保证二次项系数不为0. 根据二次函数的定义来确定未知数的指数和系数的条件，从而求解α的值，再确定各项系数. 【详解】解：根据题意，得a2-2a-1=2,解得a1=3,a2=-1. 又a2+a≠0， .a≠0且a≠-1， a=3, a2+a=12, y=12x2-3x. 二次项系数为12、一次项系数为-3、常数项为0. >巩固练习 1.（25-26八年级下山东东营·期中)下列各式中，y是x的二次函数的是() A.y=2x-3 B.y=x2-5x+13 C.y=ax2+bx+c D.y=x2-+2 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 的函数，叫做二次函数， ,选项A中y=2x-3是一次函数， A不符合题意 ,选项B中y=x2-5x+13,符合二次函数的定义， ∴B符合题意： 10/17 ,选项C中y=ax2+bx+c,未说明a≠0，当a=0时不是二次函数， ∴.C不符合题意： :选项D中y=x2-+2里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， D不符合题意。 2.（25-26八年级下·浙江宁波·期中)若函数y=(m-2)xm2-2+x是关于x的二次函数，则m 为() A.2 B.±2 C.-2 D.0 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0， 据此列出关系式即可求出m的值 【详解】解：函数y=(m-2)xm2-2+x是关于x的二次函数， m-2≠0，且m2-2=2, 解方程m2-2=2,即m2=4, 解得m=2或m=-2, 又，m-2≠0， m≠2， m=-2. 3.（2026·上海闵行·二模)下列函数，图象不是一条直线的是(). A.y=x2 B.y=x+1 C.y=1 D.y=x 【答案】A 【分析】根据一次函数图象特征作出判断即可. 【详解】解：对于选项A:y=x是二次函数，图象是一条抛物线，符合题意； 对于选项B: y=x+1是一次函数，图象是一条直线，不符合题意； 对于选项C: y=1是一条平行于x轴的直线，不符合题意： 对于选项D: y=x是正比例函数，图象是一条直线，不符合题意. 4.(2026河南周口.一模)下列各式中，y是关于x的二次函数的是（) 11/17 A.y=是 B.x2-y+2=0C.y=2x+1 D.y2=x2-1 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c为常 数)的整式函数，据此逐一判断即可. 【详解】解：A、y=是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意 B、整理x2-y+2=0得y=x2+2,符合y=ax2+bx+c(a=1≠0)，符合二次函数定 义，该选项符合题意： C、y=2x+1中×的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意： D、y2=x2-1中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意. 5.(25-26九年级上，安徽安庆期末)在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体 的动能，其满足关系E=mw2,则下列说法正确的是（） A.当m一定时，E与v满足一次函数关系B.当m一定时，E与满足二次函数关系 C.当)一定时，E与m不满足函数关系D.当v一定时，E与m满足二次函数关系 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数的定义，熟练掌握一次函数与二次函数的定义 是解题的关键。 根据一次函数，二次函数的定义，即可判断 【详解】解：，一次函数的形式为y=kx+b(k≠0，k、b为常数)，二次函数的形式为y= ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数) ①当m一定时，令k=m(k为常数且k≠0)，则E=km2,符合二次函数的形式，E与v 满足二次函数关系，故A不符合题意，B符合题意： ②当v一定时，令k=2(k为常数且k≠0)，则E=km,符合一次函数的形式，∴E与m 满足一次函数关系，故C、D不符合题意.· 故选：B. 6.（25-26九年级上广东珠海期末)公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带” 的规定.经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相 同的百分率x,请问9月份的销售量y关于每月增加的百分率x的函数解析式是() A.y=1500(1+x)2 B.y=1500+(1-x)2 12/17 C.y=(1+x)2+1500 D.y=x2+1500 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式. 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量y关于x的函 数解析式. 【详解】解：：7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x, .8月份的销售量为1500(1+x)个， .9月份的销售量y=1500(1+x)×(1+x)=1500(1+x)2. 故选：A. 7.(25-26九年级上河北唐山期末)若函数y=口-5x+3是二次函数，则“口”可以是(). A.y B.22 C.x2 D.2x 【答案】c 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键。 一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的函数是二次函数，据此可得答 案。 【详解】解：根据二次函数的定义，“o”可以是x2. 故选：C 8.(25-26九年级上·云南玉溪期中)已知二次函数y=x2+bx+c可化为y=(x-2)2-3 的形式，则b+c的值是() A.-3 B.3 C.-5 D.5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式 化成一般式确定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的 关键 【详解】解：y=(x-2)2-3=x2-4x+4-3=x2-4x+1 .b=-4,c=1, ∴.b+c=-4+1=-3. 故选：A. 9.(2026甘肃白银模拟预测)若y=(a-3)xa2-2a-1-2是二次函数，则a= 【答案】-1 13/17 【详解】解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为0，且自变量的最高次数为2， 叫2202 整理，得a2-2a-1=2, .a2-2a-3=0, ∴.(a-3)(a+1)=0, 解得a=3或a=-1, 结合a≠3， 可得a=-1. 10.（25-26九年级上广东江门期中)若函数y=(m-3)xm-1+2x-1是关于x的二次函 数，则m的值为 【答案】 -3 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足x的最高次数为2，且二 次项系数不为0，据此进行求解即可. 【详解】解：y=(m-3)xm-1+2x-1是关于x的二次函数， ÷m-1=2,且m-3≠0， m=-3. 11.(25-26九年级上河南周口·期末)若二次函数y=2x2-ax+2a-1的图象经过点(-1,4)， 则a的值为 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：将点(-1,4)代入二次函数解析式，得到 关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。 【详解】解：，二次函数y=2x2-ax+2a-1的图象经过点(-1,4)， .将x=-1,y=4代入解析式得4=2×(-1)2-a×(-1)+2a-1, 即4=2+3a-1, 解得a=1. 故答案为：1. 12.(25-26九年级上河南南阳·期中)写出一个项点在原点的抛物线解析式为 【答案】y=x2(答案不唯一) 14/17 【分析】本题考查了抛物线的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 顶点在原点的抛物线解析式通常表示为y=ax或x=ay2,其中a为不等于零的常数，然后 即可求解； 【详解】解：抛物线y=x2是二次函数的基本形式，其顶点坐标可通过配方或直接观察得出 为(0,0)，因此满足顶点在原点的条件， 故答案为：y=x2: 13.(25-26九年级上·江苏徐州期末)某化肥厂10月份生产某种化肥200t,如果11、12月 的月平均增长率为x,则12月份化肥的产量y()与x之间的函数关系式为 【答案】y=200(1+x)2 【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为200(1+x), 12月份产量为200(1+x),从而得到函数关系式. 【详解】解：依题意，月平均增长率为x,则11月份化肥产量为200(1+x),12月份化肥 产量为200(1+x)(1+x)=200(1+x)2, 故y=200(1+x)2, 故答案为：y=200(1+x)2. 14.(25-26九年级上河南南阳.期末)己知二次函数y=(m+2)x2+3x+m2-4的常数项 为零，则m的值为_ 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，解一元一次不等式， 根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解。 【详解】解：，二次函数y=(m+2)x2+3x+m2-4的常数项为零， ∴.m2-4=0,即(m-2)(m+2)=0, .m=2或m=-2. 又函数为二次函数， .二次项系数m+2≠0， .m≠-2， .m=2. 故答案为：2. 15.（25-26九年级上.安徽准北期中)在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染 x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式 15/17 为 【答案】y=(x+1)2 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据病毒传播模型，每轮传染中每人传染x人， 最初1人感染，经过两轮传染，总感染人数y等于(x+1)2 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为x人， 第一轮后总感染人数为(1+x)人， 第二轮传染开始有(1+x)人感染，每人传染x人，新感染人数为x(1+x)人， 第二轮后总感染人数为(1+x)+(1+x)x=(1+x)1+x)=(1+x)2(人)， 故y与x的函数关系式为y=(1+x)2 故答案为：y=(1+x)2 16.(25-26九年级上广西崇左，期末)已知函数y=(m+2)xm2-2(m为常数)，求当m为何 值时： (1y是x的一次函数？ (2y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标. 【答案】(1)m=±5 (2)m=2,纵坐标为64的点的横坐标±4 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键。 (1)由一次函数定义得出m2-2=1,且m+2≠0，求出m的值：(2)由二次函数定义得 出m2-2=2,且m+2≠0，求出m的值. 【详解】(1)解：(1)由题意，得 m2-2=1,且m+2≠0， 解得m=士3， 当m=士V3时，y是x的一次函数； (2)由题意，得 m2-2=2,且m+2≠0， 解得m=2, 当m=2时，y是x的二次函数， 当y=64时，4x2=64, 解得x=土4， 纵坐标为64的点的横坐标±4. 16/17 17.(25-26九年级上安徽安庆期末)已知函数y=(a+1)xa2+1+(a-3)x+a,其中a为常 数. (1)当a取什么值时，它为二次函数？ (2)当a取什么值时，它为一次函数？ 【答案】(1)a=1; (2)a=-1或a=0. 【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键， (1)根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案： (2)根据二次项系数等于零且一次项系数不等于零是一次函数，可得答案. 【详解】(1)解：根据题意，得0+1≠0， la2+1=2’ 解得a=1; (2)解：当a+1=0,即a=-1时，原函数为y=-4x-1,是一次函数： 当气如+中：含0即a=0时，原函数奶=-2x,也是一次西数， 综上所述，当a=-1或a=0时，y=(a+1)xa+1+(a-3)x+a是一次函数. 17/17