精品解析：陕西省西安市永庆路初级中学2025～2026学年度第二学期期末检测 八年级数学(北师大版A)

2025～2026学年度第二学期期末检测 八年级数学（北师大版A） 注意事项：满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 要使分式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分式有意义要求分母不为0，据此列不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义的条件为分母不等于0， ∴， 解得：． 2. “农历二十四节气”被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产代表作名录，被誉为“中国的第五大发明”，下列关于二十四节气的设计简图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 霜降 B. 大雪 C. 谷雨 D. 小满 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形对角相等的性质即可求解． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ， 又， ． 4. 若，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：不等式两边同时除以正数6，不等号方向不变，得 ，A错误； 选项B：不等式两边同时加2，不等号方向不变，得 ，B错误； 选项C：不等式两边同时减，不等号方向不变，得 ，C错误； 选项D：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，得 ，D正确． 5. 如图，在中，，于点，，分别为边，的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数得到，根据中位线定理即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，分别为边，的中点， ∴． 6. 如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1.5 D. 1.2 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7. 已知一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集为． 8. 如图，的对角线与相交于点O，，垂足为E．，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质求得，再由勾股定理的逆定理判定出，然后由勾股定理求得，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 10. 如图，用正三角形地砖与正方形地砖在点处进行无空隙、不重叠地铺设．若一块边长相同的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】正多边形的组合进行平面镶嵌，位于同一顶点处的几个角之和为，从而可得的度数，计算正多边形的外角，由此可得边数． 【详解】解：正三角形和正方形的内角分别为与， ， 这块正多边形地砖的边数为． 11. 不等式的非负整数解的个数有______个； 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法与非负整数解的确定，熟练掌握一元一次不等式的解题步骤并准确筛选非负整数解是解题的关键． 先求解不等式的解集，再从解集中找出所有非负整数解并统计个数． 【详解】解：， ， ， ， ， 非负整数解为，，，共3个． 故答案为：3． 12. 已知A，B两地相距，某货车从A地驶向B地的平均速度为，从B地驶向A地的平均速度为，则该货车从B地驶向A地的时间比从A地驶向B地的时间少________h．（用含b的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据路程，速度，时间的关系，时间等于路程除以速度，分别计算货车从A地到B地，从B地到A地的行驶时间，再将两个时间作差，化简即可得到结果． 【详解】解：根据题意得，货车从A地驶向B地的时间为：， 货车从B地驶向A地的时间为：， ∴时间差为． 13. 如图，在中，将绕点A逆时针旋转得到，交边于点F，点D恰好落在边上，若，则的度数为________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，，，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 如图所示，平行四边形中，点、分别是、的中点，，，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交的延长线于M，过点E作于N，先证明，得到，再证明是等边三角形，得到；求出，得到，则可得到；根据线段的和差关系求出，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：延长交的延长线于M，过点E作于N， ∵E为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵点F为的中点， ∴； 在中，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【详解】解：  16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， 经检验：当时，， ∴原方程的解为． 18. 如图，在四边形中，，．请用尺规作图法，在四边形内求作一点E，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图所示，点为所求点． 【解析】 【分析】根据可知，点在线段的垂直平分线上，所以作线段的垂直平分线；因为，所以点在以为直角边的等腰直角三角形的斜边上，作以为直角边的等腰直角三角形，该等腰直角三角形的斜边与线段的垂直平分线的交点即为所求点． 【详解】解：见答案 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简的结果为，值为 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，且点A，B，C的对应点分别为，，． （1）请在图中画出 （2）点的坐标为________________ 【答案】（1）如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质画出图形即可； （2）根据图形直接写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：由图形知，点的坐标为． 21. 平开窗（图①）是生活中常见的一种窗户，如图②是其简单示意图，已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，B，C，D三点固定在同一直线上，当窗户关闭时，点E与点A重合，点D落在上，平开窗的开启角随着点O向点B的方向滑动越来越大，且在滑动过程中四边形始终为平行四边形，出于安全考虑，平开窗的开启角度应该控制在30°以内（即）．已知，，，则在安全范围内，求点O与点A的最大距离． 【答案】 【解析】 【分析】先由关闭状态（与重合，）确定滑道的长度，再分析打开状态中时取最小值，从而取最大值，过点作，利用含角的直角三角形性质和勾股定理求解． 【详解】解：当窗关闭时，， 此时、、三点共线，在与之间， ，， ， 与重合，， ， ． 当窗打开时，沿向滑动，逐渐增大，逐渐增大， ， 最大即最小， 由安全条件，当时取最大值． 过点作于点， 在中，，， ，， 在中，，， 由勾股定理得， ， 点在线段上， ， ． 即、两点间的距离最大为． 22. 如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点，点分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，进而证明，，则可证明四边形是平行四边形； （2）先利用勾股定理求出，再由平行四边形的性质求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴在中，， ∵点是的中点，， ∴ ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴． 23. 电动汽车以其环保节能、日常通勤费用低而受大众喜欢．某电动车销售商店欲采购甲、乙两种型号的电动车．已知乙型电动车的单价比甲型电动车的单价多5万元，用160万元采购甲型电动车的数量与260万元采购乙型电动车数量相同． （1）求甲、乙两种型号电动车的单价； （2）若该商店要求采购乙型电动车的数量是甲型电动车数量的2倍，且总费用不超过400万元，求该商店最多可以采购多少辆甲型电动车？ 【答案】（1）甲型电动车单价为8万元，乙型电动车单价为13万元 （2）该商店最多可以采购11辆甲型电动车 【解析】 【分析】（1）设甲型号电动车的单价为a万元，则乙型号电动车的单价为万元，根据题意，即可求解； （2）设采购x辆甲型电动车，则采购辆乙型电动车，根据题意，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种型号电动车的单价为a万元，则乙种型号电动车的单价为万元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：甲型电动车单价为8万元，乙型电动车单价为13万元； 【小问2详解】 解：设采购x辆甲型电动车，则采购辆乙型电动车，根据题意得： ， 解得：， ∵x取整数， ∴x的最大值为11， 答：该商店最多可以采购11辆甲型电动车． 24. 在中，，，平分，交边于点D，点A与点E关于所在直线对称，连接，延长交于点F．求证： （1）是等腰三角形； （2）． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵点A与点E关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴是等腰三角形； （2）证明：过D作于K，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由，是的平分线，可得，即得，根据点A与点E关于直线对称，可得，故，从而是等腰三角形； （2）过D作于K，证明，得，又，可得是等腰直角三角形，，即知，而，有，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 为建设高质量教育体系，构建教育良好生态，促进学生德、智、体、美、劳全面发展．某校利用课余活动时间强健同学们的体魄，增设了羽毛球社团，深受同学们的喜爱，由于报名人数较多，现需要购买一批羽毛球拍和羽毛球．已知某知名品牌的羽毛球拍一副元，羽毛球一个元，甲、乙两个商店给出如下优惠方案： 甲：每副羽毛球拍打九五折，每个羽毛球打九折； 乙：买一副羽毛球拍送两个羽毛球． 现需要购买羽毛球拍副和羽毛球个)． （1）在甲、乙两个商店购买的总费用分别为元，元，求，与的函数关系式； （2）请你帮学校设计方案，说明在哪家商店购买更加划算． 【答案】（1） （2）当购买羽毛球个数大于且小于时，选择乙商店更加划算；当购买羽毛球个数为时，选择甲、乙两个商店一样；当购买羽毛球个数大于时，选择甲商店更加划算 【解析】 【分析】（1）根据总费用=单价×数量×折扣写出甲优惠方案函数关系式，根据总费用=单价×数量写出乙优惠方案函数关系式； （2）分，，三种情况讨论，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得； ． 【小问2详解】 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，当购买羽毛球个数大于且小于时，选择乙商店更加划算； 当购买羽毛球个数为时，选择甲、乙两个商店一样； 当购买羽毛球个数大于时，选择甲商店更加划算． 【点睛】本题考查了列函数关系式，不等式的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 26. 【问题提出】 如图①，已知在平行四边形中，对角线相交于点O，，． （1）若，则的长为________________； （2）若点E在线段上，过点C作，垂足为F，连接，若为等腰直角三角形，且，试探究、与之间存在的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，校园内有一块平行四边形花坛，，，花坛两条对角线交于点O，园丁要在对角线上选一处动点P，从点位P向点位A修一段步道，再以为边长，在下方修建一块等边三角形小型花圃，现要规划路线，使得步道最短，请求出此时的占地面积． 【答案】（1） （2）解：，理由如下： 证明：如图，过点A作，垂足为H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）的占地面积为． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质求得，，再根据勾股定理求解即可； （2）过点A作，垂足为H，证明和，再根据全等三角形的性质求解即可； （3）连接，证明，是等边三角形，四边形是菱形，，进而得出当点在线段上时，的值最小，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即当点在线段上时，的值最小， 如图， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． ∴的占地面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末检测 八年级数学（北师大版A） 注意事项：满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 要使分式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. “农历二十四节气”被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产代表作名录，被誉为“中国的第五大发明”，下列关于二十四节气的设计简图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 霜降 B. 大雪 C. 谷雨 D. 小满 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，于点，，分别为边，的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1.5 D. 1.2 7. 已知一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的对角线与相交于点O，，垂足为E．，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：________． 10. 如图，用正三角形地砖与正方形地砖在点处进行无空隙、不重叠地铺设．若一块边长相同的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数为___________． 11. 不等式的非负整数解的个数有______个； 12. 已知A，B两地相距，某货车从A地驶向B地的平均速度为，从B地驶向A地的平均速度为，则该货车从B地驶向A地的时间比从A地驶向B地的时间少________h．（用含b的代数式表示） 13. 如图，在中，将绕点A逆时针旋转得到，交边于点F，点D恰好落在边上，若，则的度数为________． 14. 如图所示，平行四边形中，点、分别是、的中点，，，，则的长是______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 因式分解：． 16. 解不等式组： 17. 解方程：． 18. 如图，在四边形中，，．请用尺规作图法，在四边形内求作一点E，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，且点A，B，C的对应点分别为，，． （1）请在图中画出 （2）点的坐标为________________ 21. 平开窗（图①）是生活中常见的一种窗户，如图②是其简单示意图，已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，B，C，D三点固定在同一直线上，当窗户关闭时，点E与点A重合，点D落在上，平开窗的开启角随着点O向点B的方向滑动越来越大，且在滑动过程中四边形始终为平行四边形，出于安全考虑，平开窗的开启角度应该控制在30°以内（即）．已知，，，则在安全范围内，求点O与点A的最大距离． 22. 如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 23. 电动汽车以其环保节能、日常通勤费用低而受大众喜欢．某电动车销售商店欲采购甲、乙两种型号的电动车．已知乙型电动车的单价比甲型电动车的单价多5万元，用160万元采购甲型电动车的数量与260万元采购乙型电动车数量相同． （1）求甲、乙两种型号电动车的单价； （2）若该商店要求采购乙型电动车的数量是甲型电动车数量的2倍，且总费用不超过400万元，求该商店最多可以采购多少辆甲型电动车？ 24. 在中，，，平分，交边于点D，点A与点E关于所在直线对称，连接，延长交于点F．求证： （1）是等腰三角形； （2）． 25. 为建设高质量教育体系，构建教育良好生态，促进学生德、智、体、美、劳全面发展．某校利用课余活动时间强健同学们的体魄，增设了羽毛球社团，深受同学们的喜爱，由于报名人数较多，现需要购买一批羽毛球拍和羽毛球．已知某知名品牌的羽毛球拍一副元，羽毛球一个元，甲、乙两个商店给出如下优惠方案： 甲：每副羽毛球拍打九五折，每个羽毛球打九折； 乙：买一副羽毛球拍送两个羽毛球． 现需要购买羽毛球拍副和羽毛球个)． （1）在甲、乙两个商店购买的总费用分别为元，元，求，与的函数关系式； （2）请你帮学校设计方案，说明在哪家商店购买更加划算． 26. 【问题提出】 如图①，已知在平行四边形中，对角线相交于点O，，． （1）若，则的长为________________； （2）若点E在线段上，过点C作，垂足为F，连接，若为等腰直角三角形，且，试探究、与之间存在的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，校园内有一块平行四边形花坛，，，花坛两条对角线交于点O，园丁要在对角线上选一处动点P，从点位P向点位A修一段步道，再以为边长，在下方修建一块等边三角形小型花圃，现要规划路线，使得步道最短，请求出此时的占地面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $