精品解析：山西省临汾市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025—2026学年八年级第二学期期末学业质量监测 数学 （满分120分，考试时间120分钟） 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标，符号符合第二象限的特征， ∴点在第二象限． 2. 若分式的值为0，则实数的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选A． 3. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图，要使四边形为平行四边形，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，根据已知条件可得，再根据平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：由图可得， ， A、添加，可得，推出与不平行，四边形不是平行四边形； B、添加，四边形中一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形为平行四边形； C、添加，四边形中一组对边平行且相等，能判定四边形为平行四边形； D、添加，可得，四边形中仅一组对边平行，不能判定四边形为平行四边形； 故选：C． 5. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握利用数形结合的思想解决一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．关于的不等式的解集即为在上方时对应的自变量的取值范围，结合函数图象即可解决． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴关于的不等式的解集即为在上方时对应的自变量的取值范围， ∴关于的不等式的解集 故选：A． 6. 八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟200个，离差平方和分别是,，你认为哪一位同学的成绩最稳定（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方差的意义，方差越小数据越稳定，由于四位同学测试次数相同，方差与离差平方和成正比，只需比较离差平方和的大小即可判断稳定性． 【详解】解：∵四位同学平均成绩相同，测试次数均为3次，方差公式为，其中n为测试次数， ∴n相同，方差大小与离差平方和的大小一致. 又∵ ， ∴乙的方差最小， ∴乙的成绩最稳定． 7. 如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 如图，过平行四边形对角线的交点O，交于E，交于F，若平行四边形的周长为36，，则四边形的周长为（ ） A. 24 B. 26 C. 28 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．先利用证明，从而得，，再求得平行四边形周长的一半为多少，然后利用关系式，即可求得答案． 【详解】解：四边形为平行四边形，对角线的交点为， ， ， 又， ， ，， 平行四边形的周长为36， ， 四边形的周长为： ． 故选：A． 9. 如图，，是四边形的对角线，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，，，，要使四边形为正方形，则需添加的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】证出、、、分别是、、、的中位线，得出，，，，证出四边形为平行四边形，当时，，得出平行四边形是菱形；当时，，即，即可得出菱形是正方形． 【详解】点，分别是，的中点，点，分别是，的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， 四边形为平行四边形， 当时，， 平行四边形是菱形； 当时，，即， 菱形是正方形； 故选． 【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定以及三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 10. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由三边长度判定为直角三角形，再根据、推出四边形是矩形，利用矩形对角线性质得，因此求最小值等价于求最小值；根据垂线段最短，当时最小，结合三角形面积求出最短，即可算出最小值． 【详解】解：已知，，， ， 即， ． ，，， ， 四边形是矩形． 连接，矩形对角线相等且互相平分，、为矩形对角线，是中点， 也是中点，即． 要使最小，只需最小． 根据垂线段最短，当时，长度最小． ， 代入边长：， 化简得：， 解得． ， 综上，的最小值为． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知则的值为________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：由题可知，， ∴， 故答案为：． 12. 某班为了解同学们一周在校参加体育锻炼的时间，随机调查了10名同学，得到如下数据： 锻炼时间（小时） 5 6 7 8 人数 1 4 3 2 则这10名同学一周在校参加体育锻炼时间的上四分位数是________小时． 【答案】7 【解析】 【详解】解：方法一： ． ∵不是整数， ∴向上取整，得到上四分位数为第个数据． ∵将数据从小到大排列后，依次为，第个数据为 ∴这组数据的上四分位数为． 方法二：∵上四分位数是将数据从小到大排列后，后半部分数据的中位数，即的中位数， ∴这组数据的上四分位数为． 13. 如图，以的顶点为圆心，以适当的长为半径画弧交于，交于，再分别以点A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接、、、．若，四边形的面积为15，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先证明四边形是菱形，再根据菱形的面积为15和，进行求解即可． 【详解】解：设与相交于点D，如图： 由题意得，， 四边形是菱形， ∵菱形的面积为15， ∴ 解得． 14. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，若平行四边形的面积为4，则实数的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质．延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，点在上，沿折叠，使点落在上的点，若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质 ，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质． 由折叠及轴对称的性质可知， 垂直平分, 先证推出的长，再利用勾股定理求出的长, 最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，的长. 【详解】解：设与交于点M， 在正方形中, ， 在中,， ∵由折叠的性质可得 ， ∴垂直平分, ， ∵， 所以， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘以，得， 解得， 检验：将代入， 是原方程的解． 17. 先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）， （2）10 【解析】 【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标； （2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解． 【小问1详解】 解：∵点C的坐标为，且在反比例函数的图像上， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； 设直线的解析式为，把A、C两点坐标分别代入得： ，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2， ∴， 解得：； 由题意知，， ∴ ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键． 19. 如图，在中，于点，，的平分线交于，连接． 求证：四边形为矩形 【答案】∵， ∴， ． 平分， ． ． ． ∵， ， 又， 四边形是平行四边形． ， ． 四边形是矩形． 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，再结合，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明结论． 【详解】略 20. 某校在八年级开展了海洋知识竞赛，竞赛分为笔试与抢答两个环节，记分员分别记录了甲、乙两组队员的得分情况．相关信息如下： 信息1：笔试得分（单位：分） 甲组：88，75，88，90，91，88，92，76 乙组：90，84，88，86，88，84，88，88 信息2：甲、乙两组抢答赛成绩的箱线图如下： 信息3：得分统计表 笔试（满分100分） 抢答（满分100分） 参赛组 平均数 众数 中位数 平均数 方差 甲 86 b 89 90 乙 87 88 m 82.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的________，________，________（填“”“”或“”）； （2）本次竞赛将“笔试平均数”和“抢答平均数”按的权重来计算综合得分，你认为甲、乙哪个组的综合水平更高？请说明理由； （3）观察信息2中的箱线图，并结合方差数据，从“整体水平”和“稳定性”两个角度，对甲、乙两组在抢答环节的表现进行分析与评价． 【答案】（1），， （2）解：甲组的综合水平更高， 甲的得分为：（分）， 乙的得分为：（分）， ， 甲组的综合水平更高； （3）解：从箱线图看，甲组抢答成绩的箱体整体高于乙组，说明甲组整体水平优于乙组； 从方差看，甲组的方差小于乙组的方差，说明甲组成绩更稳定，所以甲组在抢答环节的表现更好． 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求出b、m的值，根据箱线图可得、的大小关系； （2）根据权重求出综合得分，进而判断即可； （3）观察箱线图，并结合方差数据作答即可． 【小问1详解】 解：甲组笔试成绩中，88出现次数最多，因此众数； 将乙组笔试成绩从小到大排序为：， 8个数据的中位数为第4、5个数的平均数，得； 由箱线图可得，甲组抢答成绩更集中，乙组成绩更分散，因此；​ 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 21. 阅读与思考 下面是欣欣同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 利用尺规在平行四边形内作菱形今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知四边形是平行四边形，，请利用尺规在平行四边形内作一个菱形，使得菱形的四个顶点均在平行四边形边上． 同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组的作法：如图2， ①分别以点A，点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点和点， ②连接．结论：四边形是菱形． 勤学小组的证明：四边形是平行四边形， ．即． 由作图痕迹可知：． 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形．（依据1） 善思小组的作法：如图3， ①连接，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，交点分别为，． ②作直线分别交于点，点和点． ③连接． 结论：四边形是菱形． 善思小组的证明：由作图可知：直线垂直平分． ．（依据2） …… 任务一：请补充上面证明过程中的“依据1”，“依据2”． （1）依据1：___________；依据2：___________； 任务二： （2）请将善思小组的证明过程补充完整； 任务三： （3）在图4中用不同于材料的方法作一个满足要求的菱形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等； （2）证明过程补充如下： ，， ， ∵，， ∴， ∴， 四边形是平行四边形， ． ． ． 又， 四边形是平行四边形 ， 平行四边形是菱形 （3）如图，菱形为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定、尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接根据菱形的判定定理即可解答； （2）由垂直平分线的性质可得，再证明可得，再根据四边形是平行四边形可得，即，由等量代换可得，即，进而得到；易证四边形是平行四边形，然后结合即可证明结论； （3）如图：作的角平分线交于E，再以E为圆心，以为半径画弧交于F，再连接，得到四边形是菱形． 【详解】解：（1）依据1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 依据2：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 （2）略 （3）作的角平分线交于E，再以E为圆心，以为半径画弧交于F，再连接，得到四边形是菱形． 22. 综合与实践 杆秤是我国传统的称重工具，某数学兴趣小组用一把杆秤进行实验，记录秤砣到秤纽的水平距离（厘米）与物体的质量（斤）的对应数据如下表．实验发现，（斤）与（厘米）之间满足一次函数关系．但其中有一组数据因读数误差记录错误． （厘米） 1 2 3 4 5 6 （斤） 0.6 1.3 2 2.7 3.4 4.8 （1）数据辨析 观察表中数据，判断哪一组数据记录错误，请以坐标的形式直接写出．并说明理由． （2）函数建模 删除错误数据后，求与的一次函数关系式． （3）实际应用 ①若秤砣到秤纽的水平距离2.5厘米，求所挂物体的质量． ②若用该杆秤称得某物体的质量为6.9斤，求此时秤砣到秤纽的水平距离． 【答案】（1）解：错误坐标． 理由：观察前5组数据，每增加1厘米，增加0.7斤，说明随均匀变化， 按此规律，当时，（斤），而表中记录为4.8斤，不符合变化规律， ∴记录错误； （2） （3）①所挂物体的质量为1.65斤；②此时秤砣到秤扭的水平距离为10厘米 【解析】 【分析】（1）观察表中数据，得到随的变化规律，可知错误数据； （2）设一次函数解析式为，将，代入求解即可； （3）①将代入求解即可； ②将代入求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设一次函数解析式为， 将，代入得：， 解得． ； 【小问3详解】 解：①当时，， 答：所挂物体的质量为1.65斤； ②将代入得， ． 答：此时秤砣到秤扭的水平距离为10厘米． 23. 综合与探究 问题情境 在四边形专题复习课上，老师以矩形旋转为载体设计探究题： 将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点． 数学思考 （1）猜想与的数量关系，并证明； 实践探究 （2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接．求证：四边形是平行四边形； 拓展延伸 （3）在矩形绕点顺时针旋转的过程中，若，，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 【答案】（1）， 证明：如图，连接， 四边形与四边形都是矩形， ， ，即． 由旋转可知：， 又， ． ． （2）证明：如图，连接， 由旋转可知：， 四边形是矩形， ，，． 又，， ， ． ，， 四边形是平行四边形． （3）或 【解析】 【分析】（1）通过连接公共边构造两个三角形，利用矩形的直角性质和邻补角关系证明两个三角形均为直角三角形，结合旋转前后对应边相等的性质，用定理证明两个三角形全等，即可证明结论． （2）连接，利用旋转性质得到，结合矩形的性质和等腰三角形三线合一的性质，从而推出，最终由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出结论． （3）根据三点共线的两种相对位置分类讨论，利用旋转性质得到对应边、对应角相等，结合矩形对边相等推出直角三角形，用勾股定理计算的长度，再根据线段的和差关系分别求出两种情况下的长度． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：①当点、在的同侧时，如图3， 根据旋转的性质可得，，，， ， 在中，， ． ②当点、在的异侧时，如图4， 同理可得，，，，， ． 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年八年级第二学期期末学业质量监测 数学 （满分120分，考试时间120分钟） 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若分式的值为0，则实数的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. -3 3. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，要使四边形为平行四边形，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟200个，离差平方和分别是,，你认为哪一位同学的成绩最稳定（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，过平行四边形对角线的交点O，交于E，交于F，若平行四边形的周长为36，，则四边形的周长为（ ） A. 24 B. 26 C. 28 D. 20 9. 如图，，是四边形的对角线，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，，，，要使四边形为正方形，则需添加的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知则的值为________． 12. 某班为了解同学们一周在校参加体育锻炼的时间，随机调查了10名同学，得到如下数据： 锻炼时间（小时） 5 6 7 8 人数 1 4 3 2 则这10名同学一周在校参加体育锻炼时间的上四分位数是________小时． 13. 如图，以的顶点为圆心，以适当的长为半径画弧交于，交于，再分别以点A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接、、、．若，四边形的面积为15，则的长为______． 14. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，若平行四边形的面积为4，则实数的值为__． 15. 如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，点在上，沿折叠，使点落在上的点，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 17. 先化简，再求值：．其中． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接，请直接写出四边形的面积． 19. 如图，在中，于点，，的平分线交于，连接． 求证：四边形为矩形 20. 某校在八年级开展了海洋知识竞赛，竞赛分为笔试与抢答两个环节，记分员分别记录了甲、乙两组队员的得分情况．相关信息如下： 信息1：笔试得分（单位：分） 甲组：88，75，88，90，91，88，92，76 乙组：90，84，88，86，88，84，88，88 信息2：甲、乙两组抢答赛成绩的箱线图如下： 信息3：得分统计表 笔试（满分100分） 抢答（满分100分） 参赛组 平均数 众数 中位数 平均数 方差 甲 86 b 89 90 乙 87 88 m 82.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的________，________，________（填“”“”或“”）； （2）本次竞赛将“笔试平均数”和“抢答平均数”按的权重来计算综合得分，你认为甲、乙哪个组的综合水平更高？请说明理由； （3）观察信息2中的箱线图，并结合方差数据，从“整体水平”和“稳定性”两个角度，对甲、乙两组在抢答环节的表现进行分析与评价． 21. 阅读与思考 下面是欣欣同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 利用尺规在平行四边形内作菱形今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知四边形是平行四边形，，请利用尺规在平行四边形内作一个菱形，使得菱形的四个顶点均在平行四边形边上． 同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组的作法：如图2， ①分别以点A，点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点和点， ②连接．结论：四边形是菱形． 勤学小组的证明：四边形是平行四边形， ．即． 由作图痕迹可知：． 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形．（依据1） 善思小组的作法：如图3， ①连接，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，交点分别为，． ②作直线分别交于点，点和点． ③连接． 结论：四边形是菱形． 善思小组的证明：由作图可知：直线垂直平分． ．（依据2） …… 任务一：请补充上面证明过程中的“依据1”，“依据2”． （1）依据1：___________；依据2：___________； 任务二： （2）请将善思小组的证明过程补充完整； 任务三： （3）在图4中用不同于材料的方法作一个满足要求的菱形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） 22. 综合与实践 杆秤是我国传统的称重工具，某数学兴趣小组用一把杆秤进行实验，记录秤砣到秤纽的水平距离（厘米）与物体的质量（斤）的对应数据如下表．实验发现，（斤）与（厘米）之间满足一次函数关系．但其中有一组数据因读数误差记录错误． （厘米） 1 2 3 4 5 6 （斤） 0.6 1.3 2 2.7 3.4 4.8 （1）数据辨析 观察表中数据，判断哪一组数据记录错误，请以坐标的形式直接写出．并说明理由． （2）函数建模 删除错误数据后，求与的一次函数关系式． （3）实际应用 ①若秤砣到秤纽的水平距离2.5厘米，求所挂物体的质量． ②若用该杆秤称得某物体的质量为6.9斤，求此时秤砣到秤纽的水平距离． 23. 综合与探究 问题情境 在四边形专题复习课上，老师以矩形旋转为载体设计探究题： 将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点． 数学思考 （1）猜想与的数量关系，并证明； 实践探究 （2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接．求证：四边形是平行四边形； 拓展延伸 （3）在矩形绕点顺时针旋转的过程中，若，，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $