精品解析：山西省临汾市大宁县2025年6月期末2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

山西省2024～2025学年第二学期八年级期末质量监测 数学试卷（北师大版） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑．） 1. 下列分式中是最简分式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 城市形象LOGO是一座城市象征性的视觉符号，是城市文化特质最浓缩、最直观的表现．下列城市形象LOGO中文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）． A. 太原 B. 重庆 C 成都 D. 澳门 3. 下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，明明家有一块三角形空地，其中，，E，F分别是边的中点．若他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ）． A. B. C. D. 6. 物理学中的电路分为串联电路和并联电路，如图是一个并联电路，两电阻的阻值分别为，，并联电路的总电阻阻值为R，三者之间的关系为，则用，表示R结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，的对角线相交于点O，且．若，，则的长为（ ）． A. 4 B. 8 C. D. 8. 如图，在中，，，，通过尺规作图在边上确定一点P，则根据下列尺规作图的痕迹不能求出长度的是（ ）． A. B. C. D. 9. 近日，太原市为推进城市更新，提升城市品质，迎泽西大街、新建路维修改造工程全面开工．其中一段长的道路工程由某工程队单独来做，原计划每天完成xm，实际上……根据题意可列方程为．根据方程可得文中省略的内容为（ ）． A. 每天多完成100m，结果提前2天完成 B. 每天少完成100m，结果推迟2天完成 C. 每天多完成100m，结果推迟2天完成 D. 每天少完成100m，结果提前2天完成 10. 如图，在中，，，，D是边的中点，在的延长线上取一点E，连接并延长，交边于点F．若，则的长为（ ）． A. 1 B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置．） 11. 不等式的最大整数解为______． 12. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将点A先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点B，则点B的坐标为______． 13. 生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．如图所示的地面是由等边三角形和正六边形镶嵌而成的，则图中正六边形的内角和为______°． 14. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是______． 15. 如图，在中，，．将平移到的位置，使点B的对应点E恰好落在边AC的中点处，则平移的距离是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 17. 解不等式组：，并将其解集表示在如图所示的数轴上． 18. 如图，在中，，，是的平分线． （1）尺规作图：过点D作垂线，垂足为E．（保留作图痕迹，不写作法） （2）判断与的数量关系，并说明理由． 19. 化简：． 20. 如图，已知四边形是平行四边形．于点E，于点F，连接和．求证：四边形是平行四边形． 21. 2025年4月23日至25日，第四届全民阅读大会在山西省太原市举办，以“培育读书风尚 建设文化强国”为主题，大会期间揭晓了2024年度“中国好书”名单．某校计划购进“中国好书”名单中《中国文化之美》和《中华文明的形成》这两种图书供学生阅读，其中《中国文化之美》的单价比《中华文明的形成》的单价贵，用910元购买《中国文化之美》的数量比用800元购买《中华文明的形成》的数量少1本．求这两种图书的单价． 22. 阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1 因式分解：． 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2 求最小值． 解：原式 ． ∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： （1）例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是______，______．（用等式表示） （2）用配方法将因式分解． （3）用配方法求当x为何值时，代数式值最小，最小值是多少． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，为对角线，且．将绕点C按逆时针方向旋转得到，点A，B的对应点分别是，，与交于点E，与交于点F． 操作探究： （1）如图2，． ①善思小组发现此时，请你证明这一结论； ②求的长． （2）勤学小组将从图2的位置开始沿射线BC向右平移，当以点A，，D为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2024～2025学年第二学期八年级期末质量监测 数学试卷（北师大版） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑．） 1. 下列分式中是最简分式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式．通过检查各选项分子和分母的公因式情况即可判断． 【详解】A．，故不是最简分式； B．，分子与分母无公因式（平方和不能因式分解），故是最简分式； C．，故不是最简分式； D．，故不是最简分式． 故选：B． 2. 城市形象LOGO是一座城市象征性的视觉符号，是城市文化特质最浓缩、最直观的表现．下列城市形象LOGO中文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）． A. 太原 B. 重庆 C. 成都 D. 澳门 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：由题意可知，选项C的图形能绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项A、B、D的图形不是中心对称图形； 故选：C． 3. 下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）． A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的因式分解，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 根据完全平方公式的形式，逐一分析每个选项是否符合该形式． 【详解】解： 完全平方公式为 选项A，，是平方差公式，不符合完全平方公式； 选项B，，中间项与完全平方公式中形式不匹配（若，，则），不符合完全平方公式；； 选项C，，常数项为，不是非负数，不符合的形式即不符合完全平方公式； 选项D，，其中，，，且， ∴ ，符合完全平方公式因式分解． 故选：D． 4. 如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，由旋转性质可知，然后由即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转到的位置， ∴， ∴， 故选：． 5. 如图，明明家有一块三角形空地，其中，，E，F分别是边的中点．若他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 根据点E，F分别是边，的中点得，，是的中位线，根据得，即可求解． 【详解】解：∵点E，F分别是边，的中点， ∴，，是的中位线， ∵， ∴， ∴篱笆的长为：， 故选：C． 6. 物理学中的电路分为串联电路和并联电路，如图是一个并联电路，两电阻的阻值分别为，，并联电路的总电阻阻值为R，三者之间的关系为，则用，表示R结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．先把等式的右边通分，再求倒数即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 7. 如图，的对角线相交于点O，且．若，，则的长为（ ）． A. 4 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，掌握相关的性质是解题的关键． 根据题意得出四边形是菱形，再由菱形的性质及含30度角的直角三角形的性质得出，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ， ∵， ， ∵， ， ， ， 故选：C． 8. 如图，在中，，，，通过尺规作图在边上确定一点P，则根据下列尺规作图的痕迹不能求出长度的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用作图和线段和差可求A选项中的的长；利用角平分线的性质和三角形的面积可求C选项中的的长；利用勾股定理逆定理和勾股定理可求D选项中的的长；根据已知作图无法求得B选项中的的长． 【详解】解：A、由题意，故不符合题意； B、不能求出的长度，符合题意； C、作于H， 由题意，平分， ∵，， ∴，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； D、连接，由题意得，设， ∵、，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意． 故A，C，D选项能确定， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，尺规作图，掌握以上知识是解题的关键． 9. 近日，太原市为推进城市更新，提升城市品质，迎泽西大街、新建路维修改造工程全面开工．其中一段长的道路工程由某工程队单独来做，原计划每天完成xm，实际上……根据题意可列方程为．根据方程可得文中省略的内容为（ ）． A. 每天多完成100m，结果提前2天完成 B. 每天少完成100m，结果推迟2天完成 C. 每天多完成100m，结果推迟2天完成 D. 每天少完成100m，结果提前2天完成 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要查了分式方程的应用．根据方程 ， 表示原计划天数， 表示实际天数，方程表明原计划天数比实际天数多2天，即实际提前2天完成，且实际每天完成量比原计划多100m． 【详解】解：∵ 原计划每天完成米，总路程4000m， ∴ 原计划天数为天． ∵ 实际每天完成m， ∴ 实际天数为天． ∵ 方程表示原计划天数减实际天数等于2， ∴ 实际比原计划提前2天完成，且实际每天多完成100m． ∴ 文中省略的内容为“每天多完成100m，结果提前2天完成”． 故选A 10. 如图，在中，，，，D是边的中点，在的延长线上取一点E，连接并延长，交边于点F．若，则的长为（ ）． A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，过点F作于点H，则，得出是等腰直角三角形，，，由含30度直角三角形的性质得出，设，则，，根据勾股定理求出，进而即可求出． 【详解】解：过点F作于点H， 则， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵D是边的中点，， ∴， 设，则，， 在中， ， ∵， ∴， 解得， ∴， 则， 故选D． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置．） 11. 不等式的最大整数解为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要查解一元一次不等式．通过解不等式，找到x的取值范围，然后确定最大整数解． 【详解】解：解不等式： 移项，得： 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 所以最大整数解为2． 故答案为：2 12. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将点A先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点B，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵点A的坐标为，将点A先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为，即， 故答案：． 13. 生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．如图所示的地面是由等边三角形和正六边形镶嵌而成的，则图中正六边形的内角和为______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和，熟记多边形内角和公式是解决问题的关键． 直接由多边形内角和公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：由多边形内角和公式可得，图中正六边形的内角和为， 故答案为：． 14. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握根据函数图象的位置确定不等式的解集是解题的关键．根据两个函数图象的交点，结合不等式的几何意义（正比例函数图象在一次函数图象下方或重合时的取值范围）来确定解集． 【详解】解：由图象可知，正比例函数与一次函数交于点，当时，即的图象在图象下方或重合，此时 故答案为：． 15. 如图，在中，，．将平移到的位置，使点B的对应点E恰好落在边AC的中点处，则平移的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的判定和性质，勾股定理等知识，过点A作于点H，取的中点K，连接，．由等腰三角形的三线合一的性质得出，勾股定理得出，再得出是的中位线，进而可得出，，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知平移距离是， 过点A作于点H，取的中点K，连接，． 又∵，， ∴， ∴， ∵为的中点，K是的中点， ∴，，是的中位线， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 小问2详解】 解： ． 17. 解不等式组：，并将其解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，画数轴见详解 【解析】 【分析】本题考查解不等式组，并用数轴表示不等式组解集，熟记一元一次不等式组解集的求法是解决问题的关键． 先分别解不等式组中的每一个一元一次不等式，再由“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”求不等式组的解集，再由数轴表示不等式解集的方法求解即可得到答案． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为； 在数轴上表示不等式组的解集，如图所示： ． 18. 如图，在中，，，是的平分线． （1）尺规作图：过点D作的垂线，垂足为E．（保留作图痕迹，不写作法） （2）判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）利用尺规作图过点D作出的垂线，垂足为E即可； （2）利用角平分线的定义结合三角形内角和定理求得，推出，再利用等腰三角形的性质即可得到． 【小问1详解】 解：所作图形如图所示： 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 20. 如图，已知四边形是平行四边形．于点E，于点F，连接和．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟记各性质与平行四边形的判定是解题的关键．由平行四边形的性质得出，证明由全等三角形的性质得出，由，得出，由平行四边形的判定可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵，， ∴， 在和中， ∴． ∵， ∴． ∴四边形平行四边形． 21. 2025年4月23日至25日，第四届全民阅读大会在山西省太原市举办，以“培育读书风尚 建设文化强国”为主题，大会期间揭晓了2024年度“中国好书”名单．某校计划购进“中国好书”名单中《中国文化之美》和《中华文明的形成》这两种图书供学生阅读，其中《中国文化之美》的单价比《中华文明的形成》的单价贵，用910元购买《中国文化之美》的数量比用800元购买《中华文明的形成》的数量少1本．求这两种图书的单价． 【答案】《中华文明的形成》的单价为100元，《中国文化之美》的单价为130元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设《中华文明的形成》的单价为x元，则《中国文化之美》的单价为元，根据“用910元购买《中国文化之美》的数量比用800元购买《中华文明的形成》的数量少1本”列出分式方程，据此求解即可． 【详解】解：设《中华文明的形成》的单价为x元，则《中国文化之美》的单价为元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：《中华文明的形成》的单价为100元，《中国文化之美》的单价为130元． 22. 阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1 因式分解：． 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2 求的最小值． 解：原式 ． ∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： （1）例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是______，______．（用等式表示） （2）用配方法将因式分解． （3）用配方法求当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． 【答案】（1）， （2） （3）当时，代数式的值最小，最小值为 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，配方法，非负数是解题的关键． （1）考查配方法因式分解中涉及的公式； （2）模仿例1使用配方法进行因式分解： （3）模仿例2使用配方法求代数式的最值． 【小问1详解】 解：例1中第二步将 写成 ，依据完全平方公式；第三步将  写成 ，依据平方差公式． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式  ． ∵ ， ∴ 当，即时，原式取最小值，最小值为． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，为对角线，且．将绕点C按逆时针方向旋转得到，点A，B的对应点分别是，，与交于点E，与交于点F． 操作探究： （1）如图2，． ①善思小组发现此时，请你证明这一结论； ②求的长． （2）勤学小组将从图2的位置开始沿射线BC向右平移，当以点A，，D为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 【答案】（1）①见解析；② （2）或或 【解析】 【分析】（1）①根据题意得，则，由旋转得和，则有，即可得到，利用等腰三角形的性质得； ②利用勾股定理求得，结合旋转得，，，由①知，，利用等积法求得，即可得到； （2）根据题意可知满足条件有三种情况①当时，连接交于点N，过点D作于点M，由平行四边形的性质得，结合平移得和，即可求得，进一步求得，则；其余情况同理可求得． 【小问1详解】 ①证明：∵，， ∴， ∴， ∵将绕点C按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：∵，，， ∴， ∵将绕点C按逆时针方向旋转得到， ∴，，， 由①知，， ∴， ∴， 解得， 在中，， 即的长为； 【小问2详解】 解：①当时，连接交于点N，过点D作于点M，如图， ∵中，， ∴， ∵沿射线向右平移， ∴，， 由（1）知，，，则， ∵， ∴， ∴； ②当时，连接交于点N，如图， 同理，， 则； ③当时，连接交于点N，过点D作于点M，如图， 同理，， 则； 故满足以点A，，D为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形时，平移的距离为或或． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质以及平移的性质，解题的关键是分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $