专题10.3 整式的加法和减法（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制七年级上册

本讲义聚焦整式的加法和减法核心知识点，系统梳理去括号、合并同类项的运算法则，明确“一化、二代、三计算”的应用步骤。通过基础运算、化简求值到误看、遮挡、不含某项等7类题型构建递进学习支架，衔接知识脉络。 资料以题型归纳为特色，含例题及变式训练，如误看问题、新定义问题等情境设计，培养运算能力与推理意识。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺，提升应用意识与数学思维。

专题10.3 整式的加法和减法（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 整式的加法和减法运算】 1 【题型2 整式加法和减法的化简求值】 2 【题型3 整式加法和减法中的误看问题】 2 【题型4 整式加法和减法中的遮挡问题】 2 【题型5 整式加法和减法中的不含某项问题】 3 【题型6 整式加法和减法中的无关性问题】 3 【题型7 整式加法和减法中的新定义问题】 4 考点 整式的加法和减法 知识点 整式的法和减法 整式加法和减法的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 应用整式加法和减法的运算法则化简求值时，一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为“一化、二代、三计算”．在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做． 【题型1 整式的加法和减法运算】 【例1】（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知某个整式与的和是，则这个整式是_______． 【变式1-1】（25-26七年级上·福建福州·期中）化简下列各式： (1)； (2)． 【变式1-2】（25-26七年级上·河北沧州·期中）已知，则多项式M为______． 【变式1-3】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知关于m的多项式：与的和是一个单项式（a，b为非零常数），那么______ 【题型2 整式加法和减法的化简求值】 【例2】（25-26七年级上·湖北随州·期中）已知，则代数式的值为________． 【变式2-1】先化简再求值：，其中，． 【变式2-2】（25-26七年级上·江西抚州·期中）已知代数式， (1)求； (2)若，求的值． 【变式2-3】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型3 整式加法和减法中的误看问题】 【例3】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）某同学在计算一个多项式减去的差时，不小心将减法当成加法，得到多项式，则原来整式运算的正确结果为_______． 【变式3-1】（25-26七年级上·四川资阳·期中）小明在计算时，将括号前面的“”错看成“”，得到的结果是，则多项式A是________________． 【变式3-2】有一个整式减去的题目，小春同学误看成加法了，得到的答案是．假如小春同学没看错，原来题目正确解答是什么？ 【变式3-3】已知，在计算整式的加减时，小聪将“”错看成了“”，得到的结果为． (1)求整式B． (2)请你帮助小聪同学求出正确的结果． 【题型4 整式加法和减法中的遮挡问题】 【例4】（24-25七年级上·山东临沂·期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一张纸挡住了一个多项式，形式如下： (1)求出所挡的多项式； (2)其中，求所挡住的代数式的值． 【变式4-1】（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，小明在写作业不小心打翻了墨水，导致一部分内容看不清楚，则被墨水遮住的多项式为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25六年级上·山东威海·期末）小明在做整式运算：时不小心把墨水打翻，整式的一部分被墨水遮住，被墨水遮住部分的整式应是__________． 【变式4-3】（25-26七年级上·江苏南通·期中）在学习了整式的加减后，李明准备解答题目“已知M，N是两个整式，，，求的值”时，发现整式中含的项的系数（题中的“”处）被墨水污染了，模糊不清． (1)若被墨水污染的数字为3，请求出的值； (2)李明向同学了解到被墨水污染的数字后，求得的值为常数．请直接写出被墨水污染的数字，并求出的值． 【题型5 整式加法和减法中的不含某项问题】 【例5】若关于、的多项式与的和中不含二次项，求的值． 【变式5-1】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）若关于、的多项式与的差不含三次项，则的值（    ） A．4 B． C．3 D．5 【变式5-2】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）如果多项式与的差中不含项，则a的值为______． 【变式5-3】已知关于x，y的多项式A＝2x3﹣8x2+nx﹣1与B＝3x3+2mx2﹣5x+3，若A+B不含二次项，A﹣B不含一次项，求2A﹣B的值． 【题型6 整式加法和减法中的无关性问题】 【例6】（25-26七年级上·广西河池·期中）已知整式，整式，若a是常数，且的值与x无关，则a的值是（    ） A．4 B．12 C． D．6 【变式6-1】（25-26七年级上·江西吉安·期中）若多项式的值与字母的取值无关，则_____． 【变式6-2】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）已知，，若的值与字母x的取值无关，则______ 【变式6-3】（25-26七年级上·河北沧州·期中）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【题型7 整式加法和减法中的新定义问题】 【例7】定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与________是关于1的平衡数，与________是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若，，判断a与b是否是关于1的平衡数________（填是与否） 【变式7-1】已知均为有理数，现定义一种新运算“”，其规则为：． （1）计算：=_____． （2）化简：=_____． 【变式7-2】定义：若，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与 (k为常数)始终是数n的“平衡数”，则它们是关于 ___的“平衡数”． 【变式7-3】（25-26七年级上·吉林松原·期中）定义：若，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与（k为常数）始终是关于数n的“平衡数”，求n的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.3 整式的加法和减法（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 整式的加法和减法运算】 1 【题型2 整式加法和减法的化简求值】 3 【题型3 整式加法和减法中的误看问题】 5 【题型4 整式加法和减法中的遮挡问题】 7 【题型5 整式加法和减法中的不含某项问题】 9 【题型6 整式加法和减法中的无关性问题】 11 【题型7 整式加法和减法中的新定义问题】 13 考点 整式的加法和减法 知识点 整式的法和减法 整式加法和减法的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 应用整式加法和减法的运算法则化简求值时，一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为“一化、二代、三计算”．在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做． 【题型1 整式的加法和减法运算】 【例1】（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知某个整式与的和是，则这个整式是_______． 【答案】 【分析】根据题意列出算式，然后去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：∵某个整式与的和是， ∴ ∴这个整式是． 【变式1-1】（25-26七年级上·福建福州·期中）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）合并同类项，即可求解； （2）先去括号，再合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解：    （2）解：                                      【变式1-2】（25-26七年级上·河北沧州·期中）已知，则多项式M为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，掌握相关运算法则是解题关键．通过移项，将已知等式变形，即可求出多项式． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知关于m的多项式：与的和是一个单项式（a，b为非零常数），那么______ 【答案】或 【分析】本题考查整式的加减运算，两个多项式的和合并同类项后，得到．根据和为单项式，分两种情况讨论即可． 【详解】解：； ∵和为单项式， ∴①，即，此时； ②，则，此时； 故答案为：或． 【题型2 整式加法和减法的化简求值】 【例2】（25-26七年级上·湖北随州·期中）已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，整式的加减中的化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先化简已知方程得到与的关系式，再将所求代数式变形后代入求值． 【详解】解： ， 去括号，得， 合并同类项，得， 即． 所以 ． 故答案为：． 【变式2-1】先化简再求值：，其中，． 【答案】；16． 【分析】先去括号，再合并同类项即可化简，再将，代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式2-2】（25-26七年级上·江西抚州·期中）已知代数式， (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加法与减法，绝对值的非负性，代数式求值： （1）根据整式加法与减法的运算法则计算即可； （2）根据题意可知，，据此即可求得答案． 【详解】（1）解： ． （2）解：根据，得 ，． 解得，． 原式． 【变式2-3】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据非负数的性质可以得到x和y的值，再把原式化简后将x和y的值代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式= =， 故选A． 【点睛】本题考查整式的化简与求值，根据非负数的性质求得x与y的值是解题关键． 【题型3 整式加法和减法中的误看问题】 【例3】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）某同学在计算一个多项式减去的差时，不小心将减法当成加法，得到多项式，则原来整式运算的正确结果为_______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，设原多项式为 ，根据错误加法操作得出 的表达式，再计算正确减法操作的结果； 【详解】解：由题意，错误计算为 ， 则 ， 计算得： 原来正确运算为 ， 代入 ： 故答案为： 【变式3-1】（25-26七年级上·四川资阳·期中）小明在计算时，将括号前面的“”错看成“”，得到的结果是，则多项式A是________________． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是根据错误的运算列出等式，再通过移项求出多项式． 根据小明看错符号后的错误运算，列出关于的等式，再通过去括号、合并同类项计算出． 【详解】解：由题意，小明错误计算了， 因此 ． 故答案为：． 【变式3-2】有一个整式减去的题目，小春同学误看成加法了，得到的答案是．假如小春同学没看错，原来题目正确解答是什么？ 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握合并同类项法则，是解题的关键．先利用看成加法的答案求出原整式，然后重新计算即可． 【详解】解：原整式为： ， 则原题正解为： ． 【变式3-3】已知，在计算整式的加减时，小聪将“”错看成了“”，得到的结果为． (1)求整式B． (2)请你帮助小聪同学求出正确的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）依题意得，进而可求解； （2）和代入，利用去括号和合并同类项法则进行运算即可． 【详解】（1）解：依题意得： ， ∴． （2） ． 【题型4 整式加法和减法中的遮挡问题】 【例4】（24-25七年级上·山东临沂·期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一张纸挡住了一个多项式，形式如下： (1)求出所挡的多项式； (2)其中，求所挡住的代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，代数式的值，绝对值的非负性，解题的关键是掌握整式的加减运算，进行解答，即可． （1）根据整式的加减运算，用，求出所挡的多项式，即可； （2）根据绝对值的非负性，求出，的值，把，的值代入代数式，进行计算，即可． 【详解】（1）解：所挡的多项式为： ． （2）解：∵ ∴， ∴， 当，时，． 【变式4-1】（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，小明在写作业不小心打翻了墨水，导致一部分内容看不清楚，则被墨水遮住的多项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减运算，用右边的整式减去左边未被遮住的多项式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，被墨水遮住的多项式为 ； 故选A． 【变式4-2】（24-25六年级上·山东威海·期末）小明在做整式运算：时不小心把墨水打翻，整式的一部分被墨水遮住，被墨水遮住部分的整式应是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的加减，解题的关键是熟练运用去括号法则进行整式的加减运算．用等式右边的整式减去等式左边的整式计算即可得解． 【详解】解：依题意： ， ∴被墨水遮住部分的整式应是， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26七年级上·江苏南通·期中）在学习了整式的加减后，李明准备解答题目“已知M，N是两个整式，，，求的值”时，发现整式中含的项的系数（题中的“”处）被墨水污染了，模糊不清． (1)若被墨水污染的数字为3，请求出的值； (2)李明向同学了解到被墨水污染的数字后，求得的值为常数．请直接写出被墨水污染的数字，并求出的值． 【答案】(1) (2)被污染的数字是6， 【分析】本题考查整式的加减： （1）根据整式加减法的运算法则计算即可； （2）根据整式加减法的运算法则可知被墨水污染的数字为6，进而计算即可． 【详解】（1）解：若被墨水污染的数字为3， 则； （2）解：设被污染的数字为，则 ， ， 因为 的值为常数， 所以的系数为0，即 ， 解得 所以被污染的数字是6， ． 【题型5 整式加法和减法中的不含某项问题】 【例5】若关于、的多项式与的和中不含二次项，求的值． 【答案】 【分析】首先求出多项式的和，然后由不含二次项，得出m和n的值，即可得解． 【详解】解：， ∵结果中不含二次项， ∴， ∴． ∴． 【变式5-1】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）若关于、的多项式与的差不含三次项，则的值（    ） A．4 B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是整式的加减运算，计算两个多项式的差，合并同类项后，令三次项的系数为零即可求解. 【详解】解：∵ ∵ 差不含三次项， ∴ ∴ 故选： A 【变式5-2】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）如果多项式与的差中不含项，则a的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，计算出两个多项式的差，令所得结果中项的系数为零，解方程得到的值即可得到答案． 【详解】解： ． ∵多项式与的差中不含项， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式5-3】已知关于x，y的多项式A＝2x3﹣8x2+nx﹣1与B＝3x3+2mx2﹣5x+3，若A+B不含二次项，A﹣B不含一次项，求2A﹣B的值． 【答案】x3﹣24x2﹣5x﹣5． 【分析】根据关于x，y的多项式A＝2x3﹣8x2+nx﹣1与B＝3x3+2mx2﹣5x+3，A+B不含二次项，A﹣B不含一次项，可以求得m，n的值，从而可以得到2A﹣B的值． 【详解】解：∵A＝2x3﹣8x2+nx﹣1与B＝3x3+2mx2﹣5x+3， ∴A+B＝（2x3﹣8x2+nx﹣1）+（3x3+2mx2﹣5x+3） ＝2x3﹣8x2+nx﹣1+3x3+2mx2﹣5x+3 ＝5x3﹣（8﹣2m）x2+（n﹣5）x+2， A﹣B＝（2x3﹣8x2+nx﹣1）﹣（3x3+2mx2﹣5x+3） ＝2x3﹣8x2+nx﹣1﹣3x3﹣2mx2+5x﹣3 ＝﹣x3﹣（8+2m）x2+（n+5）x﹣4， A+B不含二次项，A﹣B不含一次项， ∴，得 ， ∴2A﹣B＝2（2x3﹣8x2﹣5x﹣1）﹣（3x3+8x2﹣5x+3） ＝4x3﹣16x2﹣10x﹣2﹣3x3﹣8x2+5x﹣3 ＝x3﹣24x2﹣5x﹣5． 【点睛】本题考查整式的加减混合运算，理解不含哪一项指的是该项系数为0，正确计算是本题的解题关键. 【题型6 整式加法和减法中的无关性问题】 【例6】（25-26七年级上·广西河池·期中）已知整式，整式，若a是常数，且的值与x无关，则a的值是（    ） A．4 B．12 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算及与未知数无关的条件应用，计算，合并同类项后，令x的系数为零，解出a． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式6-1】（25-26七年级上·江西吉安·期中）若多项式的值与字母的取值无关，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简运算，与字母无关值的应用，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 先将多项式化简，再根据值与字母的取值无关，令的系数为，求解． 【详解】解： ， ∵多项式的值与字母的取值无关， ∴， 解得：， 故答案为6． 【变式6-2】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）已知，，若的值与字母x的取值无关，则______ 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项以及代数式无关项求值，熟记合并同类项法则是解答本题的关键． 先计算的表达式，合并同类项后，令含的项的系数为零，从而求出的值． 【详解】解：∵，， 则， ． ∵的值与字母的取值无关， 则含的项的系数为零，即， 解得：． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26七年级上·河北沧州·期中）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）运用合并同类项法则进行计算即可； （2）判断，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，且的值和的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 【题型7 整式加法和减法中的新定义问题】 【例7】定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与________是关于1的平衡数，与________是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若，，判断a与b是否是关于1的平衡数________（填是与否） 【答案】 否 【分析】本题以新定义为载体，主要考查了整式的加减，正确理解新定义、熟练掌握整式加减运算的法则是解题的关键； （1）根据平衡数的定义列式计算即可； （2）根据平衡数的定义计算的值是否等于2即可作出判断． 【详解】解：（1）根据题意，3关于1的平衡数是， 关于1的平衡数是， 故答案为：，； （2）因为 ， 所以a与b不是关于1的平衡数； 故答案为：否． 【变式7-1】已知均为有理数，现定义一种新运算“”，其规则为：． （1）计算：=_____． （2）化简：=_____． 【答案】 （1） 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的加减运算； （1）根据题中给出的例子列式计算即可； （2）根据题中给出的例子列式，再合并同类项即可． 【详解】（1）由题意得， ； （2） ． 故答案为：（1）；（2）． 【变式7-2】定义：若，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与 (k为常数)始终是数n的“平衡数”，则它们是关于 ___的“平衡数”． 【答案】3 【分析】根据题干定义，直接建立等式，然后根据始终是有理数n的“平衡数”，可得到与的取值无关，从而求出，即可得出结论． 【详解】解： 由题意： ， ∵与（为常数）始终是数的“平衡数”， ∴的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查新定义问题，涉及到整式的加减计算以及取值无关型问题，理解题意，掌握整式的加减运算法则是解题关键． 【变式7-3】（25-26七年级上·吉林松原·期中）定义：若，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与（k为常数）始终是关于数n的“平衡数”，求n的值． 【答案】 【分析】本题考查新定义问题，涉及到整式的加减计算以及取值无关型问题，理解题意，掌握整式的加减运算法则是解题关键． 根据题干定义，直接建立等式，然后根据始终是数n的“平衡数”，可得到与的取值无关，从而求出，即可得出结论． 【详解】解：∵，， 则 ， ∵与（为常数）始终是数的“平衡数”， ∴的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $