第10章 整式的加减（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

第10章 整式的加减 教学目标 1. 整式及其有关概念； 2. 合并同类项； 3. 整式的加法与减法。 教学重难点 1.重点 （1）了解整式的有关概念及其应用； （2）知道同类项的概念，会合并同类项； （3）掌握整式的加法与减法运算。 2.难点 （1）整式的加减有关化简、变形、求值等；整体思想，适当拆分思想等； （2）整式的加减的综合应用。 知识点1 整式 1.单项式 像6a²、a³、2.5x、48%m、vt、、、-1，它们都是数与字母的乘积，像这样的式子叫单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式． 2.单项式的系数 一个含字母的单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数. 3.单项式的次数 ①一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.例如，6a²、a³、2.5x、48%m、vt的次数分别为2、3、1、1、2. ②特别地，非零的数是零次单项式，如5、都是零次单项式. 4.整式的概念：有限个单项式求和得到的代数式叫做整式． 注意：整式也叫整式；单项式也是整式。 5.整式的项、项数与次数 ①整式的项：合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项. ②整式的次数：各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数. ③整式的项数：合并同类项后，整式有几项，就称为几项式. 【即学即练】 1．在代数式中，有（    ）个整式． A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了整式的概念及单项式与整式，整式包括单项式和整式，整式是分母中不能含有字母的式子．根据整式、单项式、整式的概念即可判断． 【详解】解：是单项式，也是整式； 是整式，也是整式； 分母含字母，既不是单项式也不是整式，不是整式； 综上，共有6个整式， 故选B． 2．下列说法正确的是（    ） A．的系数是 B．的系数是1 C．的次数是6次 D．是二次三项式 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式和整式，熟练掌握定义是解题的关键；直接利用单项式的次数与系数、整式的项数与次数确定方法分别分析得出答案． 【详解】A．单项式的系数是，而非，故错误，该选项不符合题意； B．整式中，项的系数是1，但题目未指明具体项的系数，故错误，该选项不符合题意； C．单项式的次数为字母指数之和，即的次数为，而非6，故错误，该选项不符合题意； D．整式由（一次项）、（二次项）和（常数项）组成，最高次数为2，且有三项，是二次三项式，故正确，该选项符合题意； 故选：D． 3．是 次 项式，三次项是 ． 【答案】 三 三 【分析】本题主要考查整式，整个整式由3个不同的单项式组成，是三项式，次数最高项是，所以整个整式是三次整式． 【详解】解：整式是三次三项式，三次项是． 故答案为：三，三，． 知识点2 合并同类项 1.同类项：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项.几个常数项也是同类项。 2.合并同类项 像这样，把整式中的同类项合并成一项的过程叫作合并同类项. 3.合并同类项的法则： 在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，而字母和字母的指数不变. 4.为了表达方便或计算需要，在合并同类项后，可以根据加法的交换律将一个整式中的各项按照其中某一个字母指数的大小顺序来排列. ①按某个字母的降幂排列：例如，将x²+5x+4x⁴-3x³+2按x的指数从大到小的顺序排列，写成4x⁴-3x³+x²+5x+2,称为按x降幂排列； ②按某个字母的升幂排列：或者按x的指数从小到大的顺序排列，写成2+5x+x²-3x³+4x⁴,称为按x升幂排列. 【即学即练】 1．下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号法则，去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号．顺序为先大后小． 根据去括号法则逐个计算即可． 【详解】解：A． ，故此选项错误，不符合题意； B． ，故此选项错误，不符合题意； C． ，故此选项正确，符合题意； D． ，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键． 直接根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．单项式与 的和是单项式，则 ， ． 【答案】 2 3 【分析】本题考查合并同类项，根据题意，易得两个单项式为同类项，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵单项式与 的和是单项式， ∴单项式与为同类项， ∴， ∴； 故答案为：2，3 4．将整式按字母进行降幂排列： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的排列问题，从左往右把原整式按照b的指数从大到小排列即可． 【详解】解：将整式按字母进行降幂排列为， 故答案为：． 知识点3 整式的加法和减法 1.去括号法则 ①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； ②如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 2.添括号法则 ①添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； ②添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． 3.从数与一次式的相乘到数与整式的相乘 ①一般地，数与一次式相乘，就是用这个数去乘一次式的每一项，再把所得的积相加.在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为字母的系数，字母不变.运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号. ②一般地，数与整式相乘，就是用这个数去乘整式的每一项，再把所得的积相加.在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为项的系数，字母及其指数不变.运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号. 4.整式的加减运算 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【即学即练】 1．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算，去括号法则，合并同类项法则，加法的运算律，正确的运算是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，最后根据条件，代入求值即可； （2）先去括号，再合并同类项，最后根据条件求出的值，代入化简的代数式求值即可； 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 将代入上式，原式； （2）， ， ， ， ， ， 解得， 将代入， 原式， ， ， ， ， ． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，先去括号，再合并同类项即可． 【详解】原式 ． 故答案为：． 3．小宇在计算时，误将看成，得到的结果为，已知，则的正确结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减．首先根据，，求出，再计算求出正确的． 【详解】解：由题意可知：，， ， ， ； 故答案为： ． 题型01 判断单项式、整式 【典例1】．在代数式 、、、、a中，单项式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的判断，根据单项式的定义：数字与字母的积的形式，单个数字或字母也是单项式，逐一判断各代数式是否为单项式即可． 【详解】：用减号连接两个项，是整式，不是单项式． ：数字与字母的积，是单项式． ：数字与字母的积，是单项式． ：分母含字母，是分式，不是单项式． ：单独的数字，是单项式． ：单独的字母，是单项式． 综上，共有4个单项式， 故选C． 【变式1】．下列代数式，，，，中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的判定，掌握单项式的概念是关键． 数字与字母的积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫单项式，由此即可求解． 【详解】解：不是单项式， 是单项式， 是单项式， 是单项式， 不是单项式， ∴单项式有3个， 故选：C ． 【变式2】．下列各式中，①a；②；③0；④；⑤，整式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的定义，掌握整式是单项式和整式都统称成为解题的关键． 根据整式的概念逐个判断即可． 【详解】解：整式有a，0，，共3个． 故选B． 题型02 整式的有关概念Ⅰ 【典例1】．下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的系数是1 C．的次数是6次 D．是二次三项式 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式和整式，熟练掌握定义是解题的关键；直接利用单项式的次数与系数、整式的项数与次数确定方法分别分析得出答案． 【详解】A．单项式的系数是，而非，故错误，该选项不符合题意； B．整式中，项的系数是1，但题目未指明具体项的系数，故错误，该选项不符合题意； C．单项式的次数为字母指数之和，即的次数为，而非6，故错误，该选项不符合题意； D．整式由（一次项）、（二次项）和（常数项）组成，最高次数为2，且有三项，是二次三项式，故正确，该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】．单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查单项式的知识，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题的关键．根据定义解答即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是5， 故答案为：，5． 【变式2】．写出一个系数为，且含字母x和y的3次单项式 ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了单项式，根据单项式系数、次数的定义即可求解，熟练掌握单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：根据单项式定义得：以为系数，含有字母的三次单项式为或， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】．下列说法正确的是（   ） A．单项式m既没有系数也没有次数 B．系数是，次数是2次 C．整式的项是 D．是整式 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数和次数、整式的项以及整式的定义．逐一分析各选项是否符合相关概念即可． 【详解】解：A． 单项式的系数为1，次数为1，原说法错误； B． 的系数是，次数是和的指数之和，原说法错误； C． 整式的项应为、、，原选项未正确标注项的符号，错误； D． 可拆分为，属于整式，是整式，正确． 故选：D． 题型03 整式的有关概念Ⅱ 【典例1】．整式的一次项系数是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的有关概念．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，几个单项式的和叫做整式，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．整式中每个单项式叫做整式的项，有几个单项式即是几项式． 根据整式的各项系数的概念求解即可． 【详解】解：∵， ∴整式的一次项系数是； 故选：D． 【变式1】．下列说法中正确的是（　　） A．单项式的系数为，次数为3次 B．是单项式 C．关于x的整式是三次二项式 D．0是单项式 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，整式的定义及整式的定义，根据单项式次数和系数的定义，整式的定义和单项式的定义逐一判断即可．表示数与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做整式，每个单项式叫做整式的项，不含字母的项叫做常数项，整式里，次数最高项的次数叫做整式的次数；整式是单项式和整式的统称． 【详解】解：A．单项式的系数为，次数为3次，故该选项不正确，不符合题意； B．是整式，故该选项不正确，不符合题意； C．当不为0时，关于x的整式是二次三项式，故该选项不正确，不符合题意； D．0是单项式，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】．如果一个整式是五次整式，那么它任何一项的次数（   ） A．都小于5 B．都等于5 C．都不小于5 D．都不大于5 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式，掌握整式的相关定义是解题的关键． 根据整式中的每个单项式叫做整式的项，这些单项式中的最高次项的次数，就是这个整式的次数即可求解． 【详解】解∶一个整式是五次整式，那么它的最高次项的次数是5． 则任何一项的次数都不大于5． 故选∶D． 题型04 根据整式的有关概念求参数 【典例1】．若关于x的整式是三次二项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的项数和次数，根据整式的次数是整式中最高次项的次数，整式的项数为组成整式的单项式的个数求解即可． 【详解】解：∵整式是三次二项式， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式1】．整式是关于的三次四项式，且二次项系数是，求 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的定义，根据题意，则，求出，，即可． 【详解】∵是关于的三次四项式，二次项系数是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】．已知整式是五次整式，单项式与该整式的次数相同，求 ． 【答案】 【分析】根据整式的次数和单项式的次数的定义即可得出m，n，相加可得答案． 【详解】解：∵整式的次数是5， ∴， ∴， ∵单项式与该整式的次数相同， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的次数和单项式的次数的定义，掌握整式中次数最高项的次数是整式的次数是解题的关键． 题型05 按某个字母升幂或降幂排列 【典例1】．整式按字母的降幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式，解题的关键是掌握降幂排列的定义：按字母的指数从大到小排列即可． 【详解】解：整式按字母的降幂排列是． 故答案为：． 【变式1】．把整式按的降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式，先分清各项，再根据整式降幂排列的定义解答． 【详解】解：整式按的降幂排列为：． 故答案为：． 【变式2】．将整式按字母的升幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的升幂排列，熟练掌握整式的升幂排列的定义是解题的关键． 根据整式升幂排列的定义，按照的指数从小到大的顺序排列即可 【详解】解：整式按字母的升幂排列为， 故答案为： ． 题型06 判断同类项 【典例1】．下列说法正确的是（　　） A．与是同类项 B．与是同类项 C．与同类项 D．与是同类项 【答案】D 【分析】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），据此即可判断． 【详解】解：A、与所含字母不同，错误，不符合题意； B、不是整式，错误，不符合题意； C、与相同字母的次数不同，错误，不符合题意； D、与是同类项正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】．下列单项式中，的同类项是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．同类项定义中的两个“相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数相同．注意几个常数项也是同类项，同类项定义中的两个“无关”：①与字母的顺序无关，②与系数无关．据此解答即可． 【详解】解：A．与，相同字母的指数相同，是同类项，故符合题意； B．与相同字母的指数不同，故不符合题意；     C．与 字母的指数不同，故不符合题意； D．与字母的指数不同，故不符合题意； 故选A． 题型07 根据同类项求参数 【典例1】．若与是同类项，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了是同类项，根据同类项的定义求解即可，解题的关键是掌握同类项的定义． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 故选：C． 【变式1】．若单项式与的差仍是单项式，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了同类项的定义，理解定义是关键． 根据题意单项式的差仍是单项式，得出两个单项式是同类项，再根据同类项的定义，含有相同的字母，相同的字母相同，即可求解的值，则代数式的值即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 故， 故答案为：8． 题型08 去括号或添括号 【典例1】．下列去括号结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式去括号错误，不符合题意； B、，原式去括号错误，不符合题意； C、，原式去括号错误，不符合题意； D、，原式去括号正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】．下列去括号或添括号，其中正确的有（　　）个 ①；             ②； ③；          ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据添括号和去括号法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：① ，故①错误； ② ，故②错误； ③ ，故③错误； ④ ，故④正确； 所以正确的有④，共1个． 故选：A 【点睛】本题主要考查了添括号和去括号，熟练掌握添括号和去括号法则是解题的关键． 【变式2】．下列变形中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去括号法则：当括号前是“+”号时，去掉括号和前面的“+”号，括号内各项的符号都不变号；当括号前是“-”号时，去掉括号和前面的“-”号，括号内各项的符号都要变号． 添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．结合各选项进行判断即可． 【详解】解：A.，正确，不符合题意； B.，正确，不符合题意； C.，故不正确，符合题意； D.，正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了去括号法则与添括号法则， 熟练掌握去括号及添括号的法则是关键． 题型09 整式的加减运算 【典例1】．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减．根据合并同类项法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】．合并同类项 (1)； (2)． (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题关键． （1）根据合并同类项法则计算即可； （2）根据合并同类项法则计算即可； （3）根据合并同类项法则计算即可； （4）根据合并同类项法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： （4）解： 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减法则是解答此题的关键． （1）合并同类项即可求解； （2）先去括号，再合并同类项即可求解； （3）先去括号，再合并同类项即可求解； （4）先去括号，再合并同类项即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型10 整式的加减运算的代数应用——加减思想 【典例1】．若一个整式加上，结果是，则这个整式为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算．根据题意“一个整式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：依题意这个整式为： ， 故答案为：． 【变式1】．如图 (1)求整式； (2)若，求当时整式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减法的运算法则是解答关键． （1）根据题意列式计算求解； （2） 根据题意先列式求出的代数式，再将代入求解． 【详解】（1）解：根据题意可知 ． （2）解：当时， 解得， ． 当时， ． 【变式2】．已知，，． (1)化简； (2)当，，求式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，代数式求值，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键． （1）根据整式的加减运算法则计算即可； （2）把，整体代入（1）的结果求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ． 题型11 整式的加减运算的代数应用—失误、遮住等问题 【典例1】．有一道题目是一个整式减，小强误当成了加法计算，结果得到，那么正确的结果应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据题意，先求出这个整式，再把这个整式减，得到结果即可，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：设这个整式为， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】．小明在计算整式加上时，因误认为加上，得到答案，则原来的正确答案应是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．根据错误的结果减去，去括号、合并表示出整式，进一步利用加上，去括号、合并即可得到正确的答案． 【详解】解：∵整式加上时，因误认为加上，得到答案， ∴ ， ∴正确答案应是 ． 故答案为： 【变式2】．是小东做的一道整式运算题，但他不小心把一滴墨水滴在了上面（阴影部分即为被墨水弄污的部分），那么被墨水遮住的一项应是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法．先对等式左边进行化简，即可得到被墨水遮住的一项． 【详解】解： ， 被墨水遮住的一项应是， 故答案为：． 题型12 整式的加减运算的几何应用 【典例1】．如图是两个正方形组成的图形（不重叠无缝隙），用含字母的整式表示出阴影部分的面积为 【答案】 【分析】本题考查了正方形的面积，三角形的面积，整式加减的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由图得，即可得到答案． 【详解】解：由图得， 故答案为：． 【变式1】．将如图1的张长为，宽为的小长方形纸片按图的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，若图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，则的值是（   ） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减，首先设，则有，，根据矩形的面积公式可以用含的代数式分别表示出、，再利用整式的加减法求出即可． 【详解】解：如下图所示， 设， 则，， ，， ． 故选：A． 【变式2】．把七个长和宽分别为的小长方形，摆成如图所示的图形，若四边形为长方形，则图中阴影部分的面积为 ．（用含有的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，能表示出长方形的面积及小长方形的面积是解题的关键；将阴影部分的面积转化为长方形的面积减去7个小长方形的面积之和即可． 【详解】解：由所给图形可知，长方形的长为：，宽为：， 所以长方形的面积为：， 又因为空白部分为7个小长方形，它们的面积之和为：， 所以阴影部分的面积为， 故答案为：． 题型13 不含某项、与某字母取值无关 【典例1】．若关于x的整式的值与x的取值无关，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减—无关题型，先去括号，再合并同类项，结合题意得出，求解即可． 【详解】解：， ∵关于x的整式的值与x的取值无关， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】．若整式中不含项，则 ，化简结果为 ． 【答案】 / 【分析】先合并同类项，确定的系数，根据题意，令其系数为0，求得a值，化简即可得到最后的答案． 本题考查了整式的加减中不含项问题，熟练掌握解题的基本思路是解题的关键． 【详解】解： ， ∵整式中不含项， ∴， 解得， 故， 故答案为：，． 【变式2】．若整式与的和的值与所取的值无关，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是整式加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握去括号法则、合并同类项法在等知识． 先化简代数式，根据题意可知含x项的系数为0，进而求得m，n的值，再代入即可求解． 【详解】解： ∵整式与的和的值与所取的值无关， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2 【变式3】．若关于的整式的值与的取值无关，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，先合并同类项，再根据整式的值与的取值无关可得，从而可求出的值． 【详解】解： 原式的值与的取值无关， ， 解得：， 故答案为：． 【变式4】．已知代数式，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）利用整式加减的运算法则计算即可； （2）由（1）得，，结合题意得，解出的值即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）得，， 的值与y的取值无关， ， 解得：， x的值为． 题型14 新定义题；单项式规律题 【典例1】．关于x，y的单项式，若x的指数与y的指数是相等的正整数，则称该单项式是“等次单项式”．给出下面四个结论：①是“等次单项式”；②“等次单项式”的次数可能是奇数；③两个次数相等的“等次单项式”的和一定是“等次单项式”；④若五个“等次单项式”的次数均不高于8，则它们中必有同类项．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查同类项，合并同类项，单项式的次数，根据新定义，结合同类项以及合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：中x的指数与y的指数是相等的正整数，是“等次单项式”；故①正确； “等次单项式”的次数必为偶数，不可能是奇数；故②错误； 两个次数相等的“等次单项式”的和不一定是“等次单项式”，可能为0，故③错误； 若五个“等次单项式”的次数均不高于8，则，y的最大为4，则它们中必有同类项．故④正确； 故选B． 【变式1】．按一定规律排列的单项式：据此规律，第12个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式的规律探索，能根据题中给出的单项式正确找到规律是解题关键．根据所给的单项式的特点，找到规律即可判断． 【详解】解：根据题意可知，按一定规律排列的单项式：， 系数的排列规律为：，，，，，， 指数的排列规律为：，，，，，， ∴第个单项式为：， ∴第12个单项式为：． 故答案为：． 【变式2】．如果整式和整式的和为一个常数，我们称、为常数的“和谐整式”．例如：和为数的“和谐整式”．若关于的整式与为常数的“和谐整式”．则常数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是理解和谐整式的概念，正确计算．根据题意得，则，解得，，将代入，进行计算即可得． 【详解】解：∵关于x的整式与为常数k的“和谐整式”， ∴， ， 则 解得，， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．下列各式中：，0，，，，，单项式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】直接利用单项式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：是单项式，共3个． 分母上有字母，故排除， 不是单项式，故排除， 是等式，故排除， ∴单项式共3个， 故选：A 【点睛】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的定义是解题关键． 2．下列各组单项式中，不是同类项的为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查同类项是定义，根据同类项的定义：“所含字母相同，且字母的指数也相同的单项式，”进行判断即可． 【详解】解：A、和是同类项，故不符合题意； B、和不是同类项，故符合题意； C、和是同类项，故不符合题意； D、和是同类项，故不符合题意； 故选：B． 3．下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查合并同类项，掌握同类项的概念和合并同类项的法则是解题的关键． 根据合并同类项的法则逐一进行判断即可． 【详解】A．不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；     B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意；     D．不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；     故选：B． 4．下列去括号错误的个数共有（    ）． ①；     ②； ③；     ④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据整式加减的计算法则进行逐一求解判断即可． 【详解】解：① ，故此项错误； ②，故此项正确； ③，故此项错误； ④，故此项错误； 故选D． 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 5．小毅写作业时发现，代数式中三次项系数和一次项系数被顽皮的弟弟涂成了◆和★．但他记得：当时，该代数式的值是5，则当时，该代数式的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得到◆+★=4，再整体代入计算即可． 【详解】解：当x=1时，原式=◆+★+1=5， ∴◆+★=4， ∴当x=-1时，原式=-（◆+★）+1 =-4+1 =-3． 故选B． 【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握整体思想的运用． 6．若关于的整式化简后不含二次项，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减不含某项问题，先化简整式，进而根据化简后不含二次项，可得二次项系数为，据此列出等式解答即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵关于的整式化简后不含二次项， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 7．下列式子：，，，，，0，整式的个数是 个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了整式的概念，正确把握定义是解题关键．根据整式的定义从给出的式子中找出整式的个数即可． 【详解】解：在，，，，，0中，整式有，，，0，共4个． 故答案为：4． 8．关于a，b的整式为 次 项式．其次数最高项的系数是 ． 【答案】 六 四 2 【分析】本题考查了整式的项数，次数和系数的求解．整式中含有单项式的个数即为整式的项数，包含的单项式中未知数的次数总和的最大值即为整式的次数． 根据整式的项数，次数和系数的概念求解即可． 【详解】解：关于a，b的整式为六次四项式，其次数最高项的系数是2． 故答案为：六，四，2． 9．已知单项式和是同类项，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了已知同类项求指数中字母或代数式的值，解二元一次方程组，先理解题意得，再运用代入消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵单项式和是同类项， ∴， 整理得， 把代入， 得， 整理得， ∴， 把代入， 得， 故答案为：． 10．一个整式M减去整式，小马虎却误解为先加上这个整式，结果，得，则正确的结果是 ． 【答案】 【分析】（1）根据题意可得，求出M，然后求出即可； （2）设，，根据即，因此所求的. 【详解】【方法1】由题意，得． 易得． ∴． 则正确的结果是． 【方法2】设，． 由题意，得，故，因此所求的． ∴． 则正确的结果是． 【点睛】在整式运算应用过程中，我们可以发现，在尽量避免烦琐计算的同时要运用一些整体代入的思想，这样可以有效地将计算过程缩短，达到化繁为简的目的．方法二在进行运算之前，先采用换元的思想将运算过程简化为，这样能在优化算法的同时减少计算量． 11．定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与 是关于1的平衡数，与 是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若，，判断a与b是否是关于1的平衡数 （填是与否） 【答案】 否 【分析】本题以新定义为载体，主要考查了整式的加减，正确理解新定义、熟练掌握整式加减运算的法则是解题的关键； （1）根据平衡数的定义列式计算即可； （2）根据平衡数的定义计算的值是否等于2即可作出判断． 【详解】解：（1）根据题意，3关于1的平衡数是， 关于1的平衡数是， 故答案为：，； （2）因为 ， 所以a与b不是关于1的平衡数； 故答案为：否． 三、解答题 12．合并下列各式的同类项： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了去括号、合并同类项， （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将括号和负号去掉后，括号内每一项的符号要发生改变． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．计算： （1）；        （2）； （3）；     （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可； （2）根据去括号法则去掉括号，再合并同类项即可； （3）根据去括号法则去掉括号，再合并同类项即可； （4）根据去括号法则去掉括号，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） = =；       （2） = =； （3） = =；     （4） = =-1． 【点睛】此题考查整式的加减法计算法则，正确掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 14．先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 【答案】（1），2；（2）， 【分析】（1）直接利用整式的加减法及合并同类项化简后，再将代入求值； （2）直接利用整式的加减法、乘法及合并同类项化简后，再将代入求值． 【详解】解：（1）， ， 当时， ； （2）， ， ， 当时， ． 【点睛】本题考查了整式加减中的化简及求值，解题的关键是掌握整式运算的基本法则． 15．已知整式﹣x2y2m+1+xy﹣6x3﹣1是五次四项式，且单项式πxny4m﹣3与整式的次数相同，求m，n的值． 【答案】m＝1，n＝4． 【分析】根据整式的次数是整式中次数最高的单项式的次数，可得m的值，根据单项式的次数是单项式中所有字母指数和，可得n的值． 【详解】∵整式﹣x2y2m+1+xy﹣6x3﹣1是五次四项式，且单项式πxny4m﹣3与整式的次数相同， ∴2+2m+1＝5，n+4m﹣3＝5， 解得m＝1，n＝4． 【点睛】本题考查了整式，利用整式的次数是整式中次数最高的单项式的次数，单项式的次数是单项式中所有字母指数和得出m、n的值是解题关键． 16．有这样一道题：当，时，求整式的值，马小虎做题时把错抄成，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由． 【答案】理由见解析 【分析】将原整式进行化简，即可求解． 【详解】解：原式 ． 所以这个整式的值与a，b取值无关、所以两人做出的结果一样． 【点睛】本题主要考查了整式的加减混合运算，熟练掌握整式混合运算的基本步骤是解题的关键． 17．两个边长分别为和的正方形如图放置（图），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图），两个边长为的小正方形叠合部分（阴影）面积为，图中阴影部分的面积． (1)用含，的代数式分别表示，． (2)试说明． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（）根据图形列出代数式即可； （）根据图形表示出，再根据（）求出即可求证； 本题考查了列代数式，整式加减的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，，； （2）证明：由图可得，， ∵， ∴． 18．定义：已知M，N都是关于x的整式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的整式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)M不是N的“平移式”，理由见解析 (2)，； (3)当，时，M是N的“平移式”，“平移值”是5 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据新定义，仿照示例，可判断M不是N的“平移式”； （2）根据题意，得到，代入M，N的代数式，化简可得到结果； （3）先表示出N，判断当的条件，从而得到结果． 【详解】（1）解： M不是N的“平移式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴M不是N的“平移式”； （2）解：∵M是N的“平移式”，且“平移值”为3， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当，则或， ①若， 时，，， ∴，则M是N的“平移式”，“平移值”是5； ②当，时，， ∴，则M不是N的“平移式”， 综上，当， 时，M是N的“平移式”，“平移值”是5． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 整式的加减 教学目标 1. 整式及其有关概念； 2. 合并同类项； 3. 整式的加法与减法。 教学重难点 1.重点 （1）了解整式的有关概念及其应用； （2）知道同类项的概念，会合并同类项； （3）掌握整式的加法与减法运算。 2.难点 （1）整式的加减有关化简、变形、求值等；整体思想，适当拆分思想等； （2）整式的加减的综合应用。 知识点1 整式 1.单项式 像6a²、a³、2.5x、48%m、vt、、、-1，它们都是数与字母的乘积，像这样的式子叫单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式． 2.单项式的系数 一个含字母的单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数. 3.单项式的次数 ①一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.例如，6a²、a³、2.5x、48%m、vt的次数分别为2、3、1、1、2. ②特别地，非零的数是零次单项式，如5、都是零次单项式. 4.整式的概念：有限个单项式求和得到的代数式叫做整式． 注意：整式也叫整式；单项式也是整式。 5.整式的项、项数与次数 ①整式的项：合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项. ②整式的次数：各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数. ③整式的项数：合并同类项后，整式有几项，就称为几项式. 【即学即练】 1．在代数式中，有（   ）个整式． A．7 B．6 C．5 D．4 2．下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的系数是1 C．的次数是6次 D．是二次三项式 3．是 次 项式，三次项是 ． 知识点2 合并同类项 1.同类项：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项.几个常数项也是同类项。 2.合并同类项 像这样，把整式中的同类项合并成一项的过程叫作合并同类项. 3.合并同类项的法则： 在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，而字母和字母的指数不变. 4.为了表达方便或计算需要，在合并同类项后，可以根据加法的交换律将一个整式中的各项按照其中某一个字母指数的大小顺序来排列. ①按某个字母的降幂排列：例如，将x²+5x+4x⁴-3x³+2按x的指数从大到小的顺序排列，写成4x⁴-3x³+x²+5x+2,称为按x降幂排列； ②按某个字母的升幂排列：或者按x的指数从小到大的顺序排列，写成2+5x+x²-3x³+4x⁴,称为按x升幂排列. 【即学即练】 1．下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．单项式与 的和是单项式，则 ， ． 4．将整式按字母进行降幂排列： 知识点3 整式的加法和减法 1.去括号法则 ①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； ②如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 2.添括号法则 ①添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； ②添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． 3.从数与一次式的相乘到数与整式的相乘 ①一般地，数与一次式相乘，就是用这个数去乘一次式的每一项，再把所得的积相加.在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为字母的系数，字母不变.运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号. ②一般地，数与整式相乘，就是用这个数去乘整式的每一项，再把所得的积相加.在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为项的系数，字母及其指数不变.运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号. 4.整式的加减运算 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【即学即练】 1．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 2．计算： ． 3．小宇在计算时，误将看成，得到的结果为，已知，则的正确结果为 ． 题型01 判断单项式、整式 【典例1】．在代数式 、、、、a中，单项式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】．下列代数式，，，，中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．下列各式中，①a；②；③0；④；⑤，整式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02 整式的有关概念Ⅰ 【典例1】．下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的系数是1 C．的次数是6次 D．是二次三项式 【变式1】．单项式的系数是 ，次数是 ． 【变式2】．写出一个系数为，且含字母x和y的3次单项式 ． 【变式3】．下列说法正确的是（   ） A．单项式m既没有系数也没有次数 B．系数是，次数是2次 C．整式的项是 D．是整式 题型03 整式的有关概念Ⅱ 【典例1】．整式的一次项系数是（   ） A．7 B． C． D． 【变式1】．下列说法中正确的是（　　） A．单项式的系数为，次数为3次 B．是单项式 C．关于x的整式是三次二项式 D．0是单项式 【变式2】．如果一个整式是五次整式，那么它任何一项的次数（   ） A．都小于5 B．都等于5 C．都不小于5 D．都不大于5 题型04 根据整式的有关概念求参数 【典例1】．若关于x的整式是三次二项式，则 ． 【变式1】．整式是关于的三次四项式，且二次项系数是，求 ． 【变式2】．已知整式是五次整式，单项式与该整式的次数相同，求 ． 题型05 按某个字母升幂或降幂排列 【典例1】．整式按字母的降幂排列是 ． 【变式1】．把整式按的降幂排列为 ． 【变式2】．将整式按字母的升幂排列为 ． 题型06 判断同类项 【典例1】．下列说法正确的是（　　） A．与是同类项 B．与是同类项 C．与同类项 D．与是同类项 【变式1】．下列单项式中，的同类项是（　　） A． B． C． D． 题型07 根据同类项求参数 【典例1】．若与是同类项，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．5 【变式1】．若单项式与的差仍是单项式，则的值为 ． 题型08 去括号或添括号 【典例1】．下列去括号结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列去括号或添括号，其中正确的有（　　）个 ①；             ②； ③；          ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．下列变形中错误的是（    ） A． B． C． D． 题型09 整式的加减运算 【典例1】．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．合并同类项 (1)； (2)． (3)； (4) 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型10 整式的加减运算的代数应用——加减思想 【典例1】．若一个整式加上，结果是，则这个整式为 ． 【变式1】．如图 (1)求整式； (2)若，求当时整式的值． 【变式2】．已知，，． (1)化简； (2)当，，求式子的值． 题型11 整式的加减运算的代数应用—失误、遮住等问题 【典例1】．有一道题目是一个整式减，小强误当成了加法计算，结果得到，那么正确的结果应该是 ． 【变式1】．小明在计算整式加上时，因误认为加上，得到答案，则原来的正确答案应是 ． 【变式2】．是小东做的一道整式运算题，但他不小心把一滴墨水滴在了上面（阴影部分即为被墨水弄污的部分），那么被墨水遮住的一项应是 ． 题型12 整式的加减运算的几何应用 【典例1】．如图是两个正方形组成的图形（不重叠无缝隙），用含字母的整式表示出阴影部分的面积为 【变式1】．将如图1的张长为，宽为的小长方形纸片按图的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，若图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，则的值是（   ） A．3 B．2 C．0 D． 【变式2】．把七个长和宽分别为的小长方形，摆成如图所示的图形，若四边形为长方形，则图中阴影部分的面积为 ．（用含有的代数式表示） 题型13 不含某项、与某字母取值无关 【典例1】．若关于x的整式的值与x的取值无关，则m的值为 ． 【变式1】．若整式中不含项，则 ，化简结果为 ． 【变式2】．若整式与的和的值与所取的值无关，则的值是 ． 【变式3】．若关于的整式的值与的取值无关，则 ． 【变式4】．已知代数式，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 题型14 新定义题；单项式规律题 【典例1】．关于x，y的单项式，若x的指数与y的指数是相等的正整数，则称该单项式是“等次单项式”．给出下面四个结论：①是“等次单项式”；②“等次单项式”的次数可能是奇数；③两个次数相等的“等次单项式”的和一定是“等次单项式”；④若五个“等次单项式”的次数均不高于8，则它们中必有同类项．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．①③④ 【变式1】．按一定规律排列的单项式：据此规律，第12个单项式为 ． 【变式2】．如果整式和整式的和为一个常数，我们称、为常数的“和谐整式”．例如：和为数的“和谐整式”．若关于的整式与为常数的“和谐整式”．则常数的值是 ． 一、单选题 1．下列各式中：，0，，，，，单项式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．下列各组单项式中，不是同类项的为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列去括号错误的个数共有（    ）． ①；     ②； ③；     ④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．小毅写作业时发现，代数式中三次项系数和一次项系数被顽皮的弟弟涂成了◆和★．但他记得：当时，该代数式的值是5，则当时，该代数式的值是（    ） A．1 B． C． D． 6．若关于的整式化简后不含二次项，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．下列式子：，，，，，0，整式的个数是 个． 8．关于a，b的整式为 次 项式．其次数最高项的系数是 ． 9．已知单项式和是同类项，则 ， ． 10．一个整式M减去整式，小马虎却误解为先加上这个整式，结果，得，则正确的结果是 ． 11．定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与 是关于1的平衡数，与 是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若，，判断a与b是否是关于1的平衡数 （填是与否） 三、解答题 12．合并下列各式的同类项： (1) (2) 13．计算： （1）；        （2）； （3）；     （4）． 14．先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 15．已知整式﹣x2y2m+1+xy﹣6x3﹣1是五次四项式，且单项式πxny4m﹣3与整式的次数相同，求m，n的值． 16．有这样一道题：当，时，求整式的值，马小虎做题时把错抄成，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由． 17．两个边长分别为和的正方形如图放置（图），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图），两个边长为的小正方形叠合部分（阴影）面积为，图中阴影部分的面积． (1)用含，的代数式分别表示，． (2)试说明． 18．定义：已知M，N都是关于x的整式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的整式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$