第二章 直线和圆的方程 章末综合检测（二）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

章末综合检测（二） （时间：120分钟,满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为直线的斜率为，设倾斜角为 ，所以，故 . 2．若点在圆内，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题可知，，解得. 3．过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】选.当直线 过原点时，其方程是，符合题意; 当直线 不过原点时，设直线方程为，代入，可得，解得，所以方程是. 4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和,另一组对边所在的直线方程分别为和，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】选.因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，直线 和 之间的距离为，直线 和 之间的距离为,于是有， 则. 5．已知直线与圆交于,两点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由，可化为， 所以圆心 到 的距离为，又圆的半径为，所以， 则 的面积为. 6．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】选.由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点，设反射光线所在直线方程为，即.因为反射光线与圆 相切，所以圆心 到直线 的距离等于半径1，即，整理得，解得 或. 7．四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，设,,,,. 所以,,,, 所以, 因为 , 即, 故点 在以点 为圆心，半径为 的圆周上运动，所以 的最大值为. 8．圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差.在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线被称为这两个圆的根轴.已知圆与圆，是这两个圆根轴上一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题知，圆 的圆心为，半径；圆 的圆心为，半径. 设点 为圆 与圆 的根轴 上的任意一点，则， 所以， 整理得，即圆 与圆 的根轴 为直线. 取 关于 对称的点，则. 因为，所以 在 上，所以当，，三点共线时，取得最大值. 因为 到 的距离为，到 的距离为，所以，即 的最大值为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知直线，直线，则（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线恒过点 C. 当时， D. 当时， 【答案】AC 【解析】选.对于，，即，故直线 在 轴上的截距为，故 正确； 对于，，即，令，，可得，，即直线 恒过点，故 错误； 对于，当，即 时，，故，故 正确； 对于，当 时，令，，此时直线，与直线 重合，两直线不平行，故 错误. 10．已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列描述正确的有（ ） A. 直线与圆相交 B. 的最小值为 C. 四边形面积的最小值为4 D. 存在点，使得 【答案】BC 【解析】选.圆 的圆心为，半径，连接（图略）， 对于，点 到直线 的距离，直线 与圆 相离，错误； 对于，点 在圆 上，则，正确； 对于，由切线长定理知，，当且仅当 时取等号，因此四边形 面积的最小值为4，正确； 对于，由切线长定理知，，而，又 是锐角，正弦函数 在,上单调递增，则 的最大值为，当且仅当 时取等号，因此 的最大值为，错误. 11．已知，，是曲线上的任意一点，若的值与，无关，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】BC 【解析】选.由曲线，得， 则，所以曲线 表示圆心为，半径 的半圆 轴及以上部分. 设 为点 到直线 的距离，为点 到直线 的距离. 已知 ， 即 表示点 到直线 和 的距离和的 倍. 由图可知，该曲线在两平行直线，之间时， 点 到直线 和 的距离和为两平行线之间的距离. 当 与曲线相切时，，解得，则 的取值范围为； 当 经过点 时，，解得，则 的取值范围为. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.） 12．若直线与直线平行，则它们之间的距离为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意，可得，故 化简为，所以两直线之间的距离为. 13．若圆，则过点且与圆相切的直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或 【解析】由圆，圆心为，半径为1，当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为，此时直线 恰好与圆相切，符合题意； 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为，即，则，解得，则直线 的方程为，即. 综上所述，直线 的方程为 或. 14．设函数，若点满足，，记点构成的图形为 ，则 的面积是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】依题意 即 即 不等式 表示的点 位于圆 的圆上和圆内， 由此画出图形 如图 阴影部分所示， 由于,， 所以, ， 所以图形 的面积为. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分13分） 已知直线，直线，与交于点,点. （1） 求线段的垂直平分线的方程；（6分） （2） 求过,两点，且圆心在直线上的圆的标准方程.（7分） 【答案】 （1） 解：解得 故，因为，所以 中点坐标为,,且. 所以 的垂直平分线方程为，即. （2） 由 解得 故圆心坐标为，半径为. 所以圆的标准方程为. 16．（本小题满分15分）已知直线经过点，圆. （1） 若圆关于直线对称，求直线的方程；（7分） （2） 若直线平行于直线，求直线关于点的对称直线的方程.（8分） 【答案】（1） 解：由 可得圆 的圆心，半径，因为圆 关于直线 对称，所以直线 过圆心，又直线 过点，所以直线 的斜率，由点斜式方程可得，即.故直线 的方程为. （2） 由题意知，直线 斜率，则由点斜式方程可得，即，因为直线 与直线 关于点 对称，所以，又因为点 关于点 对称的点为，直线 过点，则由点斜式方程可得，即.故直线 的方程为. 17．（本小题满分15分）已知圆. （1） 过圆外一点引圆的切线，求切线方程；（7分） （2） 设点是直线上的一点，过点作圆的切线，切点是，求面积的最小值以及此时点的坐标.（8分） 【答案】 （1） 解：当切线斜率存在时，设切线的方程为，即，因为圆心 到切线的距离是2， 所以，解得，所以切线方程为，即. 当切线斜率不存在时，易知 与圆也相切，故所求切线方程为 和. （2） 易知直线 与圆 相离，故由圆的几何性质可知，当 时，的面积最小. 又因为， 所以直线 的方程为， 由 解得 即点 的坐标为，此时 面积的最小值为. 18．（本小题满分17分）已知过点且斜率为的直线与圆相交于，两点. （1） 求的取值范围；（7分） （2） 若，为坐标原点，求.（10分） 【答案】 （1） 解：设过点 且斜率为 的直线 的方程为， 则 整理得， 直线 与圆 交于，两点，， 所以，解得. （2） 设,， 由（1）得，，，因为， 则，所以， 故， 解得 或. 由于，所以，所以直线 的方程为，圆心 到直线 的距离，圆的半径为， 所以. 19．（本小题满分17分）若集合表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆. （1） 若圆是集合的包络圆. ① 求，满足的关系式;（4分） ② 若，求的取值范围;（4分） （2） 若集合,}的包络圆为，是上任意一点，判断轴上是否存在定点，，使得，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由.（9分） 【答案】① 解：因为圆 是集合 的包络圆，所以圆心 到直线 的距离为2，即，化简得，即，满足的关系式为. ② 由 及， 可得圆 与直线 有公共点，所以，解得，故 的取值范围是. （2） 设，由题意可知点 到直线 的距离为与 无关的定值， 即 为与 无关的定值，所以,,即，此时. 所以 的方程为， 设，则， 即， 假设 轴上存在定点，，使得，设，， 则 ， 所以 解得 或 所以，存在， 即，或，. 第29页 学科网（北京）股份有限公司 $