山西太原市2025-2026学年高二下学期7月期末学业诊断数学试卷

2025-2026学年第二学期高二年级期末数学试题 参考答案及评分建议 一．选择题： D B B A B B C D 二．选择题： 9．BC 10．BCD 11．ACD 三．填空题： 12．2或5 13．2 14． 四．解答题： 15．解：（1）由题意得4人中男生女生各选2人的不同选法种数为； 3分 （2）由题意得男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内的不同选法种数为； （3）由题意得4人中必须既有男生又有女生的不同选法种数为． 13分 16．解：（1）由题意得， 的展开式的通项是，，，…，， 当时，； 当时，； ． 5分 （2）令，则， ，① 令，则， ，② ①+②可得． 10分 （3）令，则，③ 令，则，④ ③-④可得． 15分 17．（1）零假设为：受调居民中对“端午节”民俗的了解程度不存在年龄差异， 1分 ， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为受调居民中对“端午节”民俗的了解程度存在年龄差异，此推断犯错误的概率不超过0.01． 4分 根据列联表中数据，30岁以下群体的不了解和了解的频率分别为和，岁以上群体的不了解和了解的频率分别为和，根据频率稳定于概率的原理，可以认为对“端午节”民俗了解的居民中年龄为50岁以上的概率大． 6分 （2）①由题意得的可能取值为，，，，， ，，， 10分 用表格表示的分布列为 0 1 2 3 ②由题意得的可能取值为，，， ，，， 13分 用表格表示的分布列为 5 10 15 ． 15分 18．（1）设事件“小明在前3次射击中得到1分”， 由题意得． 4分 （2）设事件“小明在前3次射击中得到2分”，“这2分均在场景B下获得”， 由题意得，， ． 10分 （3）设“小明第次在场景A下射击”，，，…，，…， 由题意得，且，，， 由全概率公式得， 即， 13分 ，且， 15分 是以为首项、为公比的等比数列，， （）． 17分 19．解：（1）由题意得，， ，， 关于的线性经验回归方程为． 5分 （2）由题意得，，，， 关于的线性经验回归方程为， 关于的非线性经验回归方程为． 11分 （3）由题意得（1）中的线性经验回归方程为，其残差平方和为 ， （2）中的非线性经验回归方程为，其残差平方和为 因为，所以（2）中经验回归方程的拟合效果好． 17分 注：以上各题其他解法请酌情赋分． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期高二年级期末学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午8:00—10:00） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分． 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．在统计中，属于连续型随机变量分布的是 A．两点分布 B．二项分布 C．超几何分布 D．正态分布 2．已知离散型随机变量，则 A．7 B．3 C．2.1 D．0.7 3．以下四幅散点图中所对应的样本相关系数的大小关系为 A． B． C． D． 4．已知随机变量的期望，方差，随机变量，则下列结论正确的是 A．， B．， C．， D．， 5．已知随机变量满足，，，若，则 A． B． C． D． 6．甲、乙、丙、丁等8人分成，两技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在同一小组，丙、丁不在同一小组，共有不同分配方案的种数为 A．12 B．16 C．24 D．36 7．对某试验的一个数学量做次测量，并以测量结果的平均值作为该试验此数学量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在内的概率不小于0.9973，则该试验至少需要测量的次数为 （附：若，则） A．8 B．16 C．32 D．64 8．已知甲袋中有2个黑球、2个红球，乙袋里有2个红球、1个黑球和1个白球，每个球大小形状都完全相同．现进行摸球游戏，游戏规则为：先从甲袋中随机摸出两个球，再从乙袋中随机摸出一个球．中奖规定：摸出的三个球，若恰有两个红球，则中奖；若恰有一个白球，也中奖；若摸出两个红球和1个白球，则不中奖；其余情况也不中奖，那么一名游戏参与者中奖的概率为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是 A．用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误 B．独立性检验是对两个分类变量之间的关联性进行统计推断，这种推断基于小概率原理，它与反证法有所不同 C．在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D．在回归分析中，决定系数越小，模型的拟合效果越好 10．将不同年级的3本数学书和3本不同的物理书排列在同一层书架上，则下列结论正确的是 A．若3本数学书都相邻，则不同排列的方法种数为24 B．若3本数学书都不相邻，则不同排列的方法种数为144 C．若3本数学书按年级从小到大顺序排列，则不同排列的方法种数为120 D．若将这6本书分给甲、乙、丙三人，每人1本数学书和1本物理书，则不同排列的方法种数为36 11．初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为四个自然数的平方和．例如正整数．设方程的解集为，其中，，，均为自然数，则下列结论正确的是 A． B．中存在，，，全不相等的元素 C．中存在满足元素 D．中元素的个数为54 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，则_________． 13．已知变量，之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则_________． 14．已知袋子装有标号分别为，，，，，的6个小球（仅标号不同），从中有放回地随机抽取3次，每次抽取1个球．记为3次取球试验中，这6个小球至少被取出1次的球的个数，则的数学期望_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 从5名男生和4名女生中选出4人去参加知识竞赛． （1）若4人中男生女生各选2人，则有多少种不同选法？ （2）若男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内，则有多少种不同选法？ （3）若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种不同选法？ 16．（本小题15分） 已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17．（本小题15分） 2026年6月19日是中国传统的“端午节”，“端午”是中国农历五月初五．端午节源于自然天象崇拜，集祈福辟邪、欢庆娱乐及饮食为一体的民俗大节．为调查不同年龄人群对“端午节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某社区的100位居民，得到如下列联表： 年龄 不了解 了解 合计 30岁以下 25 15 40 50岁以上 20 40 60 合计 45 55 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析受调居民中对“端午节”民俗的了解程度是否存在年龄差异？ （2）受调居民甲、乙两人参加一次民俗文化答题调研．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道．规定每次甲、乙都从备选试题中各随机抽出3道试题进行回答，答对一题得5分，答错一题得0分． ①求甲答对试题数的分布列； ②乙答题得分的数学期望． 附：； 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18．（本小题17分） 男子10米气步枪是奥运会射击比赛项目，国家队在选拔运动员时，通常需要测试运动员在不同场景下的命中率．运动员小明为备战奥运会，到射击馆选择场景与场景进行相关训练，训练规则如下：若在某场景下命中目标，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中目标，则更换到另一场景下进行射击．已知小明在场景下命中率为，在场景下命中率为．训练时，每次射击命中目标记1分，未命中记0分，且第1次在场景下射击． （1）求小明在前3次射击得到1分的概率； （2）若小明在前3次射击得到2分，求这2分均在场景下获得的概率； （3）求小明第n次在场景下射击的概率． 19．（本小题17分） 某人工智能科技公司对其产品研发年投资额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图． 表1： 1 2 3 4 5 0.5 1 1.5 2.5 4.5 （1）求年销售量关于年投资额的线性经验回归方程； （2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量关于年投资额的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程； 表2： 1 2 3 4 5 -0.7 0 0.4 0.9 1.5 （3）请根据表3的数据，用残差平方和比较（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果． 表3： 2 3 4 5 的近似值 2.9 4.9 8.4 14.2 参考公式：，； 参考数据：，． 学科网（北京）股份有限公司 $