精品解析：山西省太原市、阳泉市2024-2025学年高二下学期期末学业诊断数学试题

山西省太原市、阳泉市2024-2025学年高二下学期期末学业诊断数学试题 （考试时间：上午8：00－10：00） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在统计中，研究两个分类变量之间的关联性时常用的图是（ ） A. 散点图 B. 残差图 C. 频率分布直方图 D. 等高堆积条形图 2. 已知，则（ ） A. 2 B. 3 C. 2或5 D. 3或4 3. 某校高一年级4名同学报名参加音乐、美术和体育社团，每名同学根据爱好选择其中1个社团，则他们不同的选法种数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 5. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. 9 D. 24 6. 已知随机变量的分布列如下表，则“”是“”的（ ） 0 1 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 甲箱中有2个红球和3个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中所有的球仅颜色不同），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，设“从甲箱中取出的球是红球”，“从乙箱中取出的两球都是红球”，则（ ） A. B. C. D. 8. 某校选派了甲、乙等5名教师到三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，若甲、乙不去同一所学校，则不同的选派方法种数为（ ） A. 108 B. 114 C. 162 D. 225 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.） 9. 如图，某同学将搜集的六组成对数据绘制成散点图，若把图中的点去掉，对比原数据重新进行线性回归分析，则下列结论正确的是（ ） A. 数据的残差平方和变大 B. 数据的决定系数变大 C. 解释变量与响应变量的线性相关程度变强 D. 样本相关系数的绝对值更趋于0 10. 如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设经过6次移动后，该质点位于的位置，记其概率为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则下列结论正确是（ ） A. B C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. __________（用数字作答）. 13. 某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有四种不同的鲜花可供摆放，要求有公共边的区域摆放不同种类的鲜花，则摆放鲜花的不同方法种数为__________. 14. 已知一个袋中装有（除颜色外完全相同）5个红球，个黑球.现从袋中随机摸出3个球，设表示摸出红球的个数，若，则__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？ （1）四位数； （2）四位偶数； （3）大于4000的四位奇数. 16. 为调查喜欢轮滑项目是否和性别有关，某轮滑车店随机发放了50份问卷，并全部收回，经统计，得到如下列联表： 男性 女性 合计 喜欢 20 10 30 不喜欢 5 15 20 合计 25 25 50 （1）依据小概率值的独立性检验，分析喜欢轮滑项目与性别是否有关联？ （2）现按性别分层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，从上述喜欢轮滑项目的受访者中抽取6人，再从6人中抽取3人，其中男性人数为，求的分布列和数学期望. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6635 10828 17. 为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. （1）已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ （2）决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 18. 自2020年以来，某地区新能源产值规模呈快速增长态势，下表给出了近5年该地区的新能源产值（单位：亿元）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 产值 1.5 2.5 3.4 4.9 78 （1）若用作为回归模型，且，求此模型的方程及其决定系数（精确到0.01）； （2）若用作为回归模型，求此模型的方程； （3）已知回归模型的决定系数，请说明哪种回归模型拟合效果更好，并用拟合效果好的模型预测2025年该地区的新能源的产值（精确到0.01）. 参考数据： 3 4.02 1.24 75.3 104.91 16.16 22.54 1.1 1.5 11.4 附：（1）上表中； （2）对于一组数据，其经验回归方程为， ； 决定系数. 19. 小明是一名篮球运动爱好者，为提高篮球水平，决定在假期针对篮球技术的四个基本动作：运球、传球、投篮和上篮进行训练.假设小明每天进行多次分项目（四个动作分别对应四个项目，一次只练一个项目）训练，为增加趣味性，计划每次（从第二次起）都是从上次未训练的三个项目中等可能地随机选取一项训练. （1）某天小明在四个项目中随机选一项开始训练，求第三次是投篮训练的概率； （2）某天小明进行了5次训练，四个项目均有训练，第1次是运球训练.若前后训练项目不同视为不同的训练，设变量为5次训练中运球训练的次数，求的分布列及期望； （3）某天小明第一次训练项目是运球，设表示第次是运球训练的概率，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山西省太原市、阳泉市2024-2025学年高二下学期期末学业诊断数学试题 （考试时间：上午8：00－10：00） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在统计中，研究两个分类变量之间的关联性时常用的图是（ ） A. 散点图 B. 残差图 C. 频率分布直方图 D. 等高堆积条形图 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计图的适用对象即可求解. 【详解】在统计中，研究两个分类变量之间的关联性时常用的图是等高堆积条形图， 散点图是研究两个变量之间相关关系时用，残差是研究拟合效果时用到的，频率分布直方图是研究频率分布时用到的， 故选：D 2. 已知，则（ ） A. 2 B. 3 C. 2或5 D. 3或4 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数的计算即可求解. 【详解】由于 因此，故或， 故选：C 3. 某校高一年级4名同学报名参加音乐、美术和体育社团，每名同学根据爱好选择其中1个社团，则他们不同的选法种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由乘法计数原理即可求解. 【详解】每一位同学都有3种选择，根据分步乘法计数原理可得一共有种情况， 故选：B 4. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】随机变量，且, 故， 故选：A 5. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. 9 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式的展开式的通项公式求解即可. 【详解】二项式展开式的通项公式为 ，， 所以展开式中的项为， 所以展开式中的项的系数为. 故选：C. 6. 已知随机变量的分布列如下表，则“”是“”的（ ） 0 1 A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据期望和方差的计算公式即可结合充分必要条件的定义求解. 【详解】由分布列可得，， 若，则，此时，故充分性成立， 若，则，解得或，故必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 7. 甲箱中有2个红球和3个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中所有的球仅颜色不同），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，设“从甲箱中取出的球是红球”，“从乙箱中取出的两球都是红球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式求，再利用条件概率公式或贝叶斯公式求解即可. 【详解】由题意得：， 根据全概率公式可得：， 所以， 故选：C 8. 某校选派了甲、乙等5名教师到三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，若甲、乙不去同一所学校，则不同的选派方法种数为（ ） A. 108 B. 114 C. 162 D. 225 【答案】B 【解析】 【分析】用间接法. 先求出不考虑条件“甲、乙2名教师不去同一所学校”的不同安排方法，再求出甲、乙2名教师去同一所学校的不同安排方法，相减即可得到结果. 【详解】不考虑条件“甲、乙2名教师不去同一所学校”，则不同安排方法有（种）． 若甲、乙2名教师去同一所学校，则不同的安排方法有（种），所以满足题意的安排方法有（种）． 故选：B 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.） 9. 如图，某同学将搜集的六组成对数据绘制成散点图，若把图中的点去掉，对比原数据重新进行线性回归分析，则下列结论正确的是（ ） A. 数据的残差平方和变大 B. 数据的决定系数变大 C. 解释变量与响应变量的线性相关程度变强 D. 样本相关系数的绝对值更趋于0 【答案】BC 【解析】 【分析】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，所以去掉点后，回归效果更好，再结合残差的定义、以及相关系数和决定系数的性质判断． 【详解】由题意， 从散点图中可知，样本数据的两变量正相关， 由于点较其他点偏离程度大，删除点后，回归效果更好，决定系数变大，故B正确，从而相关系数的绝对值更接近于1，所以D错误； 由于拟合效果更好，决定系数越接近于1，所以新样本的残差平方和变小，所以A错误；从而解释变量与响应变量相关性增强，所以C正确. 故选：BC. 10. 如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设经过6次移动后，该质点位于的位置，记其概率为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,,则需要向右移动2次，向左移动4次，故,A正确， 对于B,, 则需要向右移动3次，向左移动3次，故,B错误 对于C,, 则需要向右移动5次，向左移动1次，故,C正确， 对于D, ,故D错误， 故选：AC 11. 已知，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征，即可求解A,利用赋值法即可求解BC，求导，结合通项特征即可求解D. 【详解】对于A，由于的通项为因此 ，故A错误， 对于B,令，则，故B正确， 对于C, 令，则， 与B选项中的式子相加可得，故C正确， 对于D,对， 两边同时求导可得， 令，则， 结合通项可知 故，D正确， 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. __________（用数字作答）. 【答案】24 【解析】 【分析】根据排列数的性质以及计算公式即可求解. 【详解】， 故答案为：24 13. 某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有四种不同的鲜花可供摆放，要求有公共边的区域摆放不同种类的鲜花，则摆放鲜花的不同方法种数为__________. 【答案】120 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，结合4，5以及1，2是否同色，分类即可求解. 【详解】先排1，3，5区域，此时从4种鲜花中任选3种全排列，故共有种方法， 接下来排区域4，2，6， 若4与5同色，1，2同色，此时区域6有2种选择， 若4与5同色，1，2不同色，此时区域2只有一种选择，区域6也只有1种选择， 若4与5不同色，此时1，2只能同色，此时区域6有2种选择， 故涂区域2，4，6共有种方法， 因此总的涂法共有， 故答案为：120 14. 已知一个袋中装有（除颜色外完全相同）5个红球，个黑球.现从袋中随机摸出3个球，设表示摸出红球的个数，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的概率求出，进而求出的期望和方差. 【详解】依题意，， 整理得，而，解得， 的可能值为，，，， ，， 所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？ （1）四位数； （2）四位偶数； （3）大于4000的四位奇数. 【答案】（1）300 （2）156 （3）60 【解析】 【分析】根据题意，利用排列数和组合数的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，可得可以组成无重复数字的四位数的个数为. 【小问2详解】 解：由题意，可得可以组成无重复数字的四位偶数的个数为. 【小问3详解】 解：由题意，可得可以组成无重复数字的四位奇数的个数为. 16. 为调查喜欢轮滑项目是否和性别有关，某轮滑车店随机发放了50份问卷，并全部收回，经统计，得到如下列联表： 男性 女性 合计 喜欢 20 10 30 不喜欢 5 15 20 合计 25 25 50 （1）依据小概率值的独立性检验，分析喜欢轮滑项目与性别是否有关联？ （2）现按性别分层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，从上述喜欢轮滑项目的受访者中抽取6人，再从6人中抽取3人，其中男性人数为，求的分布列和数学期望. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为喜欢轮滑项目与性别有关联 （2）分布列见解析，2 【解析】 【分析】（1）计算卡方，即可与临界值比较作答， （2）由超几何分布的概率公式求解分布列，即可由期望公式计算得解. 【小问1详解】 零假设为：喜欢轮滑项目与性别之间无关， 根据列联表中的数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为喜欢轮滑项目与性别有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01. 【小问2详解】 由题意得所抽取6人中男性的人数为，女性的人数为 故的可能取值为1，2，3， ， 用表格表示的分布列为 1 2 3 0.2 0.6 0.2 . 17. 为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. （1）已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ （2）决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 【答案】（1）小明有资格参加决赛 （2）175 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的对称性结合已知条件求出，再结合人数计算； （2）应用二项分布的数学期望公式结合数学期望性质计算求解. 【小问1详解】 由题意得， 故全校2000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为， 因为，所以小明有资格参加决赛. 【小问2详解】 设决赛中学生甲答对的题数为，其决赛成绩为，则， 由题意得，则， 所以. 18. 自2020年以来，某地区新能源产值规模呈快速增长态势，下表给出了近5年该地区的新能源产值（单位：亿元）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 产值 1.5 2.5 3.4 4.9 7.8 （1）若用作为回归模型，且，求此模型的方程及其决定系数（精确到0.01）； （2）若用作为回归模型，求此模型的方程； （3）已知回归模型的决定系数，请说明哪种回归模型拟合效果更好，并用拟合效果好的模型预测2025年该地区的新能源的产值（精确到0.01）. 参考数据： 3 4.02 1.24 75.3 104.91 16.16 22.54 1.1 1.5 11.4 附：（1）上表中； （2）对于一组数据，其经验回归方程为， ； 决定系数. 【答案】（1），0.93 （2） （3）拟合效果更好，12.54 【解析】 【分析】（1）由最小二乘法即可求解回归方程，由决定系数的计算公式代入即可求解， （2）利用对数的运算得，即可由最小二乘法求解， （3）根据决定系数的大小即可作出比较，代入方程即可求解. 【小问1详解】 由题意得， ，故此模型的方程为， ， . 【小问2详解】 令，则， 则 ， 故此模型的方程为. 【小问3详解】 拟合效果更好， 当时，即预测2025年该地区的新能源的产值为. 19. 小明是一名篮球运动爱好者，为提高篮球水平，决定在假期针对篮球技术的四个基本动作：运球、传球、投篮和上篮进行训练.假设小明每天进行多次分项目（四个动作分别对应四个项目，一次只练一个项目）训练，为增加趣味性，计划每次（从第二次起）都是从上次未训练的三个项目中等可能地随机选取一项训练. （1）某天小明在四个项目中随机选一项开始训练，求第三次是投篮训练的概率； （2）某天小明进行了5次训练，四个项目均有训练，第1次是运球训练.若前后训练项目不同视为不同的训练，设变量为5次训练中运球训练的次数，求的分布列及期望； （3）某天小明第一次训练项目是运球，设表示第次是运球训练的概率，求. 【答案】（1） （2）分布列见解析，1.5 （3） 【解析】 【分析】（1）设出事件，根据全概率公式或独立事件的乘法公式计算即可；（2）由题意写出的可能取值，结合插空法对训练的顺序进行排列组合，进而算出每个可能取值对应的概率，最后根据数学期望的公式求解的数学期望即可；（3）由题意表示出的递推关系式，运用构造数列法，即可求出. 【小问1详解】 解法一：设“小明第次训练项目是投篮”，， 则所求事件为， . 解法二：设“小明第次训练项目是投篮”，， 则所求事件， . 【小问2详解】 由题意得的可能取值为1，2， ①当时，当天后四次训练中没有运球训练，另外三个项目中有一项训练了2次，且该项目训练次序为第2和4次、第2和5次、第3和5次， 此时不同的训练种数为； ②当时，当天后四次训练中四个项目各有1次训练，且运球训练的次序在第3、第4或5次， 此时不同的训练种数为； 且当天小明进行了5次训练，共有不同的训练种数为， ， ， 用表格表示的分布列为： 1 2 0.5 0.5 的数学期望为. 【小问3详解】 由题意得第次训练不是运球项目的概率为，则，， 设，则，得， 是以为首项、为公比的等比数列， ， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$