第14讲 圆的一般方程（思维导图+3知识点+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第14讲 圆的一般方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解圆的一般方程及其特点； 2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化； 3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题. 知识点 1 圆的一般方程 1、圆的一般方程：当时，方程叫做圆的一般方程． 其中为圆心，为半径． 2、圆的一般方程的形式特点 （1）项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）； （2）不含项； （3）． 3、一般方程与标准方程关系： 对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得，根据圆的标准方程可知： （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点 2 圆的一般方程判断点和圆的位置关系 已知点，和圆的一般方程（）则 位置关系 代数关系 点在圆A上 点在圆A内 点在圆A外 知识点 3 轨迹与轨迹方程 1、轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别： （1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征； （2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． 3、坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系； （2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； （3）列式：列出关于的方程； （4）化简：把方程化为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 考点一：二元二次方程与圆 例1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆，则圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（23-24高二上·广东江门·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）（多选）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 考点二：求圆的一般方程 例2. （23-24高二上·内蒙古·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知，，为原点，则的外接圆方程为 . 【变式2-3】（23-24高二上·安徽·月考）已知在中，AB边所在直线的方程为，AC边所在直线的方程为，AC边上的中线所在直线的方程为． (1)求C点的坐标； (2)求的外接圆方程． 考点三：点与圆的位置关系 例3. （22-23高二上·天津和平·月考）已知圆C：，则点在（    ） A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．以上情况均有可能 【变式3-1】（23-24高二上·内蒙古·期中）若点在圆的外部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·全国·课后作业）若点在圆的内部，则a的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 考点四：与圆有关的轨迹问题 例4. （23-24高二上·北京·期末）已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 . 【变式4-1】（23-24高二上·上海青浦·月考）已知两点，，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程是 ． 【变式4-2】（23-24高二上·山东威海·期末）（多选）已知，是平面内两个定点，且，则满足下列条件的动点的轨迹为圆的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（22-23高二上·云南昆明·期中）已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 考点五：圆过定点问题 例5. （23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·全国·专题练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式5-2】（23-24高二上·全国·专题练习）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【变式5-3】（23-24高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 考点六：与圆有关的实际问题 例6. （23-24高二上·河南洛阳·期中）如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式6-1】（23-24高二上·广东佛山·期中）如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度米，拱高米，建适时每间隔4米需要用一根支柱支撑，则支柱的高度为 米．（精确到0.01米，参考数据：）    【变式6-2】（23-24高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. 一、单选题 1．（23-24高二上·陕西汉中·期末）圆的圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·月考）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）“”是“方程表示圆的方程”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·四川绵阳·期中）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点，，动点M满足，记M的轨迹为C，则轨迹C围成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高二上·重庆万州·期中）若，，，四点共圆，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．3 8．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 三、填空题 9．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆与圆，则两圆心之间的距离为 . 10．（23-24高二上·四川泸州·期末）若圆被直线平分，则圆C的半径为 ． 11．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知点，，，四点共圆，则 . 四、解答题 12．（23-24高二上·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 13．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线，直线l过点且与垂直. (1)求直线l的方程； (2)设l分别与交于点A，B，O为坐标原点，求过三点A，B，O的圆的方程. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 圆的一般方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解圆的一般方程及其特点； 2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化； 3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题. 知识点 1 圆的一般方程 1、圆的一般方程：当时，方程叫做圆的一般方程． 其中为圆心，为半径． 2、圆的一般方程的形式特点 （1）项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）； （2）不含项； （3）． 3、一般方程与标准方程关系： 对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得，根据圆的标准方程可知： （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点 2 圆的一般方程判断点和圆的位置关系 已知点，和圆的一般方程（）则 位置关系 代数关系 点在圆A上 点在圆A内 点在圆A外 知识点 3 轨迹与轨迹方程 1、轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别： （1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征； （2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． 3、坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系； （2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； （3）列式：列出关于的方程； （4）化简：把方程化为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 考点一：二元二次方程与圆 例1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆，则圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的方程可化为. 所以圆心的坐标为，半径为，故选：B. 【变式1-1】（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】若方程表示圆， 则，解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为.故选：B 【变式1-2】（23-24高二上·广东江门·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，即.故选：D. 【变式1-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）（多选）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 【答案】BC 【解析】因为方程表示一个圆， 令， 所以由， 化简得，解得.故选：BC. 考点二：求圆的一般方程 例2. （23-24高二上·内蒙古·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即故选：C 【变式2-1】（23-24高二上·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为.故选：A 【变式2-2】（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知，，为原点，则的外接圆方程为 . 【答案】 【解析】设外接圆方程为， 因为原点，，三点都在圆上，所以有 ，解得， 则圆的方程为， 故的外接圆方程为. 故答案为： 【变式2-3】（23-24高二上·安徽·月考）已知在中，AB边所在直线的方程为，AC边所在直线的方程为，AC边上的中线所在直线的方程为． (1)求C点的坐标； (2)求的外接圆方程． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由，得， 所以A点的坐标为， 由，得，即边AC的中点为， 所以C与A关于点M对称， 设，则，得，所以C点的坐标为． （2）由，得，故B点的坐标为， 设的外接圆方程为，且， 则，得， 则所求圆的方程为． 考点三：点与圆的位置关系 例3. （22-23高二上·天津和平·月考）已知圆C：，则点在（    ） A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．以上情况均有可能 【答案】A 【解析】根据题意，圆C：，点， 则有，故点P在圆外.故选：A 【变式3-1】（23-24高二上·内蒙古·期中）若点在圆的外部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为方程表示圆， 所以，即， 又因为点在圆的外部， 所以，即，所以，故选：C. 【变式3-2】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为．故选：D. 【变式3-3】（23-24高二上·全国·课后作业）若点在圆的内部，则a的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，半径，所以，把点代入方程， 则，解得，所以故a的取值范围是.故选：D 考点四：与圆有关的轨迹问题 例4. （23-24高二上·北京·期末）已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 . 【答案】 【解析】方法一：设点， ，，，， 由题意可知：， ，，整理得：， 三点不共线，，，应去除. 直角顶点的轨迹方程为：. 方法二：设BC中点为，则，即A在以D为圆心， 为半径的圆上(不能和B、C重合)， 故A的轨迹方程为. 【变式4-1】（23-24高二上·上海青浦·月考）已知两点，，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设，由题意可得， 化简可得，即. 故答案为：. 【变式4-2】（23-24高二上·山东威海·期末）（多选）已知，是平面内两个定点，且，则满足下列条件的动点的轨迹为圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，，显然的轨迹是线段，故A错误； 以中点为原点，建立平面直角坐标系，设,，设， 则，， 对于B，已知，则，所以，点的轨迹是圆，故B正确； 对于C，由两点间距离公式得，， 代入中化简得，即，故的轨迹是圆，故C正确； 对于D，代入中化简得， 显然的轨迹是一个点，故D错误.故选：BC 【变式4-3】（22-23高二上·云南昆明·期中）已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由动点满足，得，化简得， 所以动点P的轨迹方程是. （2）设点，由轴于点，且是中点，得，即， 由（1）知，， 因此，整理得. 所以点M的轨迹方程是. 考点五：圆过定点问题 例5. （23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点．故选：D． 【变式5-1】（23-24高二上·全国·专题练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.故选：D. 【变式5-2】（23-24高二上·全国·专题练习）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【解析】，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 【变式5-3】（23-24高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 【答案】 【解析】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 考点六：与圆有关的实际问题 例6. （23-24高二上·河南洛阳·期中）如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【解析】以圆拱桥的顶点为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直线为轴，建立直角坐标系， 设圆心为，水面所在弦的端点为，则由已知可得， 再设圆的半径为，则圆心，即圆的方程为， 将点代入圆的方程，可得，即圆的方程为， 当水面下降1米后，可得， 代入圆的方程，可得， 所以当水面下降1米后，水面宽度为米.故选：D. 【变式6-1】（23-24高二上·广东佛山·期中）如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度米，拱高米，建适时每间隔4米需要用一根支柱支撑，则支柱的高度为 米．（精确到0.01米，参考数据：）    【答案】3.86 【解析】由题意，以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 设圆心坐标是，圆的半径是r，则圆的方程是. 因为P，B两点都在圆上，则有，解得， 所以圆的方程是； 将点的横坐标代入圆的方程，得， 即，其中的纵坐标， 所以. 即支柱的高度约为3.86m. 故答案为：. 【变式6-2】（23-24高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. 【答案】(1)；(2)可以从桥下通过，理由见解析 【解析】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为， 因为该拱圆过，，， 所以，解得． 所以拱圆的一般方程为， 即． （2）当时，，得 所以该景区游船可以从桥下通过． 一、单选题 1．（23-24高二上·陕西汉中·期末）圆的圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，所以圆心和半径分别为.故选：D 2．（23-24高二上·四川成都·月考）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程， 整理可得，解得， 故所求的圆的一般方程为，故选：D． 3．（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，故， 又由圆的一般方程， 可得，即，即或， 所以实数的范围为.故选：C. 4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）“”是“方程表示圆的方程”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若表示圆，则，解得或， 可以推出表示圆，满足充分性， 表示圆不能推出，不满足必要性， 所以是表示圆的充分不必要条件.故选：A. 5．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 所以圆心坐标，半径为3， 因为圆上所有点都在第二象限， 所以，故选：A 6．（23-24高二上·四川绵阳·期中）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点，，动点M满足，记M的轨迹为C，则轨迹C围成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由点，，动点M满足， 得， 则， 所以轨迹C围成的图形为圆，其半径平方， 所以圆的面积为.故选：C 二、多选题 7．（23-24高二上·重庆万州·期中）若，，，四点共圆，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】AD 【解析】根据题意可设圆方程为， 将点，，代入可得，解得； 即圆方程为， 又点在圆上，所以， 整理得，解得或.故选：AD 8．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 【答案】AB 【解析】对于A选项，当时，曲线的方程为，此时，曲线是一条直线，A对； 对于B选项，当时，曲线的方程可化为， 因为，此时，曲线是一个圆，B对； 对于C选项，当曲线是圆时，其半径为， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因此，当曲线是圆时，它的面积的最小值为，C错； 对于D选项，当曲线是面积为的圆时，其半径为， 即，解得或，D错.故选：AB. 三、填空题 9．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆与圆，则两圆心之间的距离为 . 【答案】5 【解析】由题意可知：两圆心坐标分别为，， 所以两圆心之间的距离为. 故答案为：5. 10．（23-24高二上·四川泸州·期末）若圆被直线平分，则圆C的半径为 ． 【答案】 【解析】若圆被直线平分，则直线过圆心， 圆的圆心为， 即，解得：， 则圆，则圆的半径为． 故答案为：． 11．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知点，，，四点共圆，则 . 【答案】1 【解析】设过，，的圆的方程为，， 则，解得， 所以过，，的圆的方程为， 又点在此圆上， 所以，即，所以， 故答案为：1 四、解答题 12．（23-24高二上·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)；(2)证明见解析； 【解析】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于，所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立， 则有，解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 13．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线，直线l过点且与垂直. (1)求直线l的方程； (2)设l分别与交于点A，B，O为坐标原点，求过三点A，B，O的圆的方程. 【答案】(1)；；(2)（或）； 【解析】（1）由题意可得的斜率为， 可得直线l的斜率为，由点斜式方程可得， 即直线； （2）联立直线l和方程，解得； 联立直线l和方程，解得； 如下图所示： 设过三点A，B，O的圆的方程为， 将三点坐标代入可得，解得， 可得圆的方程为（或）. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$