第三章圆锥曲线的方程综合检测标准卷二-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修一圆锥曲线综合检测标准试卷二（学生版） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若方程 表示双曲线，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线，上的点与焦点的距离为4，则（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 6．设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于，两点，与轴交于点，点的纵坐标为，且与的面积之比是，则（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的焦点在x轴上，直线被该椭圆截得的弦被点平分，则该椭圆的焦距为（    ） A． B．9 C． D．12 8．设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（   ） A．当时，曲线是椭圆 B．当或时，曲线是双曲线． C．当时，双曲线的渐近线方程为 D．当曲线的离心率为时，的值为 10．已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为6 B．的最小值为1 C．若，则的面积为 D．椭圆的离心率为 11．已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（    ） A． B．若，则点到准线的距离为4 C．的最小值为4 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知抛物线的方程为，则它的准线方程是 ． 13．已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是 ． 14．中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线为，则双曲线的离心率是 ． 四、 解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤。 15．求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程. (1)中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点两点的椭圆； (2)与双曲线有公共焦点且经过点的双曲线； 16．在平面直角坐标系中，已知动点E与定点的距离和E到定直线的距离之比为2，动点E的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设点，过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，求直线PA，PB的斜率之和． 17．已知直线恒过椭圆的一个焦点，且的短轴长为2，圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴圆”. (1)求椭圆和其“伴圆”的方程； (2)点为“伴圆”与轴正半轴的交点，过点作椭圆的切线，，求证：. 18．已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 19．已知椭圆的焦点坐标为，椭圆上的点到左焦点的最大距离为3， (1)求椭圆的标准方程 (2)求椭圆被直线截得的弦长； (3)若直线与椭圆交于，两点，当（为坐标原点）时，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修一圆锥曲线综合检测标准试卷二（详解版） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若方程 表示双曲线，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据给定的方程，结合双曲线方程的特征列式求解. 【详解】方程 表示双曲线，则，解得或， 所以m的取值范围是. 故选：D 2．已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的定义及已知条件求出，，利用余弦定理得到与的关系，进而求出离心率. 【详解】由双曲线的定义知，，又， 所以，. 在中，，， 由余弦定理得，， 即，整理得，即. 所以双曲线的离心率为. 故选：B. 3．若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设是椭圆的左右焦点，进而根据题意，结合椭圆的定义得，再结合，即可得答案. 【详解】设是椭圆的左右焦点， 又椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为， ，又， ， ，解得，即， 又椭圆离心率的取值范围为，. 故选：C. 4．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、轨迹问题——椭圆 【分析】求出已知圆的圆心和半径，根据圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，结合椭圆的定义即可得到结果. 【详解】圆，即的圆心，半径为， 圆，即的圆心，半径为， 设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图， 依题意，三点共线，三点共线，，， 因此， 则点的轨迹为以为焦点的椭圆， 长轴长，半焦距，则， 所以点的轨迹方程为. 故选：C 5．已知抛物线，上的点与焦点的距离为4，则（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 【答案】D 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】根据题设，结合抛物线的定义可求得，再将点代入抛物线方程即可求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义，到焦点的距离为，得， 则抛物线方程为， 将点代入抛物线方程得，则. 故选：D 6．设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于，两点，与轴交于点，点的纵坐标为，且与的面积之比是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抛物线的焦半径公式、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】根据题意，得到，得到，求得，结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】如图所示，因为与的面积比为，可得与的面积比为， 所以，则， 又因为点的纵坐标为，可得，即，所以， 由抛物线的定义，可得. 故选：B. 7．已知椭圆的焦点在x轴上，直线被该椭圆截得的弦被点平分，则该椭圆的焦距为（    ） A． B．9 C． D．12 【答案】C 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】设直线与椭圆的交点并代入椭圆方程，通过点差法结合弦中点坐标、直线斜率求出，再利用椭圆中、、的关系计算出焦距. 【详解】设直线与椭圆的交点为，，①，②， ①－②可得，，则， 点为点，的中点，则，， 直线的斜率为，则，故，解得，经验证符合题意， 所以椭圆方程为：，即，解得，故该椭圆的焦距为． 故选：C 8．设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定条件，求得，再利用椭圆、双曲线离心率的意义列式求出范围. 【详解】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的渐近线的斜率小于，得， 因此，由，得， 则，即，则 所以的取值范围是. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（   ） A．当时，曲线是椭圆 B．当或时，曲线是双曲线． C．当时，双曲线的渐近线方程为 D．当曲线的离心率为时，的值为 【答案】BC 【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】利用椭圆，双曲线的标准方程的特点依次判断A,B；当时，双曲线：，双曲线的渐近线方程为；分两种情况讨论，即可求解. 【详解】当时，即且时，曲线为椭圆，故A错误； 当时，即或时曲线为双曲线，故B正确； 当时，双曲线：，双曲线的渐近线方程为，故C正确； 当曲线的离心率为时,,所以，或，解得或. 经检验或符合题意.故D错误 故选：BC 10．已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为6 B．的最小值为1 C．若，则的面积为 D．椭圆的离心率为 【答案】ACD 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】根据椭圆的定义与性质对选项进行分析，从而确定各选项的正确性. 【详解】对于选项A，依题意，，所以的周长为，故A选项正确； 对于选项B，若为椭圆上任意点，则，即， 当为椭圆长轴顶点时取等号，但P为椭圆C上异于长轴端点的动点，所以等号不成立，故B选项错误； 对于选项C，在中由余弦定理得 ， 所以，所以， 所以的面积为，故C选项正确； 对于D选项，椭圆的离心率为，故D选项正确. 故选：ACD 11．已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（    ） A． B．若，则点到准线的距离为4 C．的最小值为4 D．若，则 【答案】ACD 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】对于A，根据焦点求出；对于B ，C，由抛物线的定义可判断；对于D延长交准线于点，由抛物线的定义得出为的中位线，设，再利用相似关系即可求出. 【详解】对于A，因为抛物线的焦点，所以，得，故A正确； 对于B ，分别过点作准线的垂线，垂足为， 则由抛物线的定义可知， 因为为线段的中点，所以点到准线的距离为，故B错误； 对于C，因为， 则当三点共线时，有最小值，故C正确； 延长交准线于点，由以及抛物线定义可知，， 则为的中位线， 设，则，， 由相似关系可知，，则，得，故，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知抛物线的方程为，则它的准线方程是 ． 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据标准方程即可求解. 【详解】将化成标准形式为：，故准线方程为， 故答案为： 13．已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是 ． 【答案】/ 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、求椭圆中的最值问题 【分析】先根据椭圆的定义得到的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果. 【详解】设是椭圆的右焦点，则，. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为， 所以，所以的最大值为， 故的最大值为. 故答案为：. 14．中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线为，则双曲线的离心率是 ． 【答案】或 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】对双曲线焦点在x轴还是y轴上分类讨论，由渐近线方程求出a、b之间的关系，再据此计算离心率． 【详解】若焦点在x轴上，双曲线方程为，渐近线为， 故，离心率，且，代入，则； 若焦点在y轴上，双曲线方程为，渐近线为， 故，同理可得； 综上，离心率为或． 故答案为：或 四、 解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤。 15．求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程. (1)中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点两点的椭圆； (2)与双曲线有公共焦点且经过点的双曲线； 【答案】(1) (2) 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、求共焦点的双曲线方程 【分析】（1）由题意可得，，从而可求出椭圆的标准方程； （2）由题意设双曲线的方程为，则，再将的坐标代入方程，进而即得. 【详解】（1）因为椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点， 所以分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在轴上， 可设方程为， 所以，， 所以椭圆的标准方程为； （2）因为双曲线的焦点为， 可设双曲线的方程为，且， 将点代入曲线方程可得， 解得， 所以双曲线的标准方程为. 16．在平面直角坐标系中，已知动点E与定点的距离和E到定直线的距离之比为2，动点E的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设点，过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，求直线PA，PB的斜率之和． 【答案】(1) (2)0 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆、双曲线中的定值问题 【分析】（1）设动点，根据两点之间距离公式、点到直线距离公式和题意联立方程即可； （2）设直线的方程为，，联立直线和曲线方程，通过斜率定义表示直线和的斜率之和，再结合韦达定理求解. 【详解】（1）设动点，则点与定点的距离，E到定直线的距离为，所以，等式两侧同时平方可得，整理可得曲线C的方程为. （2）如图示，设直线的方程为，，联立直线和曲线方程，消去可得， 因为直线与曲线相交于两点，所以，， 由韦达定理可知； 已知，则直线的斜率为，直线的斜率为， 即知， 代入， 得， 再将代入上式， 可得， 所以直线的斜率之和为. 17．已知直线恒过椭圆的一个焦点，且的短轴长为2，圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴圆”. (1)求椭圆和其“伴圆”的方程； (2)点为“伴圆”与轴正半轴的交点，过点作椭圆的切线，，求证：. 【答案】(1)椭圆的方程为，其“伴圆”的方程为． (2)证明见解析 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的切线方程 【分析】（1）依题意求出的值，即可求出椭圆方程及其“伴圆”方程； （2）由（1）求出点的坐标，设切线方程，代入椭圆方程，由，即可求出切线斜率，从而证明出其互相垂直. 【详解】（1）因为直线恒过定点，且过椭圆的一个焦点， 所以，又，即，所以， 故椭圆的方程为， 其“伴圆”的方程为． （2）证明：因为“伴圆” 与轴正半轴的交点为， 所以设过点且与椭圆相切的直线方程为， 将代入，整理得， 则，解得， 即直线的斜率分别为，， 因为，所以．    18．已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】根据定义求抛物线的标准方程、抛物线中的定值问题、直线与抛物线相交求直线方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由焦半径公式求出p即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理和弦长公式即可求出参数得解； （3）由两点间斜率公式结合（2）中的韦达定理进行转化计算即可求解. 【详解】（1）根据题意可得，解得．所以的方程为． （2）设，，直线的方程为． 由消去得， 所以即，，， 所以，解得， 所以直线的方程为； （3）证明：因为点在上，所以或（舍去），所以， 由（2）得，， 所以． 因为，， 所以，即为定值． 19．已知椭圆的焦点坐标为，椭圆上的点到左焦点的最大距离为3， (1)求椭圆的标准方程 (2)求椭圆被直线截得的弦长； (3)若直线与椭圆交于，两点，当（为坐标原点）时，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长、根据韦达定理求参数、椭圆中向量点乘问题 【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆的性质求出即得. （2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式计算得解. （3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示列式求出的值. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，半焦距， 由椭圆上的点到左焦点的最大距离为3，得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由消去并整理得：， 设弦的两个端点坐标为，则， 所以椭圆被直线截得的弦长. （3）设，， 由消去并整理得：， ，解得， ，，， 由，得， 则，解得，符合题意， 所以的值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $