第三章 圆锥曲线的方程 寒假练习试卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026上学期高二年级《圆锥曲线的方程》练习试卷 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1．已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．已知椭圆的短轴长和焦距相等，则a的值为（　　） A．1 B． C． D． 3．双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 4．“”是方程“”表示双曲线的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．下列抛物线中，焦点坐标为的是（　　） A． B． C． D． 6．已知椭圆的焦点在轴上，点，则（　　） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 7．已知为椭圆的左右焦点，，点在椭圆上，是椭圆上的动点，则的最大值为（　　） A．4 B． C．5 D． 8．已知双曲线为的左顶点，抛物线的准线与轴交于．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．已知曲线，则下列结论正确的是（　　） A．当时，曲线是椭圆 B．当或时，曲线是双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是双曲线，则焦距为 10．已知椭圆，右焦点为，直线与椭圆交于两点，为上不同于的一点，记直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（　　） A．的离心率为 B．面积的取值范围为 C． D．若点为上的动点，则的最大值为8 11．已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是（　　） A．若是椭圆，则 B．若是双曲线，则 C．若，则的周长为8 D．若，则的离心率为 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12．已知双曲线的一条渐近线方程是，则　 　． 13．已知椭圆中，点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且，则的面积为　 　. 14．已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则|PQ|－|PM|的最大值为　 　. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为，且其离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，已知、是椭圆上的两点，且满足 ，求面积的最大值. 16．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 17．已知双曲线：的离心率为，且焦点到渐近线的距离为1. （1）求双曲线的方程； （2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 18．已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为． （1）求轨迹的方程． （2）直线与分别与轨迹交于点和点（与同向），且，线段与交于点，线段与的中点分别为． （ⅰ）求证：三点共线； （ⅱ）若，，求四边形ABCD的面积． 19．已知椭圆的离心率. （1）若椭圆过点，求椭圆的标准方程. （2）若直线均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设. ①求； ②记，求数列的前项和. 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质 2．【答案】A 【知识点】椭圆的简单性质 3．【答案】C 【知识点】双曲线的简单性质 4．【答案】A 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：若方程表示双曲线，则，解得或， 即“”是方程“”表示双曲线的充分不必要条件. 故答案为：A. 【分析】根据方程表示双曲线，列不等式求得t的范围，再根据集合的包含关系，结合充分、必要条件的定义判断即可. 5．【答案】D 【知识点】抛物线的简单性质 【解析】【解答】解：若抛物线焦点坐标为，设标准方程为，且， 则标准方程为， 故答案为：D. 【分析】利用抛物线焦点设出标准方程，再利用抛物线的几何性质即可求解. 6．【答案】A 【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：因为椭圆的焦点在轴上，所以， 则的长轴长为，焦距为，故B、D错误； 因为，所以，所以， 所以，所以点在外，故A正确，C错误. 故答案为：A 【分析】椭圆焦点位置在x轴上，可得且a>b，求出的范围，即可判断. 7．【答案】B 【知识点】平面向量数量积的坐标表示；椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：由题意可知，则，， 点在椭圆上，则，结合， 解得，故， 设，则， 则 ， 当且仅当时，取最大值， 即的最大值为， 故答案为：B 【分析】先求出椭圆的标准方程，再设出点P的坐标，将向量数量积转化为关于y的二次函数，结合椭圆中y的取值范围求最大值。 8．【答案】D 【知识点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：因为抛物线的准线与轴交于，所以， 设的中点为，，则， 在的渐近线上存在点，使得， 以为圆心，半径为的圆与渐近线有公共点， 所以， 在， 所以. 故答案为：D. 【分析】根据圆和直线的位置关系列不等式，再化简得出双曲线离心率的取值范围. 9．【答案】B,C 【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；双曲线的定义；双曲线的简单性质 10．【答案】A,B,D 【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【解答】解：由题意，可得：，， 设，根据对称性可得， 对于A，因为， 所以椭圆的离心率为，故A正确； 对于B，因为点到直线的距离， 则， 所以， 因为， 所以面积的取值范围为，故B正确； 对于C，设，则， 则， 因为， 所以，故C错误； 对于D，由题意，可得椭圆的右准线为：， 设到椭圆的右准线的距离为， 所以，则， 所以， 当在椭圆左顶点时，， 所以的最大值为8，故D正确. 故答案为：ABD. 【分析】利用椭圆的对称性和椭圆离心率公式，则判断出选项A；根据两点间的距离公式和点到直线的距离公式，从而分别求出和三角形的高，再利用三角形面积公式得出集合的取值范围，则判断出选项B；利用点代入法和两点求斜率公式，从而得出的值，则判断出选项C；由椭圆的右准线为：，设到椭圆的右准线的距离为，从而可得，再将问题转化为求的最大值.，从而得出的最大值，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项. 11．【答案】B,C,D 【知识点】椭圆的定义；双曲线的定义；双曲线的简单性质；三角形中的几何计算 12．【答案】 【知识点】双曲线的简单性质 13．【答案】 【知识点】椭圆的简单性质；解三角形 【解析】【解答】解：椭圆，易知，， 则，， 中，由余弦定理， 可得，解得， 则. 故答案为：． 【分析】易知，，中，利用余弦定理求得，再根据三角形面积公式计算面积即可． 14．【答案】6 【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：如图所示 由，得， 则，所以椭圆的左，右焦点坐标分别为，， 则圆的圆心为椭圆的左焦点， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， ， 故答案为：6. 【分析】本题需要结合椭圆的定义、圆的性质以及三角形三边关系来求解的最大值，关键思路是利用椭圆定义将进行转化，再通过三角形三边关系找到最值. 15．【答案】解： （1）由椭圆的定义得，所以， 因为椭圆的离心率为，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入椭圆方程得，， 设、，则，， 由，得，得， 所以， 即，即， 所以或. 原点到直线的距离为， ①当时，则， 此时 ， 当且仅当，即时等号成立； ②当时，， 此时； 当直线的斜率不存在时，设，则， 由，得，又，所以，. 不妨取，，则. 综上可知，面积的最大值是. 【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）由椭圆的定义可求得的值，利用椭圆的离心率可求得，代入可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）分类讨论直线的斜率是否存在：当直线的斜率存在时，设点、，设直线的方程为， 联立 直线的方程与椭圆方程，列出韦达定理，由已知条件结合韦达定理可得出关于、所满足的等式，利用三角形的面积公式以及韦达定理求出面积的值或最大值；当在直线的斜率不存在时，由求出点、的坐标，不妨取，可求得的面积，综合可得出结果. 16．【答案】（1）解：根据抛物线的定义可知：，即，解得， 故抛物线的方程为； （2）解：由（1）知，抛物线焦点为， 若直线l的斜率不存在，则，即，不满足题意； 直线的斜率存在且不为零，设直线，， 联立，消去可得，， 由韦达定理可得：， 则，解得， 即直线的方程为. 【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）由题意，利用抛物线定义求解即可； （2）由（1）知，抛物线焦点为，分直线的斜率存在和不存在讨论，当小斜率存在且不为零时，设设直线，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得，再根据抛物线的定义求解即可. （1）根据抛物线的定义可知， ，即，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，抛物线焦点为， 若直线l的斜率不存在，则， 则，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则， 设， 联立，消去可得，， 所以， 因为， 解得， 所以直线的方程为. 17．【答案】（1）解：设双曲线的一个焦点为，一条渐近线的方程为， 所以焦点到渐近线的距离为. 因为，所以，， 所以双曲线的方程为. （2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，又渐近线方程为：， 此时，. 当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且斜率， 联立方程组得， 由，得， 联立方程组得. 不妨设直线与的交点为，则. 同理可求，所以. 因为原点到直线的距离， 所以，又因为，所以， 故的面积为定值，且定值为. 【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）由双曲线的离心率公式，双曲线的渐近线方程，及点到直线的距离公式即可求得a和b的值，从而求得椭圆的方程； （2） 当直线的斜率不存在时，直线的方程以及渐近线方程得，从而求得的面积； 当直线的斜率存在时， 设直线方程，将直线方程代入双曲线方程， 联立方程组 ，求得，再根据点到直线的距离求，代入面积即可判断的面积为定值. 18．【答案】（1）解动点到点的距离比它到直线的距离小， 点到的距离与到直线的距离相等， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为． （2）（ⅰ）解：设，，，， 则直线的斜率为，， 直线的方程为，即， 直线的斜率为，， 直线的方程为，即， ，，，即，故． 又直线的斜率为， 直线的方程为，即， 令，得， 直线的斜率为， 直线的方程为，即， 令，得， 所以直线与的交点和直线与的交点重合，即为点． 所以三点共线； （ⅱ）解：，， ，，得， ， ， 上面两式相减得， 由（ⅰ）知，即，， 过点作交于点， ，，，，， 则， 又，不妨设，则， 四边形是平行四边形，， 分别是的中点，，， ，， 设的边上的高为，的边上的高为，则， ，， ， ，，， ． 【知识点】抛物线的定义；抛物线的应用；直线与圆锥曲线的关系 【解析】【分析】（1）核心是利用抛物线的定义（到定点与定直线距离相等的点的轨迹 ），通过分析动点的距离关系，转化为抛物线的定义形式，确定焦点和准线，进而得方程. （2）（ⅰ）证明三点共线：通过设点坐标，利用点差法求出直线斜率，再结合直线、的方程，证明它们的交点在所在直线上，关键是斜率计算与方程联立. （ⅱ）求四边形的面积：先根据，及直线平行关系，结合（ⅰ）中斜率与中点的联系，求出直线、的斜率和长度，再利用梯形面积公式（因 ）计算，核心是斜率、长度与面积公式的结合. （1）动点到点的距离比它到直线的距离小， 点到的距离与到直线的距离相等， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为． （2）（ⅰ）设，，，， 则直线的斜率为，， 直线的方程为，即， 直线的斜率为，， 直线的方程为，即， ，，，即，故． 又直线的斜率为， 直线的方程为，即， 令，得， 直线的斜率为， 直线的方程为，即， 令，得， 所以直线与的交点和直线与的交点重合，即为点． 所以三点共线； （ⅱ），， ，，得， ， ， 上面两式相减得， 由（ⅰ）知，即，， 过点作交于点， ，，，，， 则， 又，不妨设，则， 四边形是平行四边形，， 分别是的中点，，， ，， 设的边上的高为，的边上的高为，则， ，， ， ，，， ． 19．【答案】（1）解：因为，， 可得：①， 又因为椭圆过点， 可得②， 联立①，②，解得， 所以，椭圆的标准方程为. （2）解：①当直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时， 直线与轴重合，不符合题意， 所以，直线的斜率均存在且不为0. 设直线的方程为， 联立， 消去，整理得：， 因为直线交椭圆于两点， 则且， 所以， 因为直线的方程为， 同理可得， 因为三点共线，所以， 则， 易知， 则， 因为， 所以. ②结合 ①，可知， 则， 因为， 所以，数列是首项为9，公比为3的等比数列， 所以，数列的前项和为. 【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得到之间的关系，再结合椭圆过点，从而求出的值，进而得到椭圆的标准方程. （2）①利用根与系数的关系和中点坐标公式，从而得出点M和点N的坐标，再根据三点共线得出之间的关系式. ②结合 ①得出数列的通项公式，再利用等比数列的定义判断出数列是首项为9，公比为3的等比数列，再结合等比数列前n项和公式得出数列的前项和. （1）因，可得：①， 又椭圆过点，可得②， 联立①，②，解得， 故椭圆的标准方程为； （2）① 当直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时， 直线与轴重合，不符合题意，故直线的斜率均存在且不为0. 设直线的方程为， 联立，消去，整理得：， 因直线交椭圆于两点，则，且，则， 因直线的方程为，同理可得：， 因三点共线，则，即， 易知，则， 因，则； ② 结合 ①可知，则， 因，则数列是首项为9，公比为3的等比数列， 所以数列的前项和为. 试题分析部分 1、试卷总体分布分析 总分：73分 分值分布 客观题（占比） 26.0(35.6%) 主观题（占比） 47.0(64.4%) 题量分布 客观题（占比） 13(68.4%) 主观题（占比） 6(31.6%) 2、试卷题量分布分析 大题题型 题目量（占比） 分值（占比） 选择题 8(42.1%) 16.0(21.9%) 填空题 3(15.8%) 6.0(8.2%) 解答题 5(26.3%) 45.0(61.6%) 多项选择题 3(15.8%) 6.0(8.2%) 3、试卷难度结构分析 序号 难易度 占比 1 普通 (36.8%) 2 容易 (42.1%) 3 困难 (21.1%) 4、试卷知识点分析 序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号 1 椭圆的简单性质 31.0(42.5%) 1,2,6,7,9,10,13,14,15,19 2 直线与圆的位置关系 2.0(2.7%) 8 3 直线与圆锥曲线的综合问题 37.0(50.7%) 10,15,16,17,19 4 必要条件、充分条件与充要条件的判断 2.0(2.7%) 4 5 抛物线的标准方程 10.0(13.7%) 16 6 平面向量数量积的坐标表示 2.0(2.7%) 7 7 抛物线的简单性质 4.0(5.5%) 5,8 8 双曲线的简单性质 22.0(30.1%) 3,4,8,9,11,12,17 9 椭圆的定义 6.0(8.2%) 9,11,14 10 三角形中的几何计算 2.0(2.7%) 11 11 解三角形 2.0(2.7%) 13 12 抛物线的定义 20.0(27.4%) 16,18 13 抛物线的应用 10.0(13.7%) 18 14 双曲线的定义 4.0(5.5%) 9,11 15 椭圆的标准方程 21.0(28.8%) 1,6,14,15,19 16 直线与圆锥曲线的关系 10.0(13.7%) 18 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $