专题1.4 充分条件与必要条件（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦充分条件与必要条件核心知识点，以命题概念及真假判断为基础，系统梳理充分条件、必要条件、充要条件的定义、判定方法，延伸至参数求解、充要条件证明及与集合交汇应用，构建完整知识支架。 资料按10大题型设计，含例题及变式训练，通过具体问题培养学生抽象能力与推理意识，如充要条件判定题提升逻辑思维，参数问题强化模型应用。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，巩固知识。

专题1.4 充分条件与必要条件（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 命题的概念】 1 【题型2 判断命题的真假】 3 【题型3 充分条件】 5 【题型4 必要条件】 7 【题型5 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 9 【题型6 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 11 【题型7 由充分条件、必要条件求参数】 13 【题型8 根据充要条件求参数】 14 【题型9 充要条件的证明】 16 【题型10 充分、必要条件与集合交汇】 18 考点1 命题 知识点1 命题 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【题型1 命题的概念】 【例1】（2026高一·全国·专题练习）下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【解题思路】由命题的定义判断各个选项即可. 【解答过程】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【解题思路】根据命题的定义逐个判断即可. 【解答过程】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误， 故选：B. 【变式1-2】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）有下列语句，其中是命题的个数为（   ） （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解题思路】根据命题的定义即可结合选项逐一求解. 【解答过程】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题. 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 故选：A. 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）在下列语句中，命题的个数是（    ） ①空集是任何集合的子集；②若，则；③若，则. A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据命题的定义直接判断即可. 【解答过程】命题是可以判断真假的陈述句，对于选项①②③，均为可判断真假的陈述句，即都是命题. 故选：C. 【题型2 判断命题的真假】 【例2】（25-26高一上·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【答案】D 【解题思路】对于选项A，将集合的子集一一列出，即可判断A错误；对于选项B，根据梯形的性质即可判断B错误；对于选项C，取特值，即可判断C错误；对于选项D，取特值，即可判断D正确. 【解答过程】对于A选项，集合的子集包括，，和，共个，故A错误； 对于B选项，仅等腰梯形的对角线相等，一般梯形的对角线并不相等，故B错误； 对于C选项，令，为无理数，则，为有理数，故C错误； 对于D选项，令，为无理数，则，为有理数，故D正确. 故选：D. 【变式2-1】（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．所有梯形的对角线相等 B． C．存在一个自然数小于0 D． 【答案】D 【解题思路】根据各项的描述及相关数、式、形的概念和性质判断命题的真假. 【解答过程】不是所有梯形的对角线都相等，只有等腰梯形的对角线相等，A错误； 当时，，B错误； 所有的自然数均大于或等于0，C错误； 当，时，，D正确. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高一上·上海·单元测试）下列四个命题： ①没有一个无理数不是实数； ②空集是任何一个非空集合的真子集； ③； ④至少存在一个整数x，使得是整数． 其中是真命题的为（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】A 【解题思路】根据实数的分类可判断①为真命题，根据空集的性质可判断②为真命题，根据实数的运算可判断③为真命题，通过举例可得④为真命题. 【解答过程】因为实数由无理数和有理数构成，故所有无理数都是实数，故①正确； 因为空集是任何非空集合的真子集，故②正确； 因为，故③正确； 取，则是整数，故④正确. 故选：A. 【变式2-3】（2026高一·全国·专题练习）已知命题 、，使得；命题 ，，则下列关于，真假叙述正确的是（    ） A．，均为真 B．，均为假 C．真，假 D．假，真 【答案】B 【解题思路】由，则为偶数可判断；时可判断. 【解答过程】若，则为偶数，则， 所以不存在，使，故为假命题， 若，则，所以，使，故为假命题， 所以，均为假命题. 故选：B. 考点2 充分条件与必要条件 知识点2 充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 【题型3 充分条件】 【例3】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知，那么p的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】判断各选项中不等式能否推出成立，即可得出答案. 【解答过程】因为推不出，故不是的充分条件，A错误； 因为推不出，故不是的充分条件，B错误； 因为一定能推出，故是的充分条件，C正确； 因为推不出，故不是的充分条件，D错误； 故选：C. 【变式3-1】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）已知不等式成立的充分条件是，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意知，根据子集关系列式即可求得实数的取值范围. 【解答过程】由题意得， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 故选：B. 【变式3-2】（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）使不等式成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先解出不等式，然后根据充分条件的定义求解即可. 【解答过程】由，即， 因为， 所以使不等式成立的一个充分条件是， 而其他选项皆不满足. 故选：A. 【变式3-3】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据充分条件的定义，逐一判断能否推出，即可得解. 【解答过程】对于（1），对角线相等的四边形不一定是正方形，例如长方形，所以； 对于（2），由全等三角形对应边相等，可知全等的直角三角形斜边一定相等，所以； 对于（3），时，，不是只有，所以； 对于（4），时，，不是只有，所以； 对于（5），根据平行线判定定理，同位角相等则两直线平行，所以. 因此，只有（2）和（5）满足是的充分条件，共2个. 故选：B. 【题型4 必要条件】 【例4】（2026高一·全国·专题练习）设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对于两个集合来说，根据充分条件是找子集，必要条件是找集合，即可得到答案. 【解答过程】若集合是集合的必要条件，则， 所以在选项中使得成立的一个必要条件只有， 故选：A. 【变式4-1】（25-26高一上·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】A 【解题思路】根据充分条件的定义依次判断每个选项即可. 【解答过程】对选项A：若则，故是的必要条件，故A正确； 对选项B：若，时，不能得到，故B错误； 对选项C：取，满足为无理数，为有理数，故C错误； 对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误； 故选：A. 【变式4-2】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】不等式变形得出其充要条件，然后根据必要条件的定义判断． 【解答过程】 ， 因此只有B是其必要条件． 故选：B． 【变式4-3】（25-26高一上·黑龙江绥化·阶段检测）下列“若, 则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ）个 ① 若是偶数, 则是偶数 ②若，则方程有实根 ③若四边形的对角线互相垂直, 则这个四边形是菱形 ④若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】根据必要条件的概念找出符合要求的选项即可. 【解答过程】对于①，是偶数，不能保证，均是偶数，也有可能都是奇数，故①不符合题意； 对于②，若方程，则需满足，即，可推出，故②符合题意； 对于③，若四边形是菱形，则四边形对角线互相垂直，故③符合题意； 对于④，若，则，故④符合题意. 故选：D. 考点3 充要条件 知识点3 充要条件 1．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 知识点4 充分条件与必要条件的判定 1．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果且，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且，则称p是q的充分不必要条件. (4)如果且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件. 2．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 3．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 【题型5 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 【例5】（25-26高一上·河北邢台·期末）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据充分性、必要性的概念求解即可. 【解答过程】若，则由可得， 所以由“”可以推出“”， 由“”不一定有“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高一上·广东·期末）已知，，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【解答过程】由推不出，比如，则充分性不成立； 当时，由于，则，所以，则必要性成立. 则p是q的必要不充分条件. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分非必要条件； (2)p是q的必要非充分条件； (3)p是q的充要条件． 【解题思路】（1）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （2）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （3）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. 【解答过程】（1）因为“”能推出“”，即，但当“”时，如，推不出“”，即，所以是的充分非必要条件； （2）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，即，但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以是的必要非充分条件； （3）若“”，则“”，即；若“”，则“”，即，故，所以p是q的充要条件． 【变式5-3】（25-26高一上·全国·课后作业）下列“若，则”形式的命题中，判断条件是结论的什么条件？ (1)若，则； (2)若，则； (3)若一个四边形为平行四边形，则这个四边形为菱形． 【答案】(1)充分非必要条件； (2)充分非必要条件； (3)必要非充分条件. 【解题思路】（1）（2）（3）利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【解答过程】（1），而不能保证，如， 因此是的充分非必要条件. （2），而当时，或，即不能推出， 所以是的充分非必要条件. （3）一个四边形为平行四边形，则这个平行四边形的邻边可以不等，它不是菱形； 若一个四边形是菱形，则它一定是平行四边形， 所以一个四边形为平行四边形是这个四边形为菱形必要非充分条件. 【题型6 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 【例6】（25-26高一上·广西北海·期末）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据充分不必要条件的定义判断即可. 【解答过程】A选项，时，一定推出， 反之若时，例如，无法推出， 故是的充分不必要条件，A选项正确； B选项，显然是的充要条件，B选项不正确； C选项，若，取，则不满足，充分性不成立，C选项错误； D选项，若，取，类似C的分析可知充分性不成立，D选项错误. 故选：A. 【变式6-1】（2026高一·全国·专题练习）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【解答过程】对于A，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，即，“”是“”的充要条件，故B错误； 对于C，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：A． 【变式6-2】（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案. 【解答过程】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A. 【变式6-3】（25-26高一上·河南·阶段检测）关于的一元二次方程有实数解的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据一元二次方程有实数解可求得其成立的充要条件，根据推出关系可得到结论. 【解答过程】若一元二次方程有实数解，则，解得：； 对于A，，，是一元二次方程有实数解的充分不必要条件，A正确； 对于B，是一元二次方程有实数解的充要条件，B错误； 对于C，，，是一元二次方程有实数解的必要不充分条件，C错误； 对于D，，，是一元二次方程有实数解的必要不充分条件，D错误. 故选：A. 【题型7 由充分条件、必要条件求参数】 【例7】（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据充分不必要条件的判断即可得到实数的取值范围. 【解答过程】由＂＂的充分不必要条件是＂＂， 得，但， 所以． 故选：B. 【变式7-1】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义列式求解即得. 【解答过程】“”是“”的必要不充分条件， 则或，解得或，则， 所以实数m的取值范围是. 故选：D. 【变式7-2】（25-26高一上·云南大理·阶段检测）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)是的必要不充分条件 (2) 【解题思路】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断即可； （2）根据题意得集合包含关系，进一步列不等式即可求解参数范围. 【解答过程】（1）若，则，而， 又因为，且不能推出， 所以是的必要不充分条件； （2）， 若是的充分不必要条件， 则是的真子集， 所以，且等号不同时成立，解得， 所以的取值范围是. 【变式7-3】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知命题，命题， (1)若是的充分非必要条件，求实数的取值范围; (2)若是的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，由题设推得是的真子集，即得不等式组，解之即得； （2）由题设推得是的真子集，即得不等式组，解之即得. 【解答过程】（1）设 由题意可知是的真子集，，即， 则或，解得，又， 故实数的取值范围是； （2）由题意可知是的真子集， 则或，解得， 故实数的取值范围是. 【题型8 根据充要条件求参数】 【例8】（25-26高一上·云南文山·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【解题思路】先求出命题中不等式的解集，再根据p是q成立的充要条件，即p和q所表示的集合相等求出的值． 【解答过程】，解得， ， 又，， ， 故选：A． 【变式8-1】（25-26高一上·贵州黔西南·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解. 【解答过程】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 【变式8-2】（25-26高一上·全国·课后作业）若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将问题转化为恒成立即可求解. 【解答过程】恒成立，，所以，解得． 故选：B. 【变式8-3】（2026高一·全国·专题练习）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【解题思路】由题意可得，进而可求的值. 【解答过程】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 【题型9 充要条件的证明】 【例9】（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】证明见解析 【解题思路】分别证明充分性和必要性即可. 【解答过程】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 【变式9-1】（2026高一·全国·专题练习）已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 【答案】答案见解析 【解题思路】直接根据立方和公式因式分解即可得证. 【解答过程】 ， 而，所以， 所以时，， 综上所述，时，的充要条件是． 【变式9-2】（2026高一·全国·专题练习）设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 【答案】，证明见解析 【解题思路】为锐角三角形的充要条件为.作出图形，根据勾股定理计算化简分别证明充分性和必要性即可. 【解答过程】为锐角三角形的充要条件为. 证明：充分性：若，则不是直角三角形. 若为钝角三角形，因为，则. 过点B作的延长线的垂线，垂足为D（如图（1））， 由勾股定理知 ，矛盾， 故为锐角三角形，充分性成立. 必要性：过点A作边的垂线，垂足为D(如图(2))， 由勾股定理知， ， 故必要性成立. 故为锐角三角形的充要条件为.    【变式9-3】（2026高一·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【解题思路】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【解答过程】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【题型10 充分、必要条件与集合交汇】 【例10】（2026高一·全国·专题练习）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用充分条件、必要条件的概念结合集合间的基本关系计算即可. 【解答过程】因为是的必要不充分条件，所以A是B的真子集， 即，解得. 故选：D. 【变式10-1】（2026高三上·山西·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化简集合，再利用真子集的意义，结合包含关系求出取值集合，进而判断得解. 【解答过程】依题意，， 由B是A的真子集，得或或，而， 当时，； 当时，； 当时，， 因此B是A的真子集的充要条件是， 而真包含， 所以B是A的真子集的一个必要不充分条件是. 故选：A. 【变式10-2】（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分和两种情况，进行求解； （2）根据题意，得到是的真子集，得到不等式，即可求出答案. 【解答过程】（1）若，则，得； 若，则， 因为， 所以或，得或，则， 综上，实数的取值范围为； （2）因为，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，且等号不同时成立，得， 故实数的取值范围为. 【变式10-3】（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【解题思路】（1）先求出，根据交集的概念得到答案； （2）分和两种情况，得到不等式，求出答案； （3）先得到为的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）时，，故或， ， 故或 ； （2）， ，当时，，解得， 当时，需满足或，解得， 综上，实数m的取值范围为； （3）命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足或， 解得， 综上，实数m的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 充分条件与必要条件（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 命题的概念】 1 【题型2 判断命题的真假】 2 【题型3 充分条件】 3 【题型4 必要条件】 4 【题型5 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 5 【题型6 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 6 【题型7 由充分条件、必要条件求参数】 6 【题型8 根据充要条件求参数】 7 【题型9 充要条件的证明】 7 【题型10 充分、必要条件与集合交汇】 8 考点1 命题 知识点1 命题 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【题型1 命题的概念】 【例1】（2026高一·全国·专题练习）下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【变式1-1】（25-26高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【变式1-2】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）有下列语句，其中是命题的个数为（   ） （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）在下列语句中，命题的个数是（    ） ①空集是任何集合的子集；②若，则；③若，则. A． B． C． D． 【题型2 判断命题的真假】 【例2】（25-26高一上·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【变式2-1】（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．所有梯形的对角线相等 B． C．存在一个自然数小于0 D． 【变式2-2】（25-26高一上·上海·单元测试）下列四个命题： ①没有一个无理数不是实数； ②空集是任何一个非空集合的真子集； ③； ④至少存在一个整数x，使得是整数． 其中是真命题的为（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【变式2-3】（2026高一·全国·专题练习）已知命题 、，使得；命题 ，，则下列关于，真假叙述正确的是（    ） A．，均为真 B．，均为假 C．真，假 D．假，真 考点2 充分条件与必要条件 知识点2 充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 【题型3 充分条件】 【例3】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知，那么p的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）已知不等式成立的充分条件是，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）使不等式成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 【题型4 必要条件】 【例4】（2026高一·全国·专题练习）设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【变式4-2】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·黑龙江绥化·阶段检测）下列“若, 则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ）个 ① 若是偶数, 则是偶数 ②若，则方程有实根 ③若四边形的对角线互相垂直, 则这个四边形是菱形 ④若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 考点3 充要条件 知识点3 充要条件 1．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 知识点4 充分条件与必要条件的判定 1．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果且，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且，则称p是q的充分不必要条件. (4)如果且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件. 2．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 3．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 【题型5 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 【例5】（25-26高一上·河北邢台·期末）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-1】（25-26高一上·广东·期末）已知，，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 【变式5-3】（25-26高一上·全国·课后作业）下列“若，则”形式的命题中，判断条件是结论的什么条件？ (1)若，则； (2)若，则； (3)若一个四边形为平行四边形，则这个四边形为菱形． 【题型6 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 【例6】（25-26高一上·广西北海·期末）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026高一·全国·专题练习）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·河南·阶段检测）关于的一元二次方程有实数解的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【题型7 由充分条件、必要条件求参数】 【例7】（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·云南大理·阶段检测）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式7-3】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知命题，命题， (1)若是的充分非必要条件，求实数的取值范围; (2)若是的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【题型8 根据充要条件求参数】 【例8】（25-26高一上·云南文山·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式8-1】（25-26高一上·贵州黔西南·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·全国·课后作业）若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026高一·全国·专题练习）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【题型9 充要条件的证明】 【例9】（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【变式9-1】（2026高一·全国·专题练习）已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 【变式9-2】（2026高一·全国·专题练习）设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 【变式9-3】（2026高一·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【题型10 充分、必要条件与集合交汇】 【例10】（2026高一·全国·专题练习）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2026高三上·山西·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式10-3】（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $