第3章 圆锥曲线与方程（思维导图+知识清单+五大易错点总结）（暑假预习举一反三专项训练）高二数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 以“思维导图+知识清单+易错点总结”构建圆锥曲线系统训练，通过定义-方程-性质-应用逻辑链，提炼定义法、待定系数法等通性通法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆/双曲线/抛物线|3大曲线定义+标准方程+几何性质|定义法/待定系数法/焦点三角形公式|从定义推导方程，结合图形分析范围、对称性等性质| |直线与曲线位置关系|弦长/中点弦/焦点弦问题|点差法/韦达定理/弦长公式|联立方程判位置，用代数法解决几何问题，体现模型意识| |五大易错点|5类易错点+典例+跟踪训练|参数范围判定/方程标准化/斜率讨论|针对椭圆参数、双曲线焦点位置等易错点，强化批判性思维|

第3章 圆锥曲线与方程（思维导图+知识清单+五大易错点总结） 【苏教版】 3.1 椭圆 【知识点1 椭圆的标准方程】 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 2．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待 定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点 在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【知识点2 椭圆的焦点三角形】 1．焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，为椭圆的焦点，当点M,不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角 形，如图所示. 2．焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L=2a+2c. (2)在中，由余弦定理可得. (3)设，，则. 【知识点3 椭圆的几何性质】 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 2．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 3．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a. 这说明A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 4．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 3.2 直线与椭圆的位置关系 【知识点1 直线与椭圆的位置关系】 1．点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系： (2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 2．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点； Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点； Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点. 【知识点2 椭圆的弦长与“中点弦”问题】 1．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆(a>b>0)于，两点， 则或. 2．“中点弦”问题 (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程(a>b>0)， 得， ①-②可得， 设线段AB的中点为，当时，有. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆(a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐 标为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 3.3 双曲线 【知识点1 双曲线的标准方程】 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫 作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【知识点2 双曲线的焦点三角形】 1．双曲线的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. (2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法 方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式，求得面积. 方法二：利用公式，求得面积. (3)焦点三角形的常用结论 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为. 【知识点3 双曲线的几何性质】 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率. 3．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 3.4 直线与双曲线的位置关系 【知识点1 直线与双曲线的位置关系】 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，. Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 【知识点2 双曲线的弦长与“中点弦”问题】 1．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 2．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 3．双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 3.5 抛物线 【知识点1 抛物线的标准方程】 1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 2．抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 3．抛物线标准方程的求解 待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 4．与抛物线有关的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解. 【知识点2 抛物线的几何性质】 1．抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异有以下几个方面： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1，双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是 e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 3.6 直线与抛物线的位置关系 【知识点1 直线与抛物线的位置关系】 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【知识点2 抛物线的弦长与焦点弦问题】 1．弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则|AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 2．抛物线的焦点弦问题 抛物线y2=2px(p>0)上一点A与焦点的距离为|AF|=，若MN为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=x1+x2+p(x1,x2分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 【知识点3 抛物线的切线】 1．抛物线的切线 过抛物线y2=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 【易错点1 根据方程表示椭圆求参数问题】 易错点分析：曲线方程表示椭圆方程时，容易忽略了a≠b这个条件. 【注】：椭圆方程中分母应注意考虑a≠b的情况. 【典例1】（25-26高二上·湖北十堰·期末）方程 表示焦点在轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由椭圆方程及焦点所在的位置列不等式求参数范围即可. 【解答过程】由题意，，可得. 故选：B. 【跟踪训练1.1】（25-26高二上·江苏宿迁·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化简方程为，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】将方程变形可得， 因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【跟踪训练1.2】（25-26高二上·四川成都·阶段检测）是方程表示椭圆的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】由充分条件及必要条件的定义，结合椭圆的标准方程，得到结果. 【解答过程】当时，，，此时，方程化简为表示圆，不满足充分性， 当方程表示椭圆时，，解得，不满足必要性. 故是方程表示椭圆的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【跟踪训练1.3】（25-26高二上·山东青岛·期末）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用方程中表示椭圆的特征列式求解. 【解答过程】由方程表示焦点在x轴上的椭圆，得，解得， 所以m的取值范围是. 故选：B. 【跟踪训练1.4】（25-26高二上·吉林·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据椭圆的标准方程的类型列式可得结果. 【解答过程】方程表示焦点在轴上的椭圆， 则,解得：, 所以实数的取值范围是， 故选：C. 【易错点2 椭圆的曲线方程变形不等价】 易错点分析：对于直线与部分椭圆的相交问题，在对曲线方程进行变形时，忽略了变量x，y的取值范围，从而导致变形不等价. 【注】：对题干中的曲线方程进行变形时，要注意变量x，y的取值范围. 【典例2】（2026高二·全国·专题练习）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间. 【解答过程】直线过定点， 由，得，，即， 所以曲线是椭圆的上半部分， 当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间， 直线l与椭圆上半部分相切时的斜率为， 直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率为， 由图可知：， 所以k的取值范围为. 故选：B. 【跟踪训练2.1】（2026高二·湖南·专题练习）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】方程变形，分析曲线为半椭圆形状，再由直线与椭圆的位置关系，利用代数法求解判别式，结合图形分析范围可得答案. 【解答过程】由，得，即， 所以为椭圆的右半部分． 当时，直线与有两个公共点； 当时，直线，令， 将代入，得， 则，得，则． 由图可知，所以． 综上，的取值范围是． 故选：D. 【跟踪训练2.2】（25-26高二上·吉林四平·阶段检测）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线和椭圆的位置关系，结合图象求得的取值范围. 【解答过程】由两边平方得，对应图象是椭圆的上半部分， 画出半椭圆：和的图象如下图所示， 设半椭圆的左右顶点为， 由两边平方并化简得， 由，解得（负根舍去）， 当过点时，， 结合图象可知，要使关于的方程有两个不相等的实数根， 则需， 故选：A. 【跟踪训练2.3】（2026高二·全国·专题练习）若方程有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意画出椭圆的部分，利用数形结合求出直线与椭圆相切时的值，再求出直线过椭圆右端点时的值，即可得到得范围. 【解答过程】设，，两边同平方得，化简得（）， 则其所表示的图形为椭圆在x轴及上方部分， 则题目转化为直线与上述图形有交点， 设椭圆的右端点为，易得其坐标为， 当直线与半椭圆相切时，显然由图得， 联立，得， 则 化简得，解得或（舍）， 当直线经过点时，得，解得， 则， 故选：B. 【跟踪训练2.4】（25-26高二上·上海·期末）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解题思路】化简曲线为和直线为，得到直线恒过定点，结合题意，利用斜率公式，即可求解. 【解答过程】如图所示，由曲线， 可得，则， 又由直线，可化为，可得直线恒过定点， 则， 要使得直线与曲线有两个不同的交点，则满足或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：.    【易错点3 根据方程表示双曲线求参数问题】 易错点分析：忽略了曲线方程表示双曲线方程时，双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上. 【注】：注意题干中所给曲线方程的精确条件. 【典例3】（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知曲线的方程为.若曲线表示的是双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】由双曲线方程的结构得到，求解即可. 【解答过程】由方程表示双曲线， 可得， 解得或， 故选：D. 【跟踪训练3.1】（25-26高二上·江西宜春·阶段检测）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的方程列出不等式组求解即可. 【解答过程】由题意可得， 解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 【跟踪训练3.2】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得． 【解答过程】因为方程表示双曲线， 所以，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件， 故选：B． 【跟踪训练3.3】（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）已知方程表示双曲线，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意结合双曲线方程可得，运算求解即可. 【解答过程】若方程表示双曲线， 则，解得或， 所以实数m的取值范围为. 故选：C. 【跟踪训练3.4】（25-26高二上·吉林长春·期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由双曲线的性质结合题意列不等式组可得. 【解答过程】因方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 【易错点4 抛物线方程没有标准化】 易错点分析：在抛物线的非标准方程中，直接利用公式求焦点或准线方程导致结果错误. 【注】：抛物线问题要先化为标准方程. 【典例4】（25-26高二下·广西桂林·开学考试）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化为标准方程即可求解． 【解答过程】抛物线的标准方程为：，则焦点在的正半轴，且, 所以抛物线的准线方程为：; 故选：D. 【跟踪训练4.1】（25-26高二上·安徽·期末）已知抛物线的方程为，则它的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将抛物线方程化为标准形式，再由抛物线准线方程即可得解. 【解答过程】将抛物线化为标准方程：，准线方程为. 故选：B. 【跟踪训练4.2】（25-26高二上·江西宜春·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先得出抛物线的标准方程，再得出焦点即可. 【解答过程】抛物线的标准方程为， 焦点在y轴的负半轴上，得焦点为. 故选：B. 【跟踪训练4.3】（25-26高二上·湖北武汉·期末）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将抛物线的方程化为标准方程，可得出其准线方程. 【解答过程】抛物线的标准方程为，则，所以，则， 故该抛物线的准线方程为. 故选：C. 【跟踪训练4.4】（25-26高二上·云南楚雄·期末）抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将抛物线方程化成标准方程，即可求得其准线方程. 【解答过程】将抛物线方程化成标准方程为， 则焦点在y轴正半轴上，则，得, 所以抛物线的准线方程为． 故选：B． 【易错点5 设直线方程时忽略了直线的斜率是否存在】 易错点分析：在处理直线与圆锥曲线的位置关系的问题时，设直线的点斜式或斜截式方程时直接假设直线的斜率存在，忽略了直线的斜率不存在的情况，导致计算不严谨或结果错误. 【注】：不清楚直线的斜率情况时，设直线方程有两种思路：①设直线方程时，分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况；①设直线方程时，分类讨论直线的斜率为0和斜率不为0两种情况. 【典例5】（25-26高三·全国·一轮复习）已知椭圆的离心率为且经过点.试求： (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或. 【解题思路】（1）由题设可得，，结合即可求出，进而求解即可； （2）分直线的斜率不存在、存在，两种情况结合弦长公式讨论求解即可. 【解答过程】（1）根据题意，椭圆的离心率为，则①， 又因为椭圆过点，则②，又③， 由①②③联立解得，，所以椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线：，与曲线的交点为，， 联立，得，则， 且，， 则， 整理得，所以或（舍）. 经检验，符合题意， 所以直线的方程为，即或.    【跟踪训练5.1】（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线于A，B两点，且，求的方程. 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）根据题意，建立得方程求出，得解； （2）当直线的斜率为0时，显然不合题意；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，与双曲线方程联立可得根与系数关系，利用弦长公式求出，进而求得，得解. 【解答过程】（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以，即. 又点是双曲线的右焦点，所以， 得，所以， 所以双曲线的方程为. （2）当直线的斜率为0时，显然有，不合题意，舍去； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立直线与双曲线方程，消得， 设，则， ， 所以，即， 解得或0，即或0， 所以l的方程为或.    【跟踪训练5.2】（25-26高二上·上海·期末）已知抛物线，定点； (1)过点A且过抛物线C的焦点F的直线，交抛物线C于两点，求； (2)求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线方程. 【答案】(1) (2)或或 【解题思路】（1）先求出抛物线焦点与直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理结合弦长公式计算弦长 ； （2）分直线斜率不存在、斜率为、斜率存在且不为三种情况，分别联立直线与抛物线方程，通过判别式或方程解的个数判断直线与抛物线仅有一个公共点的情况，进而得到所有符合条件的直线方程. 【解答过程】（1）对于抛物线，得，即，焦点. 已知，直线的斜率，直线方程为. 联立直线与抛物线方程：， 整理得， 设，由韦达定理得， 由弦长公式. （2）若所求直线斜率不存在，则方程为，代入抛物线得，仅有一个公共点，符合条件； 若所求直线斜率存在，设为，则直线为，由，得， 若，方程化为，仅有一个解，对应直线，符合条件； 若，令判别式，得，对应直线，符合条件。 综上，过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程为或或. 【跟踪训练5.3】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知点 到点 和 的距离之差的绝对值等于 为坐标原点， (1)求点 的轨迹及轨迹方程； (2)若过点 的直线 与点 的轨迹交于 两点， 的面积为 ，求直线 的方程. 【答案】(1)双曲线， (2) 【解题思路】（1）根据距离公式列出等式，化简后可得到轨迹方程. （2）先设出直线的方程,分斜率存在与不存在讨论，斜率不存在时不符合条件舍去，直线斜率存在时，与双曲线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出和，再根据弦长公式求出，根据点到直线距离公式求出原点到直线的距离，由三角形面积公式求出直线斜率，从而得到直线方程. 【解答过程】（1）设点 到 和 的距离分别为 和 ,根据题意： ， 两点 、 的距离为4,而 ,符合双曲线的定义,因此轨迹为双曲线， ,得 ； ,得 ； ， 双曲线的标准方程为:， （2）当斜率不存在时，直线与曲线没有交点，不满足题意. 当斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得. 展开整理得， ， 设，，由韦达定理（），. 根据弦长公式 先求 . 所以.   原点到直线的距离. 已知. 即. 化简得. 两边平方整理得，即. 得，因为，所以，. 也满足. 所以直线的方程为. 【跟踪训练5.4】（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据椭圆离心率以及椭圆经过的点坐标解方程组可得结果； （2）对直线斜率是否存在进行分类讨论，设直线l斜率存在时，方程为，联立直线和椭圆方程，利用弦长公式和点到直线距离公式得出面积表达式，再由函数单调性计算可得结果. 【解答过程】（1）由离心率，可得，即， 又，可得 椭圆经过点，可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）当直线l斜率不存在时，易知， 此时； 设直线l斜率存在时，方程为，点，如下图： 联立，整理得， 则， 所以， 又点R到直线l的距离为． 所以， 令， 则， 易知，所以； 综上，，的最大值为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆锥曲线与方程（思维导图+知识清单+五大易错点总结） 【苏教版】 3.1 椭圆 【知识点1 椭圆的标准方程】 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 2．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待 定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点 在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【知识点2 椭圆的焦点三角形】 1．焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，为椭圆的焦点，当点M,不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角 形，如图所示. 2．焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L=2a+2c. (2)在中，由余弦定理可得. (3)设，，则. 【知识点3 椭圆的几何性质】 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 2．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 3．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a. 这说明A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 4．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 3.2 直线与椭圆的位置关系 【知识点1 直线与椭圆的位置关系】 1．点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系： (2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 2．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点； Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点； Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点. 【知识点2 椭圆的弦长与“中点弦”问题】 1．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆(a>b>0)于，两点， 则或. 2．“中点弦”问题 (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程(a>b>0)， 得， ①-②可得， 设线段AB的中点为，当时，有. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆(a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐 标为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 3.3 双曲线 【知识点1 双曲线的标准方程】 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫 作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【知识点2 双曲线的焦点三角形】 1．双曲线的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. (2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法 方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式，求得面积. 方法二：利用公式，求得面积. (3)焦点三角形的常用结论 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为. 【知识点3 双曲线的几何性质】 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率. 3．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 3.4 直线与双曲线的位置关系 【知识点1 直线与双曲线的位置关系】 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，. Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 【知识点2 双曲线的弦长与“中点弦”问题】 1．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 2．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 3．双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 3.5 抛物线 【知识点1 抛物线的标准方程】 1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 2．抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 3．抛物线标准方程的求解 待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 4．与抛物线有关的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解. 【知识点2 抛物线的几何性质】 1．抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异有以下几个方面： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1，双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是 e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 3.6 直线与抛物线的位置关系 【知识点1 直线与抛物线的位置关系】 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【知识点2 抛物线的弦长与焦点弦问题】 1．弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则|AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 2．抛物线的焦点弦问题 抛物线y2=2px(p>0)上一点A与焦点的距离为|AF|=，若MN为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=x1+x2+p(x1,x2分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 【知识点3 抛物线的切线】 1．抛物线的切线 过抛物线y2=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 【易错点1 根据方程表示椭圆求参数问题】 易错点分析：曲线方程表示椭圆方程时，容易忽略了a≠b这个条件. 【注】：椭圆方程中分母应注意考虑a≠b的情况. 【典例1】（25-26高二上·湖北十堰·期末）方程 表示焦点在轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.1】（25-26高二上·江苏宿迁·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.2】（25-26高二上·四川成都·阶段检测）是方程表示椭圆的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练1.3】（25-26高二上·山东青岛·期末）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.4】（25-26高二上·吉林·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【易错点2 椭圆的曲线方程变形不等价】 易错点分析：对于直线与部分椭圆的相交问题，在对曲线方程进行变形时，忽略了变量x，y的取值范围，从而导致变形不等价. 【注】：对题干中的曲线方程进行变形时，要注意变量x，y的取值范围. 【典例2】（2026高二·全国·专题练习）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.1】（2026高二·湖南·专题练习）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.2】（25-26高二上·吉林四平·阶段检测）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.3】（2026高二·全国·专题练习）若方程有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.4】（25-26高二上·上海·期末）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为____________. 【易错点3 根据方程表示双曲线求参数问题】 易错点分析：忽略了曲线方程表示双曲线方程时，双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上. 【注】：注意题干中所给曲线方程的精确条件. 【典例3】（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知曲线的方程为.若曲线表示的是双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【跟踪训练3.1】（25-26高二上·江西宜春·阶段检测）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.2】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练3.3】（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）已知方程表示双曲线，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.4】（25-26高二上·吉林长春·期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【易错点4 抛物线方程没有标准化】 易错点分析：在抛物线的非标准方程中，直接利用公式求焦点或准线方程导致结果错误. 【注】：抛物线问题要先化为标准方程. 【典例4】（25-26高二下·广西桂林·开学考试）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.1】（25-26高二上·安徽·期末）已知抛物线的方程为，则它的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.2】（25-26高二上·江西宜春·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.3】（25-26高二上·湖北武汉·期末）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.4】（25-26高二上·云南楚雄·期末）抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 【易错点5 设直线方程时忽略了直线的斜率是否存在】 易错点分析：在处理直线与圆锥曲线的位置关系的问题时，设直线的点斜式或斜截式方程时直接假设直线的斜率存在，忽略了直线的斜率不存在的情况，导致计算不严谨或结果错误. 【注】：不清楚直线的斜率情况时，设直线方程有两种思路：①设直线方程时，分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况；①设直线方程时，分类讨论直线的斜率为0和斜率不为0两种情况. 【典例5】（25-26高三·全国·一轮复习）已知椭圆的离心率为且经过点.试求： (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 【跟踪训练5.1】（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线于A，B两点，且，求的方程. 【跟踪训练5.2】（25-26高二上·上海·期末）已知抛物线，定点； (1)过点A且过抛物线C的焦点F的直线，交抛物线C于两点，求； (2)求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线方程. 【跟踪训练5.3】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知点 到点 和 的距离之差的绝对值等于 为坐标原点， (1)求点 的轨迹及轨迹方程； (2)若过点 的直线 与点 的轨迹交于 两点， 的面积为 ，求直线 的方程. 【跟踪训练5.4】（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点，求面积的最大值． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $