专题29 圆锥曲线的方程综合检测提升卷-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

圆锥曲线的方程综合检测提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线的焦距为6，则为（    ） A．5 B． C． D．32 【答案】A 【分析】由双曲线的相关概念求解即可. 【详解】因为双曲线的焦距为6， 所以，即，且，， 所以，故， 故选：A 2．经过两点的椭圆的标准方程为（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件和椭圆的性质得出并确定焦点所在的轴，可得标准方程． 【详解】因为椭圆经过两点， 所以焦点在轴上， 设所求椭圆的标准方程为， 可得， 所以所求的方程为. 故选：B. 3．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线定义将点到准线的距离转化到与焦点的距离，再根据三点不共线时两边之和大于第三边且三点共线时能取得最值，即得结果. 【详解】依题意，抛物线中，，点到准线的距离， 故点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和为： ， 当且仅当A,P,F三点共线时等号成立. 所以的最小值为. 故选：C. 4．已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆定义及可知，，再由余弦定理可得，进而可得离心率. 【详解】由椭圆的定义可得：， 又， 所以，， 在中，， 即，解得， 又因为，所以离心率， 故选：C. 5．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（   ）      A． B．18cm C． D． 【答案】D 【分析】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可. 【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A与分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程为， 由双曲线的离心率为，得，则， 由喉部（中间最细处）的直径为，得， 所以双曲线的方程为，设点， 由，得，所以该塔筒的高为. 故选：D    6．已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点差法得到，然后结合的坐标和直线的斜率得到，即可得到双曲线的渐近线方程. 【详解】解：设，，可得，， 两式相减可得， 点是弦的中点，且直线：， 可得，，， 即有，即， 双曲线的渐近线方程为．经验证此时直线与双曲线有两个交点. 故选：B． 7．设是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点在第一象限，过点作轴，求出点的坐标，代入抛物线方程，结合可求得的值. 【详解】不妨设点在第一象限，过点作轴，如下图所示：    因为，，则， ， 易知点，结合图形可知， 将点的坐标代入抛物线方程得，整理得， 因为，解得. 故选：A. 8．已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆、双曲线的定义，结合三角形的相似，探索的关系，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】如图： 根据椭圆和双曲线的定义，可得. 又，，所以∽. 所以. 又，， 所以， 当且仅当，即时取“”. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知曲线，则下列选项正确的是（    ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则 C．若，则的离心率为 D．若，则的一个顶点为 【答案】BD 【分析】根据题设方程所表示的曲线列不等式求参数范围判断A、B；代入的值得到具体曲线，由方程可求离心率或顶点可判断C、D. 【详解】对于A：若曲线表示椭圆，则， 解得，故A错误； 对于B：若曲线表示双曲线，则，解得或，即，故B正确； 对于C：若，则，，离心率，故C错误； 对于D：若，则，焦点在轴上，令得，，顶点为，故D正确. 故选：BD. 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，其一条渐近线方程为，点为的左支上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A． B．到渐近线的距离是 C．若，则的最小值为 D．若点为的左支上一点，则的内切圆的半径为 【答案】ABD 【分析】根据渐近线方程得，即可判断A；根据点到直线的距离公式计算，即可判断B；应用双曲线定义结合距离和最小判断C；利用三角形的面积两种求法得方程计算，即可判断D. 【详解】由，得， 由其一条渐近线方程为，则，故A正确； 又，则， 所以到渐近线的距离是，故B正确； 根据双曲线定义可得， 所以，又，， 因此， 当A是线段与C的交点时，满足题意， 此时的最小值为，故C错误； 由点为C的左支上一点，得， 由，得，则， 又， 因此的周长为， 知的面积为， 设的内切圆半径为r， 则，解得，故D正确. 故选：ABD. 11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过倾斜角为的直线交椭圆于、两点，的周长为，则下列说法正确的是 （     ） A． B．当时， C．的最大值为 D．面积最大值为 【答案】ABD 【分析】利用椭圆的定义可求出的值，可判断A选项；利用弦长公式求出的最小值，结合椭圆的定义可判断C选项；利用弦长公式可判断B选项；利用三角形的面积公式结合函数单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，的周长为，则，故A项正确； 对于BCD选项，若直线与轴重合时，， 当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，， 所以， ， 当且仅当时，即当轴时，等号成立， 故，所以，，故C项错误； 当时，，此时，，故B项正确； 由题意可知，直线不与轴重合，由上可知， 点到直线的距离为， 所以，， 令，则， 令，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减， 故面积的最大值为，故D项正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，若，则线段的中点到轴距离为 ． 【答案】3 【分析】设出，由抛物线焦点弦公式得到，进而求出线段的中点横坐标为，得到答案. 【详解】由题意得：，设， 则，解得：， 则线段的中点横坐标为， 故线段的中点到轴的距离为3. 故答案为：3 13．已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据椭圆定义得出距离和为定值，再应用焦半径范围及对勾函数单调性计算求解. 【详解】，是椭圆的两个焦点，所以， 点在椭圆上，则，，所以， 又因为单调递减，单调递增， 则， 则， 当或时，则最大值为. 故答案为：. 14．已知双曲线的左，右焦点分别为，点A在y轴上，为等边三角形，的延长线与双曲线C交于点B.若，则双曲线C的离心率为 【答案】 【分析】写出焦点坐标，从而知道点坐标，由线段关系，借助向量得到点坐标，将点坐标代入双曲线方程，化简后通过解方程求得离心率. 【详解】，， 在等边中，，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以 故答案为： 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，进而转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在平面直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为，倾斜角为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)以为直径的圆能否经过坐标原点？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）根据题意利用距离相等列出等式，化简可得的方程为； （2）联立直线和抛物线方程，利用垂直关系的向量表示可得，由方程无解可得结论. 【详解】（1）设，则， 化简得． 所以的方程为． （2）设直线的方程为，，，如下图所示： 联立可得， 所以，解得． 由韦达定理得， 假设以为直径的圆能经过坐标原点，则， 即，可得， 又， 所以，此时方程无实数解． 所以以为直径的圆不能经过坐标原点． 16．（15分） 已知椭圆的离心率，短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点作直线与椭圆相切，求直线的方程； (3)若过椭圆外一点可以作椭圆的两条互相垂直的切线，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据题意，列出方程，结合求得的值，即可求解； （2）设直线的方程为，联立方程组，根据直线与椭圆相切，利用，求得的值，即可得到直线的方程； （3）当切线斜率不存在或为0时，求得点；当切线斜率存在且不为0时，设切线方程为，联立方程组，结合，求得，根据两条切线互相垂直，得到，进而得到点的轨迹方程. 【详解】（1）解：由题意知，离心率，且短轴长为，可得，                                     又，所以，故椭圆的标准方程为. （2）解：由椭圆，可得点在椭圆上， 则直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立方程组，可得， 因为直线与椭圆相切，所以，即，解得， 所以直线的方程为，即. （3）解：当切线斜率不存在或为0时，此时点； 当切线斜率存在且不为0时，且， 设切线方程为，联立方程组 ， 整理得， 由，可得，即，             因为两条切线互相垂直，所以，可得，                               此时，点的轨迹方程为， 综上所述，点的轨迹方程为. 17．（15分） 已知，分别是双曲线的左，右顶点，，点是上一点．过点的直线与双曲线的右支交于，两点． (1)求的方程； (2)若的斜率为1，求； (3)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据左右顶点的距离得到，然后根据点在曲线上列方程得到，即可得到双曲线方程； （2）联立直线和双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式计算； （3）联立直线和双曲线方程，利用斜率公式和韦达定理计算即可证明. 【详解】（1）    解：由，可得，解得， 点是上一点，所以，解得， 所以的方程为． （2）解：的方程为， 联立即， 设，，则，， 所以弦长． （3）证明：设，，，易知，， 直线与双曲线联立得， 所以 所以 ， 故是定值． 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题，往往需联立直线与圆锥曲线方程，消元并结合韦达定理，运用弦长公式、点到直线距离公式、斜率公式、向量数量积公式进行转化变形，结合已知条件得出结果. 18．（17分） 已知椭圆过点，焦距为2 . (1)求的方程; (2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于四点，设线段的中点分别为. (i)证明：直线过定点； (ii) 求四边形面积的取值范围. 【答案】(1)； (2)(i)证明见解析；(ii). 【分析】（1）由椭圆所过的点及焦距求出椭圆参数，即可得方程； （2）（i）讨论直线斜率的存在性，设，联立椭圆方程并应用韦达定理，结合中点坐标求坐标，进而写出直线，即可证；（ii）根据（i）并应用弦长公式求相交弦长，由，最后应用基本不等式求范围即可. 【详解】（1）由题意知椭圆过点 ，则， 因为，所以， 联立方程组 ，解得，则， 所以椭圆的方程为. （2） (i) 当两条直线的斜率都存在时，不妨设， 设， 联立直线与椭圆的方程，得， 消去整理得，易知， 根据韦达定理可知，， 即，同理， 所以， 所以， 令，得，此时直线恒过， 当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知也经过， 所以直线过定点. (ii) 当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知， 当两条直线的斜率都存在时，不妨设， 由(i)得：，同理， 则 因为 ， 根据基本不等式 ，当且仅当时等号成立， 所以 ， 综上所述，四边形面积的取值范围为 . 19．（17分） 已知圆和圆，动圆Q与圆、圆都外切或都内切，记点Q的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)过点作直线，使其被曲线E截得的弦恰被点P平分，求直线的方程； (3)记曲线E的左、右顶点为，，过点的直线与曲线E的左支交于C，D两点，点C在第二象限，直线与交于点G，证明点G在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用圆与圆的位置关系得出以及即可依据双曲线的定义写出方程； （2）利用点差法得出直线斜率，再利用点斜式可求； （3）设直线方程，联立方程组，求直线与的方程，联立直线方程计算为定值. 【详解】（1）设动圆的半径为，当动圆与圆、圆都外切时， 所以 当动圆与圆、圆都内切时，， 所以，所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，，所以， 所以曲线的方程为. （2）设直线交双曲线于点，并设，， 所以两式相减可得：， ，则， 因为为线段的中点，所以，， 所以，所以直线的方程为， 化简可得，经检验，该直线与曲线有两个交点，符合题意. （3），，设点，， 因为直线CD的斜率不为0，故设CD的方程为， 联立得， 直线的方程为， 直线的方程为， 联立直线与可得 ，则 又，得，故点在定直线上.    11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线的方程综合检测提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线的焦距为6，则为（    ） A．5 B． C． D．32 2．经过两点的椭圆的标准方程为（     ）. A． B． C． D． 3．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 4．已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（   ）      A． B．18cm C． D． 6．已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 7．设是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知曲线，则下列选项正确的是（    ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则 C．若，则的离心率为 D．若，则的一个顶点为 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，其一条渐近线方程为，点为的左支上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A． B．到渐近线的距离是 C．若，则的最小值为 D．若点为的左支上一点，则的内切圆的半径为 11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过倾斜角为的直线交椭圆于、两点，的周长为，则下列说法正确的是 （     ） A． B．当时， C．的最大值为 D．面积最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，若，则线段的中点到轴距离为 ． 13．已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则的最大值为 ． 14．已知双曲线的左，右焦点分别为，点A在y轴上，为等边三角形，的延长线与双曲线C交于点B.若，则双曲线C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在平面直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为，倾斜角为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)以为直径的圆能否经过坐标原点？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由． 16．（15分） 已知椭圆的离心率，短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点作直线与椭圆相切，求直线的方程； (3)若过椭圆外一点可以作椭圆的两条互相垂直的切线，求点的轨迹方程. 17．（15分） 已知，分别是双曲线的左，右顶点，，点是上一点．过点的直线与双曲线的右支交于，两点． (1)求的方程； (2)若的斜率为1，求； (3)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 18．（17分） 已知椭圆过点，焦距为2 . (1)求的方程; (2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于四点，设线段的中点分别为. (i)证明：直线过定点； (ii) 求四边形面积的取值范围. 19．（17分） 已知圆和圆，动圆Q与圆、圆都外切或都内切，记点Q的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)过点作直线，使其被曲线E截得的弦恰被点P平分，求直线的方程； (3)记曲线E的左、右顶点为，，过点的直线与曲线E的左支交于C，D两点，点C在第二象限，直线与交于点G，证明点G在定直线上. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$