第三章 圆锥曲线的方程 章末检测卷-2024年新高二数学暑假衔接重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

第三章 圆锥曲线的方程 章末检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．若椭圆与椭圆（）的离心率相同，则实数b的值为（    ） A． B． C． D． 4． 分别是抛物线 和 轴上的动点， ，则 的最小值为（      ） A．5 B． C． D．2 5．与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．椭圆 的右顶点为 ，右焦点为 为椭圆在第二象限上的点，直线 交椭圆 于点 ， 11 延长直线 交线段 于 ，若 ，则椭圆 的离心率是 （        ） A． B． C． D． 8．设O为坐标原点，直线过抛物线（）的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．的面积为 D．以为直径的圆与l有两个交点 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知，，直线，相交于，直线，的斜率分别为，，则（    ） A．当时，点的轨迹为除去，两点的椭圆 B．当时，点的轨迹为除去，两点的圆 C．当时，点的轨迹为除去，两点的双曲线 D．当时，点的轨迹为除去，两点的抛物线 10．嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为，已知远月点到月球表面的最近距离为，则（     ） A．圆形轨道的周长为 B．月球半径为 C．近月点与远月点的距离为 D．椭圆轨道的离心率为 11．（多选）设O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点为双曲线上一点，则（　　） A．若，则 B．若的面积为，则 C．若线段的中点在y轴上，则 D．内切圆的圆心到轴的距离为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则的离心率为 ． 13．过抛物线的焦点作圆：的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为 . 14．已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C的离心率为，P是C在第一象限上的一点.若，则 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，两顶点间的距离是8，离心率： (2)渐近线方程是，虚轴长为4． 16．（15分）已知椭圆：的离心率为且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于、两点，求． 17．（15分）已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点. (1)若，求m的值； (2)求线段AB中点M的轨迹方程. 18．（17分）双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于两点． (1)若的倾斜角为，是等边三角形，求的值； (2)设，若直线的斜率等于2，求两点的横坐标之和． 19．（17分）已知椭圆的方程为，过点且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)点A是椭圆与轴正半轴的交点，不过点A的直线交椭圆于两点，且直线的斜率分别是，若，求面积的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆锥曲线的方程 章末检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：，可得， 则，所以该椭圆的方程为. 故选：C. 2．已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由点，，可得， 又由，可得， 根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支， 且，可得，则， 所以点的轨迹方程为. 故选：C. 3．若椭圆与椭圆（）的离心率相同，则实数b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若椭圆与椭圆（）的离心率相同， 则，解得满足题意. 故选：A. 4． 分别是抛物线 和 轴上的动点， ，则 的最小值为（      ） A．5 B． C． D．2 【答案】D 【详解】设抛物线的焦点为，无论在何处，的最小值都是到轴的距离， 所以的最小值和到轴的距离之和的最小值和到准线的距离之和减去最小， 根据抛物线的定义问题转化为最小，显然当三点共线时最小，最小值为. 故选：D   5．与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意设双曲线方程为，因为的渐近线方程为， 所以得，又因为的焦点为，所以. 由，所以可得：，，故双曲线的方程为，故B项正确. 故选：B. 6．已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，所以 ， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 当时显然恒成立，当时恒成立， 所以，则，又，所以，即实数的取值范围为. 故选：B 7．椭圆 的右顶点为 ，右焦点为 为椭圆在第二象限上的点，直线 交椭圆 于点 ， 11 延长直线 交线段 于 ，若 ，则椭圆 的离心率是 （        ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图， 设点，则，，， 由 知，为线段的中点，则， 由三点共线，故，化简得到，故. 故选：A. 8．设O为坐标原点，直线过抛物线（）的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．的面积为 D．以为直径的圆与l有两个交点 【答案】C 【详解】对于A，当时，，所以抛物线的焦点为，所以，得，所以A错误， 对于B，由选项A可知，设， 由，得， 所以， 所以，所以B错误， 对于C，点到直线的距离为，由选项B可知， 所以的面积为，所以C正确， 对于D，抛物线的准线为，设线段的中点为，则， 则点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与准线相切，所以以为直径的圆与准线只有一个交点，所以D错误， 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知，，直线，相交于，直线，的斜率分别为，，则（    ） A．当时，点的轨迹为除去，两点的椭圆 B．当时，点的轨迹为除去，两点的圆 C．当时，点的轨迹为除去，两点的双曲线 D．当时，点的轨迹为除去，两点的抛物线 【答案】ABC 【详解】根据题意知：，，设， 对选项，， 化简可得， 点的轨迹为除去,点的椭圆，故A正确； 对B选项,，, 化简可得，， 点的轨迹为除去，两点的圆，故B正确； 对C选项，，, 化简可得，, 点的轨迹为除去，两点的双曲线，故C正确； 对D选项，, 化简可得，,点的轨迹不是除去，两点的抛物线，故D错误． 故选：ABC 10．嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为，已知远月点到月球表面的最近距离为，则（     ） A．圆形轨道的周长为 B．月球半径为 C．近月点与远月点的距离为 D．椭圆轨道的离心率为 【答案】BC 【详解】由题，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道，环绕周期为，则可得环绕的圆形轨道周长为km，半径为km，故A错误； 则月球半径为，故B正确； 则近月点与远月点的距离为，故C正确； 设椭圆方程为，则（为月球的半径）， ，故离心率为，故D错误. 故选：BC. 【点睛】本题考查椭圆的应用，解题的关键是正确理解椭圆的定义. 11．（多选）设O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点为双曲线上一点，则（　　） A．若，则 B．若的面积为，则 C．若线段的中点在y轴上，则 D．内切圆的圆心到轴的距离为1 【答案】BCD 【详解】渐近线方程为， 由题意可得，焦点到渐近线的距离为，结合，解得，则双曲线的方程为 ， ，所以 或，选项A错； 记，则， 由，可得，即有，所以，选项B对： 因为的中点在轴上，所以,故轴，故，选项C对； 取点在双曲线的右支上，如图所示， ， 又因为，解得，， 所以切点是双曲线的右顶点，从而内切圆圆心的横坐标为1，选项D对． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，其方程为，依题有，方程组无解； 当双曲线的焦点在轴上时，其方程为，依题有，解得， 则. 故答案为：. 13．过抛物线的焦点作圆：的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为 . 【答案】4 【详解】 如图， 过抛物线的焦点F作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，又△FMN为等边三角形， 则在直角三角形MCF中，，， 又C(2,0)，，又， 则，即，则p＝4． 故答案为：4． 14．已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C的离心率为，P是C在第一象限上的一点.若，则 . 【答案】/0.5 【详解】如图，记，， 因为，则，， 由椭圆的定义可得， 所以，则， 又且，有或， 解得或，又点在第一象限，所以， 得，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：注意综合运用椭圆的有关定义和性质、、三角形的正弦定理、余弦定理、内角和定理，以及三角形的面积公式等等. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，两顶点间的距离是8，离心率： (2)渐近线方程是，虚轴长为4． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意知，双曲线焦点在轴上，设标准方程为, ，解得，则， 所以双曲线的标准方程为． （2）当双曲线焦点在轴上时，设标准方程为，由题意知， ，解得， 所以双曲线的标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，设标准方程为，由题意知， ，解得， 所以双曲线的标准方程为； 综上所述，双曲线的标准方程为或． 16．（15分）已知椭圆：的离心率为且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于、两点，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 由题意得，解得， 椭圆的方程为； （2） 由（1）得，椭圆的左焦点，右焦点， 则直线的方程为：，设，， 联立，消去，得，显然， 则， 所以． 17．（15分）已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点. (1)若，求m的值； (2)求线段AB中点M的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）联立方程，消去y得， 由得，设，，则， 由抛物线定义知：，解得，符合题意， 所以. （2）设点，则由题意得，因为，所以， 把即代入得， 所以点M的轨迹方程为. 18．（17分）双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于两点． (1)若的倾斜角为，是等边三角形，求的值； (2)设，若直线的斜率等于2，求两点的横坐标之和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设双曲线的焦距为，则可得， 当的倾斜角为时，不妨设，如下图所示： 将点代入可得，又； 解得； 由是等边三角形可得，即， 联立解得或（舍）； 所以可得； （2）当时，双曲线方程为，此时 又直线的斜率等于2，所以直线方程为， 不妨设，联立直线和双曲线方程， 整理可得， 显然，由韦达定理可得， 即两点的横坐标之和为. 19．（17分）已知椭圆的方程为，过点且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)点A是椭圆与轴正半轴的交点，不过点A的直线交椭圆于两点，且直线的斜率分别是，若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，解得，，得， 所以椭圆的方程为 （2）设，，直线， 联立方程组，得， 由，解得，，， 由， 知 ，且， 代入化简得， 解得， 又由知，得， ， （当且仅当时取等号）， 综上，面积的最大值为.    【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$