第二十六章 二次函数 题型突破（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章二次函数题型突破（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级上册 （25题型） 题型1：二次函数的识别 1．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.下列函数中：（1）y＝2（x﹣1）（x+4）； （2）y＝3（x﹣1）2+2；（3）y＝x2+； （4）y＝（x﹣3）2﹣x2．不是二次函数的是（　　） A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4） 【答案】：B． 3． 有下列函数：①；②；③；④．其中y是x的二次函数有 ．（填序号） 【答案】②③④ 题型2：根据二次函数的定义求参数值 1.若是二次函数，则的值是（    ） A． B．3 C．9 D． 【答案】D 2.若y＝（a2+a）是二次函数，那么（　　） A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3 【答案】D． 3.已知函数是二次函数，则 ． 【答案】 题型3：根据二次函数的定义求参数取值范围 1.已知函数y＝（m+3）x2+4是二次函数，则m的取值范围为（　　） A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m≠﹣3 D．任意实数 【答案】C． 2.关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.已知函数．若这个函数是二次函数，求的取值范围__________________ 【答案】且 题型4：二次函数的一般形式 1.二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【答案】A 2.已知关于x的函数y=（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，则此解析式的一次项系数是（　　） A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．1 【答案】B 3.把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为________． 【答案】1 题型5：判断二次函数的关系式 1.下列关系中，是二次函数关系的是（ ） A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系； B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系； C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系； D．正方形的周长C与边长a之间的关系； 【答案】C 2.下列选项描述的y与x之间的关系是二次函数的是（   ） A．正方体的体积y与棱长x之间的关系 B．某商品在6月的售价为元，7月和8月连续两次降价销售，平均每月降价的百分率为x，该商品8月的售价y与x之间的关系 C．距离一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间的关系 D．等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间的关系 【答案】B 3．正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为( ) A． B． C． D． 【答案】C 题型6：y=ax2的图象与性质 1.对于函数y＝6x2，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．y随x的增大而减小 D．y随x的增大而增大 【答案】B． 2.抛物线y＝x2与y＝﹣x2的图象的关系是（　　） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 【答案】A． 3．二次函数的图象是 ，当时，开口向 ；当时，开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ． 【答案】 抛物线 上 下 y轴 题型7：y=ax2+k的图象与性质 1．抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 【答案】C 2．已知点、、都在二次函数的图象上，则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 题型8：y=a(x+h)2的图象与性质 1.对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．顶点坐标为 【答案】D 2．已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 3．已知二次函数，请直接写出该二次函数图像对应的顶点坐标，对称轴以及最值． 顶点坐标：______，对称轴：______，当______时，y有最______值，最值为______． 【答案】，直线，，小，． 题型9：y=a(x+h)2+k的图象与性质 1．抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】B 2.已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 【答案】C 3．已知二次函数． (1)写出函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1)对称轴是直线，顶点坐标是 (2)当时，y随x的增大而增大 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴函数图象的对称轴为直线，顶点坐标是； （2）解：， 当时，y随x的增大而增大． 题型10：y=ax2+bx+c的图象与性质 1.已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，取最大值2 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 2.已知二次函数，当时，的取值范围为 ． 【答案】/ 3.已知二次函数．    (1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)若点在该函数图象上 ①当时，则x的取值范围为___________； ②当（t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是__________． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【详解】（1）解：列表如下： x …… 0 1 …… y …… 0 3 4 3 0 …… 二次函数如图所示：    （2）解：①由图可知：当时，x的取值范围为， 故答案为：； ②由图可知，该二次函数对称轴为直线， ∵y随x的增大而减小， ∴， ∵， ∴，解得：， 故答案为：． 题型11：待定系数法二次函数解析式 1.若二次函数（a，b为常数）的图象如图，则a的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 2.已知一个二次函数的图象过（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求这个二次函数的解析式． 【答案】解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）， 根据题意，得， 解得， ∴所求二次函数解析式为y＝4x2﹣3x+3． 3.二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式． 【答案】解：根据题意可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 将点（1，﹣8）代入，得：﹣4a＝﹣8， 解得：a＝2， ∴该二次函数解析式为y＝2（x+1）（x﹣3）， 即y＝2x2﹣4x﹣6． 25． 二次函数的解析式y＝x2﹣5x+6，对称轴是直线x，顶点坐标是（）． 题型12：二次函数图象的平移 1.在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数的表达式为（　　） A．y＝（x+1）2﹣5 B．y＝（x﹣1）2﹣5 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣1 【答案】A． 2.把二次函数y＝x2+2x+1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，新二次函数表达式变为（　　） A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x+3）2﹣1 【答案】C． 3.要得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1，可以将抛物线y＝2x2（　　） A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C． 题型13：抛物线与x轴的交点情况 1．抛物线与x轴交点的横坐标是（   ） A．2， B．，3 C．2，3 D．， 【答案】A 2．抛物线与坐标轴交点个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．无交点 【答案】C 3.若抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，则该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 题型14：抛物线与x轴交点上的四点问题 1.已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2.抛物线与x轴交于，两点，将此抛物线向上平移，所得抛物线与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3.已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别、，而的两根为、，则、β、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 题型15：由二次函数解一元二次方程 1.若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 2.抛物线的顶点在轴上，点的坐标如图所示，则一元二次方程的根是 ． 【答案】 3.已知二次函数（均为常数，且），若与的部分对应值如下表所示，则方程的根为 ． x ... -2 -1 0 1 2 3 4 ... y ... 5 0 -3 -4 -3 0 5 ... 【答案】， 题型16：由二次函数的图象求一元二次方程的近似解 1.如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（　　） x … 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 … y … ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 … A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5 【答案】B． 2．如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3.代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）中，x与ax2+bx+c的对应值如下表： x ﹣1 0 1 2 3 ax2+bx+c ﹣2 1 2 1 ﹣2 请判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的（　　） A．x1＜0，x2＜2 B．﹣1＜x1，2＜x2 C．x1＜0，2＜x2 D．﹣1＜x1，x2＜2 【答案】C． 题型17：由二次函数的图象解不等式 1．二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 2.如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 3.如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．      【答案】 题型18：由二次函数与一次函数交点个数求范围 1．若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 【答案】C 2.已知抛物线与坐标轴有三个交点，则k的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 3.已知二次函数的图象与交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，是以为底的等腰三角形，那么的值为 ． 【答案】 题型19：利用二次函数求最大利润 1.某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（    ） A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元 【答案】C 2.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为150件：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设销售单价为x（元），每天的销售量为y（件），每天所得的销售利润w（元）．则当销售单价为 元时，每天的销售利润最大，最大利润 ． 【答案】 30 1000 3．开福车间生产以甲、乙两种水果为原料的某种罐头，在一次进货中得知，花费18000元购进的甲种水果与24000元购进的乙种水果质量相同，乙种水果每千克比甲种水果多2元． （1）求甲、乙两种水果的单价； （2）车间将水果制成罐头投入市场进行售卖，已知一听罐头的总成本为15元，调查发现，以28元的定价进行销售，每天只能卖出3000听，超市对它进行促销，每降低1元，平均每天可多卖出1000听，当售价为多少元时，利润最大？最大利润为多少？ 【答案】解：（1）设甲种水果的单价是x元，则乙种水果的单价是（x+2）元， ， 解得，x＝6， 经检验，x＝6是原分式方程的解， ∴x+2＝8， 答：甲、乙两种水果的单价分别是6元、8元； （2）设售价是a元，总利润是y元， y＝（a﹣15）[3000+1000（28﹣a）]＝﹣1000a2+46000a﹣465000＝﹣1000（a﹣23）2+64000． ∴当售价是23元时，利润最大是64000元． 题型20：利用二次函数求最大面积 1．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（　　） A．4cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2 【答案】A 2．如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2，则下列所列方程正确的是（　　） A．y＝5×3﹣3x﹣5x B．y＝（5﹣x）（3﹣x） C．y＝3x+5x D．y＝（5﹣x）（3﹣x）+5x2 【答案】B． 3．某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ （3）现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围． 【答案】解：（1）由题意得，AE＝HG＝AD＝xm， DC＝AB＝（200﹣x）＝（100﹣x）m， 故y＝x（100﹣x）＝﹣x2+100x， 自变量x的取值范围为：28≤x＜80； （2）由题意可得： ∵y＝﹣x2+100x＝﹣（ x2﹣80x）＝﹣（ x﹣40）2+2000， 又∵28≤x＜80， ∴当x＝40时，y有最大值，最大值为2000平方米； （3）由题意得，S矩形EAGH＝AG•AE＝（100﹣x）x＝﹣x2+25x，S矩形DEFC＝DC•DE＝（100﹣x）•x＝﹣x2+50x， 设安装成本为w元，则w＝40（﹣x2+25x）+20（﹣x2+50x）＝﹣25x2+2000x， 令w＝30000，则﹣25x2+2000x＝30000， 解得x＝60或20， ∵28≤x＜80， ∴60≤x＜80时，安装成本不超过30000元． 题型21：利用二次函数解决拱桥问题 1.如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（　　）     A． B．8 C． D． 【答案】D 2.如图1，某地大桥桥拱形状近似抛物线，其高度约为20米，跨度为120米，以桥底部（正好为水面）所在直线为轴，以桥拱最高点到水面的垂线的垂足为原点O建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 ． 【答案】 3．兰兰家新建了一个蔬菜大棚，大棚的样式如图1，大棚入口的外形呈抛物线形状，宽度是8m，最高点距地面2m．现要在大棚的入口正中间加3根木条做一个简易的长方形门框，如图2． （1）若门框的高不低于1.5m，且长方形门框的宽AB的长度不小于2m，则长方形门框的宽度AB应该在什么范围内？ （2）在（1）的条件下，为了节省木料，求3根木条长度和的最小值． 【答案】解：（1）如图，以大棚入口的左端点为原点建立直角坐标系，由题意知顶点C坐标为（4，2），D点坐标为（8，0）． 设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣4）2+2， 将D点坐标代入，得 a（8﹣4）2+2＝0，解得 ， ∴抛物线的解析式为 ， 当 y＝1.5 时，x1＝6，x2＝2， 则AB的长度最大为6﹣2＝4（m）， ∴AB的范围为2≤AB≤4； （2）设A点的横坐标为x，则B点的横坐标为8﹣x，AB的长度为（8﹣2x）m， ∵2≤AB≤4， ∴2≤8﹣2x≤4，得2≤x≤3． 点A的纵坐标为 ， 如图，木条 ， 令3根木条长度和为l， ∴l＝． 当2≤x≤3时，y随x的增大而减小，所以当x＝3时，l取得最小值为 ． 即3根木条长度和的最小值为 ． 题型22：生活中的类抛物线问题 1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称， 轴，，最低点 在轴上，高 ，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2．烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s． 【答案】5 3.如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽为，拱顶内高．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中（原点O是的中点）．    (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽，高的大型货运卡车是否可以通过？为什么？ 【答案】(1) (2)一辆宽，高的大型货运卡车可以通过，理由见解析 【详解】（1）解：由题意得，点C的坐标为，点A和点B的坐标分别为， 设抛物线解析式为， 把代入得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：一辆宽，高的大型货运卡车可以通过，理由如下： 在中，当时，解得， ∵， ∴， ∴一辆宽，高的大型货运卡车可以通过． 题型23：利用二次函数解决图形运动问题 1.如图，在中，，，．动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合），同时动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合）．当四边形的面积最小时，经过的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 2如图，中，，，为中点．、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止．当为 时，的面积最大． 【答案】4 3.已知：如图所示，在中，， cm， cm，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． (1)如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于4cm2？ (2)几秒时，的面积最大？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为，则                 ， 整理得：， 解得：， ∵当时，， ∴不合题意， 答：1秒后的面积等于； （2）解：当秒时，面积最大．理由如下： 设经过t秒以后面积最大，则 ， 当秒时，面积最大． 题型24：利用二次函数解决喷头喷出水的轨迹问题 1．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（     ） A．y＝－(x－)2＋3 B．y＝－3(x+)2+3 C．y＝－12(x-)2＋3 D．y＝－12(x+)2+3 【答案】C 2.西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（　　） A．2 B．4 C．2或 D．4成 【答案】C 3.如图，某城区公园有直径为7m的圆形水池，水池边安有排水槽，在中心O处修喷水装置，喷出水呈抛物线状，当水管OA高度在6m处时，距离OA水平距离1m处喷出的水流达到最大高度为8m． （1）求抛物线解析式，并求水流落地点距离O点的距离； （2）若不改变（1）中抛物线的形状和对称轴，若使水流落地点恰好落在圆形水池边排水槽内（不考虑边宽），则如何调节水管OA的高度？ 【答案】解：（1）∵抛物线的顶点为（1，8）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+8， 把A（0，6）代入可得a＝﹣2， ∴解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+8， 当y＝0时，x＝3或﹣1（舍去）， 答：解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+8，水流落地点距离O点的距离是3米； （2）抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣1）2+k， 把（3.5，0）代入可得k＝12.5， ∴解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+12.5， 当x＝0时，y＝10.5， 答：水管OA的高度调整为10.5米． 题型25：利用二次函数解决球的轨迹问题 1.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为、若此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　） A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒 【答案】C 2.如图所示的是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表：    0 1 2 3 0 则该运动员踢出的足球在第 落地． 【答案】 3.如图，是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为（单位：米），其中点A为出手点，点C为铅球运行中的最高点，点B为铅球落地点，求： (1)出手点A离地面的高度； (2)最高点C离地面的高度； (3)该运动员的成绩是多少米？ 【答案】(1)米 (2)3米； (3)10米． 【详解】（1）解：令中，得， ∴出手点，即出手点离地面高度为米； （2）∵， ∴顶点， 可知最高点离地面高度为3米； （3）令，解得，， ∴， 由此可知该运动员成绩为10米． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章二次函数题型突破（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级上册 （25题型） 题型1：二次函数的识别 1．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2.下列函数中：（1）y＝2（x﹣1）（x+4）； （2）y＝3（x﹣1）2+2；（3）y＝x2+； （4）y＝（x﹣3）2﹣x2．不是二次函数的是（　　） A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4） 3． 有下列函数：①；②；③；④．其中y是x的二次函数有 ．（填序号） 题型2：根据二次函数的定义求参数值 1.若是二次函数，则的值是（    ） A． B．3 C．9 D． 2.若y＝（a2+a）是二次函数，那么（　　） A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3 3.已知函数是二次函数，则 ． 题型3：根据二次函数的定义求参数取值范围 1.已知函数y＝（m+3）x2+4是二次函数，则m的取值范围为（　　） A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m≠﹣3 D．任意实数 2.关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数．若这个函数是二次函数，求的取值范围__________________ 题型4：二次函数的一般形式 1.二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 2.已知关于x的函数y=（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，则此解析式的一次项系数是（　　） A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．1 3.把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为________． 题型5：判断二次函数的关系式 1.下列关系中，是二次函数关系的是（ ） A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系； B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系； C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系； D．正方形的周长C与边长a之间的关系； 2.下列选项描述的y与x之间的关系是二次函数的是（   ） A．正方体的体积y与棱长x之间的关系 B．某商品在6月的售价为元，7月和8月连续两次降价销售，平均每月降价的百分率为x，该商品8月的售价y与x之间的关系 C．距离一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间的关系 D．等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间的关系 3．正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为( ) A． B． C． D． 题型6：y=ax2的图象与性质 1.对于函数y＝6x2，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．y随x的增大而减小 D．y随x的增大而增大 2.抛物线y＝x2与y＝﹣x2的图象的关系是（　　） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 3．二次函数的图象是 ，当时，开口向 ；当时，开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ． 题型7：y=ax2+k的图象与性质 1．抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 2．已知点、、都在二次函数的图象上，则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标是 ． 题型8：y=a(x+h)2的图象与性质 1.对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．顶点坐标为 2．已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．已知二次函数，请直接写出该二次函数图像对应的顶点坐标，对称轴以及最值． 顶点坐标：______，对称轴：______，当______时，y有最______值，最值为______． 题型9：y=a(x+h)2+k的图象与性质 1．抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 2.已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 3．已知二次函数． (1)写出函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 题型10：y=ax2+bx+c的图象与性质 1.已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，取最大值2 D．当时，随的增大而增大 2.已知二次函数，当时，的取值范围为 ． 3.已知二次函数．    (1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)若点在该函数图象上 ①当时，则x的取值范围为___________； ②当（t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是__________． 题型11：待定系数法二次函数解析式 1.若二次函数（a，b为常数）的图象如图，则a的值为（　　）    A． B． C． D． 2.已知一个二次函数的图象过（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求这个二次函数的解析式． 3.二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式． 题型12：二次函数图象的平移 1.在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数的表达式为（　　） A．y＝（x+1）2﹣5 B．y＝（x﹣1）2﹣5 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣1 2.把二次函数y＝x2+2x+1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，新二次函数表达式变为（　　） A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x+3）2﹣1 3.要得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1，可以将抛物线y＝2x2（　　） A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 题型13：抛物线与x轴的交点情况 1．抛物线与x轴交点的横坐标是（   ） A．2， B．，3 C．2，3 D．， 2．抛物线与坐标轴交点个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．无交点 3.若抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，则该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（  ） A． B． C． D． 题型14：抛物线与x轴交点上的四点问题 1.已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2.抛物线与x轴交于，两点，将此抛物线向上平移，所得抛物线与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3.已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别、，而的两根为、，则、β、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 题型15：由二次函数解一元二次方程 1.若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 2.抛物线的顶点在轴上，点的坐标如图所示，则一元二次方程的根是 ． 3.已知二次函数（均为常数，且），若与的部分对应值如下表所示，则方程的根为 ． x ... -2 -1 0 1 2 3 4 ... y ... 5 0 -3 -4 -3 0 5 ... 题型16：由二次函数的图象求一元二次方程的近似解 1.如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（　　） x … 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 … y … ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 … A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5 2．如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 3.代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）中，x与ax2+bx+c的对应值如下表： x ﹣1 0 1 2 3 ax2+bx+c ﹣2 1 2 1 ﹣2 请判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的（　　） A．x1＜0，x2＜2 B．﹣1＜x1，2＜x2 C．x1＜0，2＜x2 D．﹣1＜x1，x2＜2 题型17：由二次函数的图象解不等式 1．二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 2.如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 3.如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．      题型18：由二次函数与一次函数交点个数求范围 1．若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 2.已知抛物线与坐标轴有三个交点，则k的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 3.已知二次函数的图象与交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，是以为底的等腰三角形，那么的值为 ． 题型19：利用二次函数求最大利润 1.某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（    ） A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元 2.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为150件：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设销售单价为x（元），每天的销售量为y（件），每天所得的销售利润w（元）．则当销售单价为 元时，每天的销售利润最大，最大利润 ． 3．开福车间生产以甲、乙两种水果为原料的某种罐头，在一次进货中得知，花费18000元购进的甲种水果与24000元购进的乙种水果质量相同，乙种水果每千克比甲种水果多2元． （1）求甲、乙两种水果的单价； （2）车间将水果制成罐头投入市场进行售卖，已知一听罐头的总成本为15元，调查发现，以28元的定价进行销售，每天只能卖出3000听，超市对它进行促销，每降低1元，平均每天可多卖出1000听，当售价为多少元时，利润最大？最大利润为多少？ 题型20：利用二次函数求最大面积 1．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（　　） A．4cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2 2．如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2，则下列所列方程正确的是（　　） A．y＝5×3﹣3x﹣5x B．y＝（5﹣x）（3﹣x） C．y＝3x+5x D．y＝（5﹣x）（3﹣x）+5x2 3．某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ （3）现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围． 题型21：利用二次函数解决拱桥问题 1.如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（　　）     A． B．8 C． D． 2.如图1，某地大桥桥拱形状近似抛物线，其高度约为20米，跨度为120米，以桥底部（正好为水面）所在直线为轴，以桥拱最高点到水面的垂线的垂足为原点O建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 ． 3．兰兰家新建了一个蔬菜大棚，大棚的样式如图1，大棚入口的外形呈抛物线形状，宽度是8m，最高点距地面2m．现要在大棚的入口正中间加3根木条做一个简易的长方形门框，如图2． （1）若门框的高不低于1.5m，且长方形门框的宽AB的长度不小于2m，则长方形门框的宽度AB应该在什么范围内？ （2）在（1）的条件下，为了节省木料，求3根木条长度和的最小值． 题型22：生活中的类抛物线问题 1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称， 轴，，最低点 在轴上，高 ，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s． 3.如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽为，拱顶内高．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中（原点O是的中点）．    (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽，高的大型货运卡车是否可以通过？为什么？ 题型23：利用二次函数解决图形运动问题 1.如图，在中，，，．动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合），同时动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合）．当四边形的面积最小时，经过的时间为（　　） A． B． C． D． 2如图，中，，，为中点．、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止．当为 时，的面积最大． 3.已知：如图所示，在中，， cm， cm，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． (1)如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于4cm2？ (2)几秒时，的面积最大？请说明理由． 题型24：利用二次函数解决喷头喷出水的轨迹问题 1．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（     ） A．y＝－(x－)2＋3 B．y＝－3(x+)2+3 C．y＝－12(x-)2＋3 D．y＝－12(x+)2+3 2.西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（　　） A．2 B．4 C．2或 D．4成 3.如图，某城区公园有直径为7m的圆形水池，水池边安有排水槽，在中心O处修喷水装置，喷出水呈抛物线状，当水管OA高度在6m处时，距离OA水平距离1m处喷出的水流达到最大高度为8m． （1）求抛物线解析式，并求水流落地点距离O点的距离； （2）若不改变（1）中抛物线的形状和对称轴，若使水流落地点恰好落在圆形水池边排水槽内（不考虑边宽），则如何调节水管OA的高度？ 题型25：利用二次函数解决球的轨迹问题 1.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为、若此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　） A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒 2.如图所示的是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表：    0 1 2 3 0 则该运动员踢出的足球在第 落地． 3.如图，是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为（单位：米），其中点A为出手点，点C为铅球运行中的最高点，点B为铅球落地点，求： (1)出手点A离地面的高度； (2)最高点C离地面的高度； (3)该运动员的成绩是多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 $