辽宁沈阳市第一二0中学2025-2026学年高二下学期第三次质量监测数学试题

**基本信息** 沈阳市第120中学高二下学期数学月考试卷，以函数、数列、导数为核心，通过科研经费增长（第5题）、切比雪夫偏差（第14题）等情境，考查数学眼光观察现实世界、数学思维分析问题的能力，适配高二下学期知识巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、函数解析式、数列与充要条件|第4题结合数列单调性与充要条件，考查逻辑推理| |多选|3/18|不等式性质、函数零点、抽象函数|第11题抽象函数奇偶性与单调性，体现数学抽象| |填空|3/15|导数几何意义、存在性问题、数学文化|第14题引入切比雪夫偏差，渗透数学文化| |解答题|5/77|函数奇偶性、数列通项与求和、导数应用|第17题函数单调性与恒成立问题，综合考查数学语言表达；第19题导数证明，强化逻辑推理|

沈阳市第120中学2025-2026学年度下学期 高二年级第三次质量监测数学答案 一、1.B2.C3.A4.D5.D6.A7.C8.B 二、9.BD10.BCD11.ACD 三、12、113、16,3 )14、-2 四、15、(1)由f(四为定义在8,8]上的奇函数，得f(0)=0,即d-d=k-1=0, 故k=1,f(x)=a-a---- -2分 由f)=a-1>0,结合a>0,得d-1>0,故a>1. f(x)=d-a*在[-8,8]上单调递增，且f(-x)=-f(x). 由f(x2+2x)+f(x-4)>0,得f(x2+2x)>f(4-x). /-8≤x2+2x≤8 所以{-8≤x-4≤8，解得1<x≤2. -6分 x2+2x>4-x 所以不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集为1,2].- -7分 2》由J0=a日}，整醒得2n-a-2-0: 解得a=2(a=含去).放f)-2r-2 g(x)=2+22x-4(2-2）,令t=2”-2, 则22x+22x=tP+2,故g(x)=t-4t+2. -10分 当x∈[l,2]时，t=2*-2*单调递增，得t∈ 315 24 函数y=t2-41+2=t-2)2-2,开口向上，对称轴为t=2 当1=22:当只时.任-28 故函数y=g(x)在[1,2]上的值域为 17 16 ---13分 试卷第1页，共5页 16、（1)当n≥2时，Sn=a(1+a1),…a1=Sm1-Sn=ah(1+a.)-4(1+a-1), .a+14-a4-1=a,又a≠0，.0H-a-1=1;-- --4分 5=a4.时a,4- 圆当n为奇数时，么=a+1书当u为問数时，2=4+221G 2 (N) --7分 (2)由(1)得：8=1+2+3+++ -10分 2 4 2n+1_(2+_4r+4n+L三4+1 4Sn -13分 (n+1)m+n n(n+1) x-1合}后 =4n+1- 1 n+1, 中>0，<4n+1 -15分 17、(1)因为h(x)为奇函数，所以当x=0时，h(x)=0; 当<0时，-0()=-M-)=-1是 1-1,x>0, 所以h(x)=0,x=0, 3分 1 -1-,x<0. (2)令u(x)=x2-(2a+1)x+a+3, 因为外层函数y=10g“为减函数，且f(x)在(1，+∞)上单调递减， 所以内层函数(x)=x2-(2a+1)x+a+3在(1，+∞)上单调递增，且(1)≥0， (2a+1≤1 .1 a≤- 1 所以 2 即 2 ,解得a≤2！ u(1)=1-(2a+1)+a+3≥0， -a+3≥0 所以实数a的取值范围是-0,2引 .17 -7分 o)当传，-c小 对任意5∈（山，+∞），存在，∈ 使得f(x)<h(s), 试卷第2页，共5页 等价于对任意x∈(1，+o),f(:)<h(:)mx=-l, -9分 即当x>1时，1og:[-(2a+1)片+a+3]<-1=log12, 所以-(2a+1)5+a+3>2,整理得a<-+1 -11分 2x1-1 2-e.-君2是当 当且仅当=3，即1=5时，等号成立， -14分 44t 所以a< ，即实数a的取值范围是 -15分 2 18、(1)a>0时，f'(x)=xe*-e-ax2-1, 令m(x)=xe-e-ax2-l, 则m(=e-2a=x(e-2a）=x[e-eea] 令(x)=0,得x=0或x=h(2a.- -1分 ①当h(2a<0,即0<a5时， 若'(x)>0,则x<h(2a)或x>0;若m(x)<0,则h(2a<x<0 所以f'(x)在(-n,ln(2a)和(0，+o）上单调递增，在(n(2a,0)上单调递减.----3分 ②当n(2a=0,即a-号时，m(≥0恒成立.国在R上单润选增- -4分 ③当h(2a>0,a号时， 若m(x)>0,则x<0或x>hn(2a);若l(x)<0,则0<x<ln(2a, 所以f'(x)在(-o,0)和(n(2a),+o)上单调递增，在(0，lh(2a)上单调递减.-- -6分 综上所述，当0<a<时，f()在(n,1(2a)和(0，+o)上单调递增，在（血(2a.0)上单 调递减： 当a=时，了()在R上单调递： 试卷第3页，共5页 当a>时、了)在(-0，o)j和血(a.+)上单调递增，在(0，h(2a》上单调递减-7分 (ii)由f'(x)+g(x)≥0，得xe-e-m2-1+e-nr+x2-x≥0， 即e-1-ln+r-之a对任意x∈(0，+o)恒成立， -8分 设-e-lhnx+f=r_[cu-(+-l+天，e(0,+o）,…10分 x 令t=hr+x,teR,设p()=e-t-1,则p'(t)=e-l, 令p(t)<0,得t<0,令p'(t)>0,得t>0, 所以函数p(t)在(-o,0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增， 则p(t)2p(0)=0,即e-t-1≥0，当且仅当t=0时等号成立，-13分 由于t=nx+x在x∈(0，+o)上单调递增， 且x=启时，1=-1+0，=1时，1=1>0， e 则存在唯一∈ 使得t()=0,- -15分 所以h(x)= [e+i-(nx+x)-1]+x2、x2 1，当且仅当x=%时等号成立， 则a≤1，又a>0,则实数a的取值范围为(0,1.- -17分 19、(1)g(m)=fm)=t,t∈(0，+o),=lnt,n=e-1. F(t)=n-m=d-1-Int,F()=e- -2分 P0在Q+)上单润递增.：r[付0，P@>0, 根据零点存在定理，在 上在在唯一：使得F6)-0, -4分 即-=0，，eb=l,两边取对数有6+血=0， 5分 F'()在(0，)上小于0，在(，+∞)上大于0， F()在(0，)上单调递减，(，+∞)上单调递增， F(0)a=F(6)=e-血6-1=+6-1>1，即n-m>1. -7分 试卷第4页，共5页 (2)原命题p(s+t)>p(s)+p()等价于p(s+t)-pS)-p()>0, 令H()=p(s+)-p(S)-p(),将s看作定值，t看作变量. H)=e+ln6+t+1)-en(s+1)-ent+1. -9分 0=-o-+-4a g-4司 第一部分：eln(s+t+1)-ln(t+1)>0, 因为s>0,所以e°>1，且s+t+1>t+1>1,n函数单调递增 故ln(s+t+1)>h(t+1)>0,因此：en(g+t+1)>n(+t+)>ln(t+1), 即eln(+t+1)-ln(t+1)>0:-- -12分 第二部分：，1>0， s+t+1t+1 利用经典不等式e>x+1c>0),得e>5+1,因此：e >5+1 s+t+1s+t+1 又因为s,t>0,交叉相乘易证6++)>5+t+1,即+1>1 s+t+1t+1' 故：e>1e，1>0, --15分 s+t+1t+15+t+1t+1 两部分均为正，故H'(t)>0,即H)在(0+o)上单调递增，H(O)=p(s)-p(s)-p(O)=0, H()>H(0)=0恒成立，故原命题成立，证毕.- --17分 试卷第5页，共5页报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 沈阳市第120中学2025-2026学年度下学期 高二年级第三次质量监测数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准 考证号填写清楚。 客观题答题，必须使用2B铅笔填 (正面潮上，切勿贴出虚线方框 涂，修改时用橡皮擦干净。 必须在题号对应的答题区域内作 正确填涂 缺考标记 答，超出答题区域书写无效。 单选题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 多选题（每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9[A][B][C][D] 10[A][B][c][D] 11[A][B][C][D] 填空题（每题5分，共15分） 12: 13 14. 0 囚囚■ 15.(13分) 囚囚■ 16.(15分) ■ 17.(15分) 1 1 囚■囚 18.(17分) 囚■囚 ▣ 19.(17分) 沈阳市第120中学2025-2026学年度下学期 高二年级第三次质量监测 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 命题人：高一数学组 校对人：高一数学组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．函数且的图像可能是（    ） A．B．C． D． 4．设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：，，）（   ） A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年 6．已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．若，是方程的两个根，则（    ） A．23 B．27 C． D． 8．数列满足，且．若，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的给6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 的最小值为 D．若，则 的最大值为2 10．已知函数的零点为，的零点为，则（   ） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域为，且对均有成立，当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C．当时, D．在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若函数与函数的图象在处有相同的切线，则_. 13.已知函数存在，使得，则的取值范围是______. 14.俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”．若，，则函数与的“偏差”取得最小值时，的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。请在答题卡指定区域作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分）函数且是定义在上的奇函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，且，求函数在上的值域. 16．（本小题15分）已知是数列的前项和，，且. (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 17.（本小题15分） 已知函数，奇函数的定义域为， 且当时，. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (3)若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 18.（本小题17分）已知函数 (). （1）讨论函数的单调性； （2）令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（本小题17分）已知函数，． (1)，，有成立，证明：； (2)，令，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $沈阳市第120中学2025-2026学年度下学期 高二年级第三次质量监测数学答案 -、1.B2.C3.A4.D5.D6.A7.C8.B 二、9.BD 10.BCD 11.ACD 三、12、113、(16,36)14、-2 四、15、(1)由f(为定义在-8,8]上的奇函数，得f(0)=0,即a-a=k-1=0, 故k=1.f()=a-a -2分 由/0=a合20,5合a>0:剂e-10成01 因a-a在8,8】上单调送增，且)=-f(冈 由+2+f(-4>0,得+2小>4-) -8≤x2+2x≤8 -8≤x-4≤8 所以 x2+2x>4-x，解得， -6分 1<x≤2 所以不等式+2)+fr->0的解柴为2 …7分 (2)由f0=a-1=3 a2,整理得2a2-3a-2=0, 1 解得a=2(a=-2舍去)，故f(x)=2-2 g()=2+2-4(2-2）,令1=2-2， 则2+2=+2，故3()=-+2 -10分 试卷第1页，共3页 [315 t∈ 当x,2]时，1=2-2单调递增，得2'4 函数'=1-41+2=亿-2}-2 开口向上，对称轴为2 当2.24.-2品 -2 17 故函数y=gx)在，2]上的值域为 16 -13分 16、(4)当m≥2时，S,=a,1+a）,0n=51-S,=a0+a,）-a,+an） a04-a,a1=0,又 an≠0.a1-an1=1 ;4分 3 :S,=a,(1+a)即2ta,=24，∴a,=1: 别当，为奇数时=+兮1-号：当，为数时.。=+ 21 21々 2； a-2(veN) -7分 ②皮(0存：8=142+3na+ 2 4,- -10分 :2m+_2+_4n+4+1=4+L ,11 =4+ 4S,n(n+1)n2+n n(n+1） nn+1, -13 n+>0,<4n+1 --15分 17、(1)因 为)为奇面数，所以当=0时，()=0： 试卷第2页，共3页 当x<0时，-x>0,h()=-h(←x)=-1-I 1-x>0, 所以h()=0,x=0, --3分 1 -1- ,x<0 (2)令(=-(2a+1)x+a+3 y=log u 因为外层函数 为减函数，且f(x)在，+∞)上单调递减， 所以内层函数()=-(2a+)r+a+3在化+w)上单调道始，且020， 在 2a+11, 2 所以u01-2a+ta+320.即a+320,解得a≤务 所以实数a的取值范围是 --7分 8y4.)-14- 「11 「117 对任意e+o),存在5，使得f)水a)。 等价于对任意∈L+of(G)小kh(3)=-1 -9分 即当5>1时，1g,[-(2a+x+a+3]<-1=1log12 na<-5+1 所以-(2a+1)x+a+3>2,整理得2x-1 -11分 .则-会蛋爱。 1-3 当且仅当4=4f,即1=√3时，等号成立，… ---14 试卷第3页，共3页 分 所以a、3 2，即实数a的取值范围是 2 -15分 181)a>0时，f(x)=e-e-am2-1 令m()=e-e-ar2-1 (x)-xe"-2ax=x(e"-2a)=x[e-eM] 令m)=0,得x=0或=n(2a 1分 ①当ln(2a)<0,即0<a<2时， 若m>0,则<la(2a）或x>0,若m()0,则n(2akx<0 所以（在（o,n(2a》和0，+w）上单调递增，在血(2a,0)上单调递减.--…3 分 ②当n(2a)=0,即a=2时，m'(x)20恒成立，f'(x)在R上单调递增4 分 1 ③当ln(2a)>0,即a>2时， 若m>0,则x<0支>n(2a:若m国<0，则0<x<n(2a） 所以（在（心，0）和血(2a,+)上单调递增，在0,1血(2a刃上单调递减…6 分 综上所述，当0<a<2时，f(x)在(-o,ln(2a)和(0，+∞)上单调递增，在(n(2a),0)上单 调递减： 当a=2时，f(x)在R上单调递增： 试卷第4页，共3页 当a>2时，f'(x)在(-o,0)和(n(2a),+o）上单调递增，在(0，ln(2a)上单调递减-7 8 m由f+g(20,得e-c-am-1+e-lr+-x≥0， xe-1-lnx+-X≥a 即 x2 对任意x∈(0，+o)恒成立， -8分 设4()=o-+-e-r+- x2 ,x∈(0，+0），-l0 分 今1=lr+x,1eR,设0=c-1-1.则90=c- 令0@k0,得<0，令0>0.得>0 所以函数0在0,0)上单调递减，在0）上单调递增， 则0>00)=0，即-11≥0，当且仅当=0时等号成立， -13分 由于1=hx+x在G0+切）)上单调莲增， 且x=。时，1-1+<0 x=1时，t=1>0 使得（化）=0， -15分 所以（） [eh -(Inx+x)-1+x2x2 ,当且仅当x=时等号成立， 则a≤1，又a>0 ,则实数“的取值范围为 0, -17分 l9、(1)g(m)=fm)=t,t∈(0，+o),m=lnt,n=e-1. 试卷第5页，共3页 令F0=n-m=e-1-ln1,F'0=e-} -2分 <0 F'()在(0，+oo)上单调递增. 2 ,F)>0, 根据零点存在定理， 在 上存在唯一6，使得F'(o)=0 .-4分 e-1=0 即。，6e=l,两边取对数有。+n,=0, -5分 F0在0)上小于0，在6.+）上大于0， F在0，）上单调递减，(G,to)上单调递增， .F0=F6)=e0-,-1=1+6-1>1 to ,即n-m>1.-7分 (2)原命题ps+)>p(s)+p()等价于ps+)-p(s)-p)>0, 令H()=ps+)-p(s)-p(),将s看作定值，t看作变量. H(t)=e**In(s+t+1)-e'In(s+1)-e'In(t+1) -9分 r0=e[a04-e[t+ nr0=eae-0-he+0n e'In(s+t+1)-In(t+1)>0 第一部分： 因为s>0,所以e>1,且s+t+1>t+l>1,ln函数单调递增， In(s+t+1)>In(t+1)>0 故 因此：ea+1+)>l(6+1+)>n+D 试卷第6页，共3页 e In(s+t+1)-In(t+1)>0 即 -12分 e 1 第二部分：s+1+1t+ >0, 利用经典不等式e>x+1x>0,得。>+1'因此. S+t+1s+t+1? +1、1 又因为s,t>0,交叉相乘易证(s+1+)>s+1+1,即s+t+>t+1: e ->0 故：s+t+1t+1s+t+1t+1, -15分 两部分均为正，故H'()>0,即H0在(0，+)上单调递增，H(O)=ps)-p(S)-p(O)=0, H(t)>H(O)=0 恒成立，故原命题成立，证毕.… -17分 试卷第7页，共3页沈阳市第120中学2025-2026学年度下学期 高二年级第三次质量监测 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 命题人：高一数学组 校对人：高一数学组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集U=N,集合A={x∈Nx>1},则CA=( A.} B.(0,) C.[0,1] D.(-0,1] 2.已知函数f(+1)=x,则函数f(x)的解析式为( A.f(x)=(x-1)(x≥0) B.f(x)=(x+1)(x≥0) C.f(x)=(x-1)(x≥1) D.f(x)=(x+1)2(x≥1) 3.函数y=m-1a>0且a≠)的图像可能是( 4.设Sn为数列{a}的前n项和，“{an}是递增数列”是“{S,}是递增数列”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2023年全年 投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%， 则侧该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据： lg1.12≈0.05,1g1.3≈0.11，lg2≈0.30)( A.2024年 B.2025年 C.2026年 D.2027年 试卷第1页，共5页 6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，若函数 f(x)-g(x)的值域为[-4,2]，则函数2f3x)+2g(3x)的最大值为( ) A.8 B.6 C.4 D.2 7.若a,b是方程(nx)2+n3-1=0的两个根，则logb+loga=( A.23 B.27 C.-27 D.-23 8.数列a,}满足20+4_3双+2，且4=2.若4=10，则：的最小值为0 ) A.7 B.8 C.9 D.10 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目要求。全部选对的给6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分。 9.已知a>0,b>0,则下列说法正确的是( A.若a>b,c<0,则ac>bc B.若a>6m>0,则2a+m bb+m C.若3a+b=2,则 a+方的最小值为4+25 11 D.若a+b=2,则√a+√b的最大值为2 10.己知函数y=x+10的零点为x1,y=x+lgx的零点为x2,则() A.x+x3>0 B.5<0 C.10M+lg52=0 D.45-2x+2x<1 11.已知函数f(x)的定义域为D=(-∞，0)U(0,+∞)，且对x,y∈D均有 成立，当x>1时，f(x)>0,则( A.f(-1)=0 B.f(x)为偶函数 C.当-1<x<0时，f(x)>0 D.f(x)在(-o,-1)上单调递增 试卷第2页，共5页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若函数fy)=c1-1与函数g(x)=a血的图象在=1处有相同的切线，则a=一 13.已知函数f(x)= 3-,>4,存在0<<西<名，使得f)=f)=f, 1og2x-10<x≤4 则xx3的取值范围是 14.俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合I 上的函数f(x),以及函数g(x)=+m(k,meR),切比雪夫将函数y=f()-g(c), xeI的最大值称为函数f(x)与g(x)的“偏差”.若f(x)=x(x∈[0,4])，g(x)=4x+m, 则函数f(x)与g(x)的“偏差”取得最小值时，m的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。请在答题卡指定区域作答，解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题13分)函数f(x)=a-ax(a>0且a≠1)是定义在[-8,8上的奇函数. (1)若f0)>0,求不等式f(x2+2x)+fx-4)>0的解集； (2)若0-子，且8)-+a-4fC,求函数=g)在L2到上的值域 1 16.(本小题15分)已知S,是数列a,}的前”项和，4=方)H=01+a)且a≠0. (1)求{a}的通项公式： (2n+1) (2)若数列 的前n项和为Ia,证明：T<4n+1. 4, 试卷第3页，共5页 17.（本小题15分) 已知函数f(x)=lg:[x-(2a+1)x+a+3], 奇函数h(x)的定义域为R, 且当x>0时，(x)=1-1 (1)求函数h(x)的解析式： (2)若函数f(x)在(1，+∞)上单调递减，求实数a的取值范围： (3)若对任意x∈(1，+0)，存在x∈ 使得f(x)<h(x),求实数a的取值范围. 18(（木小题17分)已知函数f)-(e-x-写ar-2(a≥0. (1)讨论函数f'(x)的单调性； (2)令g(x)=e-lnx+x2-x,若对任意x∈(0，+o),不等式f'(x)+g(x)≥0恒成 立，求实数a的取值范围. 试卷第4页，共5页 19.（本小题17分)己知函数f(x)=h(x+1),g(x)=e. (1)meR,n∈(0，+∞)，有8(m)=f(m)成立，证明：n-m>1: (2)s,t∈(0，+∞)，令p(x)=f(x)g(x),证明：p(s+t)>p(s)+p(t). 试卷第5页，共5页