1.3 第2课时 矩形的判定（导学案）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦矩形的判定，通过复习导入环节回顾矩形定义及性质，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生从已学内容自然过渡到新知探究。 以合作探究为核心，通过活动框架实验和“想一想”引导学生猜想判定定理，经历证明过程培养推理意识，结合门框检查等生活情境及分层练习，提升应用意识，助力学生用数学思维解决实际问题。

第1章 特殊平行四边形 1.3 矩形的性质与判定 第2课时 矩形的判定 【学习目标】 1. 经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理； 2. 能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题. 学习重点：经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理. 学习难点：能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题. 【复习导入】 问题1 矩形的定义是什么？ 问题2 矩形有哪些性质？ 【合作探究】 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. （1）随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？ （2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 证一证 已知：如图，在□ ABCD中，AC，DB 是它的两条对角线，且 AC = DB. 求证：□ ABCD 是矩形. 知识要点 矩形的判定定理1： 几何语言描述： 议一议 你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门框是不是矩形? 如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查? 请说明检查方法的合理性，并与同伴交流. 典例精析 例1 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD， ∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数． 练一练 1. 如图，在▱ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 ▱ABCD 是矩形的是 （　　） A．AC = BD B．AC = BC C．AD = BC D．AB = AD 2.如图，□ABCD 中，∠1 = ∠2，此时四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？ 例2 如图，在▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4，求▱ABCD 的面积。 探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形 想一想 至少有一个角是直角的四边形是矩形吗？ (1) 有一个角是直角的四边形是矩形吗？ (2) 有两个角是直角的四边形是矩形吗？ (3) 有三个角是直角的四边形是矩形吗？ 证一证 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 知识要点 矩形的判定定理： 几何语言描述： 思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 练一练 3. 如图，□ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 为矩形． 当堂反馈 1.如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是(　　) A.AB＝BC B.AC⊥BD C.∠ABC＝90° D.∠1＝∠2 2.判断(对的打“√”，错的打“×”)： (1)内角都相等的四边形是矩形.　　 (2)对角线相等的四边形是矩形.　　 (3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形.　　 (4)一组邻角相等的平行四边形是矩形.　　 (5)对角互补的平行四边形是矩形.　　 3.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.若AC＝12，BD＝16，则OE的长为　　. 4.如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E. (1)求证：△DCA≌△EAC； (2)只需添加一个条件，即　　，可使四边形ABCD为矩形.请说明理由. 5.如图，▱ABCD中，P是AB边上的一点(不与点A，B重合)，CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ. (1)若CQ平分∠DCP，求证：四边形ABCD是矩形； (2)在(1)的条件下，当AP＝2，CB＝4时，求CD的长. 参考答案 【合作探究】 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 证一证 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = DC，AB∥DC. 又∵ BC = BC， AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB.∴∠ABC = ∠DCB. ∵ AB∥CD，∴∠ABC + ∠DCB = 180°. ∴ ∠ABC = 90°. ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. 典例精析 例1 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC = AC，OB = OD = BD. 又∵ OA = OD， ∴ AC = BD. ∴ 四边形 ABCD 是矩形. ∴∠BAD = 90°. 又∵∠OAD = 50°， ∴∠OAB = 40°. 练一练1. 答案：A 2.解：四边形 ABCD 是矩形. 理由如下： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AO = CO，DO = BO. 又∵∠1 = ∠2， ∴ AO = BO.∴ AC = BD.∴ □ABCD 是矩形. 例2 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA = OC，OB = OD。 又∵△ABO 是等边三角形， ∴ OA = OB = AB = 4。 ∴ OA = OB = OC = OD = 4。 ∴ AC = BD = 2OA = 2×4 = 8。 ∴▱ABCD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)。 ∴∠ABC = 90°(矩形的四个角都是直角)。 在Rt△ABC 中，由勾股定理，得AB² + BC² = AC²， 探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形 证一证 证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°. ∴ AD∥BC，AB∥CD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∴ 四边形 ABCD 是矩形. 练一练3. 证明：在□ ABCD 中，AD∥BC， ∴∠DAB +∠ABC = 180°. ∵ AE 与 BG 分别为∠DAB，∠ABC 的平分线， ∴∠BAF +∠ABF = ∠DAB + ∠ABC = 90°. ∴∠AFB = 90°. ∴∠GFE = 90°. 同理可得∠FEH =∠EHG = 90°， ∴ 四边形 EFGH 为矩形． 当堂反馈 1.　C　 2.(1)　√　 (2)　×　(3)　√　(4)　√　(5)　√　 3.　10　. 4.(1)证明：在△DCA和△EAC中， ∴△DCA≌△EAC(SSS). (2)解：理由如下：∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形.∵CE⊥AE， ∴∠E＝90°. ∵△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90°. ∴四边形ABCD为矩形(答案不唯一). 5.(1)证明：∵PQ⊥CP，∴∠CPQ＝90°.∵CQ平分∠DCP，∴∠DCQ＝∠PCQ. 又∵CD＝CP，CQ＝CQ，∴△DCQ≌△PCQ(SAS).∴∠D＝∠QPC＝90°. 又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形. (2)解：∵CP＝CD，∴设CP＝CD＝x，则PB＝x－2. 在Rt△BCP中，BP2＋BC2＝CP2，∴(x－2)2＋42＝x2.∴x＝5.∴CD＝5. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $