1.2 第2课时 菱形的判定（导学案）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦菱形的判定，通过复习菱形定义引导学生思考其他判定条件，以旧知为支架衔接新知，帮助学生构建从定义到判定定理的知识脉络。 注重引导学生经历判定定理的探究与证明过程，培养推理意识，结合动手操作和尺规作图发展几何直观，典例与分层练习提升应用能力，助力学生用数学思维分析问题，用数学眼光观察图形关系。

第1章 特殊平行四边形 1.2 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定 【学习目标】 1. 经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理； 2. 会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. 3. 经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法. 学习重点：经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理. 学习难点：会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. 【复习导入】 根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。除此之外，你认为还有什么条件可以判定一个四边形是菱形？ 【合作探究】 探究点1：四条边相等的四边形是菱形 思考·交流 由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等。反过来，四条边相等的四边形一定是菱形吗？为什么？与同伴进行交流。 证一证 已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD. 求证：四边形 ABCD 是菱形. 知识要点 菱形的判定定理2 几何语言描述： 典例精析 例1 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线， 点 E、F 分别在 AB、AD 上，且 AE = AC，EF = ED. 求证：四边形 CDEF 是菱形. 练一练 1. 如图，□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别交于点E、F， 求证：四边形 AFCE 是菱形. 方法一： 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 问题 上节课我们已经知道“菱形的对角线相互垂直”，反过来，小明猜想对角线垂直的四边形是菱形，你觉得对吗？ 我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形? 对此你有什么猜想？ 证一证 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD 是菱形. 知识要点 菱形的判定定理： 几何语言描述： 典例精析 例2 已知：如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = ，OA=2，OB=1.求证：□ABCD 是菱形. 练一练 1. 如图，□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别交于点E、F， 求证：四边形 AFCE 是菱形. 方法二： 2. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB 交 MN 于点 E，连接 AE、CD. 求证：四边形 ADCE 是菱形. 尝试·交流 (1) 如图，已知线段 a，请用尺规作菱形 ABCD，使它的对角线 AC = a。 (2) 满足 (1) 中条件的菱形唯一吗？如果不唯一， 那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的？与同伴进行交流。 当堂反馈 1.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是(　　) A.AB＝AD B.AC⊥BD C.AC＝BD D.∠BAC＝∠DAC 2.如图，▱ABCD的对角线交于点O，且AB＝13，AC＝24，当BD＝　　时，四边形ABCD是菱形，理由是　 　. 3.[推理通关]如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别为边BC，AB，AC的中点，连接DE，DF.求证：四边形AEDF是菱形. 证明：∵D，E分别是BC，AB的中点， ∴DE∥　　且DE＝　 　＝　　AC. 同理DF∥　 　且DF＝　 　＝　　AB. 又∵AB＝AC， ∴DE＝　 　. ∴四边形AEDF是菱形(　　 　　). 4.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，AD＝5，求AB的长. 判定方法：　 　. 参考答案 【合作探究】 探究点1：四条边相等的四边形是菱形 证一证 证明：∵ AB = BC = CD = AD， ∴ AB = CD，BC = AD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ AB = BC， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 典例精析 例1 证明：∵∠1 =∠2，AE = AC，AD = AD， ∴ △ACD≌△AED (SAS). 同理，△ACF≌△AEF. ∴ CD = ED，CF = EF. 又∵ EF = ED， ∴ CD = ED = CF = EF. ∴ 四边形 CDEF 是菱形. 练一练 1. 方法一：证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AE∥CF. ∴∠1=∠2. 又 ∠AOE =∠COF，AO = OC，∴ △AOE≌△COF.∴AE = CF. 又∵EF 是 AC 的垂直平分线，∴ EC = EA，AF = CF. ∴AE = EC = CF = AF.∴ 四边形 AFCE 是菱形. 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 证一证 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC. 又∵ AC⊥BD， ∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线. ∴ BA = BC. ∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）. 典例精析 例2 证明：在△AOB 中， ∵AB = ，OA=2，OB=1， ∴AB2 = AO2 + OB2. ∴△AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角. ∴AC⊥BD. ∴□ABCD 是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形). 练一练 1. 方法二： 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AE∥CF. ∴∠1=∠2. 又 ∠AOE =∠COF，AO = OC， ∴ △AOE≌△COF， ∴EO = FO. ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. 又 AC⊥EF，∴ 四边形 AFCE 是菱形. 练一练2. 证明：∵ MN 是 AC 的垂直平分线， ∴ AE = CE，AD = CD，OA = OC， ∠AOD =∠EOC = 90°. ∵ CE∥AB，∴ ∠DAO =∠ECO. ∴ △ADO≌△CEO (ASA). ∴ AD = CE. ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形. 又∵ DE⊥AC， ∴ 四边形 ADCE 是菱形. 尝试·交流 (1) 分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B，D，依次连接 A、B、C、D 四点. (2) 不唯一。 理由：垂直平分线上 B、D 两点的位置可以任意选取 (只要 OB＝OD )， 因此菱形的边长和角度会随 OB 长度的变化而变化. 添加条件使菱形唯一，如： ①指定另一条对角线长度： 例如“对角线 BD = b (给定长度)”，此时 OB = b/2​，可唯一确定 B、D 的位置。 ②指定菱形的一个内角： 例如 “∠BAD = 60° ”，结合AC = a可唯一确定菱形的形状和大小。 ③指定菱形的边长。 当堂反馈 1.　C　 2.　10　，　对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.　AC　　AF　　　.　AB　　AE　　　. 　DF＝AF＝AE　.　　四边相等的四边形是菱形　 4.解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，BD＝8， ∴AO＝AC＝3，DO＝BD＝4. ∵AD＝5， ∴AO2＋OD2＝AD2.∴△AOD是直角三角形，且∠AOD＝90°. ∴四边形ABCD是菱形.∴AB＝AD＝5. 　对角线互相垂直的平行四边形是菱形　. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $