1.3 第1课时 矩形的性质（导学案）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“矩形的性质与判定”第2课时，核心知识点为矩形的性质（四个角为直角、对角线相等）及直角三角形斜边中线性质。课堂导入通过“给平行四边形加‘一个角为直角’得到什么图形”的问题，关联平行四边形性质，搭建从旧知到新知的学习支架。 资料特色在于通过测量矩形实物引导学生用数学眼光观察特征，抽象猜想后进行逻辑推理证明性质，培养推理能力。典例与练习结合具体问题，用数学语言表达和解决，强化模型意识与应用意识，助力学生高效掌握重点难点。

第1章 特殊平行四边形 1.3 矩形的性质与判定 第2课时 矩形的性质 【学习目标】 1. 会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题； 2. 掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用. 学习重点：会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题. 学习难点：掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用. 【复习导入】 问题：如果给平行四边形加一个条件“有一个角为直角”，会得到什么特殊图形？ 【合作探究】 探究点一：矩形的性质 思考：因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质. 但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 活动：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. (1) 请同学们以小组为单位，测量身边的矩形 (如书本，课桌，铅笔盒等) 的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果. (2) 根据测量的结果，你有什么猜想？ 证一证 (1) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°. 求证：∠B =∠C =∠D =∠A = 90°. (2) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB. 知识要点： 矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质： 几何语言描述： 典例精析 例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长. 例2 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE = AD， DF⊥AE，垂足为 F. 求证：DF = DC. 练一练 1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC = BD C．AC⊥BD D．OA = OB 探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质 观察·思考 如图(1)，在矩形纸片 ABCD 中，对角线 AC 与 BD相交于点 E。将矩形纸片沿 AC 剪开，得到图 (2) 所示的图形，BE 是Rt△ABC 中一条怎样的线段？它与 AC有什么大小关系？由此你能得到什么结论？ 证一证 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BE 是 AC 上的中线. 求证：BE = AC. 例3 如图，在△ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点． (1)若 AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长； (2)求证：EF 垂直平分 AD. 练一练 2.如图，已知 BD，CE 是△ABC 的高，点 G，F 分别是 BC，DE 的中点，试说明 GF⊥DE. 归纳：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化到等腰三角形中，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题． 归纳总结 直角三角形斜边上的中线的性质常见模型： 当堂反馈 1.矩形具有而菱形不具有的性质是(　　) A.对角线相等 B.两组对边分别平行 C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. (1)若AB＝6，AD＝8，则BD＝　 　； (2)若AO＝1，则AC＝　 　，BD＝　 　； (3)若∠ACB＝30°，则∠AOB＝　 　°，△AOB的形状是　　 三角形. 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点. (1)若BD＝5，则AC＝　 　； (2)若AB＝4，BC＝3，则BD＝　 　； (3)若∠C＝50°，则∠ABD的度数为　 　. 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.若AB＝4cm，BC＝6cm，则图中阴影部分的面积之和为　　cm2. 5.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E. (1)求证：AC＝AE； (2)若∠AOB＝120°，AE＝8，求BC的长. 参考答案 【合作探究】 探究点一：矩形的性质 证一证 (1) 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B =∠D，∠C =∠A，AB∥DC. ∴∠B +∠C = 180°. 又∵∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴∠B =∠C =∠D =∠A = 90°. (2)证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°. 在 △ABC 和 △DCB 中， ∵ AB = DC，∠ABC =∠DCB，BC = CB， ∴△ABC≌△DCB. ∴ AC = DB. 典例精析 例1 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD（矩形的对角线相等） OA = OC = AC，OB = OD = BD， ∴OA = OD. ∵∠AOD = 120°， ∴∠ODA =∠OAD = (180° -120°) = 30°. ∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5. 例2 证明：连接 DE. ∵AD = AE，∴∠AED =∠ADE. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥BC，∠C = 90°. ∴∠ADE =∠CED. ∴∠CED =∠AED. 又∵ DF⊥AE， ∴ DF = DC. 练一练 1. 答案：C 探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质 证明：证明：延长 BE 至 D，使 ED = BE，连接 AD，CD. ∵AE = EC，BE = ED， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∵∠ABC = 90°， ∴平行四边形 ABCD 是矩形. ∴ AC = BD. ∴ BE = BD = AC. 例3 解：（1）∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点， ∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝×8＝4. ∴四边形AEDF的周长为 AE＋DE＋DF＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18. （2）证明：∵ DE＝AE，DF＝AF， ∴ E、F 在线段 AD 的垂直平分线上， ∴ EF 垂直平分 AD. 练一练 2.解：连接 EG，DG.由题意知∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点 G 是 BC 的中点， ∴ EG＝ BC，DG＝ BC. ∴ EG＝DG. 又∵点 F 是 DE 的中点，∴ GF⊥DE. 直角三角形斜边上的中线的性质常见模型： 当堂反馈 1.　A　 2. (1)　10　； (2)　2　，　2　； (3)　60　，　等边　. 3.(1)　10　； (2)　2.5　； (3) 40°　. 4.12　. 5.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AD∥BC.又∵AE∥BD， ∴四边形AEBD是平行四边形. ∴BD＝AE.∴AC＝AE. (2)解：∵∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝60°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC＝AC，OB＝BD，AC＝BD. ∴OB＝OC.∴△OBC是等边三角形. ∴BC＝OC＝AC.由(1)可知AC＝AE＝8， ∴BC＝×8＝4. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $