1.2 第2课时 菱形的判定（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册（新教材）

该初中数学课件聚焦菱形的判定，涵盖定义判定及“四边相等的四边形”“对角线垂直的平行四边形”两大定理，通过“定义出发逆向提问”导入，结合知识回顾、探究猜想、证明推导等学习支架，衔接平行四边形与菱形的知识脉络。 其亮点是采用探究式教学，引导学生经历“猜想-证明”过程培养推理能力（数学思维），通过勾股定理证垂直等例题发展几何直观（数学眼光），规范几何语言表达（数学语言）。易错点总结与解题技巧（如“秒杀结论”）助学生避错提效，教师可直接用于课堂，提升教学质量。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 1.2 第2课时 菱形的判定 第一章 特殊平行四边形 1.2 第2课时 菱形的判定（精讲讲义） 上一课时我们学习了菱形的性质，本节课反向掌握菱形三大判定定理。菱形判定是几何证明、大题推理、条件探究的核心考点，常与平行四边形性质、勾股定理综合考察，是九年级几何必考重点。 一、知识回顾：菱形的定义判定（判定1） 定义判定法（最基础）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 使用思路：先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等 ⇒ 菱形。 适用场景：题目出现边长相等、线段等量关系时优先使用。 二、菱形两大核心判定定理（考试重点） 判定定理2：四边相等的四边形是菱形 文字语言：如果一个四边形的四条边都相等，那么这个四边形是菱形。 关键区别：无需先证平行四边形，直接由四边形判定菱形。 适用场景：题目可证四条边全部相等，无需要平行条件。 判定定理3：对角线垂直的平行四边形是菱形 文字语言：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 使用前提：必须先为平行四边形，再加对角线垂直条件。 易错警示：对角线互相垂直的任意四边形不一定是菱形！ 三、三大判定方法择优总结（做题提速） 1. 已知是平行四边形：优先用「一组邻边相等」或「对角线互相垂直」； 2. 未知平行、四边可证相等：直接用「四边相等的四边形是菱形」； 3. 对角线条件多、垂直关系明确：优先对角线判定定理。 四、经典例题精讲（考试标准步骤） 例1 定义判定证明 已知：在平行四边形ABCD中，AB=BC。求证：四边形ABCD是菱形。 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， 又∵ AB=BC（一组邻边相等）， ∴ 平行四边形ABCD是菱形。（菱形定义） 例2 四边相等判定 已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA。求证：ABCD为菱形。 证明： ∵ AB=CD，BC=AD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形， 又∵ AB=BC， ∴ ABCD是菱形。 秒杀结论：四边相等 ⇒ 直接判定菱形。 例3 对角线垂直判定（高频大题） 已知：平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD。求证：ABCD是菱形。 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， 且 AC⊥BD， ∴ 平行四边形ABCD是菱形。（对角线垂直的平行四边形是菱形） 五、性质与判定综合例题 如图，平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，AB=5，AO=3，BO=4，求证：ABCD是菱形。 解： ∵ AO=3，BO=4，AB=5， ∴ $$AO^2+BO^2=AB^2$$， ∴ ∠AOB=90°，即 AC⊥BD， 又∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ABCD是菱形。 技巧：勾股证垂直，再用对角线判定菱形，考试超高频套路。 六、本节致命易错点（扣分重点） 1. 误区：对角线互相垂直的四边形是菱形。（❌ 缺少平行四边形前提） 2. 误区：有一组边相等的四边形是菱形。（❌ 必须是邻边+平行四边形） 3. 判定定理混用：证平行四边形用对角、对边；证菱形必须加专属条件。 4. 大题漏步骤：未先证平行四边形，直接判定菱形，步骤缺失扣分。 七、同步专项习题（含答案） 1. 平行四边形ABCD中，添加条件____可判定为菱形。 答案：AB=BC 或 AC⊥BD（任选其一） 2. 四条边相等的四边形一定是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 答案：C 3. 判断：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。（ ） 答案：√（平分说明是平行四边形，再加垂直即为菱形） 4. 平行四边形对角线长6和8，且互相垂直，则该四边形面积为____。 答案：24 1. 经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定 定理；（重点） 2. 会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. （难点） 3. 经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会 数形结合、转化等思想方法. 学习目标 根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。除此之外，你认为还有什么条件可以判定一个四边形是菱形？ A B C O D 由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等。反过来，四条边相等的四边形一定是菱形吗？为什么？与同伴进行交流。 思考·交流 猜想：四条边相等的四边形是菱形. 探究点1：四条边相等的四边形是菱形 证明：∵ AB = BC = CD = AD， ∴ AB = CD，BC = AD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ AB = BC， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD. 求证：四边形 ABCD 是菱形. A B C D 【证一证】 探究点1：四条边相等的四边形是菱形 菱形的判定定理 四条边都相等的四边形是菱形. AB = BC = CD = AD 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中，∵ AB = BC = CD = AD， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD 四边形 ABCD A B C D 探究点1：四条边相等的四边形是菱形 证明：∵∠1 =∠2，AE = AC，AD = AD， ∴ △ACD≌△AED (SAS). 同理，△ACF≌△AEF. ∴ CD = ED，CF = EF. 又∵ EF = ED， ∴ CD = ED = CF = EF. ∴ 四边形 CDEF 是菱形. 2 例1 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线， 点 E、F 分别在 AB、AD 上，且 AE = AC，EF = ED. 求证：四边形 CDEF 是菱形. A C B E D F 1 探究点1：四条边相等的四边形是菱形 又∵EF 是 AC 的垂直平分线， ∴ EC = EA，AF = CF. ∴AE = EC = CF = AF. ∴ 四边形 AFCE 是菱形. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AE∥CF. ∴∠1=∠2. 又 ∠AOE =∠COF，AO = OC， ∴ △AOE≌△COF.∴AE = CF. 【练一练】1. 如图，□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别交于点E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形. 还有其他的证明方法吗？ 探究点1：四条边相等的四边形是菱形 问题 上节课我们已经知道“菱形的对角线相互垂直”，反过来，小明猜想对角线垂直的四边形是菱形， 你觉得对吗？ 不对，菱形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅垂直且平分. 不对， 如图. 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 你能证明这一猜想吗？ 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形? 对此你有什么猜想？ 10 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC. 又∵ AC⊥BD， ∴ 直线 BD 是线段 AC 的垂直平分线. ∴ BA = BC. ∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）. A B C O D 【证一证】已知：如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD 是菱形. 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. AC⊥BD 几何语言描述： 在 □ABCD 中，∵AC⊥BD， ∴ □ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 例2 已知：如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = ，OA=2，OB=1. 求证：□ABCD 是菱形. 证明：在△AOB 中， ∵AB = ，OA=2，OB=1， ∴AB2 = AO2 + OB2. ∴△AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角. ∴AC⊥BD. ∴□ABCD 是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形). A B C O D 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AE∥CF. ∴∠1=∠2. 又 ∠AOE =∠COF，AO = OC， ∴ △AOE≌△COF， ∴EO = FO. ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. 又 AC⊥EF，∴ 四边形 AFCE 是菱形. 【练一练】1. 如图，□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别交于点E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形. 方法二 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B C A D O E M N 证明：∵ MN 是 AC 的垂直平分线， ∴ AE = CE，AD = CD，OA = OC， ∠AOD =∠EOC = 90°. ∵ CE∥AB，∴ ∠DAO =∠ECO. ∴ △ADO≌△CEO (ASA). ∴ AD = CE. ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形. 又∵ DE⊥AC， ∴ 四边形 ADCE 是菱形. 【练一练】2. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB 交 MN 于点 E，连接 AE、CD. 求证：四边形 ADCE 是菱形. 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 尝试·交流 (1) 如图，已知线段 a，请用尺规作菱形 ABCD，使它的对角线 AC = a。 C A B D a 分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B，D，依次连接 A、B、C、D 四点. 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 (2) 满足 (1) 中条件的菱形唯一吗？如果不唯一， 那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的？与同伴进行交流。 A B C D O 不唯一。 理由：垂直平分线上 B、D 两点的位置可以任意选取 (只要 OB＝OD )， 因此菱形的边长和角度会随 OB 长度的变化而变化. 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 A B C D O ①指定另一条对角线长度： 添加条件使菱形唯一，如： 例如“对角线 BD = b (给定长度)”，此时 OB = ​，可唯一确定 B、D 的位置。 ②指定菱形的一个内角： 例如 “∠BAD = 60° ”，结合AC = a可唯一确定菱形的形状和大小。 ③指定菱形的边长。 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 知识点1 由菱形的定义判定菱形 1. 依据所标识的数据判断，下列平行四边形一定为菱形的是 ( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 19 （第2题） 2. 如图，在中，平分 ， 交于点，交于点 ， 若，则四边形 的周长是( ) C A. 24 B. 28 C. 32 D. 36 返回 考试考法 20 知识点2 由边的关系判定菱形 （第3题） 3. 如图，在 的两边上 分别截取，，使 ；分 别以点，为圆心， 长为半径作 弧，两弧交于点；连接， ， ，.若，四边形 的面积为.则的长为___ . 4 返回 考试考法 21 4.如图所示，，分别在和 上， ，则____ . 80 （第4题） 考试考法 22 （第4题） 【点拨】， 四 边形为菱形， ， ， . ， ， ，同理 ， 考试考法 23 .易得 是等边 三角形， .又 ， ， . ， . （第4题） 返回 考试考法 知识点3 由对角线的关系判定菱形 （第5题） 5. [2026济南期中] 如图， 的 对角线，交于点 ，以下条件不 能证明 是菱形的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 25 6. 如图，在中，是 的中点，点， 分别在线段AD及其延长 线上，且 ，请你添加一个条件 ________________________，使四边形 是菱形. （答案不唯一） 返回 考试考法 26 7. 如图，中， ， 垂直平分 ，垂足为，交于点，，连接， . （1）求证：四边形 是菱形； 考试考法 27 【证明】 ， . 垂直平分， . 又 , ， ， 四边形 是平行 四边形. 又 ， 平行四边形 是菱形. 考试考法 28 （2）若，，求 的长. 考试考法 29 【解】 ， ， . ， . 又 ， 四边形 是平行四边形， ， 由（1）可知， . 返回 考试考法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四边相等的四边形是菱形 运用定理进行计算和证明 菱形的判定 定义法 判定定理 课堂小结 $