1.2 第1课时 菱形的性质（导学案）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦菱形的性质，引导学生探索并证明菱形四边相等、对角线互相垂直的性质定理，掌握面积的三种求法。通过复习导入环节，先回顾平行四边形性质，再以“邻边相等”为条件引入菱形，搭建从一般到特殊的知识支架。 资料以合作探究为核心，通过折叠猜想、逻辑证明培养学生推理意识，典例与练习结合具体图形强化几何直观，当堂反馈分层设计巩固知识，助力学生用数学思维分析问题，提升应用意识与抽象能力。

第1章 特殊平行四边形 1.2 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 【学习目标】 1. 探索并证明菱形的性质定理； 2. 应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题. 3. 能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法； 学习重点：探索并证明菱形的性质定理. 学习难点：能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法. 【复习导入】 问题1：我们之前学习了平行四边形，它有哪些共同性质？ 问题2：如果给平行四边形加一个条件“邻边相等”，会得到什么特殊图形？ 【合作探究】 探究点: 菱形的性质 思考：因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 问题 根据上面的折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系？菱形的两条对角线有什么关系？ 证一证 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O. 求证：(1) AB = BC = CD = AD； (2) AC⊥BD. 知识要点： 菱形的性质 几何语言描述： 问题1 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢? 问题2 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积. 归纳总结： 菱形的面积计算有如下方法： (1) 一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积； (2) 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)； (3) 两条对角线长度乘积的一半． 典例精析 例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， ∠BAD = 60°， BD = 6，求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长. 例2 如图，E为菱形ABCD的边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB. 练一练 1. 如图，菱形 ABCD 的周长为 48 cm，对角线 AC、BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长为_______. 2. 如图，已知菱形的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则这个菱形的高 DE 为(　　) A. 2.4 cm B. 4.8 cm C. 5 cm D. 9.6 cm 当堂反馈 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. (1)若AB＝1，则菱形ABCD的周长为　 　； (2)若∠DAB＝60°，则∠BAC＝　 　°，△ABD是　 　三角形； (3)若AC＝8，BD＝6，则AB＝　 　，菱形ABCD的面积为　 　； (4)在(3)的条件下，取AD的中点E，连接OE，则OE的长度为　 　. 2.如图，BD是菱形ABCD的对角线. (1)求证：∠1＝∠2； (2)若∠1＝20°，求∠C的度数. 3.如图，四边形ABCD是边长为13的菱形，其中对角线AC的长为10. 计算：(1)对角线BD的长度. (2)菱形ABCD的面积. 参考答案 探究点: 菱形的性质 证一证 证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = CD，AD = BC (菱形的对边相等). 又∵ AB = AD， ∴ AB = BC = CD = AD. (2) ∵ AB = AD， ∴△ABD 是等腰三角形. 又∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ OB = OD（菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形 ABD 中， ∵OB = OD， ∴ AO⊥BD，即 AC⊥BD. 证一证 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O. 求证：(1) AB = BC = CD = AD； (2) AC⊥BD. 证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = CD，AD = BC (菱形的对边相等). 又∵ AB = AD， ∴ AB = BC = CD = AD. (2) ∵ AB = AD， ∴△ABD 是等腰三角形. 又∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ OB = OD（菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形 ABD 中， ∵OB = OD， ∴ AO⊥BD，即 AC⊥BD. 例1 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = AD(菱形的四条边相等)， AC⊥BD (菱形的对角线互相垂直)， OB = OD = BD = ×6 =3 (菱形的对角线互相平分). 在等腰三角形 ABD 中，∵∠BAD = 60°， ∴△ABD 是等边三角形. ∴ AB = BD = 6. 在Rt△AOB 中，由勾股定理，得OA2 + OB2 = AB2， (2) 菱形 ABCD 的面积= △ABD 的面积 +△CBD 的面积= 2×△ABD 的面积 =2× BD =2× ×6×3√3 =18√3. 例2 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，AD＝BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB. ∴∠DAE＝∠AEB. ∵AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB. ∴∠ABC＝∠DAE.  ∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.  又∵AD＝BA，∴△AOD≌△BEA. ∴AO＝BE. 练一练 1. 6 cm 2. B 当堂反馈 1. (1)　4　； (2)　30　°，　等边　； (3)　5　，　24　； (4)　2.5　. 2.(1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD.∴∠1＝∠2. (2)解：由(1)知，∠1＝∠2＝20°， ∴∠A＝180°－∠1－∠2＝140°. ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠C＝∠A＝140°. 3.解：(1)∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AE＝EC＝AC＝5，BE＝DE＝BD. ∵菱形的边长为13， ∴AB＝13.在Rt△ABE中，BE＝＝＝12，∴BD＝2BE＝24. (2)∵AC＝10，BD＝24， ∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×10×24＝120. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $