1.2 第1课时 菱形的性质（课件）-2026-2027 学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦菱形的性质，涵盖定义、边、角、对角线性质及面积公式等核心知识点。通过复习平行四边形性质，以“邻边相等的平行四边形是什么”设问导入，构建前后知识衔接的学习支架。 其亮点在于采用探究式教学，通过折叠实验、小组讨论及视频辅助引导学生猜想性质，结合逻辑证明培养数学思维。例题精讲结合勾股定理等知识，易错点与分层习题助力巩固，帮助学生发展几何直观与推理能力，教师可借助系统资源提升教学效果。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 1.2 第1课时 菱形的性质 第一章 特殊平行四边形 1.2 第1课时 菱形的性质（精讲讲义） 本节课在认识特殊平行四边形的基础上，专门精讲菱形的独有性质。菱形是考试几何证明、填空选择、计算题高频考点，常结合勾股定理、面积公式、线段求值出题。本节熟练掌握后，可直接解决绝大多数菱形基础题型。 一、菱形的定义（复习必背） 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 两层含义： 1. 菱形首先是平行四边形，具备平行四边形所有性质； 2. 额外独有条件：一组邻边相等 ⇒ 四条边全部相等。 二、菱形的全部性质（核心考点） 1. 边的性质（必考） 菱形的四条边都相等。 2. 角的性质 继承平行四边形性质：对角相等，邻角互补。 （菱形没有“角是直角”的性质，这是与矩形最大区别） 3. 对角线性质（重难点） 菱形的对角线满足两大特殊性质： ① 互相垂直； ② 每一条对角线平分一组对角。 补充：对角线仍然互相平分（平行四边形共有性质）。 4. 对称性 菱形是中心对称图形（对角线交点为对称中心）； 菱形是轴对称图形，有2条对称轴（两条对角线所在直线）。 三、菱形面积公式（独家必考公式） 1. 通用公式（和平行四边形一致） $$S=\text{底}\times\text{高}$$ 2. 菱形专属面积公式（考试最爱用） 菱形面积 = 两条对角线乘积的一半 $$\boldsymbol{S=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BD}$$ 适用条件：只要是菱形，直接使用，无需求边长与高。 四、重要几何推论（做题秒杀结论） 1. 菱形对角线互相垂直，所以菱形被对角线分成四个全等的直角三角形； 2. 可结合勾股定理快速求边长：$$\text{边长}^2=\left(\dfrac{AC}{2}\right)^2+\left(\dfrac{BD}{2}\right)^2$$； 3. 对角线平分内角，可直接得到角相等、角平分结论。 五、经典例题精讲 例1 边长与对角线计算 已知菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，求菱形的边长和面积。 解：由菱形性质，对角线互相垂直平分。 半对角线长：$$3、4$$ 由勾股定理：边长$$=\sqrt{3^2+4^2}=5$$ 面积：$$S=\dfrac12\times6\times8=24$$ 答：边长为5，面积为24。 例2 角度计算 已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，求菱形内角度数。 解：菱形邻角互补， ∠ABC=60°，则∠BAD=120°， 对角相等：四个角依次为60°、120°、60°、120°。 特殊模型：菱形有一个角为60°，则短对角线与边长相等，出现等边三角形。 六、本节高频易错点 1. 菱形对角线不相等（正方形才相等）； 2. 菱形四个角不是直角，切勿和矩形混淆； 3. 只有菱形（对角线垂直的四边形）可以用「对角线乘积一半」求面积； 4. 对角线平分一组对角是菱形独有性质，普通平行四边形没有。 七、同步基础习题（含答案） 1. 菱形边长为5，一条对角线长为6，则另一条对角线长为____。 答案：8 2. 菱形对角线长4和6，面积为____。 答案：12 3. 菱形有一个内角为120°，则相邻内角为____。 答案：60° 4. 下列不属于菱形性质的是（ ） A. 四边相等 B. 对角线垂直 C. 四角相等 D. 轴对称 答案：C 1. 探索并证明菱形的性质定理；（重点） 2. 应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题. （难点） 3. 能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些 相关问题，并掌握菱形面积的求法；(难点) 学习目标 问题1：我们之前学习了平行四边形，它有哪些共同性质？ 邻边相等的平行四边形叫作菱形. 问题2：如果给平行四边形加一个条件“邻边相等”，会得到什么特殊图形？ 对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分 思考：因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 思考：从哪些方面考虑它的特殊性质呢？ (1) 分小组讨论； (2) 然后发表看法. A B C D O 边特殊化 A B C O D 探究点: 菱形的性质 点击视频 开始播放 【做一做】 探究点: 菱形的性质 问题 根据上面的折叠过程，猜想菱形的四边在数量 上有什么关系？菱形的两条对角线有什么关系？ 猜想1 菱形的四条边都相等. 猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 试着证明你的猜想. 求证：(1) AB = BC = CD = AD； (2) AC⊥BD. 证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = CD，AD = BC (菱形的对边相等). 又∵ AB = AD， ∴ AB = BC = CD = AD. A B C O D 已知：如图，在菱形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O. 【证一证】 探究点: 菱形的性质 (2) ∵ AB = AD， ∴△ABD 是等腰三角形. 又∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ OB = OD（菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形 ABD 中， ∵OB = OD， ∴ AO⊥BD，即 AC⊥BD. A B C O D 探究点: 菱形的性质 菱形的性质 定理 菱形的对角线互相垂直. A B C O D 几何语言描述： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥BD. 定理 菱形的四条边都相等. 探究点: 菱形的性质 问题1：菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢? A B C D 思考： 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢? 能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E， 则 S菱形ABCD = 底×高 = BC · AE. E 探究点: 菱形的性质 问题2： 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积. A B C D O 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. ∴ S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC = AC·BO + AC·DO = AC·(BO + DO) = AC·BD. 你有什么发现？ 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 探究点: 菱形的性质 【归纳总结】 菱形的面积计算有如下方法： (1) 一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积； (2) 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)； (3) 两条对角线长度乘积的一半． 探究点: 菱形的性质 例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， ∠BAD = 60°，BD = 6. (1) 求 AB 和 AC 的长. (2) 求菱形 ABCD 的面积. ∴ AB = AD(菱形的四条边相等)， AC⊥BD (菱形的对角线互相垂直)， OB = OD = BD = =3 (菱形的对角线互相平分). 解：(1) ∵四边形 ABCD 是菱形， A B C O D 探究点: 菱形的性质 在等腰三角形 ABD 中，∵∠BAD = 60°， ∴△ABD 是等边三角形. ∴ AB = BD = 6. 在Rt△AOB 中，由勾股定理，得 OA2 + OB2 = AB2， ∴OA= . ∴ AC = 2OA = （菱形的对角线互相平分） A B C O D 探究点: 菱形的性质 A B C O D (2) 求菱形 ABCD 的面积. 菱形 ABCD 的面积 = △ABD 的面积 +△CBD 的面积 = 2×△ABD 的面积 = 2×BD·OA = 2××6×3 = 18. 探究点: 菱形的性质 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，AD＝BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB. ∴∠DAE＝∠AEB. ∵AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB. ∴∠ABC＝∠DAE.  ∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.  又∵AD＝BA，∴△AOD≌△BEA. ∴AO＝BE. 例2 如图，E为菱形ABCD的边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB. A B C D O E 探究点: 菱形的性质 1. 如图，菱形 ABCD 的周长为 48 cm，对角线 AC、BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长为_______. 6 cm 【练一练】 A B C D O E 探究点: 菱形的性质 2. 如图，已知菱形的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则这个菱形的高 DE 为(　　) A. 2.4 cm B. 4.8 cm C. 5 cm D. 9.6 cm B 探究点: 菱形的性质 知识点1 菱形边的性质 （第1题） 1. 如图，四边形是菱形，点 ， 分别在， 边上，添加以下条件 不能判定 的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 19 （第2题） 2. 如图，在菱形中，对角线， 相交于点，点为的中点.若 ， 则菱形 的周长为( ) C A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 返回 考试考法 20 3. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点 的 横坐标是8，则点 的坐标为_______. （第3题） 考试考法 21 （第3题） 【点拨】当 时， ， 点 的坐标为 ， 四边形是菱形，且在 轴 上，，且轴， 点 的坐标为 ，即 . 返回 考试考法 22 知识点2 菱形对角线的性质 （第4题） 4. 如图，在菱形中，对角线 , 相交于点 ,下列结论中错误的是 ( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 23 5. 已知菱形的一个内角为 ，其中较长的对角线 为 ，则另一条对角线的长为___. 5 【点拨】如图，由题意得 , . 四边形 是菱形， , 返回 考试考法 24 , ， ， ， ， ， .故答案为5. 考试考法 因为菱形的对角线互相垂直， 所以计算菱形中的线段长时，通常利用 勾股定理进行求解. 考试考法 26 6. 如图，已知菱形 的周 长为，两条对角线， 的和为6， 则菱形 的面积为___. 4 解题支架 返回 考试考法 27 7. 如图，菱形中， ， ， ，垂足分别为，， . 考试考法 28 （1）求和 的度数； 考试考法 29 【解】 四边形是菱形， ， ， . ， . ， ， . 考试考法 （2）求 的长. 如图，连接交于 ， 则， . 四边形 是菱形， ， . 考试考法 31 ， 是等边三角形， ， ， ， . 考试考法 易得， .易得 ， ， ， ， ， ， . 考试考法 菱形 菱形的性质 有关计算 边 周长 = 边长的四倍 角 对角线 1. 两组对边分别平行且相等； 2. 四条边相等 两组对角分别相等，邻角互补 1. 两条对角线互相垂直平分； 2. 每一条对角线平分一组对角 课堂小结 $