1.1 认识特殊的平行四边形（导学案）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦特殊平行四边形，引导学生理解菱形、矩形、正方形的定义及与平行四边形的从属关系，探究其轴对称性。通过复习平行四边形性质、类比特殊三角形，结合情境图片观察特殊之处，搭建从一般到特殊的学习支架。 资料特色在于以合作探究、折纸操作为主，让学生经历概念形成过程，培养几何直观与空间观念。通过设问辨析和逻辑推理明确图形关系，习题设计注重定义应用与性质辨析，提升学生用数学语言表达图形特征的能力。

第1章 特殊平行四边形 1 认识特殊的平行四边形 【学习目标】 1. 理解菱形、矩形、正方形的定义，明确它们与平行四边形的从属关系，能依据概念进行正误判断与说理； 2. 借助折纸、画图操作，感知特殊平行四边形的轴对称特征，准确识别对称轴数量与位置，建立图形形状、特征与对称性的直观认知； 3. 通过观察、操作、类比、归纳，经历特殊平行四边形概念的形成过程，体会“一般到特殊”的数学思想，提升观察、抽象概括与逻辑推理能力. 重点：菱形、矩形、正方形的定义；三者与平行四边形的从属关系；轴对称性的探究与辨析. 难点：理解正方形兼具菱形与矩形双重属性的本质；梳理四类图形的逻辑关系. 【复习导入】 问题：回忆一下，什么是平行四边形，它有哪些性质？ 想一想：在学习三角形时，认识了哪些特殊的三角形呢？ 【情境导入】 类似地，在平行四边形“家族”中，是否也有一些特殊的“成员”？ 下图中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗？ 【合作探究】 探究点：特殊的平行四边形的定义 思考·交流：从平行四边形的边或角考虑，你认为可能有哪些特殊的平行四边形？与同伴进行交流。 思考1：如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变，仅改变边的长度，让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢? 概念引入：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 注意：菱形是特殊的平行四边形；平行四边形不一定是菱形. 设问1：定义里的核心前提是什么？如果去掉“平行四边形”，说“邻边相等的四边形是菱形”，对吗？请举反例说明. 练一练 1. 如图，在菱形 ABCD 中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD 的周长是 (　　) A.10 B.12 C.15 D.20 思考2：观察在平行四边形的变化过程中，当有一个角是直角时，会产生什么特殊的平行四边形？ 概念引入：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 注意：矩形是特殊的平行四边形；平行四边形不一定是矩形. 设问2：同样，“有一个角是直角的四边形是矩形” 这句话成立吗？为什么？ 练一练 2. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE = AD，DF⊥AE，垂足为 F. 求证：DF = DC. 思考3：矩形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？ 思考4：菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？ 归纳总结 概念引入：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 设问 3：对比菱形和矩形的定义，正方形同时满足了什么条件？这说明正方形和菱形、矩形是什么关系？ 练一练 3. 一个正方形的对角线长为 2 cm，则它的面积是（　 ） A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2 典例精析 例 判断下列说法是否正确，并说明理由： ① 有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（ ） ② 有一个角是直角的四边形是矩形.（ ） ③ 正方形既是菱形，又是矩形.（ ） 尝试·交流 (1) 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们都具有一般平行四边形的所有性质，你能分别列举一些这样的性质吗？与同伴进行交流. (2) 请你画图表示平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系，并与同伴分享你画的关系图. 操作·思考 菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？矩形呢？正方形呢？先想一想，再用纸片折一折. 菱形的性质： 对称性： 图形，对称轴： 条，是________所在的直线. 矩形的性质： 对称性： 图形，对称轴： 条. 正方形的性质： 对称性： 图形，对称轴： 条. 归纳总结：菱形、矩形、正方形都是轴对称图形；菱形、矩形都有两条对称 轴，正方形有四条对称轴. 当堂反馈 1.若正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为(　　) A.1 B.3 C. D.4 2.如图，在矩形ABCD中，∠C＝90°，∠ADB＝30°，BD＝10，则AB的长为　　. 3.如图，BD是菱形ABCD的对角线，AD＝DC，∠CBD＝75°，求∠A的度数. 4.如图，在正方形ABCD中，AD＝AB，∠A＝90°，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.求证：∠EBC＝∠CDF. 参考答案 【合作探究】 探究点：特殊的平行四边形的定义 练一练1. C 练一练2. 证明：连接 DE. ∵AD = AE，∴∠AED =∠ADE. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥BC，∠C = 90°. ∴∠ADE =∠CED. ∴∠CED =∠AED. 又∵ DF⊥AE， ∴ DF = DC. 练一练 3. A 典例精析 例 ① √，符合定义 ② ×，缺少平行四边形的前提 ③ √，同时满足两者的定义 尝试·交流 (1) 对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称图形 (2) 操作·思考 轴对称 2 对角线 轴对称 2 轴对称 4 当堂反馈 1.C　2.　5　. 3.解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，DC＝AB. 又AD＝DC， ∴AB＝AD.∴∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝75°. ∴∠A＝180°－75°－75°＝30°. 4.证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝∠A，AD＝BC，AB＝DC. 又AD＝AB，∠A＝90°， ∴BC＝CD，∠BCE＝90°. ∴∠DCF＝180°－∠BCE＝90°. 在△BCE和△DCF中， ∴△BCE≌△DCF(SAS). ∴∠EBC＝∠CDF. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $